精品解析：山东省淄博市张店区龙凤苑中学2024-2025学年下学期3月月考数学试题

龙凤苑中学初三下月考数学试卷 一、选择题（共11小题） 1. 如图，正方形中，点E是对角线上的一点，且，连接，则的度数为（ ） A. B. C. D. 2. 要使成为矩形，下列添加的条件中，正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则下列比例式成立的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，，，．将沿图中的虚线剪开，下列四种剪法中，剪下的阴影三角形与相似的是（ ） A. ①②③④ B. ①②④ C. ①② D. ③④ 5. 如图，在四边形中，已知，添加下列一个条件后，仍不能判定的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图是我们铜仁少数民族工艺品商店的货架，其中，，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 7. 已知线段，，，求作线段x，使，则下列作图中（）作法正确的是（　　） A. B. C. D. 8. 如图，设是四边形的对角线、的交点，若，且，，，，则（） A. B. C. D. 9. 如图，已知菱形的边长为6，点是对角线上的一动点，且，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，线段AB＝1，点P1是线段AB的黄金分割点(且AP1＜BP1，即P1B2＝AP1•AB)，点P2是线段AP1的黄金分割点(AP2＜P1P2)，点P3是线段AP2的黄金分割点(AP3＜P2P3)，…，依此类推，则线段AP2017的长度是(　　) A. ()2017 B. ()2017 C. ()2017 D. (﹣2)1008 11. 如图，在正方形ABCD中，点E是边BC的中点，连接AE、DE，分别交BD、AC于点P、Q，过点P作PF⊥AE交CB的延长线于F，下列结论： ①∠AED+∠EAC+∠EDB＝90°， ②AP＝FP， ③AE＝AO， ④若四边形OPEQ的面积为4，则该正方形ABCD的面积为36， ⑤CE•EF＝EQ•DE． 其中正确的结论有（　　） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 二、填空题（共4小题） 12. 如图，四边形是菱形，，，于，则_____． 13. 已知，且，则的值为______． 14. 如图，利用标杆测量楼高，点C，A，B在同一直线上，，垂足分别为A，B．若测得影长米，米，影长米，则楼高为______米． 15. 如图，在中，为的中点，F为边上一点,连接交干点E；若，则长为__________. 三、解答题（共8小题） 16. 如图，已知，，，，求的长． 17. 如图，点A是菱形对角线的交点，，，连接，交于点O． （1）求证：四边形是矩形； （2）探究：当______时，四边形是正方形，并证明你的结论． 18. 如图，在四边形中，，连接、，点、分别是、的中点，求证：． 19. 如图，在矩形纸片ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，将矩形纸片折叠，使点C与点A重合，请在图中画出折痕，并求折痕的长． 20. 如图，在矩形中，，，点P从点D出发向点A运动，运动到点A即停止；同时点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止．点P、Q的速度都是，连接，设点P、Q运动的时间为． （1）当t为何值时，四边形是矩形？ （2）当t为何值时，四边形是菱形？求出此时菱形的面积． 21. 在中，点D、E分别在边、上，与交于点F. 若平分，． （1）求证： ； （2）若，交边的延长线于点G，求证：． 22. （1）[基础巩固]如图①，在三角形纸片ABC中，，将折叠，使点B与点C重合，折痕为MN，则AM与BM的数量关系为______； （2）[思维提高]如图②，在三角形纸片ABC中，，，将折叠，使点B与点C重合，折痕为MN，求的值； （3）[拓展延伸]如图③，在三角形纸片ABC中，，，，将沿过顶点C的直线折叠，使点B落在边AC上的点处，折痕为CM．求线段AC的长； 23. （1）如图1，已知矩形中，点是上的一动点，过点作于点，于点，于点，试证明； （2）若点在的延长线上，如图2，过点作于点，的延长线于点，于点，则、、三者之间具有怎样的数量关系，直接写出你的猜想； （3）如图3，是正方形的对角线，在上，且，连接，点是上任一点，于点，于点，猜想、、之间具有怎样的数量关系，直接写出你的猜想； （4）观察图1、图2、图3的特性，请你根据这一特性构造一个图形，使它仍然具有、、这样的线段的关系，并满足（1）或（2）的结论，写出相关题设的条件和结论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 龙凤苑中学初三下月考数学试卷 一、选择题（共11小题） 1. 如图，正方形中，点E是对角线上的一点，且，连接，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的判定和性质，根据正方形的性质，得到，，进而得到，又因为，推出，进而即可求解． 【详解】解：四边形是正方形， ，， ， ， ， 故选：B． 2. 要使成为矩形，下列添加的条件中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定定理，矩形的判定方法有：有一个角是直角的平行四边形是矩形；有三个角是直角的四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形；由此逐项判断即可得出答案． 【详解】解：A、添加，可以证明成为菱形，故此选项不符合题意； B、添加，可以证明成为菱形，故此选项不符合题意； C、添加，不可以证明是矩形，故此选项不符合题意； D、添加，可以证明是矩形，故此选项符合题意； 故选：D． 3. 已知，则下列比例式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查比例的基本性质，掌握性质是解决问题的关键．根据两内项之积等于两外项之积，逐一验证各选项是否与原等式一致即可． 【详解】A、 由得，即，与原式不符，错误； B、 由得，即，与原式完全一致，正确； C、 由得，与原式矛盾，错误； D、 由得，即，同样与原式不符，错误． 故选：B． 4. 如图，在中，，，．将沿图中的虚线剪开，下列四种剪法中，剪下的阴影三角形与相似的是（ ） A. ①②③④ B. ①②④ C. ①② D. ③④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键．根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可． 【详解】解：①阴影部分的三角形与原三角形只有一个角对应相等，故两三角形不一定相似； ②阴影部分的三角形与原三角形仅有一个角对应相等，故两三角形不一定相似； ③两三角形对应边不仅满足，且夹角相等，故两三角形相似； ④两三角形对应边不仅满足，且夹角相等，故两三角形相似； 故正确的有：③④， 故选：D． 5. 如图，在四边形中，已知，添加下列一个条件后，仍不能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定定理，熟知相似三角形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：由，结合，可以根据两组角对应相等的两个相似三角形得到，故A不符合题意； 由得到，结合，不可以得到，故B符合题意； 由，结合，可以根据两组角对应相等的两个相似三角形得到，故C不符合题意； 由，结合，可以根据两组边对应成比例且它们的夹角相等的两个相似三角形得到，故D不符合题意； 故选：B． 6. 如图是我们铜仁少数民族工艺品商店的货架，其中，，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理．首先根据可得：，根据，，，可以求出的长度，再根据求出的长度． 【详解】解：， ，，， ， 解得：， ． 故选：C． 7. 已知线段，，，求作线段x，使，则下列作图中（）作法正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例定理判断即可． 【详解】选项A中，由可得：，即有，不合题意； 选项B中，由可得：，即有，不合题意； 选项C中，由可得：，即有，不合题意； 选项D中， ∵， ∴， ∴， 故选项D符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查作图﹣复杂作图，平行线分线段成比例定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 8. 如图，设是四边形的对角线、的交点，若，且，，，，则（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，相似三角形的判定与性质等知识，过作交延长线于点，根据平行线的性质得到证明得到再证明即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：过作交延长线于点，如图： 故选：C． 9. 如图，已知菱形的边长为6，点是对角线上的一动点，且，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】过点作于点，连接，根据垂线段最短，此时最短，即最小，根据菱形性质和等边三角形的性质即可求出的长，进而可得结论． 【详解】解：如图，过点作于点，连接， 菱形中，， ，， 是等边三角形， ， ， ， ， 根据垂线段最短，此时最短，即最小， 菱形的边长为6， ， ． 的最小值是． 故选：D． 【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握菱形的性质，等边三角形的判定与性质． 10. 如图，线段AB＝1，点P1是线段AB的黄金分割点(且AP1＜BP1，即P1B2＝AP1•AB)，点P2是线段AP1的黄金分割点(AP2＜P1P2)，点P3是线段AP2的黄金分割点(AP3＜P2P3)，…，依此类推，则线段AP2017的长度是(　　) A. ()2017 B. ()2017 C. ()2017 D. (﹣2)1008 【答案】A 【解析】 【分析】根据黄金分割的定义的BP1=AB，则AP1=AB-BP1=AB=，利用同样的方法可得到AP2=AP1=，AP3=，按此规律易得APn的长度= 【详解】解答：解：∵线段AB=1，点P1是线段AB的黄金分割点（AP1＜BP1）， ∴BP1=AB ∴AP1=AB-BP1=AB=， ∵点P2是线段AP1的黄金分割点（AP2＜P1P2）， ∴ ∴AP2=AP1-P1P2= 同理可得AP3= ∴AP2017= 故选A. 【点睛】此题重点考查学生对黄金分割的理解，理解黄金分割点是解题的关键. 11. 如图，在正方形ABCD中，点E是边BC的中点，连接AE、DE，分别交BD、AC于点P、Q，过点P作PF⊥AE交CB的延长线于F，下列结论： ①∠AED+∠EAC+∠EDB＝90°， ②AP＝FP， ③AE＝AO， ④若四边形OPEQ的面积为4，则该正方形ABCD的面积为36， ⑤CE•EF＝EQ•DE． 其中正确的结论有（　　） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 【答案】B 【解析】 【分析】①正确:证明∠EOB=∠EOC=45°，再利用三角形的外角的性质即可得出答案； ②正确：利用四点共圆证明∠AFP=∠ABP=45°即可； ③正确：设BE=EC=a，求出AE，OA即可解决问题； ④错误：通过计算正方形ABCD的面积为48； ⑤正确：利用相似三角形的性质证明即可. 【详解】①正确：如图，连接OE， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AC⊥BD，OA=OC=OB=OD， ∴∠BOC=90°， ∵BE=EC， ∴∠EOB=∠EOC=45°， ∵∠EOB＝∠EDB+∠OED，∠EOC=∠EAC+∠AEO， ∴∠AED+∠EAC+∠EDO=∠EAC+∠AEO+∠OED+∠EDB=90°，故①正确； ②正确：如图，连接AF， ∵PF⊥AE， ∴∠APF=∠ABF=90°， ∴A，P，B，F四点共圆， ∴∠AFP=∠ABP＝45°， ∴∠PAF=∠PFA＝45°， ∴PA=PF，故②正确； ③正确：设BE=EC=a，则AE＝a，OA＝OC＝OB＝OD＝a， ∴，即AE＝AO，故③正确； ④错误：根据对称性可知，， ∴==2， ∵OB=OD，BE=EC， ∴CD=2OE，OECD， ∴ ， ， ∴， ， ∴， ∴，故④错误； ⑤正确：∵∠EPF=∠DCE=90°，∠PEF=∠DEC， ∴， ∴， ∴EQ=PE， ∴CE•EF=EQ•DE，故⑤正确； 综上所诉一共有4个正确，故选：B． 【点睛】本题主要考查了三角形外角性质、四点共圆问题、全等与相似三角形的综合运用，熟练掌握相关概念与方法是解题关键. 二、填空题（共4小题） 12. 如图，四边形是菱形，，，于，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了菱形的性质以及勾股定理．注意菱形的面积等于对角线积的一半或底乘以高． 由四边形是菱形，，，可求得此菱形的面积与的长，求得答案． 【详解】解：设与交于， ∵四边形是菱形，，， ∴，， ， ∴，， ∵， ∴ ． 故答案为：． 13. 已知，且，则的值为______． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，利用“设法”表示出、、求解更加简便． 设比值为，然后用表示出、、，再代入等式求出的值，即可得解． 【详解】解：设， 则，，， ， ， 解得， ， 故答案为：． 14. 如图，利用标杆测量楼高，点C，A，B在同一直线上，，垂足分别为A，B．若测得影长米，米，影长米，则楼高为______米． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，根据题意可得：，从而可得，再根据垂直定义可得，然后证明，从而利用相似三角形的性质进行计算，即可解答． 【详解】解：由题意得：， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴楼高为12米， 故答案为：12． 15. 如图，在中，为的中点，F为边上一点,连接交干点E；若，则长为__________. 【答案】 【解析】 【分析】本题是相似三角形综合题．作出适当的辅助线是解答本题的关键；延长到H，使，作交于G，可得，结合，，进而即可求解． 【详解】解：如图，延长到H，使，作交于G． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴． ∵， ∴ × ， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵=， ∴， ∴． 故答案为：． 三、解答题（共8小题） 16. 如图，已知，，，，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例即可进行解答． 【详解】解：∵， ∴ ， 又∵，，， ∴ ， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例，解题的关键是两条线段被一组平行线所截的对应线段成比例． 17. 如图，点A是菱形对角线的交点，，，连接，交于点O． （1）求证：四边形是矩形； （2）探究：当______时，四边形是正方形，并证明你的结论． 【答案】（1）证明见解析 （2）当，四边形是正方形，证明见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，矩形的判定，正方形的性质与判定： （1）根据，判定四边形是平行四边形，根据菱形的性质可得，从而证得四边形是矩形； （2）当，可证明四边形是正方形，得到，据此可证明四边形是正方形． 【小问1详解】 证明：，， 四边形是平行四边形， 四边形是菱形， ， ， 四边形是矩形； 【小问2详解】 解：当，四边形是正方形，证明如下： ∵四边形是菱形，， ∴四边形是正方形， ∴， ∵四边形是矩形， ∴四边形是正方形． 18. 如图，在四边形中，，连接、，点、分别是、的中点，求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】连接、，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，，即，再根据等腰三角形的三线合一即可得到结论． 【详解】证明：连接、，如图． ，为的中点， ，， ， 又为的中点， ． 【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，以及等腰三角形的三线合一，正确连出辅助线是解题的关键． 19. 如图，在矩形纸片ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，将矩形纸片折叠，使点C与点A重合，请在图中画出折痕，并求折痕的长． 【答案】图详见解析，折痕长cm． 【解析】 【分析】连接AC，作出AC的垂直平分线，分别交AD、AC、BC于点E、O、F，EF即为折痕；根据勾股定理求出AC的长，根据翻折变换的性质可得AC⊥EF，OA=OC=AC，再利用∠ACB的正切列式求出OF的长，再证明△AOE≌△COF，根据全等三角形对应边相等可得OE=OF，由此即可求得EF的长． 【详解】如图所示，EF即为折痕； ∵AB=6cm，BC=8cm， ∴由勾股定理可得，AC=10cm， ∵折叠后点C与点A重合， ∴AC⊥EF，OA=OC=AC=×10=5cm， ∵tan∠ACB= ， ∴ ， 解得OF=cm， ∵矩形对边AD∥BC， ∴∠OAE=∠OCF， 在△AOE和△COF中， ， ∴△AOE≌△COF（ASA）， ∴OE=OF=cm， ∴折痕EF=+=cm． 【点睛】本题考查了翻折变换的性质，矩形的性质，勾股定理，锐角三角函数的定义，全等三角形的判定与性质，熟记各性质是解题的关键． 20. 如图，在矩形中，，，点P从点D出发向点A运动，运动到点A即停止；同时点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止．点P、Q的速度都是，连接，设点P、Q运动的时间为． （1）当t为何值时，四边形是矩形？ （2）当t为何值时，四边形是菱形？求出此时菱形的面积． 【答案】（1）当时，四边形是矩形 （2）当时，四边形是菱形，菱形的面积是 【解析】 【分析】本题考查矩形的判定，菱形的判定和性质．掌握相关判定方法和性质，是解题的关键． （1）根据题意，得到当时，四边形是矩形，列出方程进行求解即可； （2）根据题意，得到当四边形是菱形时，，列出方程求出的值，根据菱形的面积公式求出面积即可． 【小问1详解】 解：由题意，得：， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 当四边形是矩形时，， ∴， 解得：， ∴当时，四边形是矩形； 【小问2详解】 ∵， ∴， 当四边形是菱形时，， ∴， 解得：， 当时，， ∴， 菱形的面积为． 21. 在中，点D、E分别在边、上，与交于点F. 若平分，． （1）求证： ； （2）若，交边的延长线于点G，求证：． 【答案】（1）见详解 （2）见详解 【解析】 【分析】（1）先根据“两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似”可得，则可得，再根据“等角的补角相等”可得，进而可得； （2）先证，，然后根据“两角对应相等，两三角形相似”可得，则可得，进而可得，再由可得，由此可得． 本题主要考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【小问1详解】 证明：∵平分， ∴， 又∵， ， ， ， 又， ， 又， ． 【小问2详解】 证明：∵， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 22. （1）[基础巩固]如图①，在三角形纸片ABC中，，将折叠，使点B与点C重合，折痕为MN，则AM与BM的数量关系为______； （2）[思维提高]如图②，在三角形纸片ABC中，，，将折叠，使点B与点C重合，折痕为MN，求的值； （3）[拓展延伸]如图③，在三角形纸片ABC中，，，，将沿过顶点C的直线折叠，使点B落在边AC上的点处，折痕为CM．求线段AC的长； 【答案】（1）AM＝BM （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用平行线分线段成比例定理解决问题即可； （2）利用相似三角形的性质求出BM，AM即可； （3）证明△BCM∽△BAC，推出，由此即可解决问题． 【小问1详解】 解：如图①中， ∵△ABC折叠，使点B与点C重合，折痕为MN， ∴MN垂直平分线段BC， ∴CN＝BN， ∵∠MNB＝∠ACB＝90°， ∴MN∥AC， ∵CN＝BN， ∴AM＝BM． 故答案为AM＝BM． 【小问2详解】 如图②中， ∵CA＝CB＝6， ∴∠A＝∠B， 由题意MN垂直平分线段BC， ∴BM＝CM， ∴∠B＝∠MCB， ∴∠BCM＝∠A， ∵∠B＝∠B， ∴△BCM∽△BAC， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【小问3详解】 如图③中， 由折叠的性质可知，CB＝CB′＝6，∠BCM＝∠ACM， ∵∠ACB＝2∠A， ∴∠BCM＝∠A， ∵∠B＝∠B， ∴△BCM∽△BAC， ∴ ∴， ∴BM＝4， ∴AM＝CM＝5， ∴， ∴． 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考压轴题． 23. （1）如图1，已知矩形中，点是上的一动点，过点作于点，于点，于点，试证明； （2）若点在的延长线上，如图2，过点作于点，的延长线于点，于点，则、、三者之间具有怎样的数量关系，直接写出你的猜想； （3）如图3，是正方形的对角线，在上，且，连接，点是上任一点，于点，于点，猜想、、之间具有怎样的数量关系，直接写出你的猜想； （4）观察图1、图2、图3的特性，请你根据这一特性构造一个图形，使它仍然具有、、这样的线段的关系，并满足（1）或（2）的结论，写出相关题设的条件和结论． 【答案】（1）详见解析；（2）；（3）；（4）条件：点是等腰三角形底边所在直线上的任意一点，点到两腰的距离的和（或差）等于这个等腰三角形腰上的高．结论： 【解析】 【分析】（1）过作于点，由矩形得到，且互相平分，，然后证明出，得到，进而证明即可； （2）过作于点，同理可证，即可证明； （3）连接和，交于O，由正方形的性质得出，，由三角形面积关系得出，证出，即可得出结论； （4）由图1、图2、图3的特性求解即可． 【详解】解：（1）证明：过作于点，如图： ∵， ∴四边形是矩形 ∴， ∴ ∵四边形是矩形 ∴，且互相平分 ∴ ∴ ∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴，即． （2）结论： 证明：过作于点，如图： 同理可证， ∵， ∴ ∴，即； （3）解：； 连接和，交于O，如图3所示： ∵四边形是正方形， ∴，， ∵于点F，于点G， ∵， ∴， ∴， ∴． （4）由图1、图2、图3的特性可得，如图①， 条件：点是等腰三角形底边所在直线上的任意一点，点到两腰的距离的和（或差）等于这个等腰三角形腰上的高． 结论：． 【点睛】本题考查了矩形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、线段的和差等知识点，适当添加辅助线是解决问题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $