第八章 实数 习题课件 2025-2026学年数学人教版七年级下册

8.3　实数及其简单运算 第1课时 达标组　夯基础 进阶组　提能力 培优组　育素养 达标组　夯基础 知识点1　无理数的概念及实数的分类 1.(2025·江西中考)下列各数中,是无理数的是( ) A.0 B. C.3.14 D. 2.(新素材·趣味数学)实数庄园将组建三支代表队参加“体育嘉年华”活动,请仔细辨别下列“数字选手”:0,-8,,,π,0.505,将它们填在各自所属的代表队里. 整数代表队:{_________};  无理数代表队:{_________}.  B 　0,-8　  ,π　 ‹#› 知识点2　实数的性质及应用 3.(2025·广元中考)的相反数是( ) A.-4 B.-2 C.2 D.4 4.点M在数轴上与原点相距个单位长度,则点M表示的实数为__________.  B 　±　 ‹#› 5.求下列各数的相反数. (1)2.5;　(2)-;　(3)-;　(4)-. 【解析】(1)2.5的相反数是-2.5; (2)-的相反数是; (3)-的相反数是-; (4)-的相反数:-. ‹#› 6.已知实数a,b互为相反数,c,d互为倒数,x的绝对值为,求代数式(a+b+cd)x+-的值. 【解析】因为a,b互为相反数, 所以a+b=0. 因为c,d互为倒数,所以cd=1. 因为x的绝对值为=7,所以x=±7. 当x=7时, 原式=(0+1)×7+-=7-1=6; 当x=-7时, 原式=(0+1)×(-7)+-=-7-1=-8. 所以所求代数式的值为6或-8. ‹#› 进阶组　提能力 7.(2025·潍坊期中)下列说法正确的是( ) A.所有的无限小数都是无理数 B.带根号的数都是无理数 C.是最小的无理数 D.数轴上的每一个点都表示唯一一个实数 D ‹#› 8.(2025·南充中考)如图,把直径为1个单位长度的圆从点A沿数轴向右滚动一周,圆上点A到达点A',点A'对应的数是2,则滚动前点A对应的数是( ) A.2-2π B.π-2 C.5-2π D.2-π D ‹#› 9.(2025·郴州质检)写出一个同时符合下列三个条件的数: ____________________.  (1)是一个无理数;(2)在数轴上表示它的点在原点左侧;(3)绝对值比3小. 10.(2025·承德期末)已知3a-7和a+3是某正数m的两个平方根,佳佳通过前面条件计算发现m的立方根为无理数,m的立方根为________.  　-(答案不唯一)　  　 ‹#› 11.求x的值:|x-1|=. 【解析】当x<1时,原方程等价于1-x=, 解得x=1-; 当x≥1时,原方程等价于x-1=, 解得x=1+. ‹#› 12.(2025·温州期中)聪聪在学完实数后,对数进行分类时,发现“实数”“整数” “正数”“无理数”有如图所示的关系,请你在图中的横线上按对应序号分别填上 一个适合的数. ①_______;②_____;③_______;  ④_______;⑤_______;⑥_________.  (答案不唯一) 　-　  　 　1　  　 　-1　 　-　 ‹#› 13.已知实数x,y满足关系式+|y2-1|=0. (1)求x,y的值; (2)判断是有理数还是无理数,并说明理由. 【解析】(1)由题意, 得,得; (2)当x=2,y=1时, =,是无理数. 当x=2,y=-1时, ==2,是有理数. ‹#› 培优组　育素养 14.如图,是一个数值转换器,原理如图所示. (1)当输入的x值为16时,求输出的y值. (2)是否存在输入x值后,始终输不出y值?如果存在,请直接写出所有满足要求的x值;如果不存在,请说明理由. (3)输入一个两位数x,恰好经过两次取算术平方根才能输出无理数,则x=___________.  ‹#› 【解析】(1)=4,=2,则y=. (2)存在,当x=0或1时,始终输不出y值,若输入负数,则始终输不出y值. 综上所述,x=0或1或负数. (3)答案不唯一,如x=[()2]2=25或x=[()2]2=36或x=[()2]2=49 或x=[()2]2=64. 答案：25(答案不唯一) ‹#› 本课结束 ‹#› $8.1　平方根 第2课时 达标组　夯基础 进阶组　提能力 培优组　育素养 达标组　夯基础 知识点1　求非负数的算术平方根 1.(2025·济南模拟)9的算术平方根为( ) A.- B.3 C.-3 D. 2.求下列各数的算术平方根: 0.16,14 400,5,, (-)2. B ‹#› 【解析】0.16的算术平方根是=0.4, 14 400的算术平方根是=120, 5的算术平方根是=, 的算术平方根是=, -2的算术平方根是=. ‹#› 知识点2　算术平方根的应用 3.(2025·嘉兴期末)已知一个表面积为12平方分米的正方体,则这个正方体的棱长为( ) A.2分米　B.分米　C.分米　D.2分米 4.如图,在3×3的方格中(每个小正方形的边长为1),四边形ABCD是正方形,利用面积的关系探求正方形ABCD的边长是_______.  B  　 ‹#› 5.要制造一个底面为正方形,容积为0.96 m3的长方体容器,且长方体的高为 1.5 m. (1)求长方体的底面边长; (2)求长方体的表面积. 【解析】(1)设长方体的底面边长为x m, 则1.5x2=0.96,x2=0.64, 因为边长为正数,所以x=0.8, 答：长方体的底面边长为0.8 m. (2)长方体的表面积是2×0.82+4×0.8×1.5=6.08(m2), 答：长方体的表面积是6.08 m2. ‹#› 6.(新趋势·传统文化)《清秘藏》是明代所著工艺美术鉴赏著作,其中所述的刺绣在中国经过长时间的发展,已经形成了极高的工艺水平和独特的工艺门类.现有一张长方形绣布,长、宽之比为4∶3,绣布面积为588 cm2. (1)求绣布的周长; (2)刺绣师傅想利用这张绣布裁出一张面积为375 cm2的完整圆形绣布来绣花鸟图,她能够裁出来吗?请说明理由.(π取3) ‹#› 【解析】(1)设绣布的长为4x cm,宽为3x cm,根据题意,得4x·3x=588, 即12x2=588, 所以x2=49, 因为x>0,所以x=7, 所以绣布的长为28 cm,宽为21 cm, 周长为2×(28+21)=98(cm). (2)不能够裁出来,理由如下:设完整的圆形绣布的半径为r cm,得πr2=375, 因为π取3,所以r2=125,所以r=(负值已舍去), 因为>=11,所以2r>21,所以不能够裁出来. ‹#› 进阶组　提能力 7.的算术平方根为( ) A.±4 B.±2 C.2 D.4 8.(2025·合肥期中)连续两个正整数,较大数的算术平方根是a,则较小数的算术平方根是( ) A.a-1 B.a2-1 C. D. 9.(新趋势·知识融合)已知实数a,b满足|a+1|+=0,那么的值为( ) A.-1 B.1 C.-2 D.2 C D B ‹#› 10.(2025·上海期中)已知a,b均为正整数,如果0<-b<1,我们称b是的“主要值”,那么的主要值是_______.  11.计算:(1)×; (2)-. 【解析】(1)×=×=×=4; (2)-=20-15=5. 　8　 ‹#› 12.已知2a-1的平方根是±3,b,c满足|b-1|+=0,求a+3b+c的算术平方根. 【解析】因为2a-1的平方根是±3, 所以2a-1=9,解得a=5. 因为|b-1|+=0, 且|b-1|≥0,≥0, 所以b-1=0,c+4=0, 解得b=1,c=-4,所以a+3b+c=5+3×1+(-4)=5+3-4=4, =2,所以a+3b+c的算术平方根是2. ‹#› 13.(1)填表: a 0.012 1 1.21 121 12 100         (2)由上表你发现了什么规律?请你用语言叙述这一规律. (3)已知≈1.517,≈4.796,根据你发现的规律求,,, 的值. ‹#› 【解析】(1)因为(0.11)2=0.012 1,(1.1)2=1.21,112=121,1102=12 100, 所以从左向右,依次填入0.11,1.1,11,110; (2)规律:被开方数的小数点向右移动两位,其算术平方根的小数点向右移动一位. 或:被开方数扩大100倍,其算术平方根扩大10倍. (3)根据规律,得≈0.479 6,≈151.7, ≈0.015 17,≈479.6. ‹#› 培优组　育素养 14.(应用意识、运算能力)(2025·南宁质检)【综合与实践】如图,把图1中两个小正方形纸片分别沿对角线剪开,拼成一个面积为12 cm2的大正方形纸片如图2. (1)原小正方形的边长为___________cm;  ‹#› (2)若沿此大正方形边的方向剪出一个长方形,能否使剪出的长方形的长宽之比为2∶1,且面积为8 cm2?若能,试求出剪出的长方形纸片的长宽;若不能,试说明理由; (3)如图3是由5个边长为1的小正方形组成的纸片,能否把它剪开并拼成一个大正方形?若能,请画出示意图,并写出边的长度,若不能,请说明理由. ‹#› 【解析】(1)=; 答案： (2)不能;理由:设长方形的宽为x cm, 则x·2x=8,解得:x=2(取正数解), 所以2x=4,因为4>,故不能; (3)能,边长为,示意图如下: ‹#› 本课结束 ‹#› $第八章　实数 8.1　平方根 第1课时 达标组　夯基础 进阶组　提能力 培优组　育素养 达标组　夯基础 知识点1　求一个非负数的平方根 1.(2025·郴州质检)下列各数中一定没有平方根的是( ) A.-m B.m+2　C.-m2-6　D.-m2 2.(教材变式)x2=(-2)2,则x的值为( ) A.2 B.-2 C.±2 D.4 C C ‹#› 3.下列说法错误的是( ) A.是9的平方根 B.-是3的一个平方根 C.3的平方根为± D.是3的一个平方根 4.若x2=0.8,则x=________.  5.(2025·滨州期中)一个数具有以下两个特点:①它的平方等于7;②它是负数.这个数是_________.  A 　±2　 　-　 ‹#› 6.请将图填写完整. ‹#› 7.求下面各数的平方根. (1)13 ;　　(2);　　(3) (-)2. 【解析】(1)因为(±)2=13,所以13的平方根是±; (2)因为(±2=,所以±=±; (3)因为(±2=(-2, 所以±=±=±. ‹#› 8.(2025·厦门质检)求下列各式中x的值. (1)x2=4;　　 　 (2)x2-81=0; (3)25x2=36; (4)(x-1)2-169=0. 【解析】(1)由原等式得:x=±2; (2)原等式整理得:x2=81,则x=±9; (3)原等式整理得:x2=,则x=±; (4)原等式整理得:(x-1)2=169, 则x-1=±13,解得:x=14或x=-12. ‹#› 知识点2　平方根的性质及应用 9.已知一个正数的两个不同的平方根分别为2x+1和3-4x,则这个正数是( ) A.25 B.16 C.8 D.2 10.已知a,b满足+|b-1|=0,求b-a的平方根. 【解析】根据题意,得2a+6=0, 且b-1=0, 所以a=-3,b=1, 所以b-a=1-(-3)=1+3=4, 所以b-a的平方根为±2. A ‹#› 进阶组　提能力 11.的平方根为( ) A.7 B.±7 C.± D. 12.已知86.12≈7 413,若x2≈0.741 3,则x的值约为( ) A.86.1 B.0.861 C.±0.861 D.±86.1 13.(新趋势·知识融合)若-3xmy和5x3yn的和是单项式,则(m+n)3的平方根是( ) A.8 B.-8 C.±4 D.±8 14.(2025·重庆期中)若8xmy与6x3yn是同类项,则(m+n)3的平方根为________.  15.若a,b满足(a2+b2)2-25=0,则a2+b2=_______.  C C D 　±8　 　5　 ‹#› 16.求下列各数的平方根: (1)32+42;　　　 (2)3; (3)0;(4)-(-12). ‹#› 【解析】(1)因为32+42=52,所以±=±5,即32+42的平方根为±5. (2)因为±=±=±, 所以3的平方根是±; (3)因为±=0,所以0的平方根是0; (4)因为-(-12)=1, 所以±=±=±1, 所以-(-12)的平方根是±1. ‹#› 17.(1)如果一个正数的平方根分别是3a-5和2a-10,求这个正数. (2)若(1)中改变一下条件:“3a-5和2a-10是一个正数的平方根”,求这个正数. 【解析】(1)因为正数的平方根为3a-5和2a-10,所以3a-5+2a-10=0,解得a=3. 当a=3时,3a-5=4,2a-10=-4, 所以这个正数为(±4)2=16. (2)①由(1)知16满足条件; ②由题意,3a-5=2a-10也满足条件,此时a=-5,3a-5=-20,(-20)2=400, 综上,条件改变以后这个正数可以为400或16. ‹#› 18.(2025·西安期中)已知正实数x的平方根是m和m+b. (1)当b=8时,求m的值; (2)若m2x+(m+b)2x=4,求x的值. ‹#› 【解析】(1)因为正实数x的平方根是m和m+b,所以m+m+b=0, 因为b=8,所以2m+8=0, 所以m=-4; (2)因为正实数x的平方根是m和m+b, 所以(m+b)2=x,m2=x, 因为m2x+(m+b)2x=4, 所以x2+x2=4,所以x2=2, 因为x>0,所以x=. ‹#› 培优组　育素养 19.(创新意识、运算能力)小明是一位善于思考、勇于创新的同学.在学习了有关平方根的知识后,小明知道负数没有平方根.比如:因为没有一个数的平方等于-1,所以-1没有平方根.有一天,小明想:如果存在一个数i,使i2=-1,那么(-i)2=-1,因此 -1就有两个平方根了.进一步,小明想:因为(±2i)2=-4,所以-4的平方根就是±2i; 因为(±3i)2=-9,所以-9的平方根就是±3i.请你根据上面的信息解答下列问题: (1)求-16,-25的平方根; (2)求i,i2,i3,i4,i5,i6,i7,i8,…的值,你发现了什么规律? ‹#› 【解析】(1)因为(±4i)2=-16, 所以-16的平方根为±4i. 因为(±5i)2=-25, 所以-25的平方根为±5i. (2)i=i,i2=-1,i3=i2·i=-i,i4=(i2)2=(-1)2=1, i5=i4·i=i,i6=i5·i=i2=-1,i7=i6·i=-i,i8=i7·i=1. 规律:i的指数每增加四,结果出现一个循环,即i,-1,-i,1.   ‹#› 本课结束 ‹#› $8.2　立方根 达标组　夯基础 进阶组　提能力 培优组　育素养 达标组　夯基础 知识点1　立方根的定义、性质及求法 1.的值等于( ) A.- B. C.- D. 2.已知一个数的立方根等于它本身,则这个数是( ) A.1 B.-1 C.0 D.-1或0或1 3.(2025·武汉质检)下列等式中,错误的是( ) A.±=±8 B.-=-0.1 C.=-6 D.=±5 B D D ‹#› 4.(教材变式)已知=a-3,则a的值为_____________.  5.求下列各数的立方根: (1)-; (2)-0.008; (3); (4)36. 　2或3或4　 ‹#› 【解析】(1)因为(-)3=-, 所以-的立方根为-; (2)因为(-0.2)3=-0.008, 所以-0.008的立方根为-0.2; (3)因为()3=, 所以的立方根为; (4)因为(32)3=36, 所以36的立方根为9. ‹#› 知识点2　立方根的应用 6.现有一个正方体木块的体积是216 cm3,如果把它锯成8个相同的小正方体,则每个小正方体的表面积是________cm2.  7.小燕在测量铅球的半径时,先将铅球完全浸没在一个带刻度的圆柱形小水桶中,拿出铅球时,小燕发现小水桶中的水面下降了2 cm,小燕量得小水桶的直径为24 cm,于是她就算出了铅球的半径.你知道她是如何计算的吗?请求出铅球的半径.(球的体积公式V=πr3,r为球的半径) 　54　 ‹#› 【解析】设铅球的半径为r cm,下降的水的体积是π×()2×2=288π(cm3), 即πr3=288π, 解得r=6,所以铅球的半径是6 cm. ‹#› 8.如图,有一个长方体的水池,其长、宽、高之比为2∶2∶4,体积为16 000 cm3. (1)求长方体水池的长、宽、高; (2)当有一个半径为r的球全部放入注满水的水池中,溢出水池外的水的体积为水池体积的,该球的半径为多少?(π取3,结果精确到0.01 cm,V球=πr3) ‹#› 【解析】(1)由题意,设长方体水池的长、宽、高分别为2x cm,2x cm,4x cm, 则2x·2x·4x=16 000, 即16x3=16 000,所以x3=1 000,解得x=10, 所以长方体水池的长、宽、高分别为20 cm,20 cm,40 cm; (2)该球的半径为r cm,则πr3=×16 000,所以r3=×16 000×, 所以r≈4.05, 答：该球的半径约为4.05 cm. ‹#› 进阶组　提能力 9.(2025·台州期末)已知≈1.333,≈2.872,则≈( ) A.0.133 3 B.13.33 C.0.287 2 D.28.72 10.若把-写成整数a与正的纯小数x的和,则整数a的值为( ) A.-3 B.-4 C.-5 D.-6 11.若+(y+25)2=0,则的值为( ) A.-5 B.5 C.15 D.25 12.(2025·南通期末)已知a-1的立方根是2,b是9的算术平方根,则a-b=_______.  B C A 　6　 ‹#› 13.计算: (1);　　　(2). 【解析】(1)原式===; (2)原式===. ‹#› 14.求下列各式的值: (1)x3=64; (2)(x-1)3=-8; (3)x3+1=-; (4)(2x+3)3=54. 【解析】(1)x3=64, x=4; (2)(x-1)3=-8, x-1=-2,解得:x=-1; ‹#› (3)x3+1=-, x3=-,x=-; (4)(2x+3)3=54, (2x+3)3=216, 2x+3=6,解得x=. ‹#› 15.已知某正数的平方根分别是2a-7和a+4,b-12的立方根为-2. (1)求a,b的值; (2)求5a+b的算术平方根. 【解析】(1)因为某正数的平方根是2a-7和a+4,所以2a-7+a+4=0,解得a=1, 因为b-12的立方根为-2, 所以b-12=(-2)3, 所以b-12=-8,解得b=4, 所以a=1,b=4; (2)因为5a+b=5+4=9, 所以5a+b的算术平方根为3. ‹#› 培优组　育素养 16.(应用意识、运算能力)在一次设计比赛中,甲、乙两位参赛选手每人得到一块体积为1 m3的可塑性原料,甲用这块原料加工成一个正方体的雕塑,乙用这块原料加工成一个球体雕塑.若规定雕塑的高度不得超过1 m,且加工过程中不许有损耗. (1)请判断甲、乙两人谁的作品符合要求,并说明理由; (2)甲、乙两人所做的作品中哪一件表面积较大? ‹#› 【解析】(1)甲的作品符合要求,乙的作品不符合要求. 理由如下: 设正方体的棱长为x m,球体雕塑的半径为y m, 根据题意可得:x3=1,πy3=1, 所以x=1,y=. 所以x=1,2y=2×>1, 所以甲的作品符合要求,乙的作品不符合要求. ‹#› (2)因为x=1,y=, 所以正方体的表面积为6×12=6(m2), 球的表面积为4π×()2=(m2). 因为63=216>36π, 所以6>,所以甲所做的作品的表面积较大. ‹#› 本课结束 ‹#› $8.3　实数及其简单运算 第2课时 达标组　夯基础 进阶组　提能力 培优组　育素养 达标组　夯基础 知识点1　实数的运算 1.计算-的值为( ) A.2 B.-2 C.4 D.-4 2.化简|-2|+-1的结果为( ) A.2+1 B.1 C.2-1 D.-1 3.(2025·资阳中考)已知数轴上点A所表示的数是,则与点A相距2个单位长度的点表示的数是( ) A.+2或-2　　 B.2+或2-　 C.+2 D.-2 D B A ‹#› 4.(2025·浙江中考)+=_______.  5.计算: (1)++; (2)3+(-)-. 　2　 ‹#› 【解析】(1)++ =5+-2 =; (2)3+(-)- =3+-- =(3-1) =2. ‹#› 知识点2　无理数的估算与近似运算 6.(2025·扬州中考)如图,数轴上点A表示的数可能是( ) A. B. C. D. C ‹#› 7.(2025·湖南中考)下列四个数中,最大的数是( ) A.3.5 B. C.0 D.-1 8.估计-3的值应在( ) A.0和1之间 B.1和2之间 C.2和3之间 D.3和4之间 9.用“>”“<”或“=”填空:_______1.  10.m,n是连续的两个整数,若m<<n,则m+n的值为_______.  A C 　>　 　5　 ‹#› 11.在数轴上表示下列各数,并把它们按从小到大的顺序排列,用“<”连接: -0., -, , 0, π. 【解析】在数轴上表示各数如图所示,把它们按从小到大的顺序排列, 则-<-0.<0<<π. ‹#› 进阶组　提能力 12.(2025·杭州期末)若记a=-2,b=-,c=-,则a,b,c的大小关系是( ) A.a<b<c B.b<a<c C.c<a<b D.c<b<a 13.(2025·中山质检)现对实数a,b定义一种运算:a※b=ab+a-b.则※等于( ) A.-6 B.-2 C.2 D.6 B B ‹#› 14.一个点从数轴上的原点开始,先向右移动3个单位长度,再向左移动5个单位长度,可以看到终点对应的数是-2,已知点A,B是数轴上的点,完成下列各题: (1)如果点A对应的数是-3,将点A向右移动个单位长度,那么终点B对应的实数是___________,A,B两点间的距离是_______.  (2)如果点A对应的实数是3,将点A向左移动个单位长度,再向右移动5个单位长度,那么终点B对应的实数是__________,A,B两点间的距离是__________.  (3)一般地,如果点A对应的实数为a,将点A向右移动b(b>0)个单位长度,再向左移动c(c>0)个单位长度,那么终点B对应的实数是__________,A,B两点间的距离是_________.  　-3+　  　 　8-　 　5-　 　a+b-c　 　|b-c|　 ‹#› 15.计算:+-. 【解析】原式=3+4-2=7-2=5. ‹#› 16.比较下列各组数的大小. (1)6,,; (2)-和1-. 【解析】(1)因为<,所以<4, 因为6=, 所以<6<; (2)因为-≈-0.7,1-≈-1.2, 所以->1-. ‹#› 17.已知a-1的平方根是±2,b+2是-27的立方根,c是的整数部分. (1)求a+b+c的值; (2)若x是的小数部分,求x-+10的平方根. ‹#› 【解析】(1)根据题意,a-1=(±2)2=4,=-3=b+2,<<, 所以a=5,b=-5,c=3, 所以a+b+c=5-5+3=3; (2)因为<<, 即3<<4, 所以x=-3, 所以x-+10=-3-+10=7, 所以x-+10的平方根是±. ‹#› 培优组　育素养 18.(几何直观、运算能力)观察图形,每个小正方形的边长为1. (1)图中阴影正方形的面积是___________,边长是___________,  (2)已知x为阴影正方形边长的小数部分,y为的整数部分. 求:①x,y的值;②(x+y)2的算术平方根. ‹#› 【解析】(1)根据题意可得, S阴=S大正方形-4S三角形 =52-4××3×2 =13, 则阴影正方形的边长为. 答案：13　 ‹#› (2)①因为<<,<<, 所以3<<4,3<<4, 所以x=-3,y=3. ②===.   ‹#› 本课结束 ‹#› $