精品解析：2026年河南平顶山市郏县第二协作区一模九年级数学试卷

2026年中考学科适应性第一次调研考试 数 学 注意事项： 1．本试卷共8页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟、 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求，直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 下列各数中最小的数是（） A. 1 B. C. D. 0 2. 2025年我国油、气产量双创历史新高，原油产量约亿吨，天然气产量突破2 600亿立方米．数据“亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 2025年 12月 9 日，国务院总理签署第 823号国务院令，公布《全民阅读促进条例》，旨在促进全民阅读，推进书香社会建设，增强全民族思想道德素质和科学文化素养，提高全社会文明程度，推动建设社会主义文化强国．如图是正方体的展开图，已知这个正方体展开图的六个面依次书写“全”“民”“阅”“读”“条”“例”，折叠后与“阅”相对的是（ ） A. 全 B. 条 C. 例 D. 民 4. 如图，直线，直线．若，则（ ）． A. 48° B. 58° C. 62° D. 52° 5. 杠杆原理在生活中随处可见．如图是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆的一端时，另一端就会撬动石头．若动力臂，，则的长度是（ ） A. B. C. D. 6. 已知代数式则（ ） A. B. C. D. 7. 设m，n是方程的两个实数根，则的值为（ ） A. 2024 B. 2025 C. 2026 D. 8. 河南亲子研学活动依托深厚的历史文化底蕴和丰富的自然资源，设计了多元化的沉浸式体验，让青少年在探索中学习成长．2025年暑期，全省通过主题推广活动推出了四条核心研学线路：“历史探秘与考古体验”“非遗传承与手工实践”“自然生态与科学探索”“童趣互动与综合成长”．若小亮从这四条核心研学线路中随机选择两条线路研学，则这两条线路中有“自然生态与科学探索”的概率是（ ） A. B. C. D. 9. 如图1，在菱形中， 将沿直线向左平移，得到，O为的中点，连接，如图2，当时，的长为（ ） A. 3 B. C. 2 D. 10. 根据物理学知识，在压力不变的情况下，某物体承受的压强是它的受力面积的反比例函数，其函数图象如图所示，下列结论中错误的是（ ） A. 当时，； B. 当受力面积S大于时，压强p 小于 C. S每增加，p减小 D. 当时，压强p的变化范围为 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 要使 有意义，则x的值可以是_______． 12. 方程组的解为_______． 13. 生物学研究表明，植物光合作用速率越高，单位时间内合成的有机物越多．为了了解甲、乙两个品种大豆的光合作用速率，科研人员从这两个品种的大豆中各选六株，在同等实验条件下，测得它们的光合作用速率（单位： ）的平均数相同，光合作用速率的方差分别为 ，，则在此次实验中，这两个大豆品种光合作用速率更稳定的是________．（填“甲”或“乙”） 14. 如图，是的弦，是的切线，与交于点D，与交于点E， ， 若，，则图中阴影部分的面积为________． 15. 定义：一个等腰直角三角形的直角顶点在另一个直角三角形直角边的中点处，且斜边为这个直角边的一半，那么这两个直角三角形叫做“双直半边三角形”．如图，在中，，，，的顶点D在边上，连接．将绕点 D旋转，若这两个直角三角形为“双直半边三角形”，当边被垂直平分时，的长为_______． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 计算与化简 （1）； （2）． 17. 为传承和弘扬辽宁非遗文化，让同学们深入了解家乡的非遗知识，某校开展了“辽宁非遗文化知多少”主题研学活动，活动后以自愿报名的方式组织了非遗知识竞赛．竞赛结束后，从竞赛成绩（单位：分，满分100分，均不低于60分）中用科学的抽样方法随机抽取部分成绩，并进行整理，得到如下统计图表． 非遗知识竞赛成绩频数分布表 A组 B组 C组 D组 备注：B组共有15个成绩：89，88，88，86，85，85，85，84，84，83，81，81，81，80，80． 根据以上信息，解答下列问题： （1）本次调查的样本容量为 ； （2）B组15个成绩的平均数为 分，本次被抽取的所有成绩的中位数为 分； （3）学校决定对本次竞赛成绩90分及以上的学生进行奖励，该校共有300名学生参加竞赛，请估计本次竞赛的获奖人数． 18. 如图， 是圆内接三角形，为圆的直径． （1）请用无刻度的直尺和圆规作出圆心（保留作图痕迹，不写作法）． （2）过点的直线交的延长线于点，为边的中点，连接，，．若，求证：四边形是平行四边形． 19. 某数学兴趣小组在户外开展综合实践活动，撰写实验报告如下． 实验主题 测量风力发电机舱的高度 工具准备 测角仪，卷尺等 实验过程 1．风力发电机舱在点A处，三片扇叶两两所成的角为α； 2．数学兴趣小组的同学在点 C 处安放测角仪； 3．测得扇叶的末端点 E的仰角为β； 4．测得点 C 离塔杆的距离的长 实验图示 测量数据 1．；2．；3．米，米 备注 1．测角仪高度米； 2．图上所有点均在同一平面内； 3． ，均与地面垂直； 4．参考数据： 请你根据以上实验过程和测量的数据，求风力发电机舱的高度（精确到0.1米）． 20. 如图，已知正比例函数与反比例函数的图象在第一象限交于点． （1）求，的值． （2）将直线向上平移2个单位长度后与轴交于点，与反比例函数的图象交于第一象限的点． ①求平移后的一次函数表达式及点的纵坐标； ②为反比例函数图象部分上一点，连接，当的面积小于的面积时，请直接写出点的横坐标的取值范围． 21. 随着技术的飞速发展和人们环保意识的提高，新能源汽车已成为汽车市场一股不可忽视的力量．为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买甲、乙两种型号的充电桩．已知每台甲型充电桩比每台乙型充电桩贵万元，用40万元购买甲型充电桩的数量与用30万元购买乙型充电桩的数量相同． （1）甲、乙两种型号充电桩的单价各是多少？ （2）该停车场计划购买甲、乙两种型号的充电桩共20台，且购买乙型充电桩的数量不超过甲型充电桩数量的2倍，则如何购买所需总费用最少？ 22. 某大型商业楼前欲设计一个直径为的圆形喷水池，设计方案如图所示，在喷水池的中心O（圆心）处竖直安装一个喷水管，P处是喷头，喷出水流的运动路线可以看作抛物线的一部分，且喷出的水流关于轴对称．以O为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，测得为．当喷出的水流最高为时，喷出水流与的水平距离为． （1）①求y轴右侧抛物线的表达式； ②请通过计算说明喷出的水流是否流到水池外． （2）安装师傅调试时发现，喷水管竖直上下移动时，抛物线形水流随之竖直上下移动（假设抛物线形水流移动时，保持对称轴及形状不变）．若想要喷出的水流刚好不流到水池外，应该把喷水管向上移动多少米？ 23. 综合与探究 实践操作：数学操作探究活动可以解决数学中的很多难题，在综合实践课上，数学兴趣小组的同学们以探究“矩形纸片的折叠问题”为主题开展活动．已知在矩形中，，点E在边上，点F在边上． 特例研究： （1）如图1，精英小组将矩形沿进行折叠，使点B的对应点恰好落在边的中点处，求的长． 探索发现： （2）如图2，光明小组将矩形沿进行折叠，使点B的对应点．恰好落在边上，连接，求 的值． 拓展延伸： （3）如图3，星梦小组在其他小组的基础上将矩形沿进行折叠，得到 ，连接，点E是的中点，点F是边上的一个动点（不与的两个端点重合）．当为直角三角形时，直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考学科适应性第一次调研考试 数 学 注意事项： 1．本试卷共8页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟、 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求，直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 下列各数中最小的数是（） A. 1 B. C. D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】根据实数的大小比较法则进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 即最小的数是． 2. 2025年我国油、气产量双创历史新高，原油产量约亿吨，天然气产量突破2 600亿立方米．数据“亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：亿． 3. 2025年 12月 9 日，国务院总理签署第 823号国务院令，公布《全民阅读促进条例》，旨在促进全民阅读，推进书香社会建设，增强全民族思想道德素质和科学文化素养，提高全社会文明程度，推动建设社会主义文化强国．如图是正方体的展开图，已知这个正方体展开图的六个面依次书写“全”“民”“阅”“读”“条”“例”，折叠后与“阅”相对的是（ ） A. 全 B. 条 C. 例 D. 民 【答案】C 【解析】 【分析】根据正方体展开图的特征“相间、Z端是对面”进行判断即可． 【详解】解：正方体的表面展开图，相对的面之间通常呈现“Z”字形两端． 观察图形可知： 面“民”、面“阅”、面“读”、面“条”构成“Z”字形，故面“民”与面“条”相对； 面“阅”、面“读”、面“条”、面“例”构成“Z”字形，故面“阅”与面“例”相对； 剩余的面“全”与面“读”相对． 故与“阅”相对的是“例”． 4. 如图，直线，直线．若，则（ ）． A. 48° B. 58° C. 62° D. 52° 【答案】C 【解析】 【分析】利用对顶角相等可得，再结合垂直的定义、直角三角形两锐角互余可得，最后根据两直线平行同位角相等即可解答． 【详解】解：如图：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵直线， ∴． 5. 杠杆原理在生活中随处可见．如图是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆的一端时，另一端就会撬动石头．若动力臂，，则的长度是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】证明，得到，代入相关数值并求出的值即可． 【详解】解：，， ， ∴， ∵，， ∴ 解得． 6. 已知代数式则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用作差法比较两个代数式的大小，通过计算的结果，根据结果的符号判断和的大小关系． 【详解】解：， ， 即． 7. 设m，n是方程的两个实数根，则的值为（ ） A. 2024 B. 2025 C. 2026 D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用根与系数的关系求出和的值，再整体代入所求式子计算即可． 【详解】∵ ，是方程的两个实数根， ∴ ，， ∴ ． 8. 河南亲子研学活动依托深厚的历史文化底蕴和丰富的自然资源，设计了多元化的沉浸式体验，让青少年在探索中学习成长．2025年暑期，全省通过主题推广活动推出了四条核心研学线路：“历史探秘与考古体验”“非遗传承与手工实践”“自然生态与科学探索”“童趣互动与综合成长”．若小亮从这四条核心研学线路中随机选择两条线路研学，则这两条线路中有“自然生态与科学探索”的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先列举出从4条线路中选2条的所有等可能结果，再找出其中包含“自然生态与科学探索”的结果数，最后根据概率公式计算即可． 【详解】解：设用、、、分别表示：“历史探秘与考古体验”、“非遗传承与手工实践”、“自然生态与科学探索”、“童趣互动与综合成长”， ∵从4条线路中随机选2条，所有等可能的结果为：，共种等可能结果， 其中包含“自然生态与科学探索”的结果为 ，共种， ∴所求概率． 9. 如图1，在菱形中， 将沿直线向左平移，得到，O为的中点，连接，如图2，当时，的长为（ ） A. 3 B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据菱形性质求出的度数及的长，由平移性质知 ，，在中解直角三角形可求得的长，再根据O为中点建立方程求解即可． 【详解】解：∵ 四边形是菱形，， ∴，， ∴， 如图：过点 C作 于 H，则， 在中，， ∴， 由平移可知：，， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∵O为的中点， ∴， ∵， ∴． 10. 根据物理学知识，在压力不变的情况下，某物体承受的压强是它的受力面积的反比例函数，其函数图象如图所示，下列结论中错误的是（ ） A. 当时，； B. 当受力面积S大于时，压强p 小于 C. S每增加，p减小 D. 当时，压强p的变化范围为 【答案】C 【解析】 【分析】先根据图象上的点求出反比例函数解析式，再根据反比例函数的性质及解析式逐项判断即可． 【详解】解：设， 图像经过点即， ∴． A．当时，，故A正确； B．由，则该函数在第一象限内p随S的增大而减小， 当时，， 即当时，，故B正确； C．当S从增加到时，p从1000减小到500，减小了500， 当S从增加到时，p从500减小到，减小量不为1000，故C错误，符合题意； D．当时，，当时，， 即当时，压强p的变化范围为，故选项D正确． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 要使 有意义，则x的值可以是_______． 【答案】 （答案不唯一，满足即可） 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件，得到被开方数为非负数，列出不等式求解出的取值范围，在范围内任取一个值即可． 【详解】解：根据二次根式的定义，二次根式中被开方数必须是非负数，可得 ， 解得， 因此任意满足的值都符合题意，此处可取．（答案不唯一，满足即可） 12. 方程组的解为_______． 【答案】 【解析】 【分析】利用加减消元法消去未知数，先求出的值，再代入求出的值即可． 【详解】解：， ①②，得，解得， 把代入②，得，解得， 故方程组的解为． 13. 生物学研究表明，植物光合作用速率越高，单位时间内合成的有机物越多．为了了解甲、乙两个品种大豆的光合作用速率，科研人员从这两个品种的大豆中各选六株，在同等实验条件下，测得它们的光合作用速率（单位： ）的平均数相同，光合作用速率的方差分别为 ，，则在此次实验中，这两个大豆品种光合作用速率更稳定的是________．（填“甲”或“乙”） 【答案】 甲 【解析】 【分析】根据方差的意义，方差越小数据波动越小，数据越稳定，比较甲和乙的方差大小即可． 【详解】解： ，， ， 则甲品种光合作用速率的波动更小，更稳定． 14. 如图，是的弦，是的切线，与交于点D，与交于点E， ， 若，，则图中阴影部分的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】如图：连接，根据对顶角相等求出，在中求出，利用等腰三角形性质求出，进而求出，根据切线性质得到，解直角三角形求出，最后利用即可解答． 【详解】解：如图：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴，即， 在中，，， ∴， ∴， ∵， ∴． 15. 定义：一个等腰直角三角形的直角顶点在另一个直角三角形直角边的中点处，且斜边为这个直角边的一半，那么这两个直角三角形叫做“双直半边三角形”．如图，在中，，，，的顶点D在边上，连接．将绕点 D旋转，若这两个直角三角形为“双直半边三角形”，当边被垂直平分时，的长为_______． 【答案】 或 【解析】 【分析】首先，根据已知条件得出，再根据定义分两种情况：①当被垂直平分时，设与交于点O，得到，再由与为“双直半边三角形”，为等腰直角三角形，得到，，进而得出，可得，最后，在中，；②同理①中方法可得， 进而得在中，． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ①如图1，当被垂直平分时，设与交于点O． ∴， ∵与为“双直半边三角形”， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 在中，； ②如图2，当被垂直平分时，设与交于点G． ∴， ∵与为“双直半边三角形”， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 在中，． 综上，当边被垂直平分时，的长为或． 【点睛】根据题意作出对应的图形进行分类讨论，并能根据定义及已知条件构造出和，再运用勾股定理解答是解题的关键． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 计算与化简 （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先利用算术平方根、二次根式的乘法法则、零次幂化简，然后再计算即可． （2）直接运用整式的混合运算法则计算即可． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 17. 为传承和弘扬辽宁非遗文化，让同学们深入了解家乡的非遗知识，某校开展了“辽宁非遗文化知多少”主题研学活动，活动后以自愿报名的方式组织了非遗知识竞赛．竞赛结束后，从竞赛成绩（单位：分，满分100分，均不低于60分）中用科学的抽样方法随机抽取部分成绩，并进行整理，得到如下统计图表． 非遗知识竞赛成绩频数分布表 A组 B组 C组 D组 备注：B组共有15个成绩：89，88，88，86，85，85，85，84，84，83，81，81，81，80，80． 根据以上信息，解答下列问题： （1）本次调查的样本容量为 ； （2）B组15个成绩的平均数为 分，本次被抽取的所有成绩的中位数为 分； （3）学校决定对本次竞赛成绩90分及以上的学生进行奖励，该校共有300名学生参加竞赛，请估计本次竞赛的获奖人数． 【答案】（1）50 （2）84，81 （3）估计本次竞赛的获奖人数为78人 【解析】 【分析】（1）根据B组有15人，B组所占比例为，求出样本容量； （2）再根据平均数的定义和中位数的定义解答即可； （3）用总人数乘以本次调查成绩90分及以上的学生的百分比即可得到答案． 【小问1详解】 解：本次调查的样本容量为． 【小问2详解】 解：B组15个成绩的平均数为分； 本次样本容量为50，A组人数为个， 把50个成绩从大到小排列，排在中间的两个数分别是81，81， 所以本次被抽取的所有成绩的中位数为分． 【小问3详解】 解：人． 答：估计本次竞赛的获奖人数为78人． 18. 如图， 是圆内接三角形，为圆的直径． （1）请用无刻度的直尺和圆规作出圆心（保留作图痕迹，不写作法）． （2）过点的直线交的延长线于点，为边的中点，连接，，．若，求证：四边形是平行四边形． 【答案】（1）解：点即为所求， （2）证明：如图，过点的直线交的延长线于点，为边的中点，连接，，．并作， 是直径， ， 是的中点， ，即， ， ，， 四边形是矩形， ，， ， ， 四边形是平行四边形． 【解析】 【分析】（1）因为是直径，所以找到的中点即是圆心； （2）根据题干画出图形，同时根据圆的圆周角性质和垂径定理及推论可以得出四边形是矩形，若，则，平行且等于，所以四边形是平行四边形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 某数学兴趣小组在户外开展综合实践活动，撰写实验报告如下． 实验主题 测量风力发电机舱的高度 工具准备 测角仪，卷尺等 实验过程 1．风力发电机舱在点A处，三片扇叶两两所成的角为α； 2．数学兴趣小组的同学在点 C 处安放测角仪； 3．测得扇叶的末端点 E的仰角为β； 4．测得点 C 离塔杆的距离的长 实验图示 测量数据 1．；2．；3．米，米 备注 1．测角仪高度米； 2．图上所有点均在同一平面内； 3． ，均与地面垂直； 4．参考数据： 请你根据以上实验过程和测量的数据，求风力发电机舱的高度（精确到0.1米）． 【答案】 【解析】 【分析】过作于，过作于，先证明，四边形是矩形，得到，，，再根据，得到，，再在中，由得到，最后根据计算即可． 【详解】解：过作于，过作于， 由题意可得，，，四边形是矩形， ∴，四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， 中， ∴， ∴， ∴（米）． 20. 如图，已知正比例函数与反比例函数的图象在第一象限交于点． （1）求，的值． （2）将直线向上平移2个单位长度后与轴交于点，与反比例函数的图象交于第一象限的点． ①求平移后的一次函数表达式及点的纵坐标； ②为反比例函数图象部分上一点，连接，当的面积小于的面积时，请直接写出点的横坐标的取值范围． 【答案】（1）， （2）①，；② 【解析】 【分析】（1）将点分别代入正比例函数与反比例函数表达式，即可求出，的值； （2）①根据上加下减得出平移后的一次函数表达式，联立一次函数与反比例函数即可求出点的纵坐标；②当的面积小于的面积时，，为反比例函数图象部分上一点，则，根据反比例函数的图象于性质，即可得出的取值范围． 【小问1详解】 解：将点代入，得 ，解得； 将点代入，得 ，解得． 【小问2详解】 解：①将直线向上平移2个单位长度后表达式为： ， ∴平移后的一次函数表达式为． 联立，解得，， ∵点在第一象限， ． ②当的面积小于的面积时，， ∵为反比例函数图象部分上一点， ． ∵反比例函数,, ∴在第一象限，随的增大而减小． ． ∴． 21. 随着技术的飞速发展和人们环保意识的提高，新能源汽车已成为汽车市场一股不可忽视的力量．为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买甲、乙两种型号的充电桩．已知每台甲型充电桩比每台乙型充电桩贵万元，用40万元购买甲型充电桩的数量与用30万元购买乙型充电桩的数量相同． （1）甲、乙两种型号充电桩的单价各是多少？ （2）该停车场计划购买甲、乙两种型号的充电桩共20台，且购买乙型充电桩的数量不超过甲型充电桩数量的2倍，则如何购买所需总费用最少？ 【答案】（1）甲型号充电桩单价为万元，乙型号充电桩单价为万元 （2）购买甲型充电桩7台，乙型充电桩13台时，所需总费用最少 【解析】 【分析】（1）设乙型充电桩单价为x万元，根据“用40万元购买甲型充电桩的数量与用30万元购买乙型充电桩的数量相同”列分式方程，然后再检验即可解答； （2）设购买甲型充电桩m台，总费用为W万元，根据“购买乙型充电桩的数量不超过甲型充电桩数量的2倍”得到m的取值范围，再列出总费用关于m的一次函数，根据一次函数的增减性即可求出总费用最小时的购买方案即可． 【小问1详解】 解：设乙型号充电桩的单价是x万元，则甲型号充电桩的单价是万元， 由题意得，解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意，  ∴（万元）． 答：甲型号充电桩单价为万元，乙型号充电桩单价为万元． 【小问2详解】 解：设购买甲型充电桩m台，则购买乙型充电桩台，所需总费用为W万元， 由题意得， 解得 ，  ∵m为正整数，且，  ∴， 总费用， ∵，  ∴W随m的增大而增大，  ∴当m取最小值7时，W取得最小值， 此时（台）． 答：购买甲型充电桩7台，乙型充电桩13台时，所需总费用最少． 22. 某大型商业楼前欲设计一个直径为的圆形喷水池，设计方案如图所示，在喷水池的中心O（圆心）处竖直安装一个喷水管，P处是喷头，喷出水流的运动路线可以看作抛物线的一部分，且喷出的水流关于轴对称．以O为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，测得为．当喷出的水流最高为时，喷出水流与的水平距离为． （1）①求y轴右侧抛物线的表达式； ②请通过计算说明喷出的水流是否流到水池外． （2）安装师傅调试时发现，喷水管竖直上下移动时，抛物线形水流随之竖直上下移动（假设抛物线形水流移动时，保持对称轴及形状不变）．若想要喷出的水流刚好不流到水池外，应该把喷水管向上移动多少米？ 【答案】（1）①；②喷出的水流没有流到水池外，理由见解析 （2）应该把喷水管向上移动 【解析】 【分析】（1）①由题意可知，抛物线的顶点坐标为，且经过点，设轴右侧抛物线的表达式为，将点代入，求出a的值，即可解答； ②当时，，求出，继而推导出水流落地点距离圆心，半径，根据，得到喷出的水流没有流到水池外，即可解答； （2）设把喷水管向上移动米，根据题意，可设移动后的抛物线的解析式为，要使水流刚好不流到水池外，则水流落地点为，将代入解析式，求出，即可解答． 【小问1详解】 解：①由题意可知，抛物线的顶点坐标为，且经过点， ∴设轴右侧抛物线的表达式为， 将点代入，得 ， 解得， 轴右侧抛物线的表达式为， 即． ②当时，． 整理得， 解得， 水流在轴右侧， ， 即水流落地点距离圆心， 圆形喷水池的直径为， 半径， ， 喷出的水流没有流到水池外． 【小问2详解】 解：设把喷水管向上移动米，根据题意，移动后的抛物线形状和对称轴不变， ∴移动后的抛物线的解析式为， 要使水流刚好不流到水池外，则水流落地点为， 将代入解析式，得 ， 解得， 答∶应该把喷水管向上移动． 23. 综合与探究 实践操作：数学操作探究活动可以解决数学中的很多难题，在综合实践课上，数学兴趣小组的同学们以探究“矩形纸片的折叠问题”为主题开展活动．已知在矩形中，，点E在边上，点F在边上． 特例研究： （1）如图1，精英小组将矩形沿进行折叠，使点B的对应点恰好落在边的中点处，求的长． 探索发现： （2）如图2，光明小组将矩形沿进行折叠，使点B的对应点．恰好落在边上，连接，求 的值． 拓展延伸： （3）如图3，星梦小组在其他小组的基础上将矩形沿进行折叠，得到 ，连接，点E是的中点，点F是边上的一个动点（不与的两个端点重合）．当为直角三角形时，直接写出的长． 【答案】（1）5 （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）设，由折叠可得，，然后对运用勾股定理建立方程求解； （2）先由勾股定理求解，然后证明，即可在中求解； （3）分两种情况讨论，结合勾股定理以及折叠的性质求解即可． 【小问1详解】 解：∵矩形中，，， ∵点是中点， ∴ 设 由折叠可得， ∵ ∴ 解得 ∴的长为； 【小问2详解】 解：∵矩形中，,，， ∴ 由折叠可得， ∴， ∴， ∴ 【小问3详解】 解：当时， ∴ ∴由折叠可得， ∵矩形中，，，，点E是的中点， ∴，是等腰直角三角形， ∴ ∴； ②当时， 由折叠可得， ∴ ∴点三点共线， 设 ∵ ∴ ∵ ∴ 解得 ∴ \综上：的长为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $