四川成都市蓉城名校联盟(金堂中学校等学校)2025-2026学年高三下学期4月联考数学试卷

高三年级 数学 考试时间120分钟，满分150分 注意事项： 1、答题前，考生务必在答题卡上将自已的姓名、座位号、考箱号用0.5毫米的黑色签 字笔填写消楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“贴条形码区”。 2、选择题使用2B铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用枚皮擦 擦干净后再填涂其它答案：非选择题用0.5毫米的照色签字笔在答题卡的对应区域内作 答，超出答题区域答题的答案无效：在草愁纸上、试卷上答题无效。 3、考试结束后由监考老师将答题卡收回。 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项符合题目要求。 1、已知全集U={2,3,4,5,6,7,8},M=3,4,5,6,N=(4,5,6,7,则CuM∩0= A.2,8} B.{4,5,6} C{2,3,7,8} D.3,4,5,6,73 2。复数2的虚部是 A.1 B.i C.-1 D.-i 3.不等式2<1的解集为 x+3 A.(-4,3) R-3,4) C.(-∞，-4)U(3,+o) D.(-0,-3)U(4,+o) 4.已知双曲线号-产=1Q>0,b>0的一条渐近线方程为牡-3y=0,则该双曲 线的离心率为 A号 B.是 c.马 D.是 5.6x-会)的展开式中，带数项为 A.-240 B.-16 C.16 D240 6。人工智能大语言模型训练是借助海量数据与特定算法，实现模型知识学习与能力迭 代的复杂过程。在一定条件下，某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需 的时间T=molg N(单位：h),其中mo为常数.在此条件下，训练200000个单位的数 据量与训练2000个单位的数据量所需的时间之差为8h,当训练m个单位的数据量 所需的时间为16h时，m= A.10000 B.15000 C.20000 D.30000 数学试题第1页（共4页） 7.如图，在三梭锥O一ABC中，CO⊥OM,CO⊥OB,且CD为△ABC中AB边上的高. 给出以下结论：①CO⊥AB:②∠CDO等于直线CD与平面AOB所成的角：③∠CDO 是二面角C一AB一O的平面角。其中，所有正确结论的序号是 B D A.①② B.①③ C.②⑧ D.一②③ 8.已知函数f0网=+x,若正实数a,b满足fa-1)+f2)=0,则名+告的最 4+1 小值为 A.10 B.12 C.14 D.16 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多可 符合题目要求。全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分。 9.已知随机事件A,B满足：P()=0.4,P(B)=0.5,则 A.事件A与B互为对立事件 B.如果A二B,那么P(AB)=0.4 C.如果事件A,B互斥，那么P(AUB)=0.5 D如果事件A,B相互独立，那么P(⑧1A)=P(BIA 10.已知函数f(纠=Asin(ox+p)(A>0,o>0,0<9<受) 的部分图象如图，则下列说法正确的是 A@=号 B.)<f(2) C.(一变，0)是函数f()的图象的一个对称中心 D.函数f的对称轴方程为x=多-平，kE乙 11.设过点T(a,0)的直线与抛物线y2=4x相交于P(1,),2(2,2)两点， 点，则下列命题正确的是 A.若a=1,则|P21=+2十2 B.若a=2,则y+y不存在最小值 C.若a=4,则弦P2的中点的轨迹方程为y2=2x一8 D若a>0,直线PO与直线l:x=一a相交于点R,则直线OR⊥1 数学试题第2页（共4页） 三、填空题：本大题共3小题、每小题5分，共15分。 12.已知向量a=2,-,b=4,m,且0/6，则实数m=-2. 13.已知等差数列{a}中，a++=6,=7,则as=12· 14、若定义在区间D上的函数f),其导函数为”'()，且Vx∈D,为(x)>f(x),则称f(x) 为区间D上的“M函数”、若x)=axrc心一x为区间(0，十oo)上的“M函数”，则实数a 的取值范围是 四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且√5sinA-cosA=1. (1)求A: (2)若b=3,△ABC的面积为3√3，求△ABC的周长. 16.(15分) 如图；在直三棱柱ABC一A1B1C1中，AB⊥BC,.AB=BC=BB1,E,F分别是楼AB, BC上的动点，且AE=BF. (1)若A1C∥平面BEF,判断点E在何位置，并证明你的结论： (2)当三棱锥B一B,EF的体积取得最大值时，求平面BEF与平面BEF的夹角的余弦 值。 B 17.（15分) 设函数fx)=2nx+ax2-2(a+1)x+3. (1)讨论函数(x)的单调性； (2)证明：存在正实数ao,使得a∈(0，ao)时，函数f(x)有且只有3个零点， 18.(17分) 已知直线1x=4,椭圆C:斧+号=1，过椭圆C的右焦点F的直线与椭圆C相交于 点A,B (1)判断直线1与以线段AB为直径的圆的位置关系，并证明你的结论： (2)过点F作直线AB的垂线，与直线I相交于点P, (i)求△PAB面积的最小值： (ⅱ)证明：直线PA与椭圆C有且只有一个公共点， 19.(17分) 某种特制提示器有红、黄、绿三种颜色的提示灯，提示灯每隔1秒充一次，如果前一次 亮红灯，紧接着亮红灯和黄灯的概率都为之：如果前一次亮黄灯，紧接着充红灯和绿灯的 概率分别为子和号：如果前一次亮绿灯，紧接着亮红灯和黄灯的概率都为分·现开启这 种提示灯，第一次亮红灯. (1)求第三次亮灯为红灯的概率： (2)设第n次亮灯为红灯的概率为Pn,当n≥2时， (i)求Pa: (ⅱ)该提示灯亮哪种颜色灯的概率最大？为什么？ 望：6高三年级 数学参考答案及评分意见 评分说明： 1.本解答给出了一种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评 分参考制定相应的评分细则。 2.对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可 视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有 较严重的错误，就不再给分。 3.解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。 4.只给整数分。 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目 要求。 6 8 B D A D B 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分。 9 10 11 BD BCD ACD 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。 12.-2 13.12 .(径，+回四) 四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.【命题意图】通过课程学习中的解三角形为素材，主要考查两角和的正弦公式，特殊角的三角函数，余弦 定理，三角形面积，三角形周长等基础知识，考查运算求解能力，逻辑推理能力，应用意识。 【解析】 (1)由√3sinA-cosA=1, 有2sin(4-若)=1， 1 即sin(A-若)=2， …3分 .0<A<π， 晋<4-g<餐 6 A-=， 6 6, A=号： …6分 (2)由(1)的结论有A= 3 又：b=3,S△MBc=3V√3， 由三角形面积公式有S&aMc=bc·sinA = 2×3csin号 .35 2c=33, 4 ∴.C=4, …9分 在△ABC中，由余弦定理有a2=b2+c2-2bc·cosA =32+42-2×3×4cos =13, ∴.a=√13， …12分 ∴.△ABC的周长=a+b+c=7+√13. …13分 16.【命题意图】通过直三棱柱创设情境，设计基础性与综合性问题，考查直线与平面、平面与平面的位置关 系、二面角、空间向量等基础知识，考查线面平行的性质定理的运用方法以及二面角的余弦值计算方 法，考查数学抽象、直观想象、数学运算等核心素养。 【解析】 方法1： (1)若A1C1∥平面BEF,则E为AB中点， …2分 理由如下： 在直三棱柱ABC-AB1C,中，A1C1∥AC, A1C1∥平面BEF,AC4平面BEF, ∴.AC∥平面BEF, 又：平面ABC∩平面BEF=EF, 故AC∥EF, ………4分 …胎= 又：AB=BC, ∴.AE=CF, 又，AE=BF, .CF=BF, 即F为BC的中点， 从而E为AB的中点， 故当A1C1∥平面B1EF时，E为AB中点； ……6分 (2)不妨设AB=1,BF=t(0<t<1), 则三棱锥B-B,EF的体积V=号 3 ·SABEF·BB1 6 ·BE·BF =1-) …8分 6 ≤1+0-0] 612 1 =24’ 当且仅当=1-t,即t=分时取“=”， 此时，E,F分别为AB,CB的中点， …10分 过点B作BG⊥EF于点G, B 可知G为EF的中点，连接B1G, 则EF⊥BG, A 在直三棱柱ABC-A1B1C,中， BB1⊥平面ABC, EF⊥BB1, BB1∩BG=B, F -B ∴.EF⊥平面BBG, ∴.EF⊥BG, .∠B1GB是二面角B1-EF-B的平面角， …12分 :BB=1,B6=分，BF=7,BG=平， , BG-G+=(+-3 则cos/B,GB=BC=1, B,G=3, 故当三棱锥B-BEF的体积取得最大值时，平面B,EF与平面BEF的夹角的余弦值为号， …15分 方法2： (1)以B为原点，以BC,BA,BB1的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标 系B-灯y2, AB=1,AE=BF=t(0<t<1), 则A(0,1,0),C(1,0,0),E(0,1-t,0),F(t,0,0),B(0,0,1), AC=(1,-1,0),EF=(t,t-1,0),BE=(0,1-t,-1), ……2分 Z 设平面B1EF的法向量为n=(x,y,z), 6 由胶0， n-BE=0, 得侣0 取y=1, 得x=}-1,2=1-1, 则平面BEF的一个法向量n=(}-1,1,1-0, …4分 欲使A1C1∥平面B1EF, 即使AC∥平面B1EF, 则ACn=0, ∴2-1-1=0， 得1=分 可知E为AB的中点， 故当A1C1∥平面BEF时，E为AB中点； ……………6分 (2)三棱锥B-B,BF的体积为V=了·Sar·BB =名·BEBF =1-0 …8分 6 ≤6件9 1 =24’ 当且仅当1=1-4，即1=2时取“=”， …10分 此时，平面B,EF的一个法向量n=(1,1,), 平面BEF的一个法向量m=(0,0,1), …12分 设平面B1EF与平面BEF的夹角为O, 可知0<0<90°， 则cos0= m·n mn V1+1+4 3, 故当三棱锥B一BEF的体积取得最大值时，平面B,EF与平面BEF的夹角的余弦值为 3 ………………15分 3 17.【命题意图】通过含参函数创设情境，设计基础性、综合性、创新性问题，主要考查函数、导数等基础知 识，考查导数的几何意义、利用导数研究函数图象和性质的方法，考查数学抽象、逻辑推理、数学运算等 核心素养。 【解析】 (1)由f(x)=2lnx+ax2-2(a+1)x+3,可知x>0, f6=2+2ar-2a+1)=2(a-1x-D, …1分 ①当a≤0时， ax-1<0, 可知当0<x<1时，'(x)>0, 当x>1时，f'(x)<0, 此时，f(x)在区间(0,1)上单调递增，在区间(1，十oo)上单调递减；…2分 ②当0<a<1时， 可知当0<x<1时，f'(x)>0, 当1<x<a时，f()<0, 当x>时f(>0, 此时，x)在区间(0,1)上单调递增，在区间(1，日)上单调递减，在区间（日，+0）上单调递增： …3分 ③当a=1时， =2=1少≥0，f在区间(0，+∞上单调递增； …4分 x ④当a>1时， 可知当0<x<1时，f()>0, a 当日<x<1时，f'()<0, 当x>1时，f(x)>0, 此时，f(x)在区间(0，。)上单调递增，在区间（日，1）上单调递减，在区间(1，+∞)上单调递增： …………5分 综上所述：①当a≤0时，f(x)在区间(0,1)上单调递增，在区间(1，+oo)上单调递减； ②当0<a<1时，f)在区间0,1)上单调递增，在区间(1，)上单调递减，在区间（日， +o)上单调递增； ③当a=1时，f(x)在区间(0，+oo)上单调递增： ④当a>1时，f()在区间(0，)上单调递增，在区间(。，1)上单调递减，在区间(1，+0) 上单调递增； ……………………6分 (2)方法1： 由(1)可知，当0<a<1时， x=1是函数fx)的极大值点，极大值f(1)=1-a>0, 函数f)的极小值f)=2h}+a-(d)2-2(a+1)·】+3 =1- 1+2ina …8分 令g(闭=1-1+2n(0<x<1), 即g()=1--2nx, 则g(田=↓-2=1-2x 当0<x<号时，g(>0,g(单调递增， 当1>x>号时，g(<0,g(单调递减， 则x=方是g()的极大值点， 则g()的极大值为g(2)=2h2-1, 又：当x→0时，g(x)→-0， 则g(x)的值域为(-oo,2ln2-1), 即f心的极小值f日)取值范围是(-o,22-), …12分 又.2ln2-1>0, 则存在a∈(0，)，g(a)=0, 即a为方程1-上+2h=0的根， a 当a∈(0，ao)时，g(x)单调递增， 则g(a<0,即fa)<0, 又当x→0时，fx)→-00， 当x→+o0时，f(x)→+∞， .存在正实数o,使得a∈(0，a)时，函数f(x)有且只有3个零点.…15分 方法2： 由(1)可知，当0<a<1时， x=1是函数f(x)的极大值点，极大值f(1)=1一a>0, 函数f的极小值f合)=2h日+a(白2-2(a+)日+3 a =1- 1+2Ina' …8分 令g(田=1-+2n{(0<x<1), 1 即g()=1-1-2nx, 则g()=↓-2=1-2x 产-x=2 当0<x<)时，g'(>0,g)单调递增， 当1>x>方时，g(<0,g(单调递减， 取aw=是（或等）.则g(白）=1-e2-2h位=5-e<0.…12分 e3’e4 当a∈(0，a)时，g(x)单调递增， 则g(a<0,即fa)<0, 又当x→0时，f()→-0， 当x→+o时，f(x)→+0， 存在正实数a0,使得a∈(0，ao)时，函数f(x)有且只有3个零点.…15分 5 18.【命题意图】通过直线与椭圆创设情境，设计基础性、综合性问题，考查椭圆定义、标准方程和几何性质 等基础知识，考查直线与椭圆的综合运用、圆锥曲线问题的解决方法，考查数学抽象、直观想象、数学运 算等核心素养。 【解析】 (1)直线1与以线段AB为直径的圆相离， …2分 理由如下： 由已知，右焦点F的坐标为(1,0)， 设点A(x1,y),B(x2,y2), 其中-2≤x1≤2，-2≤x2≤2， 令点A,B到直线l的距离分别为d1,d2, 则AF|=√(1-1)2+片 =Vk-02+3-3 =√-402 =2-7 =74, 同理，BF=2d, 设D为AB的中点，点D到直线I的距离为d, 则d=4生=A+BF1=hB>, 2 显然，以线段AB为直径的圆的圆心为D,半径为4B, 2 .直线1与以线段AB为直径的圆相离； ……5分 (2)(i)方法1： 由题意知直线AB不与x轴重合， 由已知，直线AB的方程可设为x=my+1, x=my+1, 联立{ 31, 得(3m2+4)y2+6my-9=0,(*) 6m ∴y1+y2= 3m2+4' 则x1+x=m(0M+以)+2=3m2+4' 8 …7分 由(1)得，AB|=|AFI+|BF =2-t2-方0 =4-3x+) 4 =4-3m2+4 ≥3， 当且仅当m=0,即AB垂直于x轴时取“=”， 根据平面几何知识，此时PF同时取得最小值3， △PMB的面积S=ABPF≥7×3x3=号， 故△PAB面积的最小值为号. …11分 6 方法2： 由题意知直线AB不与x轴重合， 由已知，直线AB的方程可设为x=my+1, x=my+1, 联立等+=1 得(3m2+4)y2+6my-9=0,(*) .y1+y2=- 6m 3m2+4’ 则x+=m(0%+以)+2=3m+4' 8 …7分 由(1)得，AB|=|AF1+|BFI =2-7+2-7 1 =4-3(+切 =12m+12 …8分 3m2+4 :过焦点F且与直线AB垂直的直线方程为y=一m(x一1)， 则P(4,-3m), 1PF1=√(4-1)2+(-3m)2=3Wm2+1, …9分 △PAB的面积S=2 lABI-IPF例 =7×13业×3vm+ 1.、 3m2+4 =18(m+1)Wm2+1 3m2+4 令t=Wm2+1,t≥1， 则50=1 于是S()=18× 3(3+I0-.6=54x2+≥0， (32+1)2 (32+1)2 ∴.当t≥1时，S(t)单调递增， 18 或s0=3￥F=3+ -,可知，当t≥1时，S()单调递增】 .当t=1,即m=0时， S0取得最小值，最小值为S()=号， 故△PHB面积的最小值为号： …11分 (ⅱ)欲证直线PA与椭圆C有且只有一个公共点， 只需证明在点A处切线I'的斜率等于直线PA的斜率kM, 由(1)得，A(x1,y),其中x1=my1+1, 依题意，直线1'的斜率存在，设为k, 则1的方程为y一y1=k(x一)， [y-yi=k(x-x1), 联立{2+ 4+3=1, 得(3+4k23)x2+8k(y1-x)x+4(y1-x)2-12=0, 由于直线'与椭圆C仅有一个公共点， 则由△=0， 得64k2y1-)2-4(3+4k2)[4(0y1-x1)2-12]=0, …12分 > .-3(y1-1)2+3(3+4k2)=0, 即(4-x)k2+2xyk+3-=0, 解得k==出= 3x1 好-4-号片 =-3m1+3 4y1 …13分 4y1 过焦点F且与直线AB垂直的直线方程为y=-m(x-I), 则P(4,-3m), k4=为+3m=h+3m 1-4-my-3’ …14分 3x 只需证明kp=一4' 即证明+3m =-3m+3恒成立即可， my1-3 4y1 即只需证明(y1+3m)4y1=(3my1+3)(3-my1), 即证明4y+12m=9+6my1-3m2y片， 即证明(3m2+4)y+6my1-9=0, 只需证明y1满足方程(3m2+4)y2+6my-9=0即可， 根据(1)中的方程(*)， 显然y1是方程(3m2+4)y2+6my-9=0的一个根， a=-杂， 由此可知，直线PA与椭圆C有且只有一个公共点. …17分 19.【命题意图】通过提示灯创设生活情境，设计应用性与综合性问题，考查概率、全概率公式、数列等基础 知识，考查概率的计算与应用、数列通项公式的求法，考查逻辑推理、数学运算等核心素养和创新能力。 【解析】 (1)设事件An=“第n次亮灯为红灯”，事件Bn=“第n次亮灯为黄灯”， 则第三次亮灯为红灯的概率： P(A3)=P(A2A3+B2A3) …2分 =P(A2A3)+P(B2A) =P(A2)P(A3A2)+P(B2)P(A3|B2) =2×3+× …4分 (2)方法1： （i)设事件Cn=“第n次亮灯为绿灯”，P(A,)=an,P(B)=bn,P(C)=cn, :.P(Bnt)=P (AnBnti+BnBnt1+CnBnt) =P(A,B+1)+P(B,Bnti)+P(C,B+) =P(A)P(BtA)+P(B)P(B+B)+P(Cn)P(B+C) 2da+0xb+2cn 1 1 24n+2Ca, 则6=3a+2c:@ …6分 .'an+bn+cn=1, b1=21-b, 由于6-3=-号0， 则伍，-专}是以-号为首项，-？为公比的等比数列， 6,-号=-3()叫， …8分 .P(An+i)=P(AnAnt1+BnAn+CnAn+) =P(AA+)+P(BA+)+P(CnA+) =P(A)P(AA)+P(B)P(A+B)+P(C)P(A+C) =74+g6+2c, 1 即a1=7a,+3a+7c 1 ，1 =(分a+c)+号b,@ 1 …10分 由02得a1=b1+号b,=-号（←）+写+行[-号（←）+」 =8(2)1+号a≥1 a=3(2+号a≥2， 即R=g(2)2+号a≥2： …12分 (i)由(i)可知，a1-b1=号b, =3-3)+制 =)1-(←)， 当n=2k-1(k∈N时， 1-(←)1≥0，a+1≥6+1，当且仅当n=1时取等号， 当n=2k(k∈N时， 1-(-2)=>0,a1>6 综上，a+1≥bn+1,当且仅当n=1时取等号， “.亮红灯的概率不小于亮黄灯的概率， …13分 又：P(Cm+i)=P(AnCa+1+BnCn+1+CnCn+i) =P(A,Cn+)+P(B,Cn+)+P(CCn+1) =P(A)P(CA)+P(B)P(C+B)+P(C)P(CiC) =0×a:+号6，+0xc 即c=号， 故c=号6，=号[号()+， …15分 a1-c1=8(-)-1+号+号()1- -8(2)1+号 =8【5(-2)1+4, 当n=2k-1(k∈N)时，5(-)2-2+4>0，a+1>cat 当n=2k(k∈N时，5(-2)1+4>0，a>c, .ant1>Cn+l' 即亮红灯的概率大于亮绿灯的概率， 综上所述，当≥2时，该提示灯亮红色灯的概率最大. ……17分 方法2： (i)设事件Cn=“第n次亮灯为绿灯”，P(A)=an,P(Bn)=bn,P(Cn)=cn, P(A)=P(AnAn1+BnA+CnAn) =P(AA+)+P(BAn+)+P(CA+) =P(A)P(A+A)+P(B)P(A+B)+P(C)P(A+C) 1 =7a+36,+7c, 1 即a1=74+兮6，t7ca:① …6分 P(B)=P(A,Bat1+BnB+CnBnt) =P(A,B+)+P(BB+)+P(C,B+) =P(A)P(B A)+P(B)P(B+B)+P(Cn)P(BC) =a+0x6+26 =24+c, 即61=方a,+7c,② …8分 P(Cn+)=P(ACn+1+B,Cn+1+CCn+) =P(AC+)+P(B,C+)+P(CC+) =P(A)P(CiA)+P(B)P(C+iIB)+P(C)P(CCn) =0xa+号6，+0xc 即c=号a, 6,=号6® …10分 由①②得a1=b1+号bc, a=6,+b,④ 将③@代入②得41=2a+3b）+号61=3+2 b1t7b,=b,+76- :b=0,b2=2’ 1 b1+号b,=7 61-号=3,-),且6-=号≠0， :伍，一号}是以-号为首项，为公比的等比数列， 6-3=-写(2)， 即6，=-号(2)+号 故an1=bi十号b。 =号(2)+号+3号(2)+31 =8(》+号 a=语()2+号a≥2， 即R=g(》2+号a≥2创： …12分 公