精品解析：浙江杭州学军中学2025-2026学年第二学期期中模拟考试（2）高一数学试卷

杭州学军中学2025学年第二学期期中模拟考试（2） 高一数学试卷 命题人：胡昊翔 审题人：郑日锋 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 已知复数z满足，则的虚部是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的代数形式的除法求出复数，再根据共轭复数的概念明确，根据复数虚部的概念可得的虚部. 【详解】因为， 所以. 所以的虚部为：. 故选：B 2. 水平放置的三角形的直观图如图，其中，那么原三角形是一个（ ） A. 等边三角形 B. 腰和底边不相等的等腰三角形 C. 直角三角形 D. 钝角三角形 【答案】B 【解析】 【分析】利用斜二测画法的性质即可求解原图性质. 【详解】结合直观图的画法，画出原如下图： 其中，, 所以，. 所以为等腰三角形，且腰和底边不相等. 故选：B 3. 设a，b表示两条不重合的直线，表示两个不重合的平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若a，b是两条平行直线，且，则 B. 若a，b是两条异面直线，与a，b都相交的两条直线是异面直线 C. 若，则 D. 若a，b是两条异面直线，且，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间中直线与平面的位置关系的相关定理，结合举例，对每个选项逐一进行分析判断. 【详解】对A：若a，b是两条平行直线，且，则或，故A错误； 对B：若a，b是两条异面直线，与a，b都相交的两条直线可能相交，如a，b是异面直线，在直线上取一点，在直线上取两点、，连接，，则与相交于点，并非异面直线，故B错误； 对C：若，则与平面的关系不能确定，故C错误； 对D：如图： 过直线作平面，且，因为，所以， 又因为，，所以， 因为，是异面直线，所以直线、不平行，又， 所以，为相交直线，设交点为， 又，所以，故D正确. 故选：D 4. 已知函数，现将函数的图象上所有点的纵坐标缩短到原来的，横坐标不变，得到函数的图象，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据图象的伸缩变换得到函数的解析式即可求解. 【详解】将函数的图象上所有点的纵坐标缩短到原来的，横坐标不变，可得的图象， 所以． 故选：D. 5. 如图，在中，为上一点，且满足，若则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用向量的线性运算及三点共线的条件，再利用平面向量的基本定理及向量的数量积的运算律即可求解. 【详解】因为所以 因为三点共线， 所以即, 又因为， 所以,且为不共线的非零向量， 所以，解得， 所以， 所以 . 故选：B. 6. 在正三棱柱中，，为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】记的中点为，连接，在等腰三角形中即可得解. 【详解】记的中点为，连接， 因为为棱的中点，所以， 易知， 所以为等腰三角形，为锐角， 所以即为异面直线与所成角， 记的中点为，则， 即异面直线与所成角的余弦值为. 故选：D 7. 已知平面向量，，，且已知向量与所成的角为，且对任意实数恒成立，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】先用平方去掉条件中的绝对值号，通过解不等式求出，再用向量的三角不等式求最小值. 【详解】平方去绝对值号，由，则， 根据向量与的条件可得， 化简可得， 令，由于函数开口向上，所以需要满足，所以. 观察所求式子内部，两者相减可将约掉，所以可用向量的三角不等式求解， 即， 又， 则的最小值为 8. 已知函数（）在上单调递增，且在上有且仅有1个零点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意，利用正弦函数的零点和单调性求出的取值范围 【详解】当，， 函数（）在上单调递增， 所以，所以 当，， 且， 在上有且仅有1个零点， 所以或， 所以或， 综上的取值范围为， 故选：C 二、多选题（每题6分，共18分） 9. 已知，下列说法正确的是（ ） A. 若，在区间上单调 B. 若关于直线轴对称，则 C. 若，且为的一个对称中心，则 D. 若，在区间上的最大值与最小值的差的最大值是 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，由辅助角公式结合正弦函数的单调性可判断其正误；对于B，利用特值法先求出，再验证后可判断B的正误；对于C，根据对称中心的性质求出，从而求并判断C的正误，对于D，利用正弦函数的性质结合辅助角可判断何时最值之差最大，求出最值后可判断D的正误. 【详解】对于A：当时，， 因为，所以， 因为函数在上不单调， 所以函数在区间上不单调.故A错误； 对于B：若关于直线轴对称，故， 所以，故，此时， 而，故确为对称轴，故B正确. 对于C：时，为的一个对称中心， 所以，故， 所以，故C正确； 对D：当时，， 其中，，且， 当时，， 由正弦函数的图像得，在同一单调区间上时最大值与最小值的差才可能最大， 即求与的差的绝对值何时最大， 令 ， 当即，时 ，.故D正确. 10. 已知，，是互不相等的非零向量，其中，是互相垂直的单位向量，，记，，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则O，A，B，C四点在同一个圆上 B. 若，则的最大值为2 C. 若，则的最大值为 D. 若，则的最小值为 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A选项，，后由可得答案. 对于B选项，由A分析可知，O，A，B，C四点在同一个圆上.又，则其长度为圆上弦的长度. 对于C选项，由题可得A，B，C均在以为圆心、1为半径的圆上，设，又，则. 表示出后可得答案. 对于D选项，由结合C选项分析，得， 又由，可得，后由重要不等式可得答案. 【详解】对于A选项，如图，若，则，所以，又，所以，所以O，A，B，C四点在同一个圆上，故A正确； 对于B选项，若，由A选项知，O，A，B，C四点在同一个圆上， 又，则其长度为圆上弦的长度.当线段为该圆的直径时，最大，且最大值等于，故B错误； 对于C选项，由题可得A，B，C均在以为圆心、1为半径的圆上， 设，又，则 .其中. 则 ， 当时取等号.故C错误. 对于D选项，由C选项分析结合可知. 又，则 ， 则由重要不等式有：. 得，当且仅当时取等号.故D正确. 故选：AD 【点睛】关键点点睛：本题涉及向量，三角函数.判断A，B选项关键为能由得到，从而可以得到O，A，B，C四点在同一个圆上. 判断C，D选项关键，为利用A，B，C在单位圆上设出其坐标，后利用向量坐标表示结合三角函数，不等式知识解决问题. 11. 若正四棱柱的底面棱长为4，侧棱长为3，且为棱的靠近点的三等分点，点在正方形的边界及其内部运动，且满足与底面的所成角，下列结论正确的是（    ） A. 点形成的轨迹长度为 B. 有且仅有一个点使得 C. 四面体的体积取值范围为 D. 线段长度最小值为 【答案】AC 【解析】 【分析】A选项，根据题意得所在区域为以为圆心，1为半径的圆在正方形内部部分（包含边界）；B选项，寻找到不止一个点使；C选项，根据点不同位置求出点到平面的距离最大值及最小值，求出最大体积和最小体积； D选项，结合的所在区域及三角形两边之和大于第三边求出长度最小值. 【详解】A选项，由线面角的定义可知，，即， 故点所在区域为以为圆心，1为半径的圆在正方形内部部分（包含边界），即圆的， 轨迹长度为，A正确； 如图，设点的轨迹与交于点， B选项，不妨点与点重合，此时， 由余弦定理可得：，则， 同理可得：，则， 故不止一个点使得，B错误； C选项，如图，平面，平面，所以， 且，，平面， 所以平面，平面，所以平面平面， 且平面平面， 因为，平面，平面， 所以平面，所以点到平面的距离相等， 如图，当点在点处时，此时点到平面的距离最大，最大距离为， 此时四面体的体积为， 当与点重合时，此时点到平面的距离最小，最小距离为， 因为，所以，所以最小体积为， 故四面体的体积取值范围为，C正确； D选项，当取最小值时，线段长度最小， 由三角形两边之和大于第三边知：当三点共线时，取得最小值， 即，则，D错误. 故选：AC. 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 已知圆锥的底面半径为2，且内切球球心与外接球球心重合，则圆锥外接球表面积为_______ 【答案】## 【解析】 【分析】根据圆锥的轴截面为正三角形，可求轴截面的外接圆半径，即为圆锥外接球半径，进而可求圆锥外接球表面积. 【详解】如图： 作圆锥的轴截面，因为等腰的内切圆与外接圆圆心相同，为，所以为等边三角形. 又. 所以，即为圆锥外接球半径. 所以圆锥外接球表面积为：. 故答案为： 13. 已知为单位向量，且向量在上的投影向量为，则与的夹角为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，求得，结合向量的夹角公式，即可求解. 【详解】由向量为单位向量，且向量在上的投影向量为， 可得，可得， 所以与的夹角为， 因为，所以. 故答案为：. 14. 已知三棱锥中，，，，，，则当三棱锥的体积最大时，二面角的余弦值为________． 【答案】## 【解析】 【分析】先证点到平面的距离为定值，再说明当为等边三角形时，面积最大，再求此时二面角的余弦值. 【详解】如图： 过作平面，垂足为，过作于，连接. 因为平面，平面，所以. 又，平面，，所以平面. 平面，所以. 因为，所以. 类似地，可证. 在中，，，， 所以，. 在中，，，所以，. 所以. 即点到平面的距离为. 在中，. 由余弦定理，得，所以， 所以，当且仅当即为等边三角形时取等号， 此时三棱锥的体积最大. 此时，看底面，如下图： 过作，交延长线于. 因为，，，所以. 设二面角为，则， 所以. 故答案为： 四、解答题（共77分） 15. 已知函数. （1）求函数的最小正周期及单调递增区间； （2）将函数的图象向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度得到的图象，若，求函数在上的取值范围. 【答案】（1）最小正周期为；； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据二倍角的正弦、余弦公式和辅助角公式计算可得，由求出最小正周期，利用整体代换法即可求出单调区间； （2）根据三角函数图象的平移变换可得，结合正弦函数的图象与性质即可求解. 【小问1详解】 因为， 所以的最小正周期为； 令，则， 所以的单调增区间为. 【小问2详解】 的图象向左平移个单位长度得到， 再向上平移1个单位长度得到， 所以.令， 因为， 又因为，所以. 所以， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以， 即函数在上的取值范围是. 16. 如图，已知四棱锥中，平面，底面为直角梯形，为中点． （1）求证： 平面； （2）求点D到平面的距离． 【答案】（1）证明见解析 （2）． 【解析】 【分析】（1）先根据已知证明四边形为平行四边形，得出，再应用线面平行判定定理得出线面平行； （2）根据线面平行判定定理得出平面，再结合等体积法及三棱锥体积公式计算求解. 【小问1详解】 取的中点G，连接， 因G、E分别为的中点，所以， 又则， 所以四边形为平行四边形，即， 又平面平面，则平面． 【小问2详解】 因平面平面，所以且， 因，所以，又，平面， 则平面，又平面，则， 由，得， 设点D到平面的距离为h，连接．则， 即， 即， 解得， 则点D到平面的距离为． 17. 在中，角的对边分别为，且，. （1）若，求的值； （2）若为锐角三角形. （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）若是的角平分线，求的取值范围. 【答案】（1） （2）（ⅰ）；（ⅱ） 【解析】 【分析】(1)先边化角，结合两角和的正弦展开式求出角再利用余弦定理求的值； (2) （ⅰ）锐角三角形中最大角必为锐角结合余弦定理写出三边关系求出的取值范围； （ⅱ）由的取值计算出的取值范围结合面积公式及倍角公式计算出的取值范围即可. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理得， ∴， ∴， ∴， 又∵，∴，∴， ∵，∴． 由余弦定理可得， ∴， ∴． 【小问2详解】 （ⅰ）已知，，， ∴，又∵△ABC为锐角三角形， 所以，即， ∴，∴． （ⅱ）因为，所以， 所以． 又∵， ∴， 化简得， 又∵，∴， ∴，∴． 18. 如图，在底面为菱形的直四棱柱中，M、N是直四棱柱上底面内相异的两点且． （1）若M为上底面的中心且，求异面直线与所成角的余弦值； （2）恰好是二面角的平面角，证明：点M在定直线上； （3）在（2）的条件下若，求直线与平面所成角的正弦值的最大值． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）． 【解析】 【分析】（1）根据题意，证得直四棱柱的底面为正方形，结合异面直线的定义，得到为异面直线与所成角，利用，即可求解； （2）根据题意，得到，证得面，得到，进而得到，证得面，得到平面与面重合，即可得到答案； （3）根据题意，证得点M为上底面中心，过M作交于K，交于L，作交于P点，证得，进而得到平面，得到直线与平面所成角，结合和基本不等式，即可求解. 【小问1详解】 解：因为在底面为菱形直四棱柱中， 可得且平面，平面， 所以且， 又因为，所以， 由直四棱柱的底面为菱形，所以底面为正方形， 因为，所以为正方体，可得， 所以为异面直线与所成角， 又因为为上底面的中心，所以. 【小问2详解】 证明：由于是二面角的平面角，则， 因为，平面，平面，所以面， 又因为面，以， 因为直四棱柱，所以且， 所以四边形是平行四边形，所以，所以， 又因为在直四棱柱中，可得平面， 因为面，则， 又因为，且平面，所以面， 由平面且平面， 又由平面与面有公共直线，可得平面与面重合， 所以点M在面内，又点M在面内，所以面， 所以点M在上． 【小问3详解】 解：因为，由（1）知底面为正方形且为长方体， 又因为，所以，所以， 因为点M在上，故点M为的中点，所以点M为上底面中心， 过M作交于K，交于L，则K为的中点，L为的中点， 作交于P点， 因为面且面，则， 又因为，平面，平面，所以平面， 则直线与平面所成角 设，则 因为，所以 所以， 当且仅当时，等号成立， 故直线与平面所成角的正弦值的最大值是． 19. 对于函数，我们把满足的实数叫做函数的不动点，满足的实数叫做函数的稳定点，记函数的不动点的集合为，函数的稳定点的集合为． （1）求函数的不动点； （2）若为定义在上的单调递增函数，求证：； （3）设，若恰好有两个稳定点，且对任意，都有，求实数的取值范围． 【答案】（1）和2； （2）证明见解析； （3）. 【解析】 【分析】（1）由定义列出方程求解即得. （2）由，利用定义证得，即；，利用单调性分类证得，即，从而得证. （3）求出函数有两个稳定点的的范围，再由任意成立取可得，，然后借助二次函数探讨与在上的值域关系即可得解. 【小问1详解】 由，得，解得或， 所以函数的不动点为和2. 【小问2详解】 若，则，因此，即，所以； 若，则，而函数是上的单调递增函数， 当时，，与矛盾， 当时，，与矛盾， 当时，，符合题意，即，，所以， 综上所述，. 【小问3详解】 由恰好有两个稳定点，得方程有且仅有两个不等实根， 即方程有且仅有两个不等实根， 整理得，此方程有且仅有两个不等实根， 当，方程化为，此方程仅有一个实根，不符合题意， 当时，则和一定是该方程的两个不同的实根， 因此方程要么无实根，要么有实根且实根只能为1或， 当方程无实根时，，解得， 当方程有根为1时，，此时方程为，其根为1，符合题意， 当方程有根为时，，此时方程为，其根为，符合题意， 因此或； 又，都有，令，得， 又，则，解得，显然，因此，即， 当时，函数的图象对称轴满足，且， 即，则在上，函数的值域为，即， 又，，即， 因此函数的值域为，即， 而，则，即成立， 所以实数的取值范围是. 【点睛】方法点睛：新定义问题的方法和技巧： ①可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解； ②可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻； ③发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律； ④如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 杭州学军中学2025学年第二学期期中模拟考试（2） 高一数学试卷 命题人：胡昊翔 审题人：郑日锋 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 已知复数z满足，则的虚部是（ ） A. B. C. D. 2. 水平放置的三角形的直观图如图，其中，那么原三角形是一个（ ） A. 等边三角形 B. 腰和底边不相等的等腰三角形 C. 直角三角形 D. 钝角三角形 3. 设a，b表示两条不重合的直线，表示两个不重合的平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若a，b是两条平行直线，且，则 B. 若a，b是两条异面直线，与a，b都相交的两条直线是异面直线 C. 若，则 D. 若a，b是两条异面直线，且，则 4. 已知函数，现将函数的图象上所有点的纵坐标缩短到原来的，横坐标不变，得到函数的图象，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，为上一点，且满足，若则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 在正三棱柱中，，为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知平面向量，，，且已知向量与所成的角为，且对任意实数恒成立，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 4 8. 已知函数（）在上单调递增，且在上有且仅有1个零点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每题6分，共18分） 9. 已知，下列说法正确的是（ ） A. 若，在区间上单调 B. 若关于直线轴对称，则 C. 若，且为的一个对称中心，则 D. 若，在区间上的最大值与最小值的差的最大值是 10. 已知，，是互不相等的非零向量，其中，是互相垂直的单位向量，，记，，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则O，A，B，C四点在同一个圆上 B. 若，则的最大值为2 C. 若，则的最大值为 D. 若，则的最小值为 11. 若正四棱柱的底面棱长为4，侧棱长为3，且为棱的靠近点的三等分点，点在正方形的边界及其内部运动，且满足与底面的所成角，下列结论正确的是（    ） A. 点形成的轨迹长度为 B. 有且仅有一个点使得 C. 四面体的体积取值范围为 D. 线段长度最小值为 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 已知圆锥的底面半径为2，且内切球球心与外接球球心重合，则圆锥外接球表面积为_______ 13. 已知为单位向量，且向量在上的投影向量为，则与的夹角为___________． 14. 已知三棱锥中，，，，，，则当三棱锥的体积最大时，二面角的余弦值为________． 四、解答题（共77分） 15. 已知函数. （1）求函数的最小正周期及单调递增区间； （2）将函数的图象向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度得到的图象，若，求函数在上的取值范围. 16. 如图，已知四棱锥中，平面，底面为直角梯形，为中点． （1）求证： 平面； （2）求点D到平面的距离． 17. 在中，角的对边分别为，且，. （1）若，求的值； （2）若为锐角三角形. （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）若是的角平分线，求的取值范围. 18. 如图，在底面为菱形的直四棱柱中，M、N是直四棱柱上底面内相异的两点且． （1）若M为上底面的中心且，求异面直线与所成角的余弦值； （2）恰好是二面角的平面角，证明：点M在定直线上； （3）在（2）的条件下若，求直线与平面所成角的正弦值的最大值． 19. 对于函数，我们把满足的实数叫做函数的不动点，满足的实数叫做函数的稳定点，记函数的不动点的集合为，函数的稳定点的集合为． （1）求函数的不动点； （2）若为定义在上的单调递增函数，求证：； （3）设，若恰好有两个稳定点，且对任意，都有，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $