21.3 特殊的平行四边形 过关周监测（提高卷）2025-2026学年 人教版数学八年级下册

21.3 特殊的平行四边形过关周监测（提高卷） 一、细心选一选（每小题3分，共24分） 1．（菱形、矩形的性质）菱形具有而矩形不一定具有的性质是（　　）． （A）对边平行.　（B）对角线相等.　　（C）对角线互相平分.　 （D）对角线互相垂直. 2．（特殊四边形的判定）四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，设有以下论断：①AB=BC；②∠DAB=90°；③BO=DO，AO=CO；④矩形ABCD；⑤菱形ABCD；⑥正方形ABCD，则下列推理中不正确的是（　　）． （A）∵①④，∴⑥. （B）∵①③，∴⑤. （C）∵①②，∴⑥. （D）∵②③，∴④. 3．（菱形的性质）如图所示，在菱形ABCD中，AB＝5，∠BCD＝120°，则对角线AC等于（　　）． （A）20. （B）15.　　　（C）10. 　　（D）5. 4．（矩形的性质）若矩形的一条对角线与一边的夹角为，则两条对角线相交所成的锐角是（　　）． （A）. （B）. （C）. （D）. 5．（直角三角形斜边的中线等于斜边的一半）在△CAB中，∠CAB=90°，D为斜边的中点，若AC=6，AD=5．则△CAB的面积为（　　）． （A）25. （B）30. （C）24. （D）48. 6．（菱形判定的实际应用）新华网北京电：世界艾滋病日即将到来之际，中共中央总书记、中央军委主席习近平30日上午佩戴象征爱心的红丝带看望艾滋病患者．红丝带是关注艾滋病防治问题的国际性标志，人们将红丝带剪成小段，并用别针将折叠好的红丝带别在胸前，如图所示，红丝带重叠部分形成的图形是（　　）． （A）正方形. （B）平行四边形. （C）菱形. （D）矩形. 7．（正方形的性质）如图所示，正方形ABCD中，∠DAF=25°，AF交对角线BD于点E，交DC于点F，连接CE，则∠BEC的度数为（　　）． （A）50°. （B）70°. （C）60°. （D）25°. 8．（正方形的判定综合题）如图所示，△ABC中，∠BAC=90°，AD是∠BAC的平分线，AD的垂直平分线EF分别交AB、AD、AC于E、O、F，则四边形AEDF是（　　）． （A）平行四边形. （B）菱形. （C）正方形. （D）矩形. 二、精心填一填（每小题4分，共32分） 9．（菱形、正方形的性质）如图所示，菱形ABCD中，∠B=60°，AB=4，则以AC为边长的正方形ACEF的周长为________． 10．（矩形的性质）矩形ABCD的对角线AC、BD相交于O，∠AOB=2∠BOC，若对角线AC=18cm，则AD=________． 11．（菱形的判定）在四边形中，对角线、交于点，从（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）平分这六个条件中，选取三个条件得到四边形是菱形．如（1）（2）（5）得到四边形是菱形，再写出符合要求的1个：　　　　　得到四边形是菱形． 12．（直角三角形斜边中线、菱形的性质）如图所示，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，H为AD边中点，菱形ABCD的周长为24，则OH的长等于________． 13．（菱形的性质）如图所示，在平面直角坐标系中，A（－2，0），B（0，－3），C（2，0），�要使四边形ABCD成为菱形，则点D的坐标为___________． 14．（正方形的性质）正方形ABCD中，AC=20cm，M点在AD上，MN⊥AC，MP⊥BD．则MN+MP的值为_______cm． 15．（矩形中的折叠问题）如图所示，矩形纸片ABCD中，AB=4，AD=3，折叠纸片使AD边与对角线BD重合，折痕为DG，则AG的长为_______． 16．（矩形的性质）如图所示，在矩形ABCD中，AE⊥BD于E，∠DAE=3∠BAE，则∠EAC为_______． 三、耐心做一做（共44分） 17．（矩形的性质）如图所示，在矩形ABCD中，点E是BC上一点，AE＝AD，DF⊥AE，垂足为F．则DF与图中哪一条线段相等？先将你猜想出的结论填写在下面的横线上，然后再加以证明．即DF＝____________．（写出一条线段即可） 18．（矩形的判定）如图甲所示，李叔叔想要去采石场选择一块正面为矩形的石块进行雕刻，采石场各种形状的石头很多，而他随身只带了有刻度的卷尺，请你设计一种方案，帮助李叔叔检测石头的正面四边形ABCD是否为矩形（图乙供设计备用）． 19．（正方形的判定）如图所示，已知在△ABC中，AB=AC，D为BC边的中点，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F． （1）求证：△BED≌△CFD； （2）若∠A=90°，求证：四边形DFAE是正方形. 20．（菱形、正方形综合题）如图所示，正方形ABCD中，点E、F为对角线BD上两点，DE=BF． （1）四边形AECF是什么四边形？ 为什么？ （2）若EF=6cm，DE=BF=1cm，求四边形AECF的周长． 附加题： 1．（菱形的性质）如图所示，菱形ABCD的边长为2，对角线BD＝2，E、F分别是AD、CD上的两个动点，且满足AE+CF＝2． （1）求证：△BDE≌△BCF； （2）判断△BEF的形状． 2．（正方形、菱形综合题）如图所示，在四边形ABFC中，=90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且CF=AE． (1)试探究四边形BECF是什么特殊的四边形； (2)当的大小满足什么条件时，四边形BECF是正方形？请回答并证明你的结论． 参考答案： 一、细心选一选 1．D 提示：菱形、矩形的对边都平行，矩形的对角线互相平分且相等，菱形的对角线互相垂直且相等，所以选择答案D． 2．C 提示：一组邻边相等的矩形是正方形，故A正确；对角线互相平分的四边形是平行四边形，有一组邻边相等的平行四边形是菱形，故B正确；对角线互相平分的四边形是平行四边形，有一个角是直角的平行四边形是矩形，故D正确，所以选择答案C． 3．D 提示：∵四边形ABCD为菱形，∴∠B+∠BCD=180°，AB=BC 又∠BCD=120°， ∴∠B=60° ∴△ABC为等边三角形 ∴AC=AB=5． 4．C 提示：如图所示， 由矩形的性质可得△COD为等腰三角形，又一条对角线与一边的夹角为，∴锐角∠AOD=40°+40°=80°． 5．C 提示：根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得BC=10，根据勾股定理可得AB=8，所以△CAB的面积为×6×8=24． 6．C 提示：如图所示， 过点A作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F， ∵两条彩带宽度相同且对边平行， ∴AB∥CD，AD∥BC，AE=AF． ∴四边形ABCD是平行四边形． ∵S▱ABCD=BC•AE=CD•AF．又AE=AF． ∴BC=CD， ∴四边形ABCD是菱形．故选C． 7．B 提示：因为正方形的对角线平分一组对角，所以∠EDC=∠EDA=45°，从而用SAS得△ADE≌△CDE，故∠ECD=∠EAD=25°，所以∠BEC=∠ECD+∠EDC=70°． 8．C 提示：∵EF垂直平分AD ∴FA=FD ∴∠FDA=∠FAD=45° ∴∠AFD=90° 同理可得∠AED=90° ∴四边形AEDF为矩形，又FA=FD ∴四边形AEDF为正方形． 二、精心填一填 9．16 提示：∵B=60°，AB=BC ∴△ABC是等边三角形 ∴AC=AB=4 ∴正方形ACEF的周长=4×4=16． 10．9cm 提示：如图所示， ∵∠AOB=2∠BOC， ∴∠AOB=120°，∠BOC=60°， ∴∠CAB=30°． ∵AC=18cm， ∴BC=9cm，矩形ABCD中对边相等，所以AD=BC=9cm． 11．答案不唯一，如（3）（4）（5）． 12．3 提示：∵四边形ABCD是菱形 ∴AB=BC=CD=DA=6，∠AOD=90° 又∵H为AD的中点 ∴OH=AD ∴OH=3． 13．（0，3） 提示：菱形的对角线互相垂直平分，点B的坐标为（0，－3），所以点D的坐标为（0，3）． 14．10 提示：设AC与BD相交于点O，由MN⊥AC，MP⊥BD，AC⊥BD，可得四边形MNOP为矩形，所以MP=NO，又因为∠DAC=45°，所以MN=AN，所以MN+MP=AC=×20=10cm． 15． 提示：由已知可得，△ADG≌△A′DG，BD=5 ∴A′G=AG，A′D=AD=3，A′B=5-3=2，BG=4-A′G 在Rt△A′BG中，根据勾股定理可得，A′G=，所以AG=． 16．45° 提示：由∠DAE=3∠BAE，得∠BAE=22.5°， ∴∠ABE=67.5°．∵OA=OB，∴∠OAB=∠ABE=67.5°， ∴∠EAC=∠OAB－∠BAE=67.5°－22.5°=45°． 三、耐心做一做 17．解：DF＝AB或DF＝DC 证明：∵矩形ABCD， ∴∠B＝90°，AD∥BC， ∴∠DAF＝∠AEB， ∵DF⊥AE， ∴∠AFD＝∠B＝90°， 在△ADF和△EAB中， ∵∠DAF＝∠AEB，∠AFD＝∠B，AD＝AE， ∴△ADF≌△EAB，∴DF＝AB． 18．解：可根据判定设置如下方案： 方案一： ①用卷尺分别比较AB、BC、CD、DA的长度，当AB=CD、BC=DA时，四边形ABCD为平行四边形；否则四边形ABCD不是平行四边形，从而不是矩形． ②当四边形ABCD是平行四边形时，用卷尺比较对角线AC与BD的长度．当AC=BD时，四边形ABCD是矩形；否则四边形ABCD不是矩形． 方案二： ①先在AD上截取AE=3（单位据石块的大小确定），在AB上截取AF=4，然后测出EF的长度，据勾股定理逆定理若EF=5说明∠A为直角；否则不是直角，从而不是矩形． ②当∠A为直角时，再用同样的方法测量另外两个角是否也为直角，若总共有三个角为直角则为矩形，否则不是． 19．解：（1）∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴∠BED=∠CFD=90°， ∵AB=AC，∴∠B=∠C. ∵D是BC的中点，∴BD=CD， ∴△BED≌△CFD； （2）∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴∠AED=∠AFD=90°， ∵∠A=90°， ∴四边形DFAE为矩形. ∵△BED≌△CFD， ∴DE=DF， ∴四边形DFAE为正方形． 20．解：（1）四边形AECF是菱形 证明：连接AC，交BD于点O ∵四边形ABCD为正方形 ∴AC⊥BD，AO=OC=DO=OB 又∵DE=BF ∴DO－DE=OB－BF 即OE=OF 又∵AC⊥EF，AO=OC ∴四边形AECF为菱形； （2）解：OE=EF=3cm，OA=OD=3+1=4 (cm) 在Rt△AOE中 AE==5cm ∵四边形AECF为菱形 ∴周长为：5×4=20 (cm)． 附加题： 1．解：（1）∵菱形ABCD的边长为2，BD＝2， ∴BD＝BC，且∠BDE＝∠BCF＝60°． ∵AE+CF＝2，AE+DE＝AD＝2， ∴DE＝CF． ∴△BDE≌△BCF； （2）△BEF是等边三角形． 理由如下： 由（1）得△BDE≌△BCF， ∴BE＝BF，∠CBF＝∠DBE． 即∠EBF＝∠EBD+∠DBF＝∠CBF+∠DBF＝60°． ∴△BEF是等边三角形． 2．解：（1）四边形BECF是菱形． 证明：∵EF垂直平分BC ∴BF=FC，BE=EC，∴∠1＝∠2 ∵∠ACB=90° ∴∠1+∠4=90°，∠3+∠2=90° ∴∠3=∠4 ∴EC=AE ∴BE=AE，又∵CF=AE ∴BE=EC=CF=BF ∴四边形BECF是菱形； （2）当∠A=45°时，菱形BECF是正方形． 证明：∵∠A=45°，∠ACB=90° ∴∠1=45° ∴∠EBF=2∠1=90° ∴菱形BECF是正方形． 学科网（北京）股份有限公司 $