精品解析：河南郑州市第四十七初级中学2025--2026学年第二学期学情调研 九年级 数学

2025-2026学年第二学期学情调研 九年级 数学 考试时间：100分钟，分值：120分 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 用数轴上的点表示下列各数，其中与原点距离最近的是（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了绝对值的定义，一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离．到原点距离最近的点，即绝对值最小的点，首先求出各个数的绝对值，即可作出判断． 【详解】解：∵，，，，， ∴与原点距离最近的是1， 故选：B． 2. 2026年1月1日清晨，约有名民众齐聚天安门广场，共同见证五星红旗冉冉升起，迎接新年的第一缕阳光，将用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解： 故选：A． 3. 某物体的三种视图如左图所示，则这个物体是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了由三视图还原几何体．根据三视图的形状特征，即可判断答案． 【详解】解：根据主视图、左视图和俯视图，可判断出这个几何体是 ． 故选：C． 4. 中国古典园林中的窗型设计，以其形制的丰富性和多样性著称于世．颐和园五角加膛窗，便是其中的佼佼者，其轮廓呈现出一个完美的正五边形，它一个内角度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正五边形内角和，多边形内角和公式为．根据正五边形的五个内角相等求解即可． 【详解】解：， 故选：A． 5. 关于的一元二次方程的根的情况是（　　） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是掌握根的判别式的知识点，判断的情况，即可解． 【详解】∵ ∴方程有两个不相等的实数根． 故选A． 6. 豆包在回答“驻马店有哪些非遗项目？”时，列出驻马店部分非物质文化遗产代表项目： ①盘古神话；②打铁花；③棠溪宝剑锻制技艺；④梁祝传说． 从这四个代表项目中随机选择两个进行宣讲，则所选两个代表项目中恰好有“盘古神话”的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，列表可得出所有等可能的结果数以及所选两个代表项目中恰好有“盘古神话”的结果数，再利用概率公式可得出答案．熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 【详解】解：列表如下： ① ② ③ ④ ① （①，②） （①，③） （①，④） ② （②，①） （②，③） （②，④） ③ （③，①） （③，②） （③，④） ④ （④，①） （④，②） （④，③） 共有12种等可能的结果，其中所选两个代表项目中恰好有“盘古神话”的结果有：（①，②），（①，③），（①，④），（②，①），（③，①），（④，①），共6种， ∴所选两个代表项目中恰好有“盘古神话”的概率为． 故选：A． 7. 《孙子算经》中有一道题，原文是：今有五人共车，二车空；三人共车，六人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每5人共乘一车，恰好剩余2辆车；每3人共乘一车，最终剩余6个人无车可乘，问共有多少人？设共有人，则可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系是解题的关键．根据车的辆数不变列出等式即可． 【详解】解：根据题意可得：． 故选：D． 8. 如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点，点在第一象限内．顶点在轴上，经过点的反比例函数的图象交于点．若点为线段的中点，则平行四边形的面积为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的比例系数求解，涉及了平行四边形的性质、中点坐标等知识点，设点，可推出点；根据求得；作，即可求解； 【详解】解：设点， ∵点，点， ∴点， ∵点为线段的中点， ∴点； ∵点、点均在反比例函数的图象上， ∴，解得：； 作，如图所示： 则， ∴平行四边形的面积， 故选：D 9. 如图，将等边三角形纸片折叠，使点落在边上的处，为折痕，若，的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，折叠的性质，相似三角形的判定和性质，由等边三角形的性质可得，，由折叠的性质得，，，进而可证明，得到，设，，，则，，利用相似三角形的性质可得，，即可得，即得到，得到，最后代入计算即可求解，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴，， 由折叠可得，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，，，则， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 10. 如图①，E为矩形的边上一点，点P从点B出发沿折线运动到点D停止，点Q从点B出发沿运动到点C停止，它们的运动速度都是，现P，Q两点同时出发，设运动时间为，的面积为，y与x的对应关系如图②所示矩形的面积为（ ） A. 18 B. 12 C. 20 D. 16 【答案】A 【解析】 【分析】由题意知，运动分三段完成，运动10秒，P到点E，继续运动点Q到点C，点P自己运动到点D，结合图像信息求解即可． 【详解】解：由图象可知，时，P、E重合， 根据题意，得 ， ∴， 解得， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 由图象可知， ∴， ∴， ∴矩形的面积为： 故选A． 【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，函数图象．熟练掌握矩形性质，从函数图象中获取正确的信息是解题的关键． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 写出一个使分式有意义的的值：___________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件是解答本题的关键． 根据分式有意义的条件解答即可． 【详解】解：根据分式有意义的条件得：， 解得：， 所以当时，分式有意义， 故答案为：（答案不唯一）． 12. 如图，河南是我国的粮食大省，素有“中原粮仓”之称．某兴趣小组在甲、乙两个小麦品种中各随机抽取了五个样本进行统计分析，统计结果（千粒质量单位：）如图所示，其中产量较为稳定的是________品种． 【答案】乙 【解析】 【分析】本题考查了折线统计图，方差，方差是反映一组数据的波动大小的一个量，方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越差；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好，据此判断即可求解，理解方差的意义是解题的关键． 【详解】解：由图知，乙品种小麦质量波动幅度小， ∴乙品种小麦产量较为稳定， 故答案为：乙． 13. 新定义：对于任意四个有理数a、b、c、d，有一种新的运算：如果，那么________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键． 根据定义的新运算，结合完全平方公式进行计算，即可解答． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 14. 如图，在中，是的内切圆，若，则图中阴影部分的面积为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查与圆相关的阴影部分面积，熟练掌握扇形的面积公式是解题的关键，根据题意求出圆的半径和的度数，再计算出与的差，即可得到答案． 【详解】解：连接， ∵是的内切圆， ∴分别与相切于点， ∴四边形是正方形， 设的半径为， ∴， ∵，， ∴， ∴，，， ∴，解得：， ∵是的内切圆， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积， 故答案为：． 15. 如图，在中，，是的一条角平分线，为中点，连接．若，则_____．     【答案】 【解析】 【分析】连接，过点作于点，设，通过证明，得到对应线段成比例，即，通过证明，得到对应线段成比例，即 ，根据勾股定理列方程，得到的值，即的长度． 【详解】解：如图，连接，过点作于点， 设，则， ，为的中点， ， ， ， ， ， ， 又， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， 又， ， ， ， 在中，， ，解得，（小于，舍去）， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形性质，角平分线定理，直角三角形斜边中线定理，三角形中位线定理，相似三角形的性质与判定，勾股定理，方程思想与几何图形的结合等知识点． 三、解答题（共8小题，共75分） 16. （1）计算： ： （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）；（2）； 【解析】 【分析】本题考查了绝对值化简，特殊角的三角函数值，有理数的乘方，以及分式的化简和求值，熟练掌握绝对值化简，特殊角的三角函数值，有理数的乘方，以及分式的运算是解题的关键． （1）先依次化简绝对值，计算特殊角的三角函数值和有理数的乘方，再算加减即可； （2）先化简分式，再代入求值即可； 【详解】解：（1） （2） 当， 原式． 17. 某校为激发同学们对人工智能的兴趣，普及人工智能知识，组织了七、八年级学生参加了人工智能科普测试．现从七、八两个年级各抽取10人记录下他们的测试得分并进行整理和分析（积分用表示，共分为四组：，下面给出了部分信息： 七年级10人的得分：； 八年级10人的得分在组中的分数为：； 两组数据的平均数、中位数、众数如下表所示 年级 平均数 中位数 众数 七 76.8 83 八 76.8 84 八年级得分等级扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：_____，_____，_____； （2）根据以上数据，你认为哪个年级在此次人工智能科普测试中表现更好，请说明理由（一条理由即可）； （3）若七年级有2000人参与测试，八年级有1800人参与测试，请估计七、八两个年级得分在组的共有多少人？ 【答案】（1）83，83.5，20； （2）八年级掌握人工智能知识比较好，理由见解析； （3）人． 【解析】 【分析】本题考查了扇形统计图、众数、中位数、用样本估计及总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）根据七年级10人的得分可求出a；根据扇形扇形统计图和组得分可得求出m和b； （2）根据平均数，众数和中位数的意义； （3）分别求出七、八两个年级得分在组的人数，然后相加即可． 【小问1详解】 解： 83出现的次数最多，故众数． 八年级C组人数∶， 八年级D组人数∶， 八年级B组人数：4，故八年级A组人数∶， 即． 八年级成绩排在第5和第6位的是84和87，故中位数 故答案为∶； 【小问2详解】 八年级掌握人工智能知识比较好， 理由：八年级的中位数高于七年级的中位数，说明八年级学生掌握的较好； 注意：答案不唯一，回答合理即可 【小问3详解】 分别求出七、八两个年级得分在组的人数，然后相加可得： 人，人， 七、八两个年级得分在组的人数之和为：人． 18. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和点，交轴于点．以为边在左侧作正方形． （1）求一次函数和反比例函数的表达式． （2）判断点是否在反比例函数的图象上，并说明理由． 【答案】（1）反比例函数的表达式为；一次函数的表达式为 （2）解：点在反比例函数的图象上 理由如下： 过点作轴于点，过点作轴于点， 则． 在中，当时， ∴ ∵， ∴， ∴ ∵四边形是正方形， ∴，． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴， ∴ ∴． ∵， ∴点在反比例函数图象上 【解析】 【分析】(1)根据待定系数法求解即可； (2) 过点D作轴于点G，过点B作轴于点F，则．在中，当时，.进而求得，证明．得，，从而得．进而带入解析式即可判断． 【小问1详解】 解：把点，代入，得． ∴反比例函数的表达式为． 把点代入，得 ∴． 把分别代入， 得，解得： ∴一次函数的表达式为 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查待定系数法求函数的解析式，函数图象上点的坐标特征，以及正方形的性质，全等三角形的判定及性质，熟练掌握正方形的性质及全等三角形的判定及性质是解题关键． 19. 在综合与实践活动中，某学习小组用无人机测量校园西门A与东门B之间的距离．如图，无人机从西门A处垂直上升至C处，在C处测得东门B的俯角为，然后沿方向飞行60米到达D处，在D处测得西门A的俯角为．求校园西门A与东门B之间的距离．（结果精确到0.1米；参考数据：，，，） 【答案】校园西门A与东门B之间的距离为207.6米 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，根据题意，易得，，米，分别解，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：，米， 在中，米； 在中，米； 答：校园西门A与东门B之间的距离为207.6米 20. 如图，在中，． （1）求作分别与，相切，使得圆心O落在上，（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，已知，，求的值． 【答案】（1）画图见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）作的角平分线，过作的垂线，垂足为，以为圆心，为半径画圆，则即为所求； （2）由（1）得：，，，结合，，由面积可得，从而可得答案． 【小问1详解】 解：如图，作的角平分线，过作的垂线，垂足为，以为圆心，为半径画圆，作于M， 由角平分线的性质可得：到的距离为圆的半径， ∴是的切线，即， 由作图可得：是的切线， ∴即为所求． 【小问2详解】 解：由（1）得：，，， ∵， ∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是作角平分线，作垂线，作圆，切线的判定，角平分线的性质，锐角的正切的含义，熟练的作图是解本题的关键． 21. 2025年5月25日，新疆维吾尔自治区旅游发展大会在阿克苏地区库车市召开．借此机遇，库车市龟兹小巷某文创商店特推出A，B两款冰箱贴，每件A款冰箱贴的利润比每件B款冰箱贴的利润多2元，销售20件A款冰箱贴和销售30件B款冰箱贴的利润一共是440元． （1）求A，B两款冰箱贴每件的利润分别是多少？ （2）若该商店计划购进A，B两款冰箱贴共200个进行销售，其中A款冰箱贴的数量不超过B款冰箱贴数量的，商店购进A，B两款冰箱贴各多少个，才能使销售完这批冰箱贴获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】（1）每件B款摆件的利润为8元，每件A款摆件的利润10元  （2）商店购进款摆件80个，购进款摆件120个，才能使销售完这200个摆件获得最大利润，最大利润是1760元 【解析】 【分析】本题考查了一次函数，一元一次方程，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）设每件B款摆件的利润为x元，则每件A款摆件的利润为元，根据“销售20件A款摆件和销售30件B款摆件的利润是440元”建立一元一次方程求解即可； （2）设商店购进A款摆件y个，则购进B款摆件个，由“A款冰箱贴的数量不超过B款冰箱贴数量的”建立不等式求出y的取值范围，再设利润为w元，求出w关于y的函数关系式，根据一次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设每件B款摆件的利润为x元，则每件A款摆件的利润为元， 由题意得：， 解得：， 则． 答：每件B款摆件的利润为8元，每件A款摆件的利润10元． 【小问2详解】 解：设商店购进A款摆件y个，则购进B款摆件个， 由题意得：， 解得：， 设利润为w元， 则， ∵， ∴w随着y的增大而增大， ∴当时，利润最大为：（元）， 此时（个）． 答：商店购进A款摆件80个，购进B款摆件120个，才能使销售完这200个摆件获得最大利润，最大利润是1760元． 22. 16世纪中叶，我国发明了一种新式火箭“火龙出水”，它是二级火箭的始祖．火箭第一级运行路径形如抛物线，当火箭运行一定水平距离时，自动引发火箭第二级，火箭第二级沿直线运行．某科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程．如图，以发射点为原点，地平线为x轴，垂直于地面的直线为y轴，建立平面直角坐标系，分别得到抛物线和直线．其中，当火箭运行的水平距离为时，自动引发火箭的第二级． （1）若火箭第二级的引发点的高度为． ①直接写出a，b的值； ②火箭在运行过程中，有两个位置的高度比火箭运行的最高点低，求这两个位置之间的距离． （2）直接写出a满足什么条件时，火箭落地点与发射点的水平距离超过． 【答案】（1）①，；② （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数和一次函数的综合应用，涉及待定系数法求解析式，二次函数的图象和性质，一次函数的图象与性质等知识点，熟练掌握二次函数和一次函数的图象与性质是解题的关键． （1）①将代入即可求解；②将变为，即可确定顶点坐标，得出，进而求得当时，对应的x的值，然后进行比较再计算即可； （2）若火箭落地点与发射点的水平距离为，求得，即可求解． 【小问1详解】 解：①∵火箭第二级的引发点的高度为 ∴抛物线和直线均经过点 ∴， 解得，． ②由①知，， ∴ ∴最大值 当时， 则 解得， 又∵时， ∴当时， 则 解得 ∴这两个位置之间的距离． 【小问2详解】 解：当水平距离超过时， 火箭第二级的引发点为， 将，代入，得 ， 解得， ∴． 23. 【特例分析】媛媛和早早在共同学习探究平移和旋转的过程中发现了有趣的事情： 如图1，是等边三角形，将绕顶点顺时针旋转得到，连接和，直线和交于点，那么在旋转的过程中，的度数始终等于_____，特别地，当时，_____； 【深入探究】如图2，媛媛继续探究，如果是等腰直角三角形，其中且，同样将绕顶点顺时针旋转得到，直线和交于点，则直线和直线所夹锐角的度数是_____；请猜想线段与的数量关系，并就图2说明理由． 【实践应用】早早在媛媛的探究下继续思考并提出问题：如图3，在矩形中，．，点是边上靠近顶点的三等分点，连接，将绕顶点顺时针旋转得到．连接和，直线交线段于点，在旋转的过程中，当点三点共线时，直接写出此时的长． 【答案】【特例分析】；；【深入探究】；，理由见解析；【实践应用】或 【解析】 【分析】[特例分析]由题易得，从而在四边形中利用四边形内角和求出即可；连接，易证是的等腰三角形，，据此可得； [深入探究]易证，可得，证明；进而可证点四点共圆，且为直径，所以，根据等腰三角形三线合一即可得解； [实践应用]由前述思路可证M是中点，当点三点共线时，可分两种情况讨论，一是在中间，二是在中间，我们发现，而点的轨迹是以C为圆心，长为半径的小圆，点运动轨迹为以C为圆心，长为半径的大圆，因为，所以直线则和小圆相切，据此即可容易画出图形，进而求解即可． 【详解】解：[特例分析]由旋转可知， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， 在四边形中， ； ∵， ∴在和中， ， ∴， ∴，， 连接，则， ∴， ∴， ∴ ∴， 过点作于点，则，， ∴ ∴， ∴，即； 故答案为：；； [深入探究]由题意可知，， 又 ∴， ∴， ∴， 记与交于点，则有， ∴； 故答案为：； 线段与的数量关系：；理由如下： ∵， ∴点四点共圆（同弧所对的圆周角相等）， 如图，连接， ∵， ∴为直径， ∴，即， ∵， ∴（等腰三角形三线合一）； [实践应用]∵旋转， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 记与交于点，则， 又，， ∴， 即：， ∴点四点共圆， ∵， ∴为直径， ∴，即， ∵， ∴，即M为中点， ∵E为靠近点A的三等分点， ∴，， 第一种情况：当在线段中间时，如图，过作于点K，作于点G，过M作于点H， 在中，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∵M为中点， ∴，， ∴， 在中，； 第二种情况：当在线段中间时，如图， 同理可得， ∴， 同理可得， ∴， ∴，， ∴，， ∵M为中点， ∴，， ∴， 在中，； 综上，的长为或． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期学情调研 九年级 数学 考试时间：100分钟，分值：120分 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 用数轴上的点表示下列各数，其中与原点距离最近的是（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 2. 2026年1月1日清晨，约有名民众齐聚天安门广场，共同见证五星红旗冉冉升起，迎接新年的第一缕阳光，将用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 某物体的三种视图如左图所示，则这个物体是（ ） A. B. C. D. 4. 中国古典园林中的窗型设计，以其形制的丰富性和多样性著称于世．颐和园五角加膛窗，便是其中的佼佼者，其轮廓呈现出一个完美的正五边形，它一个内角度数是（ ） A. B. C. D. 5. 关于的一元二次方程的根的情况是（　　） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 无法确定 6. 豆包在回答“驻马店有哪些非遗项目？”时，列出驻马店部分非物质文化遗产代表项目： ①盘古神话；②打铁花；③棠溪宝剑锻制技艺；④梁祝传说． 从这四个代表项目中随机选择两个进行宣讲，则所选两个代表项目中恰好有“盘古神话”的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 《孙子算经》中有一道题，原文是：今有五人共车，二车空；三人共车，六人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每5人共乘一车，恰好剩余2辆车；每3人共乘一车，最终剩余6个人无车可乘，问共有多少人？设共有人，则可列方程（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点，点在第一象限内．顶点在轴上，经过点的反比例函数的图象交于点．若点为线段的中点，则平行四边形的面积为（　　） A. B. C. D. 9. 如图，将等边三角形纸片折叠，使点落在边上的处，为折痕，若，的值为（ ） A. B. C. D. 10. 如图①，E为矩形的边上一点，点P从点B出发沿折线运动到点D停止，点Q从点B出发沿运动到点C停止，它们的运动速度都是，现P，Q两点同时出发，设运动时间为，的面积为，y与x的对应关系如图②所示矩形的面积为（ ） A. 18 B. 12 C. 20 D. 16 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 写出一个使分式有意义的的值：___________． 12. 如图，河南是我国的粮食大省，素有“中原粮仓”之称．某兴趣小组在甲、乙两个小麦品种中各随机抽取了五个样本进行统计分析，统计结果（千粒质量单位：）如图所示，其中产量较为稳定的是________品种． 13. 新定义：对于任意四个有理数a、b、c、d，有一种新的运算：如果，那么________． 14. 如图，在中，是的内切圆，若，则图中阴影部分的面积为____________． 15. 如图，在中，，是的一条角平分线，为中点，连接．若，则_____．     三、解答题（共8小题，共75分） 16. （1）计算： ： （2）先化简，再求值：，其中． 17. 某校为激发同学们对人工智能的兴趣，普及人工智能知识，组织了七、八年级学生参加了人工智能科普测试．现从七、八两个年级各抽取10人记录下他们的测试得分并进行整理和分析（积分用表示，共分为四组：，下面给出了部分信息： 七年级10人的得分：； 八年级10人的得分在组中的分数为：； 两组数据的平均数、中位数、众数如下表所示 年级 平均数 中位数 众数 七 76.8 83 八 76.8 84 八年级得分等级扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：_____，_____，_____； （2）根据以上数据，你认为哪个年级在此次人工智能科普测试中表现更好，请说明理由（一条理由即可）； （3）若七年级有2000人参与测试，八年级有1800人参与测试，请估计七、八两个年级得分在组的共有多少人？ 18. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和点，交轴于点．以为边在左侧作正方形． （1）求一次函数和反比例函数的表达式． （2）判断点是否在反比例函数的图象上，并说明理由． 19. 在综合与实践活动中，某学习小组用无人机测量校园西门A与东门B之间的距离．如图，无人机从西门A处垂直上升至C处，在C处测得东门B的俯角为，然后沿方向飞行60米到达D处，在D处测得西门A的俯角为．求校园西门A与东门B之间的距离．（结果精确到0.1米；参考数据：，，，） 20. 如图，在中，． （1）求作分别与，相切，使得圆心O落在上，（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，已知，，求的值． 21. 2025年5月25日，新疆维吾尔自治区旅游发展大会在阿克苏地区库车市召开．借此机遇，库车市龟兹小巷某文创商店特推出A，B两款冰箱贴，每件A款冰箱贴的利润比每件B款冰箱贴的利润多2元，销售20件A款冰箱贴和销售30件B款冰箱贴的利润一共是440元． （1）求A，B两款冰箱贴每件的利润分别是多少？ （2）若该商店计划购进A，B两款冰箱贴共200个进行销售，其中A款冰箱贴的数量不超过B款冰箱贴数量的，商店购进A，B两款冰箱贴各多少个，才能使销售完这批冰箱贴获得最大利润？最大利润是多少？ 22. 16世纪中叶，我国发明了一种新式火箭“火龙出水”，它是二级火箭的始祖．火箭第一级运行路径形如抛物线，当火箭运行一定水平距离时，自动引发火箭第二级，火箭第二级沿直线运行．某科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程．如图，以发射点为原点，地平线为x轴，垂直于地面的直线为y轴，建立平面直角坐标系，分别得到抛物线和直线．其中，当火箭运行的水平距离为时，自动引发火箭的第二级． （1）若火箭第二级的引发点的高度为． ①直接写出a，b的值； ②火箭在运行过程中，有两个位置的高度比火箭运行的最高点低，求这两个位置之间的距离． （2）直接写出a满足什么条件时，火箭落地点与发射点的水平距离超过． 23. 【特例分析】媛媛和早早在共同学习探究平移和旋转的过程中发现了有趣的事情： 如图1，是等边三角形，将绕顶点顺时针旋转得到，连接和，直线和交于点，那么在旋转的过程中，的度数始终等于_____，特别地，当时，_____； 【深入探究】如图2，媛媛继续探究，如果是等腰直角三角形，其中且，同样将绕顶点顺时针旋转得到，直线和交于点，则直线和直线所夹锐角的度数是_____；请猜想线段与的数量关系，并就图2说明理由． 【实践应用】早早在媛媛的探究下继续思考并提出问题：如图3，在矩形中，．，点是边上靠近顶点的三等分点，连接，将绕顶点顺时针旋转得到．连接和，直线交线段于点，在旋转的过程中，当点三点共线时，直接写出此时的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $