精品解析：2026年河北张家口市初中学业水平模拟考试（九年级）数学试卷

2026年初中学业水平模拟考试（九年级） 数学试卷 注意事项：1．本试卷共8页，总分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡的相应位置． 3．所有答案均在答题卡上作答，在本试卷或草稿纸上作答无效．答题前，请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题． 4．答选择题时，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；答非选择题时，请在答题卡上对应题目的答题区域内答题． 5．考试结束时，请将试卷、答题卡和草稿纸一并交回． 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分） 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填在答题卡相应位置． 1. 如图，数轴上点A表示的数为，则点A表示的数的相反数是（ ） A. B. 2 C. D. 2. 下列整式运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，，直线分别交、于G、H，，平分，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在平面直角坐标系中，点P在第一象限内，坐标为，且与x轴正半轴夹角的正切值为2，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，由5个大小相同的正方体搭成的几何体，其左视图为（ ） A. B. C. D. 6. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值为（　　） A. 2 B. 4 C. D. 16 7. 如图，已知，，添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ） A. B. C. D. 8. 一定质量的氧气在密闭容器中，温度保持不变，压强p（千帕）与体积V（升）成反比例函数关系．当体积为4升时，压强为100千帕．下列结论错误的是（ ） A. 函数解析式为： B. 当体积为5升时，压强为80千帕 C. 体积越大，对应的压强越大 D. 当压强为200千帕时，体积为2升 9. 如图，是某益智小游戏的界面示意图，游戏规则为：每点击一次按钮，“”就从一个格子向上或向下随机移动到相邻的一个格子．当“”位于格子M时，小红连续点击两次按钮，“”到达格子K的概率是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，，，为中点，过作于，连接交于点，则的面积为（ ） A. B. C. D. 11. 如图，边长为8的正六边形中，一束激光从的中点P出发，照射到边上的点Q处，经镜面反射后恰好经过顶点C，则的长为（ ） A. B. C. D. 12. 我国古代“律历合一”，黄钟为十二律之首，对应冬至，是古琴定音根基．三分损益法（最早见于《管子·地员篇》）为推演十二律的核心方法，规则如下：（1）三分损一：将律管长度三等分后去一份，余长为原长的，称“下生”，得纯五度高音；（2）三分益一：将律管长度三等分后增一份，新长为原长的，称“上生”，得纯四度低音；（3）以黄钟为基准律，其管长9寸，设基准律长，按“损一→益一”交替推演：第1次得林钟，第2次得太簇，第3次得南吕，第4次得姑洗，……第7次得大吕．按上述规则推演，下列结论不正确的是（ ） A. 太簇对应的律长8寸 B. C. 大吕律长在3寸与4寸之间 D. 的律长大于6寸 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 请将答案直接填写在答题卡相应位置的横线上． 13. 计算的结果等于_______． 14. 如图，用个完全相同的小长方形拼成一个大长方形．已知大长方形的周长为，则一个小长方形的面积为______． 15. 如图，在中，，，分别以点、为圆心、的长为半径画弧，交、的延长线于点、．则图中阴影部分的面积为________． 16. 平面直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点称为“整点”．整点每次平移的规则：横纵坐标之和除以5，若余数为0该点向下平移1个单位，若余数为1向右平移1个单位，若余数为2向上平移1个单位，若余数为3向左平移1个单位，若余数为4不动．已知整点满足，连续平移6次后恰好落在直线上，则点P平移前的横坐标为________． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分） 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，请将解答过程写在答题卡相应位置． 17. 计算、解不等式 （1）计算： （2）解不等式： 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 如图，在中，，是边上的高线，延长到E，使得，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求菱形的面积． 20. 某校对九年级部分学生的“每周（七天）课外体育锻炼时间”进行了抽样调查．将锻炼时间记为x（单位：小时），并按范围划分为四段：A．；B．；C．；D．． 调查结果整理成如下不完整的统计图表和扇形统计图： 范围 锻炼时间（小时） 频数 频率 A段 5 0.1 B段 10 m C段 n 0.4 D段 15 0.3 请认真阅读上述信息，回答下列问题： （1）本次调查的学生总人数________人；表中________，________；扇形统计图中“A段”所在扇形的圆心角度数为________； （2）若该校九年级共有600名学生，请估计每周课外体育锻炼时间在小时的学生人数； （3）请根据上述统计图表中的信息，写出一个当前该校学生体育锻炼时间分布存在的问题，并提出一条针对性的改进建议． 21. 如图，中，，以上一点O为圆心过点A作，交于点D． （1）尺规作图：作的垂直平分线，分别交、于点E、F；（不写作法，保留作图痕迹） （2）连接，求证：是的切线； （3）若，，求弧的长． 22. 保定高新区某新能源材料公司生产锂电池电解液，需将甲、乙两种原料液按一定比例混合配制．已知每毫升甲、乙两种原料液的生产成本之比为．若使用20毫升甲原料液和30毫升乙原料液进行配制，总成本为360元． （1）设每毫升甲原料液的成本为a元，用含a的代数式表示：①每毫升乙原料液的成本为________；②取用x毫升甲原料液、y毫升乙原料液时的总生产成本为________． （2）求甲、乙两种原料液每毫升的成本各是多少元． （3）按照生产标准配制电解液150毫升时，要求甲原料液用量不少于40毫升，且乙原料液用量y满足．设甲原料液用量为x毫升，总成本为w元． ①求w与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； ②当甲、乙两种原料液各取用多少毫升时，总成本最低？最低总成本是多少元？ 23. 在科技节无人机编队表演中，其中两架无人机同时从地面起飞．设飞行时间为x（单位：秒），飞行高度为y（单位：米）．如图，无人机甲的飞行高度是x的二次函数，其图像经过点和点，且最高点M的坐标为；无人机乙起飞秒后上升至最高点A，此时高度为米，然后开始下降，最后与无人机甲同时落地． （1）求无人机甲高度关于飞行时间x的函数解析式； （2）在无人机乙下降过程中，两架无人机何时达到相同高度（不含落地时）？并求出此时飞行的高度． （3）在飞机整个飞行过程中，求两架无人机的最大垂直距离（垂直距离为同一时刻两机纵坐标之差的绝对值）； （4）在无人机乙下降的过程中，我们定义：最优垂直距离为“使得两架无人机的最大垂直距离尽可能小的那个距离值”．调整抛物线参数，使其经过点和，且最高点纵坐标不变，t满足，在两无人机首次与第二次处于同一高度的时段内，直接写出t为何值时，两架无人机达到最优垂直距离，并写出该最优垂直距离的值． 24. 综合与实践： 数学活动课上，老师开展了闯关比赛活动．如图1，将矩形纸片放置在平面直角坐标系中，点为坐标原点，，．点在边或边上运动，将沿直线折叠，点的对应点为，连接，与交于点． 请完成以下闯关任务： （1）第一关·初试锋芒 如图2，当点在边上且点恰好落在边上时，完成基础探究： ①直接写出：________，________； ②此时与的位置关系是________． （2）第二关·解锁规律 ①当点为边上任意一点时，与在（1）中的位置关系还存在吗？请说明理由． ②如图3，取的中点，连接，当点从点运动到点时，求点的运动路径长．（参考数据：，，） （3）第三关·终极挑战 当到的距离为时，直接写出所有满足条件的点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年初中学业水平模拟考试（九年级） 数学试卷 注意事项：1．本试卷共8页，总分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡的相应位置． 3．所有答案均在答题卡上作答，在本试卷或草稿纸上作答无效．答题前，请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题． 4．答选择题时，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；答非选择题时，请在答题卡上对应题目的答题区域内答题． 5．考试结束时，请将试卷、答题卡和草稿纸一并交回． 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分） 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填在答题卡相应位置． 1. 如图，数轴上点A表示的数为，则点A表示的数的相反数是（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可知点表示的数为，再根据相反数定义即可求得本题答案． 【详解】解：∵数轴上点表示的数为， ∴点A表示的数的相反数是2． 2. 下列整式运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，原计算错误； B、，原计算错误； C、，原计算错误； D、，原计算正确. 3. 如图，，直线分别交、于G、H，，平分，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行线的性质得出，利用邻补角定义求出，再根据角平分线定义求出的度数，即可求解． 【详解】解：， ． ， ． 平分， ． 4. 如图，在平面直角坐标系中，点P在第一象限内，坐标为，且与x轴正半轴夹角的正切值为2，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】过点作轴于点，则有，，然后通过，再求出的值即可． 【详解】解：过点作轴于点，如图， 根据点在第一象限内，其坐标是， ∴，， ∵与轴正半轴的夹角的正切值为2， ∴， ∴， ∴点， ∴， ∴． 5. 如图，由5个大小相同的正方体搭成的几何体，其左视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查简单几何体的三视图，根据几何体的排列情况判断左视图即可． 【详解】解：由图可知， 该几何体的结构为：底层共4个正方体，排成前后2行、左右2列，上层1个正方体放在后排靠左的位置， 从左侧观察时：左侧一列2个正方形上下排列，右侧一列仅下方有1个正方形， 故选：C． 6. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值为（　　） A. 2 B. 4 C. D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式的应用．对于一元二次方程，当时，方程有两个相等的实数根，据此列方程求解的值即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴ 即 解得， 故选：B． 7. 如图，已知，，添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定方法进行判断即可. 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴当时，可以判定； 当时，则，可以判定； 当时，可以判定； 当时，无法判定. 8. 一定质量的氧气在密闭容器中，温度保持不变，压强p（千帕）与体积V（升）成反比例函数关系．当体积为4升时，压强为100千帕．下列结论错误的是（ ） A. 函数解析式为： B. 当体积为5升时，压强为80千帕 C. 体积越大，对应的压强越大 D. 当压强为200千帕时，体积为2升 【答案】C 【解析】 【分析】先根据已知条件求出p与V的函数解析式，再结合反比例函数性质逐一判断选项即可. 【详解】解：∵p与V成反比例函数关系 ∴设 将，代入得 ，解得， ∴函数解析式为； 当时，千帕， ∵，且体积 ∴p随V的增大而减小，即体积越大，压强越小； 当时，，解得； 综上，只有选项C错误. 9. 如图，是某益智小游戏的界面示意图，游戏规则为：每点击一次按钮，“”就从一个格子向上或向下随机移动到相邻的一个格子．当“”位于格子M时，小红连续点击两次按钮，“”到达格子K的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用列举法求概率即可. 【详解】解：由题意，小红连续点击两次按钮，共有4种等可能的结果，其中到达格子K的结果只有1种， 故. 10. 如图，在中，，，，为中点，过作于，连接交于点，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由勾股定理得，由平行线等分线段定理得，即得为的中位线，得到，即得到，又由得，进而由解答即可求解． 【详解】解：，  ，  ∵， ∴， ∴， ∵为中点， ∴，即点是的中点， ∴为的中位线，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 11. 如图，边长为8的正六边形中，一束激光从的中点P出发，照射到边上的点Q处，经镜面反射后恰好经过顶点C，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】延长、交于点，作于点，于点，由正六边形的性质及等腰三角形的判定与性质得到，设，再由正六边形的性质得到相应边与角度，在中，由三角函数求出和长度，连接，证明是矩形，得到，过点作，由等腰三角形性质，解直角三角形得到，最后利用的性质列式求参数即可得到答案． 【详解】解：延长、交于点，作于点，于点，如图所示： 则， 在正六边形中，，则， 由反射光线的性质可知， ，即， ， ， ， 设，则， ， 六边形为正六边形， ， ， 是中点， ， 在中，，， ， 在正六边形中，，， ， ， ， 四边形是矩形， ，， 过点作，如图所示： 由等腰三角形三线合一性质可知平分，且是边上的中线， 在中，， ，， ， ，则， 解得， ， ． 【点睛】本题核心是光的反射的几何转化（等腰三角形）、正六边形的性质、相似三角形的应用，通过构造辅助线将反射问题转化为相似求解，关键是反射的对称性质与相似比例的应用． 12. 我国古代“律历合一”，黄钟为十二律之首，对应冬至，是古琴定音根基．三分损益法（最早见于《管子·地员篇》）为推演十二律的核心方法，规则如下：（1）三分损一：将律管长度三等分后去一份，余长为原长的，称“下生”，得纯五度高音；（2）三分益一：将律管长度三等分后增一份，新长为原长的，称“上生”，得纯四度低音；（3）以黄钟为基准律，其管长9寸，设基准律长，按“损一→益一”交替推演：第1次得林钟，第2次得太簇，第3次得南吕，第4次得姑洗，……第7次得大吕．按上述规则推演，下列结论不正确的是（ ） A. 太簇对应的律长8寸 B. C. 大吕律长在3寸与4寸之间 D. 的律长大于6寸 【答案】C 【解析】 【分析】依次计算各次律长，再验证各选项即可得到结论，用到有理数乘法运算知识． 【详解】解：根据规则，第次推演，为奇数时本次为损一，长度乘以，为偶数时本次为益一，长度乘以， 已知，依次计算得： ∵，， ∴选项A正确； ∵，， ∴，选项B正确； ∵， ∴ 选项D正确； 计算得： ，，， ∵，即不在寸与寸之间， ∴选项C错误． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 请将答案直接填写在答题卡相应位置的横线上． 13. 计算的结果等于_______． 【答案】2 【解析】 【分析】先套用平方差公式，再根据二次根式的性质计算可得． 【详解】原式=（）2﹣（）2=5﹣3=2， 故答案为：2 【点睛】本题考查二次根式的混合运算． 14. 如图，用个完全相同的小长方形拼成一个大长方形．已知大长方形的周长为，则一个小长方形的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】设小长方形的长为，宽为，根据图形和题意列出方程组求出的值，进而即可求解． 【详解】解：设小长方形的长为，宽为， 由图可得，， 解得， ∴一个小长方形的面积为． 15. 如图，在中，，，分别以点、为圆心、的长为半径画弧，交、的延长线于点、．则图中阴影部分的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】过点作于点，根据所对的直角边是斜边的一半，求出的长，根据勾股定理求出的长，根据等腰三角形三线合一，求出长，即可求出的面积，根据阴影部分的面积为即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点， ，， ，． ． ． ． ． ， ． 16. 平面直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点称为“整点”．整点每次平移的规则：横纵坐标之和除以5，若余数为0该点向下平移1个单位，若余数为1向右平移1个单位，若余数为2向上平移1个单位，若余数为3向左平移1个单位，若余数为4不动．已知整点满足，连续平移6次后恰好落在直线上，则点P平移前的横坐标为________． 【答案】8 【解析】 【分析】根据平移规则依次推导次平移后点的坐标表达式，再结合平移后点在已知直线上，联立方程求解即可得到平移前的横坐标． 【详解】解：由题意得，记第次平移后点的坐标为，为横纵坐标之和， 则，， ∴余数为， ∴第次向右平移个单位， ∴； ∴，余数为， ∴第次向上平移个单位， ∴； ∴，余数为， ∴第次向左平移个单位， ∴； ∴，余数为， ∴第次向上平移个单位， ∴； ∴，余数为， ∴第次向左平移个单位， ∴； ∴，余数为， ∴第次向上平移个单位， ∴， ∵平移次后点落在直线上， ∴满足， ∴代入得： ， 联立得， ∴两式相加得 解得． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分） 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，请将解答过程写在答题卡相应位置． 17. 计算、解不等式 （1）计算： （2）解不等式： 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先分别计算有理数的乘方，绝对值，括号内的运算，再进行乘法运算，最后进行加减计算； （2）先去括号，再移项和合并同类项，最后进行求解即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： 解得． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【详解】解： ， 当时，原式． 19. 如图，在中，，是边上的高线，延长到E，使得，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求菱形的面积． 【答案】（1）证明：∵，是边上的高线， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵是边上的高线，即， ∴四边形是菱形； （2）96 【解析】 【分析】（1）利用对角线互相平分的四边形是平行四边形证明四边形是平行四边形，利用菱形的判定定理即可得到四边形是菱形； （2）利用勾股定理求得，再利用菱形的性质求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴菱形的面积． 20. 某校对九年级部分学生的“每周（七天）课外体育锻炼时间”进行了抽样调查．将锻炼时间记为x（单位：小时），并按范围划分为四段：A．；B．；C．；D．． 调查结果整理成如下不完整的统计图表和扇形统计图： 范围 锻炼时间（小时） 频数 频率 A段 5 0.1 B段 10 m C段 n 0.4 D段 15 0.3 请认真阅读上述信息，回答下列问题： （1）本次调查的学生总人数________人；表中________，________；扇形统计图中“A段”所在扇形的圆心角度数为________； （2）若该校九年级共有600名学生，请估计每周课外体育锻炼时间在小时的学生人数； （3）请根据上述统计图表中的信息，写出一个当前该校学生体育锻炼时间分布存在的问题，并提出一条针对性的改进建议． 【答案】（1）50，，20， （2）估计每周课外体育锻炼时间在小时的学生人数约有420人； （3）解：存在的问题：该校学生平均每周运动不足4小时的人数不到一半． 建议：增加学生的课外活动时间，组织学生及时参加体育锻炼（答案不唯一）． 【解析】 【分析】（1）根据A段的频数和频率求出抽样调查的总人数，根据B段的频数是10即可求出m的值，根据C段的频率是即可求出n的值，根据A段频率，乘以即可得到圆心角的度数； （2）用样本估计总体即可得出答案；该校学生平均每周运动不足4小时的人数不到一半学生，应该多进行体育锻炼，有助于增强身体素质． 【小问1详解】 解：（人）， ， （人）， ； 【小问2详解】 解：（人）， 答：估计每周课外体育锻炼时间在小时的学生人数约有420人； 【小问3详解】 略 21. 如图，中，，以上一点O为圆心过点A作，交于点D． （1）尺规作图：作的垂直平分线，分别交、于点E、F；（不写作法，保留作图痕迹） （2）连接，求证：是的切线； （3）若，，求弧的长． 【答案】（1） 如图，直线即为所求： （2） 证明：连接， ， ， 是的垂直平分线， ， ， 是直角三角形，， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线； （3） 【解析】 【分析】（1）利用线段垂直平分线的尺规作图步骤画图即可； （2）根据线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质以及直角三角形的两锐角互余得出即可； （3）根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出，根据弧长公式即可解决问题． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：， ， ， ， ， ， 的长为． 【点睛】本题考查了切线的判定，线段的垂直平分线的画法及性质，等边对等角，弧长公式，三角形的内角和定理等知识点，解题关键是掌握切线的判定方法，线段垂直平分线的性质． 22. 保定高新区某新能源材料公司生产锂电池电解液，需将甲、乙两种原料液按一定比例混合配制．已知每毫升甲、乙两种原料液的生产成本之比为．若使用20毫升甲原料液和30毫升乙原料液进行配制，总成本为360元． （1）设每毫升甲原料液的成本为a元，用含a的代数式表示：①每毫升乙原料液的成本为________；②取用x毫升甲原料液、y毫升乙原料液时的总生产成本为________． （2）求甲、乙两种原料液每毫升的成本各是多少元． （3）按照生产标准配制电解液150毫升时，要求甲原料液用量不少于40毫升，且乙原料液用量y满足．设甲原料液用量为x毫升，总成本为w元． ①求w与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； ②当甲、乙两种原料液各取用多少毫升时，总成本最低？最低总成本是多少元？ 【答案】（1）①元；②元 （2）甲原料液成本：元毫升；乙原料液成本：8元毫升 （3）①；②甲取75毫升，乙取毫升时，总成本最低，为元 【解析】 【分析】（1）根据甲乙每毫升成本比为，甲成本为元毫升，由比例得乙成本为元毫升；取毫升甲、毫升乙，即可得到总成本； （2）根据20毫升甲、30毫升乙总成本360元，列方程，进行求解即可； （3）①根据题意得，甲用量毫升，乙用量毫升，则可得到总成本为，结合、，求出范围即可；②先判断出随增大而减小，再进行求解即可． 【小问1详解】 解：①∵甲、乙每毫升成本比为，甲为元毫升， ∴乙的成本为元毫升； ②∵取用毫升甲、毫升乙， ∴总成本为； 【小问2详解】 解：由题意得， 解得， ∴甲原料液成本：元毫升；乙原料液成本：元毫升； 【小问3详解】 解：①∵甲用量为毫升， ∴乙用量毫升， ∴总成本 ， ∵甲用量不少于40毫升，即；，即， ∴ 解得， 解得， ∴的取值范围：，函数关系式为； ②∵在函数中，， ∴随的增大而减小， ∵要使总成本最低， ∴取的最大值， 此时，甲用量：75毫升；乙用量：毫升， 最低总成本：元． 【点睛】本题核心是比例转化、一次函数最值与不等式约束，先通过比例表示乙成本，列方程求单价，再结合用量约束求函数定义域，利用一次函数单调性求最低成本． 23. 在科技节无人机编队表演中，其中两架无人机同时从地面起飞．设飞行时间为x（单位：秒），飞行高度为y（单位：米）．如图，无人机甲的飞行高度是x的二次函数，其图像经过点和点，且最高点M的坐标为；无人机乙起飞秒后上升至最高点A，此时高度为米，然后开始下降，最后与无人机甲同时落地． （1）求无人机甲高度关于飞行时间x的函数解析式； （2）在无人机乙下降过程中，两架无人机何时达到相同高度（不含落地时）？并求出此时飞行的高度． （3）在飞机整个飞行过程中，求两架无人机的最大垂直距离（垂直距离为同一时刻两机纵坐标之差的绝对值）； （4）在无人机乙下降的过程中，我们定义：最优垂直距离为“使得两架无人机的最大垂直距离尽可能小的那个距离值”．调整抛物线参数，使其经过点和，且最高点纵坐标不变，t满足，在两无人机首次与第二次处于同一高度的时段内，直接写出t为何值时，两架无人机达到最优垂直距离，并写出该最优垂直距离的值． 【答案】（1） （2）在无人机乙下降过程中，两架无人机在5秒时达到相同高度，相同高度为15米． （3） （4）当秒时，最优垂直距离为米． 【解析】 【分析】（1）直接运用待定系数法求解即可； （2）联立相应函数解析式求解即可； （3）先运用待定系数法求得无人机乙下降过程中的函数解析式，然后列绝对值方程并分类讨论求解即可； （4）由抛物线过和，最高点纵坐标不变20，设，利用待定系数法可得，然后根据两架无人机的最大垂直距离，利用二次函数的性质可得，再利用二次函数的性质结合求得的最小值，即可解答． 【小问1详解】 解：由题意可知：无人机甲的飞行高度为二次函数，已知顶点， 设顶点式． 代入点得：，解得：． 所以，即． 【小问2详解】 解：由题意可知：无人机乙下降过程是一次函数，且经过顶点， 设无人机乙下降过程的函数解析式为：， ，解得：， ∴无人机乙下降过程的函数解析式为：， 联立，解得：或（不合题意，舍去）； ∴在无人机乙下降过程中，两架无人机在5秒时达到相同高度，相同高度为15米． 【小问3详解】 解：垂直距离，分两段讨论： ① 乙起飞段：时，易得：， ， ∴对称轴为， 令，解得：或， 如图，当时，随的增大而增大， ∴时，； ∴的最大值为． ② 乙下降段：时， 令，解得：或， ∴对称轴为， 如图：当时，； 当时，； 当时，； 则当时，时，； 综上，两架无人机的最大垂直距离． 【小问4详解】 解：由抛物线过和，最高点纵坐标不变20， 设，顶点横坐标，代入顶点： ，解得：， ∴． 令， ，解得： ∵“最优垂直距离”指在时间x的取值范围为，最大垂直距离的最小值，且， ∴， ∵， ∴两架无人机的最大垂直距离， ∴抛物线开口方向向上，对称轴为，即当时，随t的增大而增大， ∵， ∴当时，有最小值， ∴当秒时，最优垂直距离为米． 24. 综合与实践： 数学活动课上，老师开展了闯关比赛活动．如图1，将矩形纸片放置在平面直角坐标系中，点为坐标原点，，．点在边或边上运动，将沿直线折叠，点的对应点为，连接，与交于点． 请完成以下闯关任务： （1）第一关·初试锋芒 如图2，当点在边上且点恰好落在边上时，完成基础探究： ①直接写出：________，________； ②此时与的位置关系是________． （2）第二关·解锁规律 ①当点为边上任意一点时，与在（1）中的位置关系还存在吗？请说明理由． ②如图3，取的中点，连接，当点从点运动到点时，求点的运动路径长．（参考数据：，，） （3）第三关·终极挑战 当到的距离为时，直接写出所有满足条件的点的坐标． 【答案】（1），；垂直 （2） 存在，仍然成立； 理由：由折叠可知，点与点关于直线对称， 根据轴对称的性质，对称轴垂直平分对应点的连线， 垂直平分， ； （3）点的坐标为或或或 【解析】 【分析】（1）由折叠可知，，，在中，利用勾股定理求得，进而得到，设，则，在中，根据勾股定理列方程求解即可； 由折叠的性质即可得解； （2）由折叠的性质即可得解； 根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，，从而得到点的运动轨迹为以为圆心，半径为的一段圆弧，当点运动到点时，根据可求得的度数，然后根据外角的性质即可得到，最后根据弧长公式求解即可； （3）分4种情况讨论：当点在边上，在上方时；当点在边上，在下方时；当点在边上，在上方时；当点在边上，在下方时；过点构造矩形，通过勾股定理解直角三角形即可得解． 【小问1详解】 解：四边形是矩形， ，，， 由折叠可知，，， 在中，， ， 设，则， 在中，， 即，解得， 即； 由折叠可知，是的对称轴，即垂直平分， ； 【小问2详解】 解：①略 由知，， ， 是的中点， ， ， ，是定值， 点的运动轨迹为以为圆心，半径为的一段圆弧， 当点在点时，点与点重合；当点运动到点时，如图所示， 此时， ， ， 点的运动路径长为； 【小问3详解】 解：当点在边上，在上方时，如图所示，过点作交于，交于，作于，则四边形、、是矩形， 当到的距离为时，即， ， ， ， ， 设，则， 在中，， 即，解得， 即， ， ； 当点在边上，到下方时，如图所示，过点作交于，交于，作于，则四边形、、是矩形， 当到的距离为时，即， ， ， ， ， 设，则， 在中，， 即，解得， 即， ， ； 当点在边上，如图所示，过点作轴交轴于，作轴于，过点作于，则四边形、、是矩形， 如图，当点在第三象限时， 当到的距离为时，即， ， ， ， 设，则， ，， 在中，， 即，解得， ， ； 如图，当点在第二象限时， 当到的距离为时，即， ， ， ， 设，则， ，， 在中，， 即， 解得， ， ； 综上，满足条件的点的坐标为或或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $