专题10.3 实际问题与二元一次方程组（3大知识点+11大分层题型+易错重难点+巩固练习）2025-2026学年人教版七年级数学下学期培优讲义

专题10.3 实际问题与二元一次方程组 知识点1：列二元一次方程组解实际问题的六步解题法 1.审：通读题目，提取关键信息，找到两个独立的等量关系，区分已知量与未知量。 2.设：设出两个未知数（直接设/间接设），保证单位统一，标注清楚未知数含义。 3.列：根据找到的两个等量关系，列出标准的二元一次方程组。 4.解：用代入消元法或加减消元法求解方程组。 5.验：双重检验——①解满足方程组；②解符合实际意义（如数量为正整数、时间非负等）。 6.答：完整写出答案，带上对应单位。 知识点2：常见实际问题核心等量关系 问题类型 核心等量关系 和差倍分问题 较大量=较小量+差；总量=倍数×部分量+余量 行程问题 路程=速度×时间；相遇：路程和=总距离；追及：路程差=距离差 工程问题 工作总量=工作效率×工作时间；合作总量=各队工作量之和（总量常看作1） 销售问题 售价=标价×折扣；利润=售价-进价；利润率= 配套问题 甲部件数量:乙部件数量=配套比例 数字问题 两位数=10×十位数字+个位数字；三位数=100×百位+10×十位+个位 知识点3：方案决策类问题解题思路 1.先通过方程组求出基础固定量（单价、效率、进价等）。 2.根据题目限制条件（如“不超过”“不少于”），确定未知数的取值范围。 3.结合实际要求（费用最少、利润最大），筛选出最优可行方案。 【基础必考题型】 【题型1】和差倍分实际问题 1.核心知识点 二元一次方程组的建立；和、差、倍、分的文字转数学关系。 2.解题方法技巧 ①圈画关键词：“多、少、倍、一半、共、差”； ②设两个未知数，将文字描述转化为等式； ③优先用直接设元法，简化计算。 【例题1】.（25-26七年级下·吉林长春·月考）某校组织学生参加植树活动，已知七年1班有28人在甲处植树，七年2班有21人在乙处植树．现调七年3班20人去支援，使在甲处植树的人数是乙处人数的2倍，问应调往甲处多少人？ 【变式题1-1】.（2026·海南省直辖县级单位·一模）DeepSeek公司推出两款人工智能云服务套餐：基础版和增强版．已知增强版每月订阅费比基础版高50元．某科技团队订阅了5份增强版和3份基础版，共支付1850元．问增强版和基础版每月订阅费各是多少元？ 【变式题1-2】.（25-26八年级上·贵州毕节·期末）某校组织师生共380人去郊外参观学习，需租用甲、乙两种不同类型的客车共10辆，租用1辆甲型客车需租金600元，租用1辆乙型客车需租金500元，租车费用共5600元，已知一辆甲型客车比一辆乙型客车多5个座位，且租用的所有客车刚好满座． (1)求租用甲、乙两种类型的客车各多少辆．（要求：列二元一次方程组求解） (2)求甲、乙两种类型的客车一辆各有多少个座位． 【变式题1-3】.（2026·江西吉安·二模）庐山云雾茶是江西十大名茶之一，今年春茶季，庐山市甲、乙两个生态茶园依托当地优越的生态条件，大力发展茶叶种植与加工．据茶园负责人介绍：甲茶园的种植面积比乙茶园多4亩，甲茶园每亩产鲜叶300千克，乙茶园每亩产鲜叶350千克，且甲茶园的鲜叶总产量比乙茶园少200千克． 请根据以上信息，解答下列问题： (1)求甲、乙两个茶园各自的种植面积． (2)甲、乙两茶园将鲜叶加工成干茶，甲茶园出茶率为（100千克鲜叶可制25千克干茶），干茶每千克的售价为800元，乙茶园出茶率为，干茶每千克的售价为750元．若甲、乙两个茶园生产的鲜叶全部制成干茶，求甲、乙两个茶园的干茶全部售出后的总销售额． 【题型2】几何图形实际问题 1.核心知识点 长方形/正方形周长、面积公式；数形结合列方程组。 2.解题方法技巧 ①标注图形边长，用未知数表示未知边长； ②利用周长、面积公式建立两个等量关系； ③检验边长为正数，符合几何意义。 【例题2】.（25-26七年级下·福建厦门·月考）将两块完全相同且宽为的长方体木块先按图的方式放置，再按图的方式放置，测得的数据如图所示（单位：），则桌子的高度________． 【变式题2-1】.（25-26八年级上·河南平顶山·期末）如图，在大长方形中放置10个形状、大小都相同的小长方形，大长方形的周长为36，小长方形的长比宽多4．设小长方形的长为x，宽为y，则下列方程组正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式题2-2】.（24-25七年级下·浙江宁波·期中）把图1中周长为的长方形纸片分割成四张大小不等的正方形纸片、、、和一张长方形纸片，并将它们按图2的方式放入周长为的长方形中．设正方形的边长为，正方形的边长为． (1)用和的代数式表示：正方形的边长为___________，正方形的边长___________，长方形的长为___________，长方形的宽为___________．由图1可得___________． (2)求图2阴影部分的周长． 【变式题2-3】.（24-25七年级下·陕西榆林·期末）如图是小飞同学用大小相同的长方形纸片摆放形成的图案，其中三张横放的纸片比一张竖放的纸片高，两张横放的纸片比两张竖放的纸片矮，求一张长方形纸片的长和宽．（用二元一次方程组解答） 【题型3】购物销售问题 1.核心知识点 单价×数量=总价；二元一次方程组解购物费用问题。 2.解题方法技巧 ①设两种商品单价为未知数； ②按“购买数量×单价=总费用”列方程组； ③区分“原价”“折扣价”，不混淆等量关系。 【例题3】.（25-26九年级下·安徽六安·月考）小张计划购进A，B两种文创产品，在“文化夜市”上进行销售．已知A种文创产品比B种文创产品每件进价多3元，购进2件A种文创产品和3件B种文创产品共需花费26元．求A，B种文创产品每件的进价． 【变式题3-1】.（25-26七年级下·河南周口·月考）某商店购进两种商品共件， 商品每件进价元， 商品每件进价元，总进价为元． (1)求两种商品各购进多少件？ (2)若商品每件售价元， 商品每件售价元，全部售完后，该商店共获利多少元？ 【变式题3-2】.（2026·江苏徐州·一模）张大伯新建了一个养殖场，需要去集市购买母鸡，鸡仔，鸭子共只．已知一只母鸡元，一只鸭子元，只鸡仔元．张大伯一共花费了元，已知鸡仔一共买了只，问母鸡和鸭子各买了多少只？ 【变式题3-3】.（2026·湖南长沙·一模）为储备常用物资，某健身馆分三次采购运动毛巾和加厚款瑜伽垫，其中第二次采购时正赶上商场周年店庆，这两种商品同时按相同折扣促销，其余两次均按市场单价采购，三次采购的物品数量及总费用如下表． 采购批次 运动毛巾/条 瑜伽垫/个 总费用/元 第一次购物 5 6 400 第二次购物 7 6 396 第三次购物 4 3 230 (1)分别求出运动毛巾和加厚款瑜伽垫的市场单价； (2)求商场打折促销期间是打几折出售这两种商品的？ 【题型4】行程问题 1.核心知识点 路程=速度×时间；相遇、追及问题的路程关系。 2.解题方法技巧 ①画线段图辅助分析路程关系； ②相遇：；追及：； ③统一时间、路程单位。 【例题4】.（25-26七年级下·河南周口·月考）甲乙两人分别从相距的A、B两地同时出发，相向而行，小时相遇；若同向而行，甲9小时追上乙．则甲、乙速度(单位∶ ) 分别为（   ） A．12， 8 B．10， 10 C．14， 6 D．16， 4 【变式题4-1】.（25-26七年级上·湖南岳阳·期末）线段图是解决行程问题的重要数学工具，如图所示的是甲、乙二人运动两次的情形．设甲的平均速度是，乙的平均速度是/，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【变式题4-2】.（25-26七年级上·福建莆田·期末）李明和刘伟分别从两地同时出发，李明骑自行车，刘伟步行，沿同一条道路相向匀速而行，出发后两人相遇．相遇时李明比刘伟多行进，相遇后李明到达地． (1)两人每小时分别行进多少千米？ (2)相遇后经过多长时间刘伟到达地？ 【变式题4-3】.（25-26七年级上·重庆·自主招生）从市到市，共有三段不同的公路，第三段公路的长度是第一段公路长度的2倍，甲乙两辆汽车分别从、两市同时出发，甲汽车在第一段公路上以每小时40千米的速度行驶，在第二段公路上的速度提高．乙汽车在第三段公路上以每小时50千米的速度行驶，在第二段公路上把速度降低了，两车出发3小时24分后，甲汽车刚好行完第二段公路的时与乙汽车相遇，那么、两市之间的公路全长为多少千米？ 【题型5】工程问题 1.核心知识点 工作总量=效率×时间；合作工程的总量计算。 2.解题方法技巧 ①无具体总量时，将总工作量看作1； ②设甲、乙效率为未知数，按“工作量之和=总任务”列方程； ③工作时间为非负数。 【例题5】.（24-25七年级下·全国·课后作业）抢修一段全长420m的供暖管线，甲、乙两个工程队同时施工，2.5天全部修完，修完时，甲工程队比乙工程队多修了70m．设甲、乙两个工程队的工作效率分别为x米/天和y米/天，可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【变式题5-1】.（2020八年级·山东·竞赛）甲加工一种零件，乙加工另一种零件．甲用型机器需要6小时才能完成任务，用型机器效率降低；乙用型机器需要10小时才能完成任务，用型机器效率提高．如果甲用型机器，乙用型机器同时开始工作，中途某一时刻交换使用机器，甲和乙同时完成任务．则甲完成任务所用的时间是__________小时． 【变式题5-2】.（2025八年级上·全国·专题练习）某市下水管道工程招标时，有甲、乙两个工程队投标．已知甲工程队比乙工程队每天能多铺设50米，甲工程队4天铺设的管道与乙工程队6天铺设的管道长度相同．求甲、乙工程队每天各能铺设多少米管道？ 【变式题5-3】.（25-26七年级上·安徽阜阳·期末）某物流公司计划用两种车型的车辆运输一批物资，已知用1辆A型车和2辆B型车装满物资一次可运10吨；用2辆A型车和1辆B型车装满物资一次可运11吨．该批物资共有31吨，物流公司计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都装满． (1)1辆型车和1辆型车都装满物资，一次可分别运多少吨？ (2)请你帮该物流公司设计运输这批物资的租车方案； (3)若此次运输中，1辆型车的租金为150元，1辆型车的租金为120元，请选出最省钱的租车方案，并求出租车费． 【题型6】古代数学文化问题 1.核心知识点 古文转现代数学语言；传统文化中的二元一次方程组。 2.解题方法技巧 ①翻译古文，提取“数量、总价、总和”等关键信息； ②按现代应用题思路设未知数列方程组； ③传承文化，检验结果符合古代计量规则。 【例题6】.（2026·宁夏银川·一模）《九章算术》中记载：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何．”题目大意是：今有人合伙购物，每人出八钱，余三钱；每人出七钱，差四钱，问人数、物价各是多少，设有人．物价为钱，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【变式题6-1】.（2026·广东东莞·模拟预测）我国古代数学著作《孙子算经》中有著名的“百马问题”，叙述如下：“今有百马驮百瓦，大马一驮三，中马一驮二，小马三驮一．问大、中、小马各几何？”意思是：大马每匹驮3块瓦，中马每匹驮2块瓦，小马每3匹驮1块瓦．要用一百匹马驮一百块瓦，问大马、中马、小马各多少匹？若现已知中马有27匹，设大马有x匹，小马有y匹．则可列方程组是（   ） A． B． C． D． 【变式题6-2】.（2026·安徽亳州·一模）《九章算术》中有一道题，原文是：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问：人数、物价各几何？” 译文是：假设共同买东西，如果每人出8钱，盈余3钱；每人出7钱，不足4钱．问：人数、物价各多少？ 请解答上述问题． 【变式题6-3】.（25-26八年级下·四川达州·开学考试）《九章算术》中有这样一个题：“今有醇酒一斗，直钱五十；行酒一斗，直钱一十．今将钱三十，得酒二斗．问醇、行酒各得几何？”其译文是：今有醇酒（优质酒）1斗，价值50钱；行酒（劣质酒）1斗，价值10钱．现有30钱，买得2斗酒．问醇酒、行酒各能买得多少？设买得醇酒斗，买得行酒斗，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【压轴素养题型】 【题型7】配套生产实际问题 1.核心知识点 配套比例转化为等量关系；工业/手工生产配套建模。 2.解题方法技巧 ①明确“1套产品需甲、乙部件数量”，确定配套比； ②甲部件总数:乙部件总数=配套比； ③结果取正整数，符合生产实际。 【例题7】.（25-26八年级上·山西晋中·期末）年，中国航天事业迈向全新高度，一系列深空探测任务紧锣密鼓筹备中．在酒泉卫星发射中心的航天器调配区，一场关乎任务成败的资源协调正在进行．这里集结了用于执行不同任务的“天问”系列行星探测器和“神舟”系列载人飞船共艘．每艘“天问”需名航天工程师保障，每艘“神舟”需名工程师协同．现调配名工程师就绪，求“天问”与“神舟”各有多少艘？ 【变式题7-1】.（25-26八年级上·陕西西安·期末）某校学生在课外活动中开展了手工创意作品制作活动，需要用如图1所示的长方形和正方形纸板（长方形的宽与正方形的边长相等）加工成如图2所示的竖式与横式两种无盖的长方形纸盒（加工时接缝材料不计）．若该校购进正方形纸板1200张，长方形纸板3000张，问竖式纸盒、横式纸盒各加工多少个，恰好能将购进的纸板全部用完？ 【变式题7-2】.（2026·陕西西安·三模）如图，制作甲、乙两种无盖的长方体纸盒，需用正方形和长方形两种硬纸片，且长方形硬纸片的宽与正方形硬纸片的边长相等．用200张正方形硬纸片和400张长方形硬纸片制作这两种纸盒，纸片刚好用完且无剩余．求可以制作乙种纸盒多少个．（纸片连接处损耗不计） 【变式题7-3】.（24-25七年级下·福建泉州·月考）工作人员从仓库领取如图1中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图2的竖式和横式的两种无盖纸盒若干个，恰好使领取的纸板用完． 次数 正方形纸板（张） 长方形纸板（张） 第一次 560 940 第二次 420 1002 (1)下表是工作人员两次领取纸板数的记录： ①仓库管理员在核查时，发现一次记录有误，请判断第几次的记录有误，并说明理由； ②记录正确的那一次，利用领取的纸板做了竖式和横式纸盒各多少个？ (2)若工作人员某次领取的正方形纸板数与长方形纸板数之比为，请你求出利用这些纸板做出的竖式纸盒与横式纸盒个数的比值； (3)拓展延伸：现在仓库里有张正方形纸板和张长方形纸板，如果这些纸板做出的竖式纸盒为与横式纸盒个数为，恰好使库存的纸板用完，则用的代数式表示的值． 【题型8】数字与里程碑问题 1.核心知识点 多位数的代数表示；匀速行程中的数字规律。 2.解题方法技巧 ①两位数设为，三位数设为； ②结合“匀速行驶路程相等”建立第二个等量关系； ③数字为0-9的整数，首位不为0。 【例题8】.（25-26九年级下·湖南长沙·月考）将这八个数分成两组，每组四个数，并且两组数之和相等．从A组拿一个数到B组后，B组五个数之和将是A组剩下的三个数之和的2倍；从B组拿一个数到A组后，B组剩下的三个数之和将是A组五个数之和的，则A组的四个数是____． 【变式题8-1】.（25-26七年级上·湖南益阳·期末）一个各数位均不为零的四位自然数，若满足，则称这个数为“友谊数”，例如四位数，因为，所以是“友谊数”．若是一个“友谊数”，且，则这个数为______． 【变式题8-2】.（24-25八年级上·贵州贵阳·期末）小明爸爸骑着摩托车带着小明在公路上匀速行驶，下表是小明每隔看到的里程情况． 时刻 里程表上的数 是一个两位数，它的两个数之和为7 十位与个位数字与时所看到的正好互换了 比时看到的两位数中间多了一个0 小明在时看到的数是（   ） A．16 B．61 C．72 D．94 【变式题8-3】.（24-25八年级上·山东枣庄·月考）小明的爸爸骑着摩托车带着小明在公路上匀速行驶，小明每过一段时间看到的里程碑上的数（单位：公里）如下： 时刻 里程碑上的数 是一个两位数，它的个位数字比十位数字的倍大 也是一个两位数，十位与个位数字与时所看到的正好互换了 是一个三位数，比时看到的两位数的数字中间多了个 如果设小明时看到的两位数的十位数字为，个位数字为．那么： (1)小明时看到的两位数为 ； (2)小明时看到的两位数为 ；时看到的三位数为 ； (3)请你列二元一次方程，求小明在时看到里程碑上的两位数． 【题型9】表格信息问题 1.核心知识点 从表格提取数据；根据表格数据列方程组。 2.解题方法技巧 ①读懂表格行列含义，圈出两组对应数据； ②用两组数据分别建立等量关系； ③核对数据对应关系，避免行列混淆。 【例题9】.（2026九年级下·重庆永川·专题练习）如图，是2025年5月的月历表，“横3”和“竖3”两个阴影图形分别覆盖其中3个数字（两个阴影图形可以上下左右移动，也可以重叠覆盖）．设“横3”覆盖的数字之和为m，“竖3”覆盖的数字之和为n，当时，m的最小值为______． 【变式题9-1】.（25-26七年级上·河南·期末）灵宝苹果和孟津梨都是河南著名的农产品，某超市购进灵宝苹果和孟津梨进行销售． 信息一：该超市用2700元购进灵宝苹果和孟津梨共300千克． 信息二：这两种水果的进价、售价如下表所示： 水果 进价/（元/千克） 售价/（元/千克） 灵宝苹果 7 10 孟津梨 10 14 (1)该超市购进灵宝苹果和孟津梨各多少千克？ (2)若该超市销售完灵宝苹果时，孟津梨还剩下，将剩余孟津梨打折出售，全部售完后，共获利1044元，求剩余孟津梨打了几折． 【变式题9-2】.（25-26七年级下·浙江杭州·月考）某班有部分同学准备统一购买新的足球和跳绳．经班长统计共需要购买足球的有名同学，需要购买跳绳的有名同学． (1)请根据图中班长和售货员阿姨的对话信息，分别求出足球和跳绳的单价； (2)由于足球和跳绳的需求量增大，该体育用品商店老板计划再次购进足球个和跳绳根其中，恰好用了元，其中足球每个进价为元，跳绳每根的进价为元，则有哪几种购进方案？ (3)假如（2）中所购进的足球和跳绳全部售出，且单价与（1）中的售价相同，为了使销售获利最多，应选择哪种购进方案？ 【变式题9-3】.（2026·广西钦州·一模）2025年5月20日是第36个中国学生营养日，主题为“吃动平衡  身心健康”，核心倡导“加奶、增豆、少油”．初中生小宇的妈妈为他准备了两款营养食品：A款：高钙牛奶；B款：豆谷营养包．每一份的营养成分如下表所示：某天，小宇从这两种食品中恰好摄入了能量和蛋白质． 营养成分 1份A款高钙牛奶 1份B款豆谷营养包 能量 蛋白质 脂肪 碳水化合物 钙 (1)小宇这天食用了A款高钙牛奶和B款豆谷营养包各多少份？ (2)初中生每日脂肪摄入量的标准为．若小宇这天已经从其他食品中摄入了脂肪，在他吃完这两款食品后，脂肪摄入量是否超标？请说明理由． 培优难度（素养培优·跨学科综合化） 【题型10】跨学科综合实际问题 1.核心知识点 二元一次方程组与物理、生物、体育等学科融合建模。 2.解题方法技巧 ①提取跨学科公式/规律（如杠杆平衡、BMI指数、热传递）； ②将学科规律转化为数学等量关系； ③兼顾学科规则与数学解的实际意义。 【例题10】.（2025·北京·一模）如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮．利用图中信息解决下列问题： 物理常识 开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量，可以转化为“开水的体积开水降低的温度温水的体积温水升高的温度．” (1)王老师拿空水杯先接了的温水，又接了的开水，刚好接满，则王老师的水杯容量为__________； (2)嘉琪同学拿空水杯先接了一会儿温水，又接了一会儿开水，得到一杯，温度为的水（不计热损失），求嘉琪同学的接水时间．（列二元一次方程组解决问题） 【变式题10-1】.（25-26七年级上·江苏淮安·月考）如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口．温水的温度为，流速为，开水的温度为，流速为． 物理常识：开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量，即温水的体积温水升高的温度开水的体积开水降低的温度 (1)用空杯先接温水，再接开水，接完后杯中共有水_____，水温为_____； (2)某学生先接了一会儿温水，又接了一会儿开水，得到一杯温度为的水（不计热损失），求该学生分别接温水和开水的时间． 【变式题10-2】.（24-25七年级下·福建厦门·期末）《国家学生体质健康标准》中明确要求关注身体形态和肥胖状况．体重指数（）是用来衡量人体胖瘦程度的常用参考指标，根据数值将人体胖瘦状况分为体重过低、体重正常、超重、肥胖四种类型． （一）从某校七年级学生中随机抽取男生、女生各20名，测得他们的身高和体重数据，计算出相应的数值，并将数据整理如下： 20名男生胖瘦状况频数分布表  20名女生胖瘦状况条形图 组别 频数    体重过低 3 体重正常 a 超重 4 肥胖 3 （二）由资料知，饮食平衡与适当运动可以有效控制．为保障在食堂就餐学生的营养均衡，学校加强对食堂供餐的管理．已知学校食堂某天午餐的供餐方案：每份午餐含米饭、一份荤菜、两份半荤菜及一份蔬菜．其中每份午餐中蔬菜类食物合计，肉蛋类食物合计，各类菜品配料等具体信息如表一． 【备注：学校食堂采用少油少盐的营养供餐，因此食用油、食盐等配料等的热量和蛋白质忽略不计】 表一 类别 菜名 原材料质量配比 每100克含热量（千焦） 每100克含蛋白质（克） 荤菜 卤鸡腿 鸡腿 840 18 半荤 番茄炒蛋 番茄：鸡蛋 300 6 半荤 花菜炒肉片 花菜：肉片 350 7 蔬菜 清炒空心菜 空心菜 25 主食 米饭 大米 1400 4 （三）该校七年级学生均为13岁—14岁的青少年，我国该年龄段学生的午餐营养标准如表二． 表二 能量需要量（千焦） 蛋白质摄入量（克） 男 女 根据材料解决下列问题： (1)　　　　　　； (2)已知该校七年级男生260人，女生240人．根据以上统计数据，估计该校七年级学生体重正常的人数比例．针对该校七年级学生的胖瘦状况，请你提出一条合理化建议； (3)通过计算，判断该份午餐是否符合七年级男生或女生的午餐营养标准． 【变式题10-3】.（23-24八年级上·广西南宁·月考）【综合与实践】 有言道：“杆秤一头称起人间生计，一头称起天地良心”．某兴趣小组将利用物理学中杠杆原理制作简易杆秤．小组先设计方案，然后动手制作，再结合实际进行调试，请完成下列方案设计中的任务． 【知识背景】如图，称重物时，移动秤砣可使杆秤平衡，根据杠杆原理推导得：．其中称盘质量克，重物质量克，秤砣质量克，秤纽与秤盘的水平距离为厘米，秤纽与零刻线的水平距离为厘米，秤砣与零刻线的水平距离为厘米．    【方案设计】 目标：设计简易杆称．设定，最大可称重物质量为1000克，零刻线与末刻线的距离定为50厘米． 任务：确定和的值． (1)当秤盘不放重物，秤砣在零刻线时，杆秤平衡，请列出关于的方程； (2)当称盘放入质量为1000克的重物，秤砣从零刻线移至末刻线时，杆秤平衡，请列出关于的方程； (3)根据（1）和（2）所列方程，求出和的值． 【题型11】方案优化与决策问题 1.核心知识点 方程组+取值范围；最优方案（费用最少、利润最大）选择。 2.解题方法技巧 ①先求基础量（单价、进价），再列限制条件； ②确定未知数的整数取值范围； ③代入计算，比较得出最优方案。 【例题11】.（25-26七年级上·贵州铜仁·月考）2026马年央视春晚中，宇树科技的机器人《武》展示了单腿连续后空翻、托马斯全旋等高难度动作，是本届春晚科技与文化融合的巅峰之作．随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率．拟购买、两种型号智能机器人进行快递分拣．若买1台型机器人、3台型机器人，共需260万元；若买3台型机器人、2台型机器人，共需360万元． (1)求、两种型号智能机器人的单价． (2)该企业现计划用960万元采购型和型机器人，两种机器人均要购买且预算必须全部用完．请列出所有可能的购买方案． 【变式题11-1】.（25-26七年级上·湖南岳阳·期末）某中学拟组织七、八年级师生去参观岳阳博物馆，请根据以下素材完成相应的任务． 项目主题 探究“租车方案”问题 素材1 客运公司有60座和45座两种型号的客车可供租用．60座客车每辆每天的租金比45座的贵220元． 素材2 八年级师生在这个客运公司租了5辆60座和3辆45座的客车到岳阳博物馆，一天的租金共计8620元． 素材3 如果七年级租用45座的客车辆，则恰好所有师生都有座位，且无多余空位；如果租用60座的客车则可少租2辆，且有一辆车上空余15个座位． 解决问题 任务1 根据素材1、2，解决下列问题：（1）客运公司60座和45座的客车每辆每天的租金分别是多少元？ 任务2 根据素材3，并结合任务1的结论，解决下列问题：（2）若只租用同一种客车，使七年级每位师生都有座位，应该怎样租用才合算？ 【变式题11-2】.（25-26八年级上·广东深圳·期末）综合与实践：根据下面素材，探索完成任务． 背景 作为深圳建设“新一代世界一流汽车城”的核心承载区，坪山区正全力聚焦智能网联新能源汽车的研发创新与智能制造，构建起“核心研发+智能制造”的双轮驱动产业生态．为抢抓新能源汽车市场机遇，某汽车销售企业计划从坪山区新能源汽车产业集群中批量采购新能源汽车，开展市场销售布局． 素材1 采购2辆H型新能源汽车、5辆Q型新能源汽车，累计需支付进货成本80万元． 素材2 采购3辆H型新能源汽车、2辆Q型新能源汽车，累计需支付进货成本65万元． 解决问题 任务1 计算H型，Q型两种新能源汽车的每辆进货价格分别为多少万元？ 任务2 若该销售企业计划正好用120万元购进以上两种型号的新能源汽车（每种型号至少1台），请帮助该公司设计出所有满足预算要求的采购方案． 任务3 结合市场销售数据，销售1辆H型新能源汽车可获利0.5万元，销售1辆Q型新能源汽车可获利0.35万元．在任务2拟定的采购方案中，若所有采购的汽车均能顺利售出，哪种采购方案获利最大？最大利润是多少万元？ 【变式题11-3】.（23-24七年级下·浙江温州·期末）综合应用 校园菜园子工程 素材一 为了让学生将课堂所学科学知识运用到生活实际，我校打算用如图所示的围栏搭建一块蔬菜基地．已知围栏的横杠长为15dm，竖杠长为8dm．一副围栏由2个横杠，5个竖杠制作而成． 素材二 项目化学习小组到市场了解到：现木材市场的这种规格的围栏材料每根长为40 dm，价格为50元/根，为了深度参与学校蔬菜基地的建立，项目化小组打算自己购买材料，制作搭建蔬菜基地的围栏．同时为了围栏的牢固性，用料不能是拼接而成． 解决问题 任务要求 解决办法 任务一 一根40dm长的围栏材料有哪些裁剪方法呢？（尽可能多的裁剪，余料作废）．根据提示，完成下表 最多能裁剪的数量 裁剪 横杠 竖杠 方法① 0 方法② 1 方法③ 2 任务二 基地负责老师告诉项目化学习小组：搭建蔬菜基地需要用到的围栏长为75dm（即需要制作5副围栏，需要的用料为：25个竖杠，10个横杠），请完成裁剪并计算费用． 项目化小组打算用“任务一”中的方法②和方法③完成裁剪任务．请计算：分别用“任务一”中的方法②和方法③各裁剪多少根40dm长的围栏材料，才能刚好得到所需要的相应数量的用料？并求出购买围栏材料的费用． 任务三 我校共采购原材料9根（40dm长），在保证能够制作出更多的整副围栏的情况下，尽可能的少浪费，剩余的废料至少______dm 易错点 1.找错两个独立等量关系，列出的方程本质相同，无法求解。 2.设未知数时单位不统一（如米/千米、元/万元混用），导致结果错误。 3.忘记检验实际意义，出现负数、小数、零等不符合实际的解。 4.数字问题中，多位数表示错误（如将两位数写成，正确为）。 5.配套问题中，配套比例颠倒（如甲:乙=2:1写成乙:甲=2:1）。 6.方案问题中，忽略未知数为正整数的限制，出现非整数方案。 7.解方程组时，消元计算出错，符号、系数计算失误。 重点 1.掌握列二元一次方程组解实际问题的六步标准流程。 2.熟记8类常见实际问题的核心等量关系，快速建模。 3.熟练运用代入消元、加减消元法解二元一次方程组。 4.养成“解后检验”的习惯，确保解符合数学与实际双重要求。 难点 1.从复杂文字、表格、跨学科情境中，精准提取两个等量关系。 2.配套问题、分段计费问题的数学建模，理解比例与区间规则。 3.方案决策问题中，结合限制条件确定取值范围并筛选最优解。 4.古文、新情境题的题意转化，将陌生表述转化为熟悉数学模型。 【对应练习题】 一、单选题 1．在山区生活的小明每天上学需要翻越一座山岭到学校，山岭分为上山和下山两段路，他的上山速度是，下山速度是，如果他上学用时间为42分钟，放学回家时原路返回需要48分钟，若设上学时上坡山路为，下坡山路为，则列方程组为（  ） A． B． C． D． 2．对有理数x、y定义新运算：，其中a，b都是常数．若，，则a，b的值分别是（    ） A．1，2 B．2，1 C．2，2 D． 二、填空题 3．如图，在大长方形中，放置6个形状、大小都相同的小长方形，设小长方形的长为，宽为，根据题意得到的二元一次方程组为_____． 4．甲乙两个工程队分别负责两项工作量相同的工程．晴天，甲完成工程要天，乙完成工程要天；雨天，甲和乙的工作效率分别是晴天时的和．实际情况是两队同时开工、同时完工，在施工期间，下雨天的天数与晴天的天数之比是_____．下雨天的天数是_____． 5．聪聪在给妈妈过生日时发现自己的年龄与妈妈的年龄的十位数字与个位数字正好相反，他同时还发现，过10年，妈妈岁数减1（岁）刚好是自己岁数加1（岁）的2倍；再过1年，他们两人的年龄又一次相反，且十位数字与个位数字的和为7．则聪聪______岁． 三、解答题 6．随着人工智能与互联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递公司为提高工作效率，拟购买两种型号的智能机器人进行快递分拣，相关信息如下： 型号机器人台数 型号机器人台数 总费用（单位：万元） 1 3 195 2 1 165 (1)求两种型号智能机器人的单价； (2)若某公司恰好用450万元购进两种型号的机器人若干（两种型号机器人均购买），求该公司共有几种购进方案． 7．某工厂安排工人生产两种零件．已知生产个零件需甲材料、乙材料；生产个零件需甲材料、乙材料．现共有甲材料、乙材料． (1)设生产零件个，零件个，列出关于的方程组； (2)求零件各生产多少个恰好把材料用完． 8．信阳毛尖是中国十大名茶之一，具有“细、圆、光、直、多白毫、香高、味浓、汤色绿”的独特风格，被誉为“绿茶之王”．固始皇姑山茶是全国农产品地理标志产品，干茶条索紧秀圆直，汤色柳芽黄清澈，具兰花香气，鲜爽回甘，种植历史超2300年．河南某茶叶经销商要购进“信阳毛尖”和“固始皇姑山茶”进行销售，已知购进3份信阳毛尖与2份固始皇姑山茶共需要280元，购进2份信阳毛尖与3份固始皇姑山茶共需要270元，求每份信阳毛尖和每份固始皇姑山茶的价格 9．某农场因紧急任务需租用无人机一次性配送种子和化肥等货物．已知1架型无人机和2架型无人机一次可配送货物220千克，2架型无人机和3架型无人机一次可配送货物380千克． (1)求1架型无人机和1架型无人机一次分别可配送货物多少千克； (2)已知1架型无人机的单次租金为150元，1架型无人机的单次租金为100元．现农场要紧急配送840千克货物，计划租用9架型无人机．请聪明的你写出一种租金更少的租用方案，并求出节省了多少元． 10．某铁件加工厂用如图1的长方形和正方形铁片（长方形的宽与正方形的边长相等）加工成如图2的竖式与横式两种无盖的长方体铁容器．（加工时接缝材料不计） (1)如果加工竖式铁容器与横式铁容器各1个，则共需要______张长方形铁片，______张正方形铁片． (2)现有长方形铁片100张，正方形铁片50张，如果加工成这两种铁容器，刚好铁片全部用完，那加工的竖式铁容器、横式铁容器各有多少个？ (3)把长方体铁容器加盖可以加工成为铁盒，现用35张铁板做成长方形铁片和正方形铁片，已知每张铁板可做成3个长方形铁片或4个正方形铁片，也可以将一张铁板裁出1个长方形铁片和2个正方形铁片．若充分利用这些铁板加工成铁盒，最多可以加工成______个铁盒． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10.3 实际问题与二元一次方程组 知识点1：列二元一次方程组解实际问题的六步解题法 1.审：通读题目，提取关键信息，找到两个独立的等量关系，区分已知量与未知量。 2.设：设出两个未知数（直接设/间接设），保证单位统一，标注清楚未知数含义。 3.列：根据找到的两个等量关系，列出标准的二元一次方程组。 4.解：用代入消元法或加减消元法求解方程组。 5.验：双重检验——①解满足方程组；②解符合实际意义（如数量为正整数、时间非负等）。 6.答：完整写出答案，带上对应单位。 知识点2：常见实际问题核心等量关系 问题类型 核心等量关系 和差倍分问题 较大量=较小量+差；总量=倍数×部分量+余量 行程问题 路程=速度×时间；相遇：路程和=总距离；追及：路程差=距离差 工程问题 工作总量=工作效率×工作时间；合作总量=各队工作量之和（总量常看作1） 销售问题 售价=标价×折扣；利润=售价-进价；利润率= 配套问题 甲部件数量:乙部件数量=配套比例 数字问题 两位数=10×十位数字+个位数字；三位数=100×百位+10×十位+个位 知识点3：方案决策类问题解题思路 1.先通过方程组求出基础固定量（单价、效率、进价等）。 2.根据题目限制条件（如“不超过”“不少于”），确定未知数的取值范围。 3.结合实际要求（费用最少、利润最大），筛选出最优可行方案。 【基础必考题型】 【题型1】和差倍分实际问题 1.核心知识点 二元一次方程组的建立；和、差、倍、分的文字转数学关系。 2.解题方法技巧 ①圈画关键词：“多、少、倍、一半、共、差”； ②设两个未知数，将文字描述转化为等式； ③优先用直接设元法，简化计算。 【例题1】.（25-26七年级下·吉林长春·月考）某校组织学生参加植树活动，已知七年1班有28人在甲处植树，七年2班有21人在乙处植树．现调七年3班20人去支援，使在甲处植树的人数是乙处人数的2倍，问应调往甲处多少人？ 【答案】应调往甲处人 【分析】设调往甲处的人数为x人，调往乙处的人数为y人，根据一共有20人调往甲、乙两处，且支援后甲处植树的人数是乙处人数的2倍建立方程组求解即可． 【详解】解：设调往甲处的人数为x人，调往乙处的人数为y人， 由题意得，， 解得， 答：应调往甲处18人． 【变式题1-1】.（2026·海南省直辖县级单位·一模）DeepSeek公司推出两款人工智能云服务套餐：基础版和增强版．已知增强版每月订阅费比基础版高50元．某科技团队订阅了5份增强版和3份基础版，共支付1850元．问增强版和基础版每月订阅费各是多少元？ 【答案】增强版每月订阅费250元，基础版每月订阅费200元 【分析】设增强版每月订阅费元，基础版每月订阅费元，根据题意列二元一次方程组求解即可． 【详解】解：设增强版每月订阅费元，基础版每月订阅费元， 则，解得， 答：增强版每月订阅费250元，基础版每月订阅费200元． 【变式题1-2】.（25-26八年级上·贵州毕节·期末）某校组织师生共380人去郊外参观学习，需租用甲、乙两种不同类型的客车共10辆，租用1辆甲型客车需租金600元，租用1辆乙型客车需租金500元，租车费用共5600元，已知一辆甲型客车比一辆乙型客车多5个座位，且租用的所有客车刚好满座． (1)求租用甲、乙两种类型的客车各多少辆．（要求：列二元一次方程组求解） (2)求甲、乙两种类型的客车一辆各有多少个座位． 【答案】(1)租用甲型客车6辆，乙型客车4辆 (2)一辆甲型客车有40个座位，一辆乙型客车有35个座位 【分析】（1）设租用甲型客车辆，乙型客车辆，根据题意，列出方程组，进行求解即可； （2）设一辆乙型客车有个座位，根据一辆甲型客车比一辆乙型客车多5个座位，且租用的所有客车刚好满座，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：设租用甲型客车辆，乙型客车辆，根据题意，得 解得； 答：租用甲型客车6辆，乙型客车4辆． （2）解：设一辆乙型客车有个座位，则一辆甲型客车有个座位，根据题意，得 解得， 答：一辆甲型客车有40个座位，一辆乙型客车有35个座位． 【变式题1-3】.（2026·江西吉安·二模）庐山云雾茶是江西十大名茶之一，今年春茶季，庐山市甲、乙两个生态茶园依托当地优越的生态条件，大力发展茶叶种植与加工．据茶园负责人介绍：甲茶园的种植面积比乙茶园多4亩，甲茶园每亩产鲜叶300千克，乙茶园每亩产鲜叶350千克，且甲茶园的鲜叶总产量比乙茶园少200千克． 请根据以上信息，解答下列问题： (1)求甲、乙两个茶园各自的种植面积． (2)甲、乙两茶园将鲜叶加工成干茶，甲茶园出茶率为（100千克鲜叶可制25千克干茶），干茶每千克的售价为800元，乙茶园出茶率为，干茶每千克的售价为750元．若甲、乙两个茶园生产的鲜叶全部制成干茶，求甲、乙两个茶园的干茶全部售出后的总销售额． 【答案】(1)甲茶园的种植面积为32亩，乙茶园的种植面积为28亩 (2)总销售额为3537000元 【分析】（1）设甲茶园的种植面积为x亩，乙茶园的种植面积为y亩，根据甲茶园的种植面积比乙茶园多4亩，且甲茶园的鲜叶总产量比乙茶园少200千克建立方程组求解即可； （2）分别求出两个茶园的销售额，二者求和即可得到答案． 【详解】（1）解：设甲茶园的种植面积为x亩，乙茶园的种植面积为y亩， 由题意得，， 解得， 答：甲茶园的种植面积为32亩，乙茶园的种植面积为28亩； （2）解： 元， 答：总销售额为3537000元． 【题型2】几何图形实际问题 1.核心知识点 长方形/正方形周长、面积公式；数形结合列方程组。 2.解题方法技巧 ①标注图形边长，用未知数表示未知边长； ②利用周长、面积公式建立两个等量关系； ③检验边长为正数，符合几何意义。 【例题2】.（25-26七年级下·福建厦门·月考）将两块完全相同且宽为的长方体木块先按图的方式放置，再按图的方式放置，测得的数据如图所示（单位：），则桌子的高度________． 【答案】 【分析】设长方体木块的长为，根据图形中高度之间的数量关系列出方程组，利用加减消元法求解即可． 【详解】解：设长方体木块的长为， 由题意可知木块的宽为， 根据图和图可得方程：，即， ，得， 解得． 【变式题2-1】.（25-26八年级上·河南平顶山·期末）如图，在大长方形中放置10个形状、大小都相同的小长方形，大长方形的周长为36，小长方形的长比宽多4．设小长方形的长为x，宽为y，则下列方程组正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查根据实际问题列二元一次方程组，关键是从图中提取大长方形的长和宽与小长方形长、宽的等量关系，结合周长公式和长、宽的差列出方程组．首先，由“小长方形的长比宽多4”可直接得到；其次，大长方形周长为，根据长方形周长公式可知长与宽的和为，从图中可分析出大长方形的长与宽之和为，从而得到，进而确定正确方程组． 【详解】解：根据题意，小长方形的长比宽多4，故有； 大长方形的周长为，可得长与宽的和为； 从图中可分析出大长方形的长与宽之和为，因此； 综上，可列方程组为． 故选：D． 【变式题2-2】.（24-25七年级下·浙江宁波·期中）把图1中周长为的长方形纸片分割成四张大小不等的正方形纸片、、、和一张长方形纸片，并将它们按图2的方式放入周长为的长方形中．设正方形的边长为，正方形的边长为． (1)用和的代数式表示：正方形的边长为___________，正方形的边长___________，长方形的长为___________，长方形的宽为___________．由图1可得___________． (2)求图2阴影部分的周长． 【答案】(1)；；；；2 (2)20 【分析】本题考查了整式的混合运算． （1）根据题意可表示出正方形、的边长，长方形的长和宽，再根据图1中长方形的周长为，可求出的值； （2）根据图2的周长可得，从而求出，然后可求出阴影部分的周长． 【详解】（1）解：∵正方形的边长为，正方形的边长为， ∴正方形的边长为， 正方形的边长为， 长方形的长为， 长方形的宽为， 由图1可得， ∴， 故答案为：；；；；2； （2）解：如图2： 由题意得： ， ∴， 阴影部分的周长 ． 【变式题2-3】.（24-25七年级下·陕西榆林·期末）如图是小飞同学用大小相同的长方形纸片摆放形成的图案，其中三张横放的纸片比一张竖放的纸片高，两张横放的纸片比两张竖放的纸片矮，求一张长方形纸片的长和宽．（用二元一次方程组解答） 【答案】一张长方形纸片的长为，宽为 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，理解题意找到题中的相等关系列方程组是解题的关键．设长方形的长为，宽为，根据题意列方程组，求出，即可求解． 【详解】解：设一张长方形纸片的长为，宽为， 由题意得 解得 答：一张长方形纸片的长为，宽为． 【题型3】购物销售问题 1.核心知识点 单价×数量=总价；二元一次方程组解购物费用问题。 2.解题方法技巧 ①设两种商品单价为未知数； ②按“购买数量×单价=总费用”列方程组； ③区分“原价”“折扣价”，不混淆等量关系。 【例题3】.（25-26九年级下·安徽六安·月考）小张计划购进A，B两种文创产品，在“文化夜市”上进行销售．已知A种文创产品比B种文创产品每件进价多3元，购进2件A种文创产品和3件B种文创产品共需花费26元．求A，B种文创产品每件的进价． 【答案】A种文创产品每件的进价为7元，B种文创产品每件的进价为4元． 【分析】设A种文创产品每件的进价为x元，B种文创产品每件的进价为y元，根据A种文创产品比B种文创产品每件进价多3元，购进2件A种文创产品和3件B种文创产品共需花费26元建立方程组求解即可． 【详解】解：设A种文创产品每件的进价为x元，B种文创产品每件的进价为y元， 由题意得，， 解得， 答：A种文创产品每件的进价为7元，B种文创产品每件的进价为4元． 【变式题3-1】.（25-26七年级下·河南周口·月考）某商店购进两种商品共件， 商品每件进价元， 商品每件进价元，总进价为元． (1)求两种商品各购进多少件？ (2)若商品每件售价元， 商品每件售价元，全部售完后，该商店共获利多少元？ 【答案】(1)商品购进件， 商品购进件； (2)元． 【分析】（）设商品购进件，商品购进件，根据题意得，然后解方程即可； （）分别求出商品的获利，然后相加即可． 【详解】（1）解：设商品购进件，商品购进件， 根据题意得： ， 解得：， 答：商品购进件，商品购进件； （2）解：获利：（元），获利：（元）， 总获利：（元）． 【变式题3-2】.（2026·江苏徐州·一模）张大伯新建了一个养殖场，需要去集市购买母鸡，鸡仔，鸭子共只．已知一只母鸡元，一只鸭子元，只鸡仔元．张大伯一共花费了元，已知鸡仔一共买了只，问母鸡和鸭子各买了多少只？ 【答案】母鸡买了只，鸭子买了只． 【分析】先求出母鸡和鸭子共买了只，再根据一只母鸡元，一只鸭子元，只鸡仔元共花费了元列方程组，解方程组求出、的值即可． 【详解】解：设母鸡买了只，鸭子买了只， ∵母鸡，鸡仔，鸭子共买只，鸡仔一共买了只， ∴母鸡和鸭子共买了（只）， ∵一只母鸡元，一只鸭子元，只鸡仔元．张大伯一共花费了元， ∴， 解得：， ∴母鸡买了只，鸭子买了只． 【变式题3-3】.（2026·湖南长沙·一模）为储备常用物资，某健身馆分三次采购运动毛巾和加厚款瑜伽垫，其中第二次采购时正赶上商场周年店庆，这两种商品同时按相同折扣促销，其余两次均按市场单价采购，三次采购的物品数量及总费用如下表． 采购批次 运动毛巾/条 瑜伽垫/个 总费用/元 第一次购物 5 6 400 第二次购物 7 6 396 第三次购物 4 3 230 (1)分别求出运动毛巾和加厚款瑜伽垫的市场单价； (2)求商场打折促销期间是打几折出售这两种商品的？ 【答案】(1)运动毛巾的市场单价为20元，加厚款瑜伽垫的市场单价为50元 (2)打9折 【分析】（1）设运动毛巾的市场单价为x元，加厚款瑜伽垫的市场单价为y元，列出方程组求出x和y的值； （2）设商场打折促销期间是打折出售这两种商品的，根据题意列出方程求解即可． 【详解】（1）解：设运动毛巾的市场单价为x元，加厚款瑜伽垫的市场单价为y元， 根据题意知第一、三次购物为原价，则， 解得：， 答：运动毛巾的市场单价为20元，加厚款瑜伽垫的市场单价为50元； （2）解：设商场打折促销期间是打折出售这两种商品的， 由题意得，， 解得：． 答：商场打折促销期间是打九折出售这两种商品的． 【题型4】行程问题 1.核心知识点 路程=速度×时间；相遇、追及问题的路程关系。 2.解题方法技巧 ①画线段图辅助分析路程关系； ②相遇：；追及：； ③统一时间、路程单位。 【例题4】.（25-26七年级下·河南周口·月考）甲乙两人分别从相距的A、B两地同时出发，相向而行，小时相遇；若同向而行，甲9小时追上乙．则甲、乙速度(单位∶ ) 分别为（   ） A．12， 8 B．10， 10 C．14， 6 D．16， 4 【答案】A 【分析】设甲的速度是，乙的速度是，根据追及问题和相遇问题列二元一次方程组求解即可． 【详解】解：设甲的速度是，乙的速度是， 由题意可得：，解得：． ∴甲的速度是，乙的速度是，即A选项符合题意． 【变式题4-1】.（25-26七年级上·湖南岳阳·期末）线段图是解决行程问题的重要数学工具，如图所示的是甲、乙二人运动两次的情形．设甲的平均速度是，乙的平均速度是/，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用——行程问题，关键是根据线段图准确分析两次行程中甲乙的行驶时间、路程与总路程的数量关系． 【详解】解：根据第一次行程的线段图可知，甲先行驶小时，再与乙共同行驶2小时，两人走完的路程， 甲的总路程为，乙的路程为，因此列方程为； 根据第二次行程的线段图可知，甲乙同时行驶1小时后，两人之间仍相距，总路程为， 因此甲乙1小时的路程和加上等于总路程，列方程为； 综上，可列方程组为， 故选：A． 【变式题4-2】.（25-26七年级上·福建莆田·期末）李明和刘伟分别从两地同时出发，李明骑自行车，刘伟步行，沿同一条道路相向匀速而行，出发后两人相遇．相遇时李明比刘伟多行进，相遇后李明到达地． (1)两人每小时分别行进多少千米？ (2)相遇后经过多长时间刘伟到达地？ 【答案】(1)李明每小时行进16千米，刘伟每小时行进4千米 (2)相遇后经过刘伟到达A地 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用． （1）设李明每小时行进a千米，刘伟每小时行进b千米，根据题意，列出方程组，即可求解； （2）根据路程速度时间解答即可． 【详解】（1）解：设李明每小时行进a千米，刘伟每小时行进b千米，根据题意得： ， 整理得：， 解得：， 答：李明每小时行进16千米，刘伟每小时行进4千米； （2）解：， 答：相遇后经过刘伟到达A地． 【变式题4-3】.（25-26七年级上·重庆·自主招生）从市到市，共有三段不同的公路，第三段公路的长度是第一段公路长度的2倍，甲乙两辆汽车分别从、两市同时出发，甲汽车在第一段公路上以每小时40千米的速度行驶，在第二段公路上的速度提高．乙汽车在第三段公路上以每小时50千米的速度行驶，在第二段公路上把速度降低了，两车出发3小时24分后，甲汽车刚好行完第二段公路的时与乙汽车相遇，那么、两市之间的公路全长为多少千米？ 【答案】336千米 【分析】本题主要考查二元一次方程组的实际应用，读懂题意，正确列出方程组是做题的关键．先设第一段公路的长度为千米，则第三段公路的长度为千米，第二段公路的长度为千米，再根据题意，列出方程组，进而解方程组即可解答． 【详解】解：设第一段公路的长度为千米，则第三段公路的长度为千米，第二段公路的长度为千米， （千米/小时），（千米/小时），3小时24分小时， 则根据题意得，， 整理得，， 解得，， 所以，、两市之间的公路长为（千米）． 答：、两市之间的公路全长为336千米． 【题型5】工程问题 1.核心知识点 工作总量=效率×时间；合作工程的总量计算。 2.解题方法技巧 ①无具体总量时，将总工作量看作1； ②设甲、乙效率为未知数，按“工作量之和=总任务”列方程； ③工作时间为非负数。 【例题5】.（24-25七年级下·全国·课后作业）抢修一段全长420m的供暖管线，甲、乙两个工程队同时施工，2.5天全部修完，修完时，甲工程队比乙工程队多修了70m．设甲、乙两个工程队的工作效率分别为x米/天和y米/天，可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 根据“甲、乙两个工程队同时施工，天修完的供暖管线，且修完时，甲工程队比乙工程队多修了”，即可得出关于，的二元一次方程组． 【详解】解：∵甲、乙两个工程队同时施工，天修完的供暖管线， ∴； ∵修完时，甲工程队比乙工程队多修了， ∴． ∴根据题意可列方程组 故选：B． 【变式题5-1】.（2020八年级·山东·竞赛）甲加工一种零件，乙加工另一种零件．甲用型机器需要6小时才能完成任务，用型机器效率降低；乙用型机器需要10小时才能完成任务，用型机器效率提高．如果甲用型机器，乙用型机器同时开始工作，中途某一时刻交换使用机器，甲和乙同时完成任务．则甲完成任务所用的时间是__________小时． 【答案】9 【分析】考查二元一次方程组的应用，得到两个工作量1的等量关系是解决本题的关键．设甲用机器小时，机器小时；那么乙用机器小时，用机器小时，等量关系为：甲用型机器的工作量用型机器的工作量；乙用型机器的工作量用型机器的工作量，把相关数值代入求得两个时间，相加即为完成任务需要时间． 【详解】解：甲用机器每小时加工的零件，用机器加工的零件； 乙用机器每小时加工的零件，用机器加工的零件， 设甲用机器小时，机器小时；那么乙用机器小时，用机器小时，则由题意可得： ， 解得， 甲完成任务所用的时间是9小时， 故答案为：9． 【变式题5-2】.（2025八年级上·全国·专题练习）某市下水管道工程招标时，有甲、乙两个工程队投标．已知甲工程队比乙工程队每天能多铺设50米，甲工程队4天铺设的管道与乙工程队6天铺设的管道长度相同．求甲、乙工程队每天各能铺设多少米管道？ 【答案】甲工程队每天能铺设150米，乙工程队每天能铺设100米 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用．设甲工程队每天能铺设米，乙工程队每天能铺设米，根据题意，列出方程组，即可求解． 【详解】解：设甲工程队每天能铺设米，乙工程队每天能铺设米，根据题意，得： ， 解得 答：甲工程队每天能铺设150米，乙工程队每天能铺设100米 【变式题5-3】.（25-26七年级上·安徽阜阳·期末）某物流公司计划用两种车型的车辆运输一批物资，已知用1辆A型车和2辆B型车装满物资一次可运10吨；用2辆A型车和1辆B型车装满物资一次可运11吨．该批物资共有31吨，物流公司计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都装满． (1)1辆型车和1辆型车都装满物资，一次可分别运多少吨？ (2)请你帮该物流公司设计运输这批物资的租车方案； (3)若此次运输中，1辆型车的租金为150元，1辆型车的租金为120元，请选出最省钱的租车方案，并求出租车费． 【答案】(1)1辆A型车装满物资一次可运4吨，1辆B型车装满物资一次可运3吨 (2)有3种租车方案，方案1：租用1辆A型车，9辆B型车；方案2：租用4辆A型车，5辆B型车；方案3：租用7辆A型车，1辆B型车 (3)租用7辆A型车，1辆B型车，最少租车费为1170元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组（或二元一次方程）是解题的关键． （1）设1辆A型车装满物资一次可运x吨，1辆B型车装满物资一次可运y吨，根据“用1辆A型车和2辆B型车装满物资一次可运10吨；用2辆A型车和1辆B型车装满物资一次可运11吨”，可列出关于x，y的二元一次方程组，求解即可； （2）根据租用的两种车一次可运31吨物资且每辆车都装满，可列出关于a，b的二元一次方程，结合a，b均为正整数，即可得出各租车方案； （3）利用总租金=每辆A型车的租金×租用A型车的数量+每辆B型车的租金×租用B型车的数量，可求出选择各租车方案所需租车费用，比较后，即可得出结论． 【详解】（1）解：设1辆A型车装满物资一次可运吨，1辆型车装满物资一次可运吨， 依题意，得：， 解得：． 答：1辆A型车装满物资一次可运4吨，1辆型车装满物资一次可运3吨． （2）解：依题意，得：， ∴． ∵，均为正整数， ∴或或， 所以该物流公司共有3种租车方案， 方案1：租用1辆A型车，9辆型车； 方案2：租用4辆A型车，5辆型车； 方案3：租用7辆A型车，1辆型车． （3）解：方案1所需租金为（元）； 方案2所需租金为（元）； 方案3所需租金为（元）． ∵ ∴方案3最省钱，即租用7辆A型车，1辆B型车，最少租车费为1170元． 【题型6】古代数学文化问题 1.核心知识点 古文转现代数学语言；传统文化中的二元一次方程组。 2.解题方法技巧 ①翻译古文，提取“数量、总价、总和”等关键信息； ②按现代应用题思路设未知数列方程组； ③传承文化，检验结果符合古代计量规则。 【例题6】.（2026·宁夏银川·一模）《九章算术》中记载：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何．”题目大意是：今有人合伙购物，每人出八钱，余三钱；每人出七钱，差四钱，问人数、物价各是多少，设有人．物价为钱，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两种出钱情况分别列出等式即可得到方程组。 【详解】解：设有人，物价为钱， ∵每人出钱，余钱，故总出钱数比物价多钱， ∴得方程， ∵每人出7钱，差4钱，故总出钱数比物价少4钱， ∴得方程， 因此可得方程组． 【变式题6-1】.（2026·广东东莞·模拟预测）我国古代数学著作《孙子算经》中有著名的“百马问题”，叙述如下：“今有百马驮百瓦，大马一驮三，中马一驮二，小马三驮一．问大、中、小马各几何？”意思是：大马每匹驮3块瓦，中马每匹驮2块瓦，小马每3匹驮1块瓦．要用一百匹马驮一百块瓦，问大马、中马、小马各多少匹？若现已知中马有27匹，设大马有x匹，小马有y匹．则可列方程组是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：根据题意，得大马和小马的总匹数为（匹），大马和小马一共驮的瓦片数为（块）， 则． 【变式题6-2】.（2026·安徽亳州·一模）《九章算术》中有一道题，原文是：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问：人数、物价各几何？” 译文是：假设共同买东西，如果每人出8钱，盈余3钱；每人出7钱，不足4钱．问：人数、物价各多少？ 请解答上述问题． 【答案】人数为7人，物价为53钱 【分析】设人数为x人，物价为y钱，根据“每人出8钱，盈余3钱；每人出7钱，不足4钱”列二元一次方程组求解． 【详解】解：设人数为x人，物价为y钱， 根据题意得， 解得， 答：人数为7人，物价为53钱． 【变式题6-3】.（25-26八年级下·四川达州·开学考试）《九章算术》中有这样一个题：“今有醇酒一斗，直钱五十；行酒一斗，直钱一十．今将钱三十，得酒二斗．问醇、行酒各得几何？”其译文是：今有醇酒（优质酒）1斗，价值50钱；行酒（劣质酒）1斗，价值10钱．现有30钱，买得2斗酒．问醇酒、行酒各能买得多少？设买得醇酒斗，买得行酒斗，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设买得醇酒斗，买得行酒斗，根据“现有30钱，买得2斗酒” 列方程组即可． 【详解】解：设买得醇酒斗，买得行酒斗， ∵一共买得酒总共有2斗， ∴可得方程， ∵醇酒1斗价值50钱，行酒1斗价值10钱，一共花费30钱， ∴可得总花费方程， ∴可列方程组． 【压轴素养题型】 【题型7】配套生产实际问题 1.核心知识点 配套比例转化为等量关系；工业/手工生产配套建模。 2.解题方法技巧 ①明确“1套产品需甲、乙部件数量”，确定配套比； ②甲部件总数:乙部件总数=配套比； ③结果取正整数，符合生产实际。 【例题7】.（25-26八年级上·山西晋中·期末）年，中国航天事业迈向全新高度，一系列深空探测任务紧锣密鼓筹备中．在酒泉卫星发射中心的航天器调配区，一场关乎任务成败的资源协调正在进行．这里集结了用于执行不同任务的“天问”系列行星探测器和“神舟”系列载人飞船共艘．每艘“天问”需名航天工程师保障，每艘“神舟”需名工程师协同．现调配名工程师就绪，求“天问”与“神舟”各有多少艘？ 【答案】“天问”有艘，“神舟”为艘 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，理解题意并根据等量关系列出方程是关键． 设“天问”有艘，“神舟”有艘，根据题意可列方程组，求解即可． 【详解】解：设“天问”有艘，“神舟”有艘， 根据题意，得， 解得， 答：“天问”有艘，“神舟”为艘． 【变式题7-1】.（25-26八年级上·陕西西安·期末）某校学生在课外活动中开展了手工创意作品制作活动，需要用如图1所示的长方形和正方形纸板（长方形的宽与正方形的边长相等）加工成如图2所示的竖式与横式两种无盖的长方形纸盒（加工时接缝材料不计）．若该校购进正方形纸板1200张，长方形纸板3000张，问竖式纸盒、横式纸盒各加工多少个，恰好能将购进的纸板全部用完？ 【答案】加工竖式纸盒个，加工横式纸盒个，恰好能将购进的纸板全部用完． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用． 设加工竖式纸盒x个，加工横式纸盒y个，根据两种纸盒每个各需长方形和正方形纸板的张数结合共用正方形纸板1200张、长方形纸板3000张，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设加工竖式纸盒x个，加工横式纸盒y个， 根据题意得：， 解得：． 答：加工竖式纸盒个，加工横式纸盒个，恰好能将购进的纸板全部用完． 【变式题7-2】.（2026·陕西西安·三模）如图，制作甲、乙两种无盖的长方体纸盒，需用正方形和长方形两种硬纸片，且长方形硬纸片的宽与正方形硬纸片的边长相等．用200张正方形硬纸片和400张长方形硬纸片制作这两种纸盒，纸片刚好用完且无剩余．求可以制作乙种纸盒多少个．（纸片连接处损耗不计） 【答案】可以制作乙种纸盒80个 【分析】设可以做成甲乙两种小盒各x个，y个，根据将200张正方形硬纸片和400张长方形硬纸片全部用于制作这两种小盒列出方程组求解即可． 【详解】解：设能制作甲种纸盒x个，乙种纸盒y个， 甲种无盖长方体纸盒需要1张正方形硬纸片和4张长方形硬纸片， 乙种无盖长方体纸盒需要2张正方形硬纸片和3张长方形硬纸片， 根据题意，得， 解得， ∴可以制作乙种纸盒80个． 【变式题7-3】.（24-25七年级下·福建泉州·月考）工作人员从仓库领取如图1中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图2的竖式和横式的两种无盖纸盒若干个，恰好使领取的纸板用完． 次数 正方形纸板（张） 长方形纸板（张） 第一次 560 940 第二次 420 1002 (1)下表是工作人员两次领取纸板数的记录： ①仓库管理员在核查时，发现一次记录有误，请判断第几次的记录有误，并说明理由； ②记录正确的那一次，利用领取的纸板做了竖式和横式纸盒各多少个？ (2)若工作人员某次领取的正方形纸板数与长方形纸板数之比为，请你求出利用这些纸板做出的竖式纸盒与横式纸盒个数的比值； (3)拓展延伸：现在仓库里有张正方形纸板和张长方形纸板，如果这些纸板做出的竖式纸盒为与横式纸盒个数为，恰好使库存的纸板用完，则用的代数式表示的值． 【答案】(1)①第二次记录有误，见解析；②做成40个竖式纸盒，260个横式纸盒； (2)3 (3) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，代数式，比值，理解题意，找到正确的数量关系是本题的关键． （1）①设做成x个竖式纸盒，y个横式纸盒，由领取的正方形的纸板和长方形的纸板之和应该是5的倍数，可判断第二次记录错误；②由第一次记录，列出方程组，求解即可； （2）由正方形纸板数与长方形纸板数之比为，可得，求解即可； （3）根据题意，可得到，两个方程相加，即可解答． 【详解】（1）解：①第二次记录错误，理由如下： 设做成x个竖式纸盒，y个横式纸盒，则需要正方形纸板张，需要长方形的纸板张， ∴领取的正方形的纸板和长方形的纸板之和为，应该是5的倍数， ∴第二次记录有误； ②由题意可得：， 解得：， 答：做成40个竖式纸盒，260个横式纸盒； （2）由题意可得：， 解得：， ∴， 答：竖式纸盒与横式纸盒个数的比值为3． （3）由题意，得 ， ∴． 答：的值为． 【题型8】数字与里程碑问题 1.核心知识点 多位数的代数表示；匀速行程中的数字规律。 2.解题方法技巧 ①两位数设为，三位数设为； ②结合“匀速行驶路程相等”建立第二个等量关系； ③数字为0-9的整数，首位不为0。 【例题8】.（25-26九年级下·湖南长沙·月考）将这八个数分成两组，每组四个数，并且两组数之和相等．从A组拿一个数到B组后，B组五个数之和将是A组剩下的三个数之和的2倍；从B组拿一个数到A组后，B组剩下的三个数之和将是A组五个数之和的，则A组的四个数是____． 【答案】 【分析】先求解出这八个数之和，再根据两组数之和相等，可分别求解出A组与B组的和，再根据已知条件分别求解出从A组拿的一个数和从B组拿的一个数，由此可解． 【详解】解：∵这八个数之和为， 又∵分成两组，每组四个数，并且两组数之和相等， ∴A组与B组的和都为， 设从A组拿一个数为x，从B组拿一个数为y， ∵从A组拿一个数到B组后，B组五个数之和将是A组剩下的三个数之和的2倍， ∴，解得， ∵从B组拿一个数到A组后，B组剩下的三个数之和将是A组五个数之和的， ∴，解得， ∴A组中有，B组中有，且A组其余三个数的和为， 满足和为的只有， 则A组的四个数是． 【变式题8-1】.（25-26七年级上·湖南益阳·期末）一个各数位均不为零的四位自然数，若满足，则称这个数为“友谊数”，例如四位数，因为，所以是“友谊数”．若是一个“友谊数”，且，则这个数为______． 【答案】 【分析】本题考查了新定义运算，整式的加减的应用，二元一次方程组的应用，根据条件 和，得出，，是连续递增的数字，再结合求出，，，最后通过求出，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由，得 ；由，得， ∵是一个“友谊数”， ∴，即， ∴，得，解得，则，， 由，得，故， 因此这个数为， 故答案为：． 【变式题8-2】.（24-25八年级上·贵州贵阳·期末）小明爸爸骑着摩托车带着小明在公路上匀速行驶，下表是小明每隔看到的里程情况． 时刻 里程表上的数 是一个两位数，它的两个数之和为7 十位与个位数字与时所看到的正好互换了 比时看到的两位数中间多了一个0 小明在时看到的数是（   ） A．16 B．61 C．72 D．94 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系、正确列出二元一次方程是解答本题的关键．设小明在点时看到的两位数的十位数字为x、个位数字为y；则点时看到的两位数是，点时看到的两位数是，点时看到的三位数是，根据摩托车的速度不变，到和到行驶的路程一样，即可得出关于x，y的二元一次方程，求解方程，结合x、y均为一位整数，即可解答． 【详解】解：设小明在点时看到的两位数的十位数字为x、个位数字为y；则点时看到的两位数是，点时看到的两位数是，点时看到的三位数是，根据题意： ，即， 又∵x，y均为一位整数， ∴， ∴． 故选：B． 【变式题8-3】.（24-25八年级上·山东枣庄·月考）小明的爸爸骑着摩托车带着小明在公路上匀速行驶，小明每过一段时间看到的里程碑上的数（单位：公里）如下： 时刻 里程碑上的数 是一个两位数，它的个位数字比十位数字的倍大 也是一个两位数，十位与个位数字与时所看到的正好互换了 是一个三位数，比时看到的两位数的数字中间多了个 如果设小明时看到的两位数的十位数字为，个位数字为．那么： (1)小明时看到的两位数为 ； (2)小明时看到的两位数为 ；时看到的三位数为 ； (3)请你列二元一次方程，求小明在时看到里程碑上的两位数． 【答案】(1)； (2)，； (3)，小明在时看到里程碑上的两位数为． 【分析】本题考查了列代数式，二元一次方程组的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据题意列代数式即可； （）根据题意列代数式即可； （）由题意得，然后解方程组即可． 【详解】（1）解：设小明时看到的两位数的十位数字为，个位数字为， ∴小明时看到的两位数为， 故答案为：； （2）解：由题意可得，小明时看到的两位数为，时看到的三位数为， 故答案为：，； （3）解：由题意得：， 解得：， ∴小明在时看到里程碑上的两位数为． 【题型9】表格信息问题 1.核心知识点 从表格提取数据；根据表格数据列方程组。 2.解题方法技巧 ①读懂表格行列含义，圈出两组对应数据； ②用两组数据分别建立等量关系； ③核对数据对应关系，避免行列混淆。 【例题9】.（2026九年级下·重庆永川·专题练习）如图，是2025年5月的月历表，“横3”和“竖3”两个阴影图形分别覆盖其中3个数字（两个阴影图形可以上下左右移动，也可以重叠覆盖）．设“横3”覆盖的数字之和为m，“竖3”覆盖的数字之和为n，当时，m的最小值为______． 【答案】18 【分析】设“横3”中间数为x，“竖3”中间数为y，由题意得：，，求出，再结合月历表即可求解． 【详解】解：设“横3”中间数为x，“竖3”中间数为y， 由题意得：， ∴， ∴， 结合月历表可知,当“横3”“竖3”的位置如图所示时，m最小，最小值为． 【变式题9-1】.（25-26七年级上·河南·期末）灵宝苹果和孟津梨都是河南著名的农产品，某超市购进灵宝苹果和孟津梨进行销售． 信息一：该超市用2700元购进灵宝苹果和孟津梨共300千克． 信息二：这两种水果的进价、售价如下表所示： 水果 进价/（元/千克） 售价/（元/千克） 灵宝苹果 7 10 孟津梨 10 14 (1)该超市购进灵宝苹果和孟津梨各多少千克？ (2)若该超市销售完灵宝苹果时，孟津梨还剩下，将剩余孟津梨打折出售，全部售完后，共获利1044元，求剩余孟津梨打了几折． 【答案】(1)该超市购进灵宝苹果100千克，购进孟津梨200千克 (2)九五折 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用． （1）设该超市购进灵宝苹果千克，则购进孟津梨千克，根据表格信息建立方程求解即可． （2）设剩余孟津梨打折，根据获利1044元建立方程求解即可． 【详解】（1）解：设该超市购进灵宝苹果千克，则购进孟津梨千克． 根据题意，列方程为． 解得． （千克）． 答：该超市购进灵宝苹果100千克，购进孟津梨200千克． （2）解： 设剩余孟津梨打折． 根据题意，列方程为 ． 解得． 答：剩余孟津梨打了九五折． 【变式题9-2】.（25-26七年级下·浙江杭州·月考）某班有部分同学准备统一购买新的足球和跳绳．经班长统计共需要购买足球的有名同学，需要购买跳绳的有名同学． (1)请根据图中班长和售货员阿姨的对话信息，分别求出足球和跳绳的单价； (2)由于足球和跳绳的需求量增大，该体育用品商店老板计划再次购进足球个和跳绳根其中，恰好用了元，其中足球每个进价为元，跳绳每根的进价为元，则有哪几种购进方案？ (3)假如（2）中所购进的足球和跳绳全部售出，且单价与（1）中的售价相同，为了使销售获利最多，应选择哪种购进方案？ 【答案】(1)足球和跳绳的单价分别为100元、20元 (2)有两种方案：方案一，购进足球15个，跳绳20根；方案二，购进足球18个，跳绳4根 (3)选方案一，购进足球15个，跳绳20根 【分析】（1）设足球和跳绳的单价分别为元、元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组，即可求解； （2）由题意得：，根据，且、是正整数，进而求得的值，即可求解； （3）根据（1）（2）的结论列出算式计算，即可求解． 【详解】（1）解：设足球和跳绳的单价分别为元、元， 由题意得： ， 解得： ， 答：足球和跳绳的单价分别为元、元； （2）解：由题意得：，， 当全买足球时，可买足球的数量为：， ，且、是正整数 ∴ 或 ∴有两种方案：方案一，购进足球个，跳绳根； 方案二，购进足球个，跳绳根； 答：有两种方案：方案一，购进足球个，跳绳根；方案二，购进足球个，跳绳根； （3）解：方案一利润：（元）， 方案二利润：（元）， 元元， 选方案一，购进足球个，跳绳根 【变式题9-3】.（2026·广西钦州·一模）2025年5月20日是第36个中国学生营养日，主题为“吃动平衡  身心健康”，核心倡导“加奶、增豆、少油”．初中生小宇的妈妈为他准备了两款营养食品：A款：高钙牛奶；B款：豆谷营养包．每一份的营养成分如下表所示：某天，小宇从这两种食品中恰好摄入了能量和蛋白质． 营养成分 1份A款高钙牛奶 1份B款豆谷营养包 能量 蛋白质 脂肪 碳水化合物 钙 (1)小宇这天食用了A款高钙牛奶和B款豆谷营养包各多少份？ (2)初中生每日脂肪摄入量的标准为．若小宇这天已经从其他食品中摄入了脂肪，在他吃完这两款食品后，脂肪摄入量是否超标？请说明理由． 【答案】(1)小宇这天食用了A款高钙牛奶1份，B款豆谷营养包2份 (2)小宇这天的脂肪摄入量没有超标，理由见详解 【分析】（1）设小宇这天食用了A款高钙牛奶x份，B款豆谷营养包y份，根据“从这两种食品中恰好摄入了能量和蛋白质”列方程组求解即可； （2）由（1）可知小宇食用了A款高钙牛奶1份，B款豆谷营养包2份，根据表格求出摄入脂肪的量，再加上从其它食品中摄入脂肪，比较即可． 【详解】（1）解：设小宇这天食用了A款高钙牛奶x份，B款豆谷营养包y份， 由题意，列方程组得， 解得， 即小宇这天食用了A款高钙牛奶1份，B款豆谷营养包2份． （2）解：小宇这天的脂肪摄入量没有超标， 理由：由（1）可知小宇食用了A款高钙牛奶1份，B款豆谷营养包2份， ∴从这两款食品中摄入的脂肪量为， ∴小宇这天摄入的总脂肪量为， ∵初中生每日脂肪摄入量的标准为，而， ∴小宇这天的脂肪摄入量没有超标． 培优难度（素养培优·跨学科综合化） 【题型10】跨学科综合实际问题 1.核心知识点 二元一次方程组与物理、生物、体育等学科融合建模。 2.解题方法技巧 ①提取跨学科公式/规律（如杠杆平衡、BMI指数、热传递）； ②将学科规律转化为数学等量关系； ③兼顾学科规则与数学解的实际意义。 【例题10】.（2025·北京·一模）如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮．利用图中信息解决下列问题： 物理常识 开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量，可以转化为“开水的体积开水降低的温度温水的体积温水升高的温度．” (1)王老师拿空水杯先接了的温水，又接了的开水，刚好接满，则王老师的水杯容量为__________； (2)嘉琪同学拿空水杯先接了一会儿温水，又接了一会儿开水，得到一杯，温度为的水（不计热损失），求嘉琪同学的接水时间．（列二元一次方程组解决问题） 【答案】(1)400 (2) 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程组是解题的关键： （1）根据体积等于水流速度乘以时间，列出算式进行计算即可； （2）设嘉琪接温水的时间为，接开水的时间为，列出二元一次方程组，即可作答． 【详解】（1）解：； 故答案为：400； （2）解：设嘉琪接温水的时间为，接开水的时间为， 则，    解得， ， ∴嘉琪同学的接水时间为． 【变式题10-1】.（25-26七年级上·江苏淮安·月考）如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口．温水的温度为，流速为，开水的温度为，流速为． 物理常识：开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量，即温水的体积温水升高的温度开水的体积开水降低的温度 (1)用空杯先接温水，再接开水，接完后杯中共有水_____，水温为_____； (2)某学生先接了一会儿温水，又接了一会儿开水，得到一杯温度为的水（不计热损失），求该学生分别接温水和开水的时间． 【答案】(1)200；51 (2)学生接温水时间为；接开水的时间为 【分析】本题主要考查了一元一次方程，二元一次方程组的实际应用，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程或方程组． （1）分别求出温水和开水的体积，再根据温水的体积×温水升高的温度=开水的体积×开水降低的温度列方程即可求解； （2）设该学生分别接温水和开水的时间分别为，根据开水和温水的体积和为温度，混合温度为列出方程组求解即可． 【详解】（1）解：温水的体积为，开水的体积， 则接完后杯中共有水， 设接完后杯中水温为，则， 解得， 即接完后杯中水温为； （2）设该学生分别接温水和开水的时间分别为， 由题意得， 解得， 答：学生接温水的时间为，接开水的时间为． 【变式题10-2】.（24-25七年级下·福建厦门·期末）《国家学生体质健康标准》中明确要求关注身体形态和肥胖状况．体重指数（）是用来衡量人体胖瘦程度的常用参考指标，根据数值将人体胖瘦状况分为体重过低、体重正常、超重、肥胖四种类型． （一）从某校七年级学生中随机抽取男生、女生各20名，测得他们的身高和体重数据，计算出相应的数值，并将数据整理如下： 20名男生胖瘦状况频数分布表  20名女生胖瘦状况条形图 组别 频数    体重过低 3 体重正常 a 超重 4 肥胖 3 （二）由资料知，饮食平衡与适当运动可以有效控制．为保障在食堂就餐学生的营养均衡，学校加强对食堂供餐的管理．已知学校食堂某天午餐的供餐方案：每份午餐含米饭、一份荤菜、两份半荤菜及一份蔬菜．其中每份午餐中蔬菜类食物合计，肉蛋类食物合计，各类菜品配料等具体信息如表一． 【备注：学校食堂采用少油少盐的营养供餐，因此食用油、食盐等配料等的热量和蛋白质忽略不计】 表一 类别 菜名 原材料质量配比 每100克含热量（千焦） 每100克含蛋白质（克） 荤菜 卤鸡腿 鸡腿 840 18 半荤 番茄炒蛋 番茄：鸡蛋 300 6 半荤 花菜炒肉片 花菜：肉片 350 7 蔬菜 清炒空心菜 空心菜 25 主食 米饭 大米 1400 4 （三）该校七年级学生均为13岁—14岁的青少年，我国该年龄段学生的午餐营养标准如表二． 表二 能量需要量（千焦） 蛋白质摄入量（克） 男 女 根据材料解决下列问题： (1)　　　　　　； (2)已知该校七年级男生260人，女生240人．根据以上统计数据，估计该校七年级学生体重正常的人数比例．针对该校七年级学生的胖瘦状况，请你提出一条合理化建议； (3)通过计算，判断该份午餐是否符合七年级男生或女生的午餐营养标准． 【答案】(1) (2)，建议学生合理饮食 (3)该份午餐部分符合七年级男生或女生的午餐营养标准． 【分析】本题考查了统计的应用，二元一次方程组的应用． （1）用20减去其他组别频数即可求出a的值； （2）先求出抽取女生体重正常人数，再分别用男生260人，女生240人乘以各自体重正常的人数比例求出体重正常的总人数，除以总数即可求出该校七年级学生体重正常的人数比例，进而提出建议即可； （3）设鸡蛋，肉片，根据题意列二元一次方程组求出番茄炒蛋，花菜炒肉片，再根据题意计算出每份午餐含热量及蛋白质，判断即可． 【详解】（1）解： 故答案为：； （2）抽取女生体重正常人数为人， 体重正常的总人数为， ∴该校七年级学生体重正常的人数比例为， 建议：建议学生合理饮食； （3）解：∵蔬菜类食物合计，肉蛋类食物合计，鸡腿，空心菜， ∴番茄、花菜共，鸡蛋、肉片共， 设鸡蛋，肉片， ∵番茄：鸡蛋，花菜：肉片 ∴番茄，花菜， ∴， 解得：， ∴鸡蛋，肉片，番茄，花菜， ∴番茄炒蛋，花菜炒肉片， ∴每份午餐含热量 （千焦），符合女生的午餐营养标准但不符合男生的午餐营养标准； 每份午餐含蛋白质 （克），符合的男生午餐营养标准但不符合女生的午餐营养标准； 可知该份午餐部分符合七年级男生或女生的午餐营养标准． 【变式题10-3】.（23-24八年级上·广西南宁·月考）【综合与实践】 有言道：“杆秤一头称起人间生计，一头称起天地良心”．某兴趣小组将利用物理学中杠杆原理制作简易杆秤．小组先设计方案，然后动手制作，再结合实际进行调试，请完成下列方案设计中的任务． 【知识背景】如图，称重物时，移动秤砣可使杆秤平衡，根据杠杆原理推导得：．其中称盘质量克，重物质量克，秤砣质量克，秤纽与秤盘的水平距离为厘米，秤纽与零刻线的水平距离为厘米，秤砣与零刻线的水平距离为厘米．    【方案设计】 目标：设计简易杆称．设定，最大可称重物质量为1000克，零刻线与末刻线的距离定为50厘米． 任务：确定和的值． (1)当秤盘不放重物，秤砣在零刻线时，杆秤平衡，请列出关于的方程； (2)当称盘放入质量为1000克的重物，秤砣从零刻线移至末刻线时，杆秤平衡，请列出关于的方程； (3)根据（1）和（2）所列方程，求出和的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查二元一次方程及方程组的应用，解题的关键是理解题意． （1）根据题意可直接进行求解； （2）根据题意可直接代值求解； （3）由（1）（2）可建立二元一次方程组进行求解； 【详解】（1）解：由题意得：， ∴， ∴； （2）由题意得：， ∴， ∴； （3）由（1）（2）可得：， 解得：； 【题型11】方案优化与决策问题 1.核心知识点 方程组+取值范围；最优方案（费用最少、利润最大）选择。 2.解题方法技巧 ①先求基础量（单价、进价），再列限制条件； ②确定未知数的整数取值范围； ③代入计算，比较得出最优方案。 【例题11】.（25-26七年级上·贵州铜仁·月考）2026马年央视春晚中，宇树科技的机器人《武》展示了单腿连续后空翻、托马斯全旋等高难度动作，是本届春晚科技与文化融合的巅峰之作．随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率．拟购买、两种型号智能机器人进行快递分拣．若买1台型机器人、3台型机器人，共需260万元；若买3台型机器人、2台型机器人，共需360万元． (1)求、两种型号智能机器人的单价． (2)该企业现计划用960万元采购型和型机器人，两种机器人均要购买且预算必须全部用完．请列出所有可能的购买方案． 【答案】(1)A型智能机器人的单价为80万元，B型智能机器人的单价为60万元 (2)共有三种采购方案：①A型机器人9台，B型机器人4台；②A型机器人6台，B型机器人8台；③A型机器人3台，B型机器人12台． 【详解】（1）解：设A型智能机器人的单价为x万元，B型智能机器人的单价为y万元， 得：，解得：． 答：A型智能机器人的单价为80万元，B型智能机器人的单价为60万元； （2）解：设购买A型机器人a台，B型机器人b台，得：， ∵a、b为正整数， ∴此方程的解为：，，． 答：共有三种采购方案：①A型机器人9台，B型机器人4台；②A型机器人6台，B型机器人8台；③A型机器人3台，B型机器人12台． 【变式题11-1】.（25-26七年级上·湖南岳阳·期末）某中学拟组织七、八年级师生去参观岳阳博物馆，请根据以下素材完成相应的任务． 项目主题 探究“租车方案”问题 素材1 客运公司有60座和45座两种型号的客车可供租用．60座客车每辆每天的租金比45座的贵220元． 素材2 八年级师生在这个客运公司租了5辆60座和3辆45座的客车到岳阳博物馆，一天的租金共计8620元． 素材3 如果七年级租用45座的客车辆，则恰好所有师生都有座位，且无多余空位；如果租用60座的客车则可少租2辆，且有一辆车上空余15个座位． 解决问题 任务1 根据素材1、2，解决下列问题：（1）客运公司60座和45座的客车每辆每天的租金分别是多少元？ 任务2 根据素材3，并结合任务1的结论，解决下列问题：（2）若只租用同一种客车，使七年级每位师生都有座位，应该怎样租用才合算？ 【答案】（1）60座和45座的客车每辆每天的租金分别是1160元和940元；（2）应该租用7辆60座客车才合算 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用与一元一次方程的应用，解题的关键是根据租金关系和人数相等关系列出方程（组），再通过计算不同方案的总费用进行比较决策． （1）设出两种客车的租金，根据租金差和总租金列出二元一次方程组，求解得出单价； （2）设七年级租用45座客车数量，根据人数不变列出一元一次方程求出总人数，再分别计算租用两种客车的总费用，比较后确定合算方案． 【详解】（1）解：设60座和45座的客车每辆每天的租金分别是元、元， 由题意得：，解得： 答：60座和45座的客车每辆每天的租金分别是1160元和940元． （2）解：由题意得： 解得： 所以七年级共人， 若全部租用45座客车，需要9辆车，则总费用为：元． 若全部租用60座客车，需要：辆车，则总费用为：元. ， 所以，应该租用7辆60座客车才合算． 【变式题11-2】.（25-26八年级上·广东深圳·期末）综合与实践：根据下面素材，探索完成任务． 背景 作为深圳建设“新一代世界一流汽车城”的核心承载区，坪山区正全力聚焦智能网联新能源汽车的研发创新与智能制造，构建起“核心研发+智能制造”的双轮驱动产业生态．为抢抓新能源汽车市场机遇，某汽车销售企业计划从坪山区新能源汽车产业集群中批量采购新能源汽车，开展市场销售布局． 素材1 采购2辆H型新能源汽车、5辆Q型新能源汽车，累计需支付进货成本80万元． 素材2 采购3辆H型新能源汽车、2辆Q型新能源汽车，累计需支付进货成本65万元． 解决问题 任务1 计算H型，Q型两种新能源汽车的每辆进货价格分别为多少万元？ 任务2 若该销售企业计划正好用120万元购进以上两种型号的新能源汽车（每种型号至少1台），请帮助该公司设计出所有满足预算要求的采购方案． 任务3 结合市场销售数据，销售1辆H型新能源汽车可获利0.5万元，销售1辆Q型新能源汽车可获利0.35万元．在任务2拟定的采购方案中，若所有采购的汽车均能顺利售出，哪种采购方案获利最大？最大利润是多少万元？ 【答案】任务1：H型新能源汽车进货价格为15万元，Q型新能源汽车进货价格为10万元；任务2：方案一：购买2辆H型新能源汽车，9辆Q型新能源汽车；方案二：购买4辆H型新能源汽车，6辆Q型新能源汽车；方案三：购买6辆H型新能源汽车，3辆Q型新能源汽车； 任务3：购买2辆H型新能源汽车，9辆Q型新能源汽车获利最大，最大利润是4.15万元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用及二元一次方程组的整数解应用． （1）设H型新能源汽车进货价格为x万元，Q型新能源汽车进货价格为y万元，根据素材1、2的采购组合总价列出二元一次方程组，求解即可； （2）设购买H型新能源汽车m辆，Q型新能源汽车n辆，根据总价120万元列出方程，用m表示n，根据n为正整数的条件，确定m的取值范围，找出所有符合条件的正整数解； （3）根据各方案的m、n值，计算利润，比较各方案利润大小，得出最大利润及对应方案． 【详解】解：（1）设H型新能源汽车进货价格为x万元，Q型新能源汽车进货价格为y万元， 由题意得：， 解得， 即H型新能源汽车进货价格为15万元，Q型新能源汽车进货价格为10万元． （2）设购买H型新能源汽车m辆，Q型新能源汽车n辆， 得：， ， ∵和24均为偶数， ∴必为偶数， ∴m为正偶数， 解得， 即方案一：购买2辆H型新能源汽车，9辆Q型新能源汽车； 方案二：购买4辆H型新能源汽车，6辆Q型新能源汽车； 方案三：购买6辆H型新能源汽车，3辆Q型新能源汽车． （3）方案一：（万元）， 方案二：（万元）， 方案三：（万元）． ， ∴购买2辆H型新能源汽车，9辆Q型新能源汽车获利最大，最大利润是4.15万元． 【变式题11-3】.（23-24七年级下·浙江温州·期末）综合应用 校园菜园子工程 素材一 为了让学生将课堂所学科学知识运用到生活实际，我校打算用如图所示的围栏搭建一块蔬菜基地．已知围栏的横杠长为15dm，竖杠长为8dm．一副围栏由2个横杠，5个竖杠制作而成． 素材二 项目化学习小组到市场了解到：现木材市场的这种规格的围栏材料每根长为40 dm，价格为50元/根，为了深度参与学校蔬菜基地的建立，项目化小组打算自己购买材料，制作搭建蔬菜基地的围栏．同时为了围栏的牢固性，用料不能是拼接而成． 解决问题 任务要求 解决办法 任务一 一根40dm长的围栏材料有哪些裁剪方法呢？（尽可能多的裁剪，余料作废）．根据提示，完成下表 最多能裁剪的数量 裁剪 横杠 竖杠 方法① 0 方法② 1 方法③ 2 任务二 基地负责老师告诉项目化学习小组：搭建蔬菜基地需要用到的围栏长为75dm（即需要制作5副围栏，需要的用料为：25个竖杠，10个横杠），请完成裁剪并计算费用． 项目化小组打算用“任务一”中的方法②和方法③完成裁剪任务．请计算：分别用“任务一”中的方法②和方法③各裁剪多少根40dm长的围栏材料，才能刚好得到所需要的相应数量的用料？并求出购买围栏材料的费用． 任务三 我校共采购原材料9根（40dm长），在保证能够制作出更多的整副围栏的情况下，尽可能的少浪费，剩余的废料至少______dm 【答案】任务一：，，； 任务二：元； 任务三：． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，解决本题的关键是根据需要横杠和竖杠的数量列方程组． 任务一、根据方法、、中裁出的横杠的数量及一根材料的长度计算出可裁剪出的竖杠的最多数量即可； 任务二、设用方法裁剪了根，用方法裁剪了根，根据每根材料可裁出的横杠和竖杠的数量列方程组求解即可； 任务三、根据用方法裁剪每根材料浪费，用方法裁剪每根材料浪费，计算出总共浪费了多少材料即可． 【详解】任务一、解：方法：一根长的围栏材料裁剪根横杠， 最多可以裁剪根竖杠； 方法：一根长的围栏材料裁剪根横杠，则可以裁剪， 最多可以裁剪根竖杠； 方法：一根长的围栏材料裁剪根横杠，则可以裁剪， 最多可以裁剪根竖杠； 故答案为：，，； 任务二、解：设用方法裁剪了根，用方法裁剪了根， 根据题意可得：， 解方程组得：， 用方法裁剪了根，用方法裁剪了根， 所需要的费用为(元)， 答：用方法裁剪了根，用方法裁剪了根，所需要的费用为元； 任务三、解：由任务二可知，用方法裁剪了根，每根浪费，总共浪费了， 用方法裁剪了根，每根浪费， 一共浪费了， 故答案为：． 易错点 1.找错两个独立等量关系，列出的方程本质相同，无法求解。 2.设未知数时单位不统一（如米/千米、元/万元混用），导致结果错误。 3.忘记检验实际意义，出现负数、小数、零等不符合实际的解。 4.数字问题中，多位数表示错误（如将两位数写成，正确为）。 5.配套问题中，配套比例颠倒（如甲:乙=2:1写成乙:甲=2:1）。 6.方案问题中，忽略未知数为正整数的限制，出现非整数方案。 7.解方程组时，消元计算出错，符号、系数计算失误。 重点 1.掌握列二元一次方程组解实际问题的六步标准流程。 2.熟记8类常见实际问题的核心等量关系，快速建模。 3.熟练运用代入消元、加减消元法解二元一次方程组。 4.养成“解后检验”的习惯，确保解符合数学与实际双重要求。 难点 1.从复杂文字、表格、跨学科情境中，精准提取两个等量关系。 2.配套问题、分段计费问题的数学建模，理解比例与区间规则。 3.方案决策问题中，结合限制条件确定取值范围并筛选最优解。 4.古文、新情境题的题意转化，将陌生表述转化为熟悉数学模型。 【对应练习题】 一、单选题 1．在山区生活的小明每天上学需要翻越一座山岭到学校，山岭分为上山和下山两段路，他的上山速度是，下山速度是，如果他上学用时间为42分钟，放学回家时原路返回需要48分钟，若设上学时上坡山路为，下坡山路为，则列方程组为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了根据实际问题列二元一次方程组，行程问题(二元一次方程组的应用)等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 根据路程、速度、时间的关系，结合上学和放学时上下坡路段的转换，列二元一次方程组求解，注意单位统一（将分钟转化为小时）． 【详解】解：42分钟小时，48分钟小时， ∵上学时，上坡路程，速度，下坡路程，速度，总时间小时， ∴根据“时间=路程÷速度”，得方程：， ∵放学原路返回时，原来的上坡变为下坡，下坡变为上坡，总时间小时， ∴此时上坡路程为，下坡路程为，得方程：， ∴列得方程组为， 故选：C． 2．对有理数x、y定义新运算：，其中a，b都是常数．若，，则a，b的值分别是（    ） A．1，2 B．2，1 C．2，2 D． 【答案】C 【分析】本题考查了解二元一次方程组． 根据新定义得到关于a、b的二元一次方程组，解方程组即可求出a、b的值． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴，， 即， 解得：． 故选：C． 二、填空题 3．如图，在大长方形中，放置6个形状、大小都相同的小长方形，设小长方形的长为，宽为，根据题意得到的二元一次方程组为_____． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据图形，找到合适的等量关系列出方程组是解题的关键． 设小长方形的长为，宽为，根据各边之间的关系，可得出关于x，y的二元一次方程组． 【详解】解：小长方形的长为，宽为， 根据题意得：． 故答案为：． 4．甲乙两个工程队分别负责两项工作量相同的工程．晴天，甲完成工程要天，乙完成工程要天；雨天，甲和乙的工作效率分别是晴天时的和．实际情况是两队同时开工、同时完工，在施工期间，下雨天的天数与晴天的天数之比是_____．下雨天的天数是_____． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键，先求出晴天和雨天时甲、乙的工作效率，然后根据两队同时完工，工作量相同，列出方程求解晴天和雨天的天数，再求比例和具体天数． 【详解】解：由题可得：晴天时，甲的工作效率为，乙的工作效率为， 雨天时，甲的工作效率为，乙的工作效率为， 设晴天天数为，雨天天数为， 得：， 得：， 得：， 解得：， 将代入中得：， ∴下雨天天数与晴天天数之比为，下雨天天数为． 5．聪聪在给妈妈过生日时发现自己的年龄与妈妈的年龄的十位数字与个位数字正好相反，他同时还发现，过10年，妈妈岁数减1（岁）刚好是自己岁数加1（岁）的2倍；再过1年，他们两人的年龄又一次相反，且十位数字与个位数字的和为7．则聪聪______岁． 【答案】14 【分析】设聪聪的年龄为岁，妈妈的年龄为岁，根据“过10年，妈妈岁数减1（岁）刚好是自己岁数加1（岁）的2倍；再过1年，他们两人的年龄又一次相反，且十位数字与个位数字的和为7”，即可得出关于，的二元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设聪聪的年龄为岁，则妈妈的年龄为岁， 根据题意得：， 解得：， ∴聪聪的年龄为岁． 三、解答题 6．随着人工智能与互联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递公司为提高工作效率，拟购买两种型号的智能机器人进行快递分拣，相关信息如下： 型号机器人台数 型号机器人台数 总费用（单位：万元） 1 3 195 2 1 165 (1)求两种型号智能机器人的单价； (2)若某公司恰好用450万元购进两种型号的机器人若干（两种型号机器人均购买），求该公司共有几种购进方案． 【答案】(1)型号机器人的单价为60万元，型号机器人的单价为45万元 (2)该公司有2种购进方案 【分析】（1）设型号机器人单价为万元，型号机器人单价为万元，根据表格中的信息，列出方程组，解方程组即可； （2）设购进型号机器人个，型号机器人个，根据两种型号的机器人的价格之和为450元，列出方程，求方程的整数解即可． 【详解】（1）解：设型号机器人单价为万元，型号机器人单价为万元． 根据题意，得， 解得， 答：型号机器人的单价为60万元，型号机器人的单价为45万元． （2）解：设购进型号机器人个，型号机器人个． 根据题意，得． 整理，得： ， ∵为正整数， ∴或， ∴该公司有2种购进方案． 7．某工厂安排工人生产两种零件．已知生产个零件需甲材料、乙材料；生产个零件需甲材料、乙材料．现共有甲材料、乙材料． (1)设生产零件个，零件个，列出关于的方程组； (2)求零件各生产多少个恰好把材料用完． 【答案】(1) (2)零件个，零件个 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用． 根据甲、乙两种材料的总用量建立等量关系得到二元一次方程组，解方程组得到零件的个数． 【详解】（1）解：∵设生产零件个，零件个， ∴根据甲材料总用量：生产个零件需甲材料，生产个零件需甲材料，总共有， 乙材料总用量：生产个零件需乙材料，生产个零件需乙材料，总共有， 可列方程组为：； （2）解：解方程组得：， ∴零件个，零件个． 8．信阳毛尖是中国十大名茶之一，具有“细、圆、光、直、多白毫、香高、味浓、汤色绿”的独特风格，被誉为“绿茶之王”．固始皇姑山茶是全国农产品地理标志产品，干茶条索紧秀圆直，汤色柳芽黄清澈，具兰花香气，鲜爽回甘，种植历史超2300年．河南某茶叶经销商要购进“信阳毛尖”和“固始皇姑山茶”进行销售，已知购进3份信阳毛尖与2份固始皇姑山茶共需要280元，购进2份信阳毛尖与3份固始皇姑山茶共需要270元，求每份信阳毛尖和每份固始皇姑山茶的价格 【答案】每份信阳毛尖的价格是60元，固始皇姑山茶的价格是50元 【分析】设每份信阳毛尖的价格是元，每份固始皇姑山茶的价格是元，根据题意，得解方程组即可； 【详解】解：设每份信阳毛尖的价格是元，每份固始皇姑山茶的价格是元， 根据题意，得 解得 答：每份信阳毛尖的价格是60元，固始皇姑山茶的价格是50元． 9．某农场因紧急任务需租用无人机一次性配送种子和化肥等货物．已知1架型无人机和2架型无人机一次可配送货物220千克，2架型无人机和3架型无人机一次可配送货物380千克． (1)求1架型无人机和1架型无人机一次分别可配送货物多少千克； (2)已知1架型无人机的单次租金为150元，1架型无人机的单次租金为100元．现农场要紧急配送840千克货物，计划租用9架型无人机．请聪明的你写出一种租金更少的租用方案，并求出节省了多少元． 【答案】(1)1架A型无人机一次可配送货物100千克，1架B型无人机一次可配送货物60千克 (2)租金更少的租用方案是租用8架A型无人机和1架B型无人机，节省了50元 【分析】本题考查二元一次方程组的应用、有理数的混合运算的应用等知识点，根据题意正确列出方程组和算式是解题的关键． （1）设1架型无人机一次可配送千克，1架型无人机一次可配送千克，再根据题意列出关于x、y的二元一次方程组求解即可； （2）先说明选8架型无人机和1架型无人机配送运的租金更少，再求出节省的费用即可． 【详解】（1）解：设1架型无人机一次可配送千克，1架型无人机一次可配送千克， 根据题意，得，解得：， 答：1架型无人机一次可配送100千克，1架型无人机一次可配送60千克． （2）解：选择方案：选8架型无人机和1架型无人机配送． 由（1）得1架型无人机一次可配送100千克，1架型无人机一次可配送60千克， 当按原计划租用9架A型无人机的运力为（千克），符合要求；此时，该方案的费用为（元）； 当租用8架A型无人机和1架B型无人机的运力为（千克），符合要求，此时，该方案的费用为（元）． 当租用7架A型无人机和2架B型无人机的运力为（千克），不符合要求； ∵， ∴选8架型无人机和1架型无人机配送的租金更少； ∴该方案节省的费用为（元）． 10．某铁件加工厂用如图1的长方形和正方形铁片（长方形的宽与正方形的边长相等）加工成如图2的竖式与横式两种无盖的长方体铁容器．（加工时接缝材料不计） (1)如果加工竖式铁容器与横式铁容器各1个，则共需要______张长方形铁片，______张正方形铁片． (2)现有长方形铁片100张，正方形铁片50张，如果加工成这两种铁容器，刚好铁片全部用完，那加工的竖式铁容器、横式铁容器各有多少个？ (3)把长方体铁容器加盖可以加工成为铁盒，现用35张铁板做成长方形铁片和正方形铁片，已知每张铁板可做成3个长方形铁片或4个正方形铁片，也可以将一张铁板裁出1个长方形铁片和2个正方形铁片．若充分利用这些铁板加工成铁盒，最多可以加工成______个铁盒． 【答案】(1)7，3 (2)加工的竖式铁容器有10个，横式铁容器有20个 (3)最多可加工铁盒19个 【分析】（1）由图可知加工1个竖式铁容器需要长方形铁片4张，正方形铁片1 张；加工1个横式铁容器需要长方形铁片3张，正方形铁片2 张，即可求解． （2）设加工的竖式铁容器有x个，横式铁容器有y个，根据题意列出方程组求解即可． （3）设做长方形铁片的铁板m张，做正方形铁片的铁板n张，根据题意列出方程组求解即可． 【详解】（1）解：由图可知，加工1个竖式铁容器需要长方形铁片4张，正方形铁片1 张；加工1个横式铁容器需要长方形铁片3张，正方形铁片2 张． 故如果加工竖式铁容器与横式铁容器各 1 个，则共需要长方形铁片7张，正方形铁片3 张． （2）设加工的竖式铁容器有x个，横式铁容器有y个，由题意得 解得 答：加工的竖式铁容器有10个，横式铁容器有20个． （3）解：设做长方形铁片的铁板m张，做正方形铁片的铁板n张，由题意得 解得 ∴在这35张铁板中，25张做长方形铁片可做（片），9张做正方形铁片可做（片），剩1张可裁出1个长方形铁片和2个正方形铁片 共可做长方形铁片（片），正方形铁片（片） ∴可做铁盒（个） 答：最多可加工铁盒19个． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $