精品解析：山东省聊城市高唐县2024-2025学年八年级下学期4月期中数学试题

2024—2025学年第二学期期中学业质量检测 八年级数学试题 （本卷满分：120分 考试时间：120分钟） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 在实数，，，，，（两个之间为依次增加一个）中，无理数有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 2. 下列各式中，正确是（　　） A. B. C. D. 3. 若，下列不等式不成立的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列语句正确的有个（    ） ①的平方根是；②一对相反数的立方根之和为；③平方根等于本身的数有和；④与是同类二次根式． A. B. C. D. 5. 不等式组的解集表示在数轴上正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 下列说法正确的是（ ） A. 对角线互相垂直的四边形是菱形 B. 四个角都相等的四边形是正方形 C. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 D. 有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形 7. 如图，在平行四边形中，对角线、相交于点，点是的中点，如果，，那么的周长是（ ） A. 20 B. 12 C. 24 D. 8 8. 如图，在中，，点D是各边中线的交点，连接并延长，交于点E，连接并延长，交于点F，连接，若，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 9. 如图，，是四边形的两条对角线，顺次连接四边形各边中点得到四边形，要使四边形为菱形，应添加的条件是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，矩形中，O为中点，过点O的直线分别与、交于点E、F，连结交于点M，连结、．若，，则下列结论，其中正确结论的个数是（ ） ①；②； ③四边形是菱形；④． A 1个 B. 2个 C. 2个 D. 4个 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11 比较大小：______（填“＞”“＜”“＝”） 12. 若一个正数的两个平方根是和，则这个正数是______． 13. 已知关于的不等式组有四个整数解，则的取值范围是_____． 14. 如图，在矩形ABCD中，，．将矩形ABCD沿EF折叠，使点与点重合，则EB长为_________． 15. 已知的边，边的长度分别是不等式组的最大整数解与最小整数解；如果的周长是奇数，则的第三条边的长度的最小值为________． 16. 如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，BE=2，AE=3BE，P是AC上一动点，则PB+PE的最小值是___． 三、解答题：本题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算： （1） （2）； 18. （1）解不等式，并将不等式的解集在数轴上表示出来； （2）解不等式组：，并写出它的所有整数解． 19. 如图，莲花湖景区内有一块四边形空地，景区管理人员想在这块空地上铺满观赏草坪，需要测量其面积，经测量，，，，． （1）请你帮助管理人员计算出这个四边形对角线的长度； （2）请你用学过的知识计算出求这块空地的面积； （3）观赏草坪每平方米的价格是30元，请你计算购买草坪需要花多少元． 20. 如图，在中，E为的中点，连接并延长交的延长线于点F，连接，，若，求证：四边形是矩形． 21. 如图，在中， 是边上的中线，是的中点，过点作，交的延长线于点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）当满足 　时，四边形是正方形． 22. 为激励同学们参与数学阅读，罗老师准备购买两种不同的笔记本奖励给部分同学．已知种笔记本的单价比种笔记本单价多2元，他花50元购买种笔记本数量与花40元购买种笔记本数量相同． （1），两种笔记本的单价各是多少元？ （2）罗老师在购买的时候，决定对全班50名同学进行奖励，每人奖一个笔记本，种笔记本作为一等奖奖品，种笔记本作为二等奖奖品，一等奖人数不少于二等奖人数的一半，罗老师所带现金共440元，在使用仅有现金的情况下，他购买，两种笔记本共有多少种可能的方案？请写出所有可能的购买方案． 23. 如图，平行四边形，连结，．点在边上，过点作，垂足，交延长线于点，连接，． （1）求证：； （2）当为中点时，四边形是什么特殊四边形？说明你的理由； （3）在满足（2）的条件下，当满足什么条件时，四边形是正方形？（不必说明理由） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024—2025学年第二学期期中学业质量检测 八年级数学试题 （本卷满分：120分 考试时间：120分钟） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 在实数，，，，，（两个之间为依次增加一个）中，无理数有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】C 【解析】 【分析】根据无理数的三种形式求解． 【详解】解：＝2， 无理数有：﹣，，4.010010001…，共3个． 故选择：C． 【点睛】本题考查了无理数的知识，解答本题的关键是掌握无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数． 2. 下列各式中，正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平方根，立方根和算术平方根的运算法则，分别化简四个选项判断正误即可得到答案． 【详解】解：A、，故A错误； B、，故B正确； C、，故C错误； D、，故D错误； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了平方根，立方根和算术平方根，掌握开根号得到的数是非负数，灵活运用所学知识是解题的关键． 3. 若，下列不等式不成立是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查不等式的性质，掌握不等式的性质是解题的关键． 根据不等式的基本性质“不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或式子，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变”逐项判断即可解题． 详解】解：A、由两边同时加上8，可得，正确，不符合题意； B、由两边同时乘以4，可得，正确，不符合题意； C、由两边同时除以7，可得，正确，不符合题意； D、由两边同时乘以再加上1，可得，原写法错误，符合题意； 故选：D． 4. 下列语句正确的有个（    ） ①的平方根是；②一对相反数的立方根之和为；③平方根等于本身的数有和；④与是同类二次根式． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据同类二次根式的概念，平方根的概念以及立方根的概念对各个说法进行判断即可． 【详解】解：，的平方根是，故正确； 一对相反数的立方根之和为，故正确； 平方根等于本身的数是，故错误； 与是同类二次根式，故正确． 综上，正确的个数有3个， 故选：C． 【点睛】本题考查的是同类二次根式的概念，平方根的概念以及立方根的概念，掌握把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式、一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根是解题的关键． 5. 不等式组的解集表示在数轴上正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别解两个不等式，将它们的解集表示在同一数轴上即可求解；带等于号的用实心点，不带等于号的用空心点． 【详解】解：解不等式 得：， 解不等式 得：， ∴不等式组的解集为， 在数轴上表示为： 故选B． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解法，一元一次不等式的解集在数轴上的表示方法；依次解不等式，注意空心点和实心点的区别是解题关键． 6. 下列说法正确的是（ ） A. 对角线互相垂直的四边形是菱形 B. 四个角都相等的四边形是正方形 C. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 D. 有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行四边形、矩形、菱形和正方形的判定内容进行逐项分析判断即可． 【详解】解：A、因为对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，所以对角线互相垂直的四边形是菱形的说法是不正确的； B、因为四个角都相等的四边形是矩形，所以四个角都相等的四边形是正方形的说法是不正确的； C、因为一组对边平行，另一组对边相等的四边形也有可能是等腰梯形，所以一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形的说法是不正确的； D、因为有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形，所以D选项正确； 故选：D． 【点睛】本题主要考查的是平行四边形、矩形、菱形和正方形的判定等知识内容，掌握平行四边形、矩形、菱形和正方形的判定内容是解题的关键． 7. 如图，在平行四边形中，对角线、相交于点，点是的中点，如果，，那么的周长是（ ） A. 20 B. 12 C. 24 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】由平行四边形的性质和三角形中位线定理得出，，，即可得出答案． 【详解】解：对角线相交于点，是的中点， ，，是的中位线， ， 的周长． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质以及三角形中位线定理等知识；求出是解题关键． 8. 如图，在中，，点D是各边中线的交点，连接并延长，交于点E，连接并延长，交于点F，连接，若，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】由中位线定理得到，由直角三角形斜边上中线的性质得到，则， 由，点E是的中点 得到，由勾股定理得到，即可得到的长． 【详解】解：∵在中，，点D是各边中线的交点， ∴点E是的中点，点F是的中点， ∴是的中位线， ∴， 中，， ∴， ∴， ∵，点E是的中点 ， ∴， ∴由勾股定理得到， ∴， 故选：A 【点睛】此题考查了勾股定理、三角形中位线定理、斜边上中线的性质等知识，熟练掌握相关定理和性质是解题的关键． 9. 如图，，是四边形的两条对角线，顺次连接四边形各边中点得到四边形，要使四边形为菱形，应添加的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中点四边形、菱形的判定，熟练掌握三角形的中位线定理和菱形的判定是解题的关键．根据三角形的中位线定理可得，，，，，，得到四边形为平行四边形，再结合选项逐个分析判断即可得出结论． 【详解】解：分别为的中点， ，，，，，， ，， 四边形为平行四边形， A、添加条件，则有，此时为矩形，不符合题意； B、添加条件，此时为平行四边形，不符合题意； C、添加条件，此时为平行四边形，不符合题意； D、添加条件，则有，此时为菱形，符合题意； 故选：D． 10. 如图，矩形中，O为中点，过点O的直线分别与、交于点E、F，连结交于点M，连结、．若，，则下列结论，其中正确结论的个数是（ ） ①；②； ③四边形是菱形；④． A. 1个 B. 2个 C. 2个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】①根据已知得出，可求得与关于直线对称，进而求得，； ②因为，故不会全等于； ③先证得，再证得，进而证得，因为、互相平分，即可证得四边形是菱形； ④可通过面积转化进行解答． 【详解】解：连接， ∵四边形是矩形， ∴，、互相平分， ∵O为中点， ∴过O点， ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， 在与中， ， ∴（）， ∴与关于直线对称， ∴，； 故①正确； ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴（）， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， 故③正确； ∵， ∴错误． 故②错误； ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ， ∴， ∴， ∴， 故④错误； 综上所述，正确的有2个， 故选：B． 【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，含有的直角三角形的性质，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质等的知识，解题关键是掌握上述知识，并能熟练运用求解． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 比较大小：______（填“＞”“＜”“＝”） 【答案】> 【解析】 【分析】此题主要考查了无理数的估算能力，此题把它们的减数变成和被减数相同的形式，然后只需比较被减数的大小．分母相同时，分子大的大． 首先确定与1的大小，进行比较即可求解． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∴ 故答案为：>． 12. 若一个正数的两个平方根是和，则这个正数是______． 【答案】9 【解析】 【分析】本题主要考查了平方根的性质，熟练掌握正数有两个平方根，且互为相反数；0的平方根等于0；负数没有平方根是解题的关键． 根据一个正数的两个平方根是和，可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根是和， ∴， 解得：， ∴这个正数是． 故答案为：9． 13. 已知关于的不等式组有四个整数解，则的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．分别求出每一个不等式的解集，根据不等式组的整数解个数可得m的取值范围． 【详解】解：， 由①得：， 由②得：， 所以不等式组的解集为：， ∵关于的不等式组有四个整数解， ∴整数解， ∴， 解得：， 故答案为：． 14. 如图，在矩形ABCD中，，．将矩形ABCD沿EF折叠，使点与点重合，则EB的长为_________． 【答案】3 【解析】 【分析】设，则，根据勾股定理列出关于x的方程，解方程得出， EB的长即可得解． 【详解】解：设， ∵矩形ABCD沿EF折叠，点与点重合， ∴， 则， ∵ABCD是矩形， ∴， ∴， 又， ∴， 解方程得， 即 EB的长为． 故答案为：3 【点睛】本题主要考查了折叠的性质，勾股定理，矩形的性质，解题的关键是熟练掌握折叠的性质和矩形的性质，根据勾股定理列出方程． 15. 已知的边，边的长度分别是不等式组的最大整数解与最小整数解；如果的周长是奇数，则的第三条边的长度的最小值为________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，不等式组的整数解，三角形三边关系，解题的关键在于能够准确求出不等式组的解集． 先求出不等式组的解集，然后根据解集求出其最大整数解与最小整数解，根据三边关系求出范围，再结合的周长是奇数求解即可． 【详解】解：由， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为， 则不等式组最大的整数解为8，最小整数解为6． ∵的周长是奇数，是偶数， 且， 则的第三条边的长度的最小值3， 故答案为：3． 16. 如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，BE=2，AE=3BE，P是AC上一动点，则PB+PE的最小值是___． 【答案】10 【解析】 【分析】由正方形性质的得出B、D关于AC对称，根据两点之间线段最短可知，连接DE，交AC于P，连接BP，则此时PB+PE的值最小，进而利用勾股定理求出即可． 【详解】 如图，连接DE，交AC于P，连接BP，则此时PB+PE的值最小. ∵四边形ABCD是正方形， ∴B、D关于AC对称， ∴PB=PD， ∴PB+PE=PD+PE=DE. ∵BE=2，AE=3BE， ∴AE=6，AB=8， ∴DE==10， 故PB+PE的最小值是10. 故答案为10. 三、解答题：本题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算： （1） （2）； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了立方根，算术平方根，熟练掌握上述法则与性质是解题的关键． （1）利用算术平方根，立方根的意义化简运算即可； （2）利用算术平方根，有理数的乘方，立方根的意义化简运算即可． 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 ． 18. （1）解不等式，并将不等式的解集在数轴上表示出来； （2）解不等式组：，并写出它的所有整数解． 【答案】（1），见解析；（2）；整数解为，0，1 【解析】 【分析】本题主要考查解一元一次不等式，解一元一次不等式组，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）不等式去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解，然后在数轴表示即可； （2）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，然后写出所有整数解即可． 【详解】（1） 解：去分母，得 移项合并，得 系数化为1，得 数轴表示如下； （2） 解不等式①得： 解不等式②得： ∴原不等式组的解集为：． ∴整数解为，0，1． 19. 如图，莲花湖景区内有一块四边形空地，景区管理人员想在这块空地上铺满观赏草坪，需要测量其面积，经测量，，，，． （1）请你帮助管理人员计算出这个四边形对角线的长度； （2）请你用学过的知识计算出求这块空地的面积； （3）观赏草坪每平方米的价格是30元，请你计算购买草坪需要花多少元． 【答案】（1）米 （2）平方米 （3）7020元 【解析】 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理的应用，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． （1）利用勾股定理求出即可； （2）利用勾股定理逆定理证明，计算两个直角三角形面积即可解决问题 （3）根据总价单价面积 【小问1详解】 解：在中，由勾股定理得： （米）． 【小问2详解】 在中，∵， ∴． ∴ （米2）． 【小问3详解】 购买草坪需要的总价为（元） 答：赏草坪每平方米的价格是30元，请你计算购买草坪需要花7020元． 20. 如图，在中，E为的中点，连接并延长交的延长线于点F，连接，，若，求证：四边形是矩形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质和E为的中点，易得，得到，，结合得到四边形ABFC是平行四边形，再利用，得到 ，最后利用矩形的判定定理判定即可． 【详解】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴，，， ∴，． ∵E为的中点， ∴． 在和中 ， ∴， ∴，． ∵，延长交的延长线于点F， ∴， ∴四边形ABFC是平行四边形． ∵，， ∴． ∴四边形是矩形． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定，得到是解答关键． 21. 如图，在中， 是边上的中线，是的中点，过点作，交的延长线于点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）当满足 　时，四边形是正方形． 【答案】（1）见解析； （2）． 【解析】 【分析】（1）由“AAS”可证，可得，由直角三角形的性质可得，由菱形的判定可证四边形是菱形； （2）由等腰三角形的性质可得，即可证四边形是正方形． 【小问1详解】 证明：， ， ∵是的中点， ∴， ∴（AAS）， ∴， ∵是的中线， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， ∵CD＝BD， ∴四边形是菱形； 【小问2详解】 解：当时，四边形是正方形， 理由如下：∵，是中线， ∴，且四边形是菱形， ∴四边形是正方形， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的判定，全等三角形的判定和性质，菱形的判定，直角三角形的性质和等腰三角形的性质，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键． 22. 为激励同学们参与数学阅读，罗老师准备购买两种不同的笔记本奖励给部分同学．已知种笔记本的单价比种笔记本单价多2元，他花50元购买种笔记本数量与花40元购买种笔记本数量相同． （1），两种笔记本的单价各是多少元？ （2）罗老师在购买的时候，决定对全班50名同学进行奖励，每人奖一个笔记本，种笔记本作为一等奖奖品，种笔记本作为二等奖奖品，一等奖人数不少于二等奖人数的一半，罗老师所带现金共440元，在使用仅有现金的情况下，他购买，两种笔记本共有多少种可能的方案？请写出所有可能的购买方案． 【答案】（1）种笔记本的单价是10元，种笔记本的单价是8元 （2）共有4种可能的方案，具体详见解析 【解析】 【分析】（1）设种笔记本的单价是元，则种笔记本的单价是元，根据花50元购买种笔记本数量与花40元购买种笔记本数量相同，列出分式方程，解方程即可； （2）设购买种笔记本本，则购买种笔记本本，根据一等奖人数不少于二等奖人数的一半，罗老师所带现金共440元，列出一元一次不等式组，解不等式组，即可解决问题． 【小问1详解】 解：设种笔记本的单价是元，则种笔记本的单价是元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：种笔记本的单价是10元，种笔记本的单价是8元； 【小问2详解】 设购买种笔记本本，则购买种笔记本本， 根据题意得不等式组：， 解不等式组得：， 为正整数， 或18或19或20， 共有4种可能的方案： ①购买种笔记本17本，种笔记本33本； ②购买种笔记本18本，种笔记本32本； ③购买种笔记本19本，种笔记本31本； ④购买种笔记本20本，种笔记本30本． 【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． 23. 如图，平行四边形，连结，．点在边上，过点作，垂足为，交延长线于点，连接，． （1）求证：； （2）当为中点时，四边形是什么特殊四边形？说明你的理由； （3）在满足（2）的条件下，当满足什么条件时，四边形是正方形？（不必说明理由） 【答案】（1）见解析 （2）四边形是菱形，见解析 （3）或或是等腰直角三角形 【解析】 【分析】（1）根据垂直的定义得到，得到，根据平行四边形的性质得到，得到，根据平行四边形的判定定理得到四边形是平行四边形，于是得到； （2）由为中点，得到，得到，根据平行四边形的性质得到，得到，根据菱形的判定定理得到四边形是菱形； （3）根据正方形的判定定理得到结论． 【小问1详解】 证明：， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是平行四边形， ； 【小问2详解】 解：四边形是菱形． 理由如下： 为中点， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是平行四边形； ，为中点， ， 四边形是菱形； 【小问3详解】 解：当满足（答案不唯一）时，四边形是正方形， 理由：由（2）知，四边形是菱形， ，， ， 四边形是正方形． 【点睛】本题是四边形的综合题，考查了直角三角形的性质，菱形的判定和性质，平行四边形的性质，正方形的判定，熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$