专题6.2 平行四边形的判定（2大考点+6大题型+强化训练）（高效培优讲义）数学新教材北师大版八年级下册

的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题6.2 平行四边形的判定 内容概览 教学目标，教学重难点 知识点1平行四边形的判定 知识清单 知识点2平行四边形的性质与判定 题型]添一个条件成为平行四边形 平行四边形的判定 题型2证明四边形是平行四边形 题型3利用平行四边形的性质与判定求解 题型精讲 题型4利用平行四边形的性质与判定证明 题型5数图形中平行四边形的个数 题型6平行四边形的性质与判定的应用 强化训练 教学目标、教学重难点 1.掌握平行四边形的判定定理，包括两组对边分别相等、两组对角分别相 等、对角线互相平分等核心方法，理解定理的推导逻辑。 2. 能根据不同已知条件，灵活选择合适的判定方法，对四边形是否为平行 教学目标 四边形进行推理证明和计算。 3.经历定理的猜想与探究过程，体会逆向思考和类比思想，提升几何逻辑 思维与空间想象能力。 1.重点 (1)熟练掌握平行四边形的判定定理，明确各定理的适用条件，能准确区 教学重难点 分判定方法与平行四边形的性质。 (2)能运用判定定理解决实际几何问题，包括图形判定、证明线段或角的 1/13 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 关系等，做到灵活运用、规范表达。 2.难点 (1)理解判定定理的证明过程，尤其是如何通过构造辅助线、利用全等三 角形等知识推导定理，建立判定与性质的逻辑关联。 (2)面对复杂几何情境时，能准确分析已知条件，选择最优判定方法，避 免判定定理混淆，实现综合应用与灵活转化。 知识清单 知识点01平行四边形的判定 平行四边形的判定 (1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形.符号语言：，AB∥DC,AD∥BC.四边行ABCD是平行 四边形 (2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形.符号语言：，'AB=DC,AD=BC∴.四边行ABCD是平行 四边形 (3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形， 符号语言：，AB∥DC,AB=DC.四边行ABCD是平行四边形. (4)两组对角分别相等的四边形是平行四边形： 符号语言：，∠ABC=∠ADC,∠DAB=∠DCB.∴四边行ABCD是平行四边形 (5)对角线互相平分的四边形是平行四边形.符号语言：，OA=OC,OB=OD∴.四边行ABCD是平行四 A 边形.B 【即学即练1】1.己知四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O.下列条件：①AB∥CD, AD∥BC:②AB∥CD,AD=BC:③∠A=∠C,∠B=∠D:④∠A=∠C,AO=CO:⑤AB∥CD, AO=CO.其中，能判定四边形ABCD是平行四边形的是() A.①③④ B.①③⑤ C.①②③⑤ D.①③④⑤ 2.如图，在四边形ABCD中，点O为对角线AC和BD的交点，已知OB=OD=5cm,OA=3cm,当 OC= cm时，四边形ABCD是平行四边形. 2/13 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 0 知识点02平行四边形的性质与判定 平行四边形的判定与性质 平行四边形的判定与性质的作用 平行四边形对应边相等，对应角相等，对角线互相平分及它的判定，是我们证明直线的平行、线段相等、 角相等的重要方法，若要证明两直线平行和两线段相等、两角相等，可考虑将要证的直线、线段、角、分 别置于一个四边形的对边或对角的位置上，通过证明四边形是平行四边形达到上述目的， 运用定义，也可以判定某个图形是平行四边形，这是常用的方法，不要忘记平行四边形的定义，有时用定 义判定比用其他判定定理还简单. 凡是可以用平行四边形知识证明的问题，不要再回到用三角形全等证明，应直接运用平行四边形的性质和 判定去解决问题. 【即学即练2】1.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，D是AC的中点，过点A,B分别作AE∥BD, BE∥AC.若AB=3,BC=4,则四边形AEBD的面积为() A.5 B.6 C.10 D.12 2.如图，在口ABCD中，点E,点F分别是AD,BC的中点，连接BE,DF.若BE平分∠ABC, AB=2,BE=3,则四边形BEDF的周长为 A D 题型精讲 题型01添一个条件成为平行四边形 【典例1】(24-25八年级下·陕西咸阳期末)在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O,且OB=OD,再 3/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 添加下面一个条件，不能判断该四边形是平行四边形的是() 4入 A.OA=OC B.∠1=∠2 C.∠3=∠4 D.AD=BC 【变式1】(24-25八年级下·河南平顶山期末)如图，平行四边形ABCD的两条对角线AC,BD相交于点 O,点E,F分别是AO,CO上的点，连接BE,BF,DE,DF,添加下列条件不能判定四边形BFDE 为平行四边形的是() A.AF=CE B.BD=EF C.∠FDB=∠EBDD.DE∥BF 【变式2】(24-25八年级下·福建福州期中)如图，在四边形ABCD中，若AB∥CD在不添加任何辅助线 的情况下，请你添加一个条件一，使四边形ABCD是平行四边形.（填一个即可） 【变式3】(25-26九年级下黑龙江牡丹江：月考)如图，已知∠A=∠E=90°，A,C,F,E在一条直线 上，AF=EC,请添加一个条件，使四边形BCDF是平行四边形 B 分 D 题型02证明四边形是平行四边形 【典例2】(25-26八年级下新疆和田期中)如图，在口ABCD中，点E,F分别在边BC,AD上， DF=BE.求证：四边形AECF是平行四边形 4/13 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D 【变式1】(25-26八年级下·吉林·期中)如图，将口ABCD的对角线BD向两个方向延长，分别至点E和点 F,BE=DF,求证：四边形AECF是平行四边形 D E 【变式2】(25-26八年级下广东东莞期中)如图，在四边形ABCD中，AC与BD交于点O,BE⊥AC, DF LAC,垂足分别为点E,F,且AE=CF,∠BAC=∠DCA.求证：四边形ABCD是平行四边形. A E 0 【变式3】(25-26八年级下山东济宁·期中)如图，在矩形ABCD中，AC和BD相交于点O,AE⊥BD, 垂足为E,CF⊥BD,垂足为F,连接AF和CE. D E (1)若AC=8,BE-2,求AE的长： (2)求证：四边形AECF为平行四边形. 题型O3利用平行四边形的性质与判定求解 【典例3】(24-25八年级下·陕西榆林期末)如图，在△ABC中，∠ACB=∠B=a,将△ABC绕点C顺时 针旋转得到aDEC(点A、B的对应点分别是点D、E),连接AD,与线段CE交于点F.若CD∥AB, 则EDF等于() 5/13 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.2a B.3a C.180°-2a D.180°-3a 【变式1】(25-26八年级下海南期中)如图，AB∥CD,AD∥BC,AD=5,BE=8,△DCE的面积 为6，则四边形ABCD的面积为 y B 【变式2】(25-26八年级下~山西朔州期中)如图，已知口ABCD的对角线AC,BD相交于点O,CE ∥BD,CE=5.若AC=6,BD=10,则四边形OCED的周长为. 4 D 【变式3】(25-26八年级下·北京大兴期中)如图，在四边形ABCD中，E是AB的中点，BD与CE相交 于点F,DF=FB,CF=2EF D (I)求证：四边形AFCD是平行四边形： (2)若∠DAB=90°，∠DBA=30°，AD=2,直接写出四边形ABCD的面积. 题型04利用平行四边形的性质与判定证明 【典例4】(25-26八年级下·全国课后作业)如图，在四边形ABCD中，点E,F分别在边AD,BC上， 线段EF,AC相交于点O,且互相平分.若AD=BC=10,EF=AB=6,则四边形EFCD的周长是 () 6/13 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B F A.16 B.20 C.22 D.26 【变式1】(25-26八年级上山东泰安期末)如图所示，在四边形ABCD中，AB=CD,对角线AC,BD 相交于点O,AE⊥BD于点E,CF⊥BD于点F,连接AF,CE.若DE=BF,则下列结论：①CF=AE: ②OE=OF；③四边形CFAE是平行四边形；④四边形ABCD是平行四边形.其中正确的结论是 (填序号) A B 【变式2】(25-26八年级下江苏徐州期中)如图，在口ABCD中，点E,F在对角线AC上，且AE=CF, 连接BE,BF,DE,DF,求证：四边形BFDE是平行四边形 E 【变式3】(25-26八年级下江苏镇江期中)如图，在口ABCD中，点E,F在对角线AC上，AE=CF. 求证： D F E A B (I)△AFD≌ACEB: (2)连接DE、BF,判断四边形BEDF的形状，并说明理由. 题型05数图形中平行四边形的个数 【典例5】(25-26八年级下·江苏泰州：月考)在一个虚拟的游戏世界地图中，以游戏中的城堡为原点建立 平面直角坐标系，勇士A的坐标为(1,0)，魔法师B的坐标为(-1,3)，弓箭手C的坐标为(-2，-1)，游戏中 要设置一个新NPC点D,使它与勇士A、魔法师B、弓箭手C构成的四边形是平行四边形，则点D的坐标 7/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 不可能是() A.（-3,2) B.（-4,2) c.(0-4) D.(2,4) 【变式1】(24-25八年级下·甘肃白银·月考)点P、Q、R是平面内不在同一条直线上的三个定点，点M 是平面内任意一点，若P、、R、M四点恰能构成一个平行四边形，则在平面内符合这样条件的点M 有 个 【变式2】(25-26八年级下江西赣州期中)在平面直角坐标系中，点A,B,C的坐标分别是-L,2), (2,),(3,3),点D是平面内一点，若以点A,B,C,D为顶点的四边形是平行四边形，则点D的坐标为 【变式3】(25-26八年级下·江苏常州期中)如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A,B的坐标分 别为(-1,0)，(-2，-2) VA (I)△AB,C与△ABC关于点0成中心对称，请在图中画出△AB,C; (2)若以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，则点D的坐标是 题型06平行四边形的性质与判定的应用 【典例6】(24-25八年级下河南周口期中)如图，a∥b,AB∥CD,CE⊥b,FG⊥b,点E,G为垂 足，则下列说法中错误的是() b B A.AB=CD B.直线a,b之间的距离是线段AB的长 C.CE =FG D.直线a,b之间的距离是线段CE的长 【变式1】(24-25八年级下·黑龙江哈尔滨期中)如图，口ABCD中，过对角线AC上一点P作EG∥AB 8/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 FH∥BC,图中面积分别相等的四边形共有 对 G B 【变式2】(24-25八年级下·安徽蚌埠·期中)如图，是一种光电转换接收器的基本原理图，光束发射器从 点P处始终以一定角度α向液面发射一束细光，光束在液面的O处反射，其反射光被水平放置的平面 光电转换器接收，记为点S.当液面上升至2时，入射点就沿着入射光线的方向平移至02处，反射光线也 跟着向左平移至OS2处，OS交l2于点Q,在O处的法线交于l3点N,O2处的法线为O,M,若 S,S,=4.6cm,a=45°，则液面从4上升至l2的高度为一cm. S2 S M O 0 【变式3】(25-26八年级下·浙江温州期中)如图，在6×8的方格中，请按以下要求画图： O B (1)将线段AB绕点O顺时针旋转90°，画对应线段4B (2)以AB为边画一个格点口ABCD(顶点均在格点上的四边形)，使AB所在的直线能平分口ABCD的面积. 强化训练 一、单选题 1.(25-26八年级下·湖南长沙期中)如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O,下列条件 不能判定四边形ABCD是平行四边形的是() 9/13 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B A,AB=CD,AD=BC B.AB∥CD.AD=BC C.AB∥CD,AB=CD D.OA=OC.OB=OD 2.(25-26八年级下·江苏无锡月考)如图1，在口ABCD中，AD>AB,现有图2中的甲、乙两种方案， 能使四边形ANCM为平行四边形的是() 甲： D D M A B 取BD的中点O,作 作AN⊥BD于点N, BN-NO,OM-MD CM⊥BD于点M 图1 图2 A.甲 B.乙 C.甲、乙都可以 D.甲、乙都不可以 3.(2026河南洛阳·一模)如图，口ABCD中，∠B=45°，将口ABCD沿对角线AC折叠，点D恰好落在 DC延长线上的点D处，AD'交BC于点E,若DD'=2,则BE的长为() B E 3 A.1 B.2 c.2 4.(25-26八年级下四川南充阶段检测)如图，在口ABCD中，E,F分别是边BC,AD上的点，且 DF 1 EF∥AB,连接AC交EF于点G,连接DG,AE,若AF=2,S,Dcc=4,则。ABE的面积为（） G B 10113 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.4 B.6 C.8 D.1 5.(25-26八年级下浙江杭州期中)如图，在平行四边形ABCD中，AB=5,AD=3,∠BAD的平分线 AE交CD于点E,连结BE,若∠BAD=∠BEC,则AE的长为() D E B A.5 B.3V5 C.26 D.25 二、填空题 6.(25-26八年级下·全国课后作业)小玲的爸爸在制作平行四边形框架时，采用了一种方法：如图所示， 将两根木条法：如图所示，将两根木条AC,BD的中点重叠并用钉子固定，则四边形ABCD就是平行四 边形.这种方法的依据是 D 7.(25-26八年级下广东广州期中)如图，在四边形ABCD中，AB=CD,若添加一个条件，使得四边 形ABCD为平行四边形，这个条件可以是： B 8.(25-26八年级下全国课后作业)如图，四边形ABCD中，AB∥CD,AB⊥BC,点E在AB边上以 lcm/s的速度从点A出发向点B移动，同时点F在CD边上以2cm/s的速度从点C出发向点D移动.若 AB=7cm, CD=9cm,则 s时，四边形ADFE是平行四边形 AE B 11/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 9.(24-25八年级下福建莆田期未)如图，在口ABCD中，AC,BD相交于点O,AC2-BD2=40,过点 B作BE⊥AD于点E,若AE=2,则AD= 10.(25-26八年级下·四川成都期中)如图，在平行四边形ABCD中，AB=5,CF=8,∠ABC和∠BCD的 角平分线分别交AD于点E和F,则BE的值为」 F 三、解答题 11.(25-26八年级下·山东济南期中)如图，点E、F在BD上，且AE=CF,，BF=DE,∠AEB=∠CFD」 连接AD、BC.求证：四边形ABCD是平行四边形. OF 12.(2026山东济南二模)已知：在平行四边形ABCD中，E,F是对角线AC上的两点，且AE=CF, G,H分别是边AD,BC上的点，且EG∥FH.求证：DG=BH, G E B H 13.(25-26八年级下·浙江温州期中)如图，在口ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,AC=5,E, F为直线BD上的两个动点（点E,F始终在ABCD的外面），连接AE,CE,CF,AF.DE=3OD, BF=30B 12113 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E B (I)求证：四边形AFCE为平行四边形， (2)若BD⊥AC,∠AEC=60°，求四边形AFCE的周长. 14.(25-26八年级下·浙江杭州期中)己知△ABC和△ADE均为等边三角形，F、D分别在AC、BC上， AF=CD,∠CBF=40°，连接BF、EF. H D (I)求∠ADB的度数： (2)求证：四边形BFED为平行四边形 15.(22-23八年级下贵州期中)如图，在口ABCD中，己知AD=15cm,点P在AD上以lcm/s的速度从 点A出发向点D运动，点Q在BC上以4cm/s的速度从点C出发向点B运动，两点同时出发，当点Q到达 点B时停止运动（同时点P也停止），设运动时间为t秒(t>O). A之卫 (I)当点P,Q运动t秒时，线段AP的长度为 cm;线段BQ的长度为 cm; (②)若经过t秒，四边形APQB是平行四边形，请求出t的值. 13113 专题6.2 平行四边形的判定 教学目标 1. 掌握平行四边形的判定定理，包括两组对边分别相等、两组对角分别相等、对角线互相平分等核心方法，理解定理的推导逻辑。 2. 能根据不同已知条件，灵活选择合适的判定方法，对四边形是否为平行四边形进行推理证明和计算。 3. 经历定理的猜想与探究过程，体会逆向思考和类比思想，提升几何逻辑思维与空间想象能力。 教学重难点 1.重点 （1）熟练掌握平行四边形的判定定理，明确各定理的适用条件，能准确区分判定方法与平行四边形的性质。 （2）能运用判定定理解决实际几何问题，包括图形判定、证明线段或角的关系等，做到灵活运用、规范表达。 2.难点 （1）理解判定定理的证明过程，尤其是如何通过构造辅助线、利用全等三角形等知识推导定理，建立判定与性质的逻辑关联。 （2）面对复杂几何情境时，能准确分析已知条件，选择最优判定方法，避免判定定理混淆，实现综合应用与灵活转化。 知识点01 平行四边形的判定 平行四边形的判定 （1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．符号语言：∵AB∥DC，AD∥BC∴四边行ABCD是平行四边形． （2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．符号语言：∵AB＝DC，AD＝BC∴四边行ABCD是平行四边形． （3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 符号语言：∵AB∥DC，AB＝DC∴四边行ABCD是平行四边形． （4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形． 符号语言：∵∠ABC＝∠ADC，∠DAB＝∠DCB∴四边行ABCD是平行四边形． （5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．符号语言：∵OA＝OC，OB＝OD∴四边行ABCD是平行四边形． 【即学即练1】1．已知四边形的对角线，相交于点．下列条件：①，；②，；③，；④，；⑤，．其中，能判定四边形是平行四边形的是（   ） A．①③④ B．①③⑤ C．①②③⑤ D．①③④⑤ 【答案】B 【分析】根据平行四边形的判定定理逐个分析判断即可求解． 【详解】解：①，，符合“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”的判定定理，故①可判定四边形是平行四边形； ②，，四边形可能为等腰梯形，无法判定是平行四边形，故②不能判定四边形是平行四边形； ③ ，， 符合“两组对角分别相等的四边形是平行四边形”的判定定理，故③可判定四边形是平行四边形； ④仅，，无法证明对边平行或相等，也无法证明对角线互相平分，故④不能判定四边形是平行四边形； ⑤因为，所以，又因为，，所以 ，得，符合“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”的判定定理，故 ⑤可判定四边形是平行四边形； 综上，可判定的条件是①③⑤． 2．如图，在四边形中，点为对角线和的交点，已知，，当___________时，四边形是平行四边形． 【答案】3 【分析】根据平行四边形的判定定理：对角线互相平分的四边形是平行四边形，已知 ，只需 即可． 【详解】解：根据平行四边形的判定定理，对角线互相平分的四边形是平行四边形， 在四边形 中， ， 要使四边形 是平行四边形，只需 ， ， ． 即当时，四边形是平行四边形． 知识点02 平行四边形的性质与判定 平行四边形的判定与性质 平行四边形的判定与性质的作用 平行四边形对应边相等，对应角相等，对角线互相平分及它的判定，是我们证明直线的平行、线段相等、角相等的重要方法，若要证明两直线平行和两线段相等、两角相等，可考虑将要证的直线、线段、角、分别置于一个四边形的对边或对角的位置上，通过证明四边形是平行四边形达到上述目的． 运用定义，也可以判定某个图形是平行四边形，这是常用的方法，不要忘记平行四边形的定义，有时用定义判定比用其他判定定理还简单． 凡是可以用平行四边形知识证明的问题，不要再回到用三角形全等证明，应直接运用平行四边形的性质和判定去解决问题． 【即学即练2】1．如图，在中，，D是的中点，过点A，B分别作，．若，，则四边形的面积为（    ） A．5 B．6 C．10 D．12 【答案】B 【分析】本题考查三角形中线的性质，平行四边形的判定及性质，理解题意是解决本题的关键． 先根据三角形的面积公式求出的面积，再根据三角形中线的性质得到的面积，判定四边形是平行四边形，即可得到． 【详解】解：，，， ， 点是的中点， ， ，， 四边形是平行四边形， ． 故选：B． 2．如图，在中，点，点分别是，的中点，连接，．若平分，，，则四边形的周长为 ． 【答案】 【分析】由平行四边形的性质可得出，，进一步得出，证明四边形是平行四边形，由平行四边形的性质可得出，，由角平分线的定义，可得，由平行线的性质，可得，等量代换，可得，由等角对等边，可得，从而可得，根据平行四边形的周长计算即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵点，点分别是，的中点， ∴，， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴四边形的周长为． 故答案为：． 【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质，角平分线的定义，平行线的性质，等角对等边． 题型01 添一个条件成为平行四边形 【典例1】（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）在四边形中，与相交于点，且，再添加下面一个条件，不能判断该四边形是平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质，对于B和C选项，先分别证明和，得出，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、∵，， ∴四边形是平行四边形， 故A选项不符合题意； B、∵，，， ∴， 则， ∴四边形是平行四边形，故B选项不符合题意； C、∵，，， ∴， 则， ∴四边形是平行四边形，故C选项不符合题意； D、∵，， ∴不能证明四边形是平行四边形， 故D选项不符合题意； 故选：D 【变式1】（24-25八年级下·河南平顶山·期末）如图，平行四边形的两条对角线，相交于点，点E，F分别是，上的点，连接，，，，添加下列条件不能判定四边形为平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是添加条件判断平行四边形，全等三角形的判定与性质，熟记平行四边形的判定方法是解本题的关键． 根据平行四边形的性质与全等三角形的性质逐一分析，结合平行四边形的判定方法可得结论． 【详解】解：∵， ， ， ， ∴， ∴四边形是平行四边形，故A不符合题意； ， ， ， ∵， ， ∴四边形是平行四边形，故C不符合题意； ∵， ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形，故D不符合题意； 当，此时不能判定四边形是平行四边形，故B符合题意； 故选：B． 【变式2】（24-25八年级下·福建福州·期中）如图，在四边形中，若在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件______，使四边形是平行四边形．（填一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据平行四边形的判定方法添加一个条件即可． 【详解】解：①根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可以添加条件； ②根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可以添加条件； ③添加条件， ， ． 又， 四边形是平行四边形； ④添加条件， ， ． 又， 四边形是平行四边形； ⑤添加条件， ， ． ， ， ． 又， 四边形是平行四边形； ⑥添加条件， ， ． ， ， ． 又， 四边形是平行四边形． 【变式3】（25-26九年级下·黑龙江牡丹江·月考）如图，已知，，，，在一条直线上，，请添加一个条件______，使四边形是平行四边形． 【答案】（或或或） 【分析】利用全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定证明即可． 【详解】解：， ； 添加， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形； 添加， ， ， ， ， 四边形是平行四边形； 添加， ， ，， ， ， 四边形是平行四边形； 添加， ， ，， ，， 四边形是平行四边形； 故答案为：（或或或）． 题型02 证明四边形是平行四边形 【典例2】（25-26八年级下·新疆和田·期中）如图，在中，点E，F分别在边上，．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】由平行四边形得出，再证出，即可得出结论． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ， ， ， 即，又， ， ∴四边形是平行四边形（对边平行且相等的四边形为平行四边形）． 【变式1】（25-26八年级下·吉林·期中）如图，将的对角线向两个方向延长，分别至点和点，，求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】先证，则，，可得，可证四边形是平行四边形． 【详解】解：， ，即． 四边形是平行四边形， ，． ． 在和中 ，． ． 四边形是平行四边形． 【变式2】（25-26八年级下·广东东莞·期中）如图，在四边形中，与交于点，，，垂足分别为点，，且，．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析． 【分析】先证明，则，又，所以，再通过平行四边形的判定方法即可求证． 【详解】证明：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形． 【变式3】（25-26八年级下·山东济宁·期中）如图，在矩形中，和相交于点O，，垂足为E，，垂足为F，连接和． (1)若，，求的长； (2)求证：四边形为平行四边形． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）由矩形的性质求出，然后在中，利用勾股定理求解即可； （2）由矩形的性质得出，证明，再由全等三角形的性质得出，由，得出，由平行四边形的判定可得出结论． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴． 在中，． （2）证明：∵四边形是矩形， ∴，． ∴． ∵，， ∴， 在和中， ∴． ∵， ∴． ∴四边形是平行四边形． 题型03 利用平行四边形的性质与判定求解 【典例3】（24-25八年级下·陕西榆林·期末）如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到（点、的对应点分别是点、），连接，与线段交于点．若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查旋转的性质、平行四边形的判定与性质与判定及等腰三角形的判定与性质，熟练掌握旋转的性质、平行四边形的性质与判定是解题的关键．由等腰三角形的判定与性质得到，，根据旋转的性质可知：，，然后可得四边形是平行四边形，进而得到根据平行四边形的性质，然后角的和差计算可得结论． 【详解】解：∵， ∴，， 由旋转的性质可知：，， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴； 故选：D． 【变式1】（25-26八年级下·海南·期中）如图，，，，，的面积为6，则四边形的面积为__________． 【答案】20 【分析】先判定四边形为平行四边形，求出的长度，再通过的面积求出平行线间的高，最后计算平行四边形的面积． 【详解】解：∵ ，， ∴ 四边形是平行四边形 ∴ ∵ ∴ 设点到直线的距离为 ∵ 的面积为6 ∴ ∴ ∴． 【变式2】（25-26八年级下·山西朔州·期中）如图，已知的对角线，相交于点，，．若，，则四边形的周长为________． 【答案】16 【分析】根据平行四边形对角线互相平分得出、的长，再证明四边形是平行四边形即可得出结果． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴四边形的周长． 【变式3】（25-26八年级下·北京大兴·期中）如图，在四边形中，是的中点，与相交于点． (1)求证；四边形是平行四边形； (2)若，，，直接写出四边形的面积． 【答案】(1)见解析； (2) 【分析】（1）利用三角形中位线定理得到且，结合推出，从而证明四边形是平行四边形； （2）先求出、，利用中位线性质求出，进而求出，利用求面积即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴是的中点， 又∵是的中点， ∴是的中位线， ∴，， 又∵， ∴， 又∵、、三点共线， ∴， ∴四边形是平行四边形． （2）解：∵，，， ∴，， 由（1）知，， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴． 题型04 利用平行四边形的性质与判定证明 【典例4】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在四边形中，点，分别在边，上，线段，相交于点，且互相平分．若，，则四边形的周长是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由与交于点且互相平分，得，证明，再证出四边形是平行四边形，根据等量关系，得，即可求出四边形的周长． 【详解】解：线段与交于点且互相平分， 得， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴四边形的周长为 【变式1】（25-26八年级上·山东泰安·期末）如图所示，在四边形中，，对角线，相交于点O，于点E，于点F，连接，．若，则下列结论：①；②；③四边形是平行四边形；④四边形是平行四边形．其中正确的结论是______．（填序号） 【答案】①②③④ 【分析】本题考查平行四边形的性质与判定、全等三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的性质与判定是解题的关键． 根据题意易证，进而得到，根据、，证得四边形是平行四边形，同理证得四边形是平行四边形，根据平行四边形对角线的性质得到． 【详解】解：、， ， ， ， ， 在和中 ， ， 故①正确； 、， ， ， 四边形是平行四边形， ， 故②③正确； ， ， ， ， 四边形是平行四边形， 故④正确； 综上所述，正确的有①②③④， 故答案为：①②③④． 【变式2】（25-26八年级下·江苏徐州·期中）如图，在中，点，在对角线上，且，连接，，，．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】连接，交于点O．利用平行四边形的性质得到，，则可得，然后利用平行四边形的判定可证得结论． 【详解】证明：连接，交于点O． ∵四边形是平行四边形， ∴，． 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． 【变式3】（25-26八年级下·江苏镇江·期中）如图，在中，点，在对角线上，．求证： (1)； (2)连接、，判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)四边形为平行四边形，理由见解析 【分析】（1）根据平行四边形的性质对边平行且相等得到与平行且相等，由与平行得到内错角与相等，再由已知的，根据得到与全等； （2）由（1）证出的全等，根据全等三角形的性质得到与相等且与相等，由内错角相等两直线平行得到与平行，根据一组对边平行且相等的四边形为平行四边形即可得到四边形的形状． 【详解】（1）证明：是平行四边形， ，， ， ， ，即， ； （2）四边形是平行四边形， ， ，， ， 四边形是平行四边形． 题型05 数图形中平行四边形的个数 【典例5】（25-26八年级下·江苏泰州·月考）在一个虚拟的游戏世界地图中，以游戏中的城堡为原点建立平面直角坐标系，勇士A的坐标为，魔法师B的坐标为，弓箭手C的坐标为，游戏中要设置一个新点D，使它与勇士A、魔法师B、弓箭手C构成的四边形是平行四边形，则点D的坐标不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用对角线互相平分的四边形是平行四边形，通过中点坐标公式分三种情况讨论点的坐标：①以为对角线；②以为对角线；③以为对角线，计算出所有可能的点坐标后，对比选项即可确定不可能的坐标． 【详解】解：设，分三种情况讨论： ①当为平行四边形的对角线时， ∵对角线互相平分的四边形是平行四边形， ∴、的中点和、的中点重合． 、的中点为，、的中点为， 则，解得，即； ②当为平行四边形的对角线时， 同理，、的中点和、的中点重合． 则，解得，即； ③当为平行四边形的对角线时， 同理，、的中点和、的中点重合． 则，解得，即； 综上，点的坐标可能是、、，不可能是． 【变式1】（24-25八年级下·甘肃白银·月考）点、、是平面内不在同一条直线上的三个定点，点是平面内任意一点，若、、、四点恰能构成一个平行四边形，则在平面内符合这样条件的点有___________个 【答案】 【分析】连接、、，分别以、、为对角线，作出以、、、为顶点的平行四边形，可知符合条件的点有个，于是得到问题的答案． 【详解】解：如图，连接、、， 若以为对角线，可作出； 若以为对角线，可作出； 若以为对角线，可作出， 符合条件的点有个． 【变式2】（25-26八年级下·江西赣州·期中）在平面直角坐标系中，点，，的坐标分别是，，，点是平面内一点，若以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，则点的坐标为________________． 【答案】或或 【分析】分三种情况，得出点的坐标，即可解决问题． 【详解】解：如图， 分三种情况： ①当，时，点的坐标为； ②当，时，点的坐标为； ③当，时，点的坐标为； 综上，点的坐标为或或． 【变式3】（25-26八年级下·江苏常州·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点，的坐标分别为，． (1)与关于点成中心对称，请在图中画出； (2)若以、、、为顶点的四边形是平行四边形，则点的坐标是__________． 【答案】(1)见解析 (2)，， 【分析】（1）根据两个三角形关于点成中心对称作图即可； （2）根据平行四边形的性质找点即可． 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：如图，点都满足题意， ∴以、、、为顶点的四边形是平行四边形，则点的坐标是，，． 题型06 平行四边形的性质与判定的应用 【典例6】（24-25八年级下·河南周口·期中）如图，，，，，点，为垂足，则下列说法中错误的是（    ） A． B．直线，之间的距离是线段的长 C． D．直线，之间的距离是线段的长 【答案】B 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，平行线间的距离，根据平行四边形的性质可判断A选项，根据点到直线的距离为垂线段的长度，平行线间的距离处处相等，可判断BCD选项． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴；故A选项正确，不符合题意； ∵，，， ∴A、B两点间的距离就是线段或的长，故选项B错误，符合题意； ∵，，， ∴；故选项C正确，不符合题意； ∵，，， ∴A、B两点间的距离就是线段或的长，故选项D正确，不符合题意； 故选：B． 【变式1】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，中，过对角线上一点作，，图中面积分别相等的四边形共有________对． 【答案】5 【分析】本题考查了平行四边形的性质；平行四边形的对角线将平行四边形分成两个面积相等的三角形．所以三角形的面积等于三角形的面积．三角形的面积等于的面积，三角形的面积等于三角形的面积，从而可得到5对四边形的面积分别相等． 【详解】解：为平行四边形，为对角线， 的面积等于的面积， 同理三角形的面积等于三角形的面积，从而可得到的面积等于的面积， 四边形和的面积相等，四边形和四边形的面积相等，四边形和四边形的面积相等，四边形和四边形的面积相等， 共5对， 故答案为：5． 【变式2】（24-25八年级下·安徽蚌埠·期中）如图，是一种光电转换接收器的基本原理图，光束发射器从点处始终以一定角度向液面发射一束细光，光束在液面的处反射，其反射光被水平放置的平面光电转换器接收，记为点．当液面上升至时，入射点就沿着入射光线的方向平移至处，反射光线也跟着向左平移至处，交于点，在处的法线交于点处的法线为，若，则液面从上升至的高度为_____． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，平行四边形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，关键是等腰三角形判定定理的应用．先证明四边形是平行四边形，求得，据此求解即可． 【详解】由题意得，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级下·浙江温州·期中）如图，在的方格中，请按以下要求画图： (1)将线段绕点顺时针旋转，画对应线段． (2)以为边画一个格点（顶点均在格点上的四边形），使所在的直线能平分的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）作出点A，B的对应点，，连接即可解答； （2）在直线上取格点，连接，并在的延长线上取格点C，使得，连接，并在的延长线上取格点D，使得，连接，，，即可解答． 【详解】（1）解：如图，线段为所求． （2）解：如图，为所求． 由作图可得，， ∴四边形是平行四边形， 设直线交于点E，交于点F， ∵在中，，， 又， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴ ， ∴， ∴直线平分的面积． 一、单选题 1．（25-26八年级下·湖南长沙·期中）如图，在四边形中，对角线与相交于点，下列条件不能判定四边形是平行四边形的是（    ） A． ， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】由平行四边形的判定定理逐项验证即可． 【详解】解：A、当，时，由两组对边分别相等的四边形是平行四边形即可判定四边形是平行四边形，不符合题意； B、当，时，无法判定四边形是平行四边形，符合题意； C、当，时，由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可判定四边形是平行四边形，不符合题意； D、当，时，由对角线互相平分的四边形是平行四边形即可判定四边形是平行四边形，不符合题意． 2．（25-26八年级下·江苏无锡·月考）如图1，在中，，现有图2中的甲、乙两种方案，能使四边形为平行四边形的是（    ） A．甲 B．乙 C．甲、乙都可以 D．甲、乙都不可以 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，掌握其判定方法是关键，甲方案：证明，得，证明，得，根据两组对边相等的四边形是平行四边形可判定甲方案可行；乙方案：根据题意得到，证明，得，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，由此即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， 甲：点O是线段的中点， ∴， ∵， ∴，则， 在中， ， ∴， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形，故甲的方案可行； 乙：， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形，故乙的方案可行； 故选：C ． 3．（2026·河南洛阳·一模）如图，中，，将沿对角线折叠，点D恰好落在延长线上的点处，交于点E，若，则的长为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，先根据轴对称的性质得出，，然后结合平行四边形的性质，求得，进而求出，再证明四边形是平行四边形，即可求得答案． 【详解】解：连接， 沿对角线折叠，点D恰好落在延长线上的点处， ，，， ， ， ， 四边形是平行四边形， ，，， ， 四边形是平行四边形， ． 4．（25-26八年级下·四川南充·阶段检测）如图，在中，，分别是边，上的点，且，连接交于点，连接，，若，，则的面积为（    ） A．4 B．6 C．8 D．1 【答案】C 【分析】由题意先判断四边形和四边形都是平行四边形，再根据，可得，再根据比例关系即可求解． 【详解】解：∵,, ∴, ∵ ∴四边形和四边形都是平行四边形， ∵， ∴， ∵， ， ∴． 5．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）如图，在平行四边形中，，，的平分线交于点E，连结，若，则的长为（    ） A．5 B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作于，过点E作于点G，由平分线得出，由平行四边形的性质得出，，，，证出，则，，证出，则，由勾股定理得出，证明四边形为平行四边形，得出，，最后根据勾股定理求出结果即可． 【详解】解：过点作于，过点E作于点G，如图所示： 是的平分线， ， 四边形是平行四边形， ，，，， ， ， ， ， ， ， ∴， ∵， ，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∴． 二、填空题 6．（25-26八年级下·全国·课后作业）小玲的爸爸在制作平行四边形框架时，采用了一种方法：如图所示，将两根木条法：如图所示，将两根木条，的中点重叠并用钉子固定，则四边形就是平行四边形．这种方法的依据是_____________． 【答案】对角线互相平分的四边形是平行四边形 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定．根据对角线互相平分的四边形是平行四边形解答即可． 【详解】解：∵木条，的中点O重叠， ∴， ∴四边形是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）． 故答案为：对角线互相平分的四边形是平行四边形 7．（25-26八年级下·广东广州·期中）如图，在四边形中，，若添加一个条件，使得四边形为平行四边形，这个条件可以是______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】给出一组对边相等，那么只需要这一组对边平行或者另一组对边相等即可，当然也可以添加条件证明这一组对边平行或者证明另一组对边相等． 【详解】解：∵， 当添加时，则四边形为平行四边形； 或添加时，四边形为平行四边形． 8．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，四边形中，，，点在边上以的速度从点出发向点移动，同时点在边上以的速度从点出发向点移动．若，，则____________s时，四边形是平行四边形． 【答案】3 【分析】本题考查了平行四边形的判定，动点问题的方程思想，掌握利用平行四边形一组对边平行且相等的判定定理，结合动点速度列方程求解是解题的关键． 设运动时间为秒，利用平行四边形一组对边平行且相等” 的判定定理，结合动点速度表示线段长度，列方程求解． 【详解】解：设时，四边形是平行四边形． 根据题意，得，． ， ． ， 当时，四边形是平行四边形， ， 解得． 故答案为：． 9．（24-25八年级下·福建莆田·期末）如图，在中，相交于点O，，过点B作于点E，若，则_______ 【答案】5 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，勾股定理，过点A 作垂直交延长线于点F，设为x，为y，则为，证明四边形为平行四边形，得到，，用勾股定理表示出，根据，列出方程进行求解即可． 【详解】解：过点A 作垂直交延长线于点F， 设为x，为y，则为， ∵， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∴ ， ∵ ∴， 解得，即， 故答案为：5． 10．（25-26八年级下·四川成都·期中）如图，在平行四边形中，和的角平分线分别交于点和，则的值为__________________． 【答案】 【分析】构造平行四边形，先由平行四边形性质得到相关边的数量及平行关系，再证得、是等腰三角形，然后证得，设，得出长，在中，由勾股定理求解即可． 【详解】解：过点作，交延长线于点，如图所示： 在平行四边形中，，，，， ， 四边形是平行四边形， 则，，， 平分， ， ， ， ，即， 同理，由平分可得，， ， ，则， ， ， ， 设， ，， 在中，，，，则由勾股定理可得． 三、解答题 11．（25-26八年级下·山东济南·期中）如图，点、在上，且，，，连接、．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】证明，得，，则，再由平行四边形的判定定理即可得出结论． 【详解】证明：， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 四边形是平行四边形． 12．（2026·山东济南·二模）已知：在平行四边形中，，是对角线上的两点，且，，分别是边，上的点，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】先利用平行四边形的性质得到，，；再由推出，结合已知，证明，得到；最后利用，通过线段的和差关系推出 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴ ∵， ∴， ∴， 即 在和中， ， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴ 13．（25-26八年级下·浙江温州·期中）如图，在中，对角线，相交于点，，，为直线上的两个动点（点，始终在的外面），连接，，，．，． (1)求证：四边形为平行四边形． (2)若，，求四边形的周长． 【答案】(1)见解析 (2)20 【分析】（1）由平行四边形的性质，得对角线互相平分：，．根据、，推出，，结合，得．四边形的对角线、互相平分，故为平行四边形． （2）由，得平行四边形的对角线互相垂直，故为菱形（）．在中，且，故为等边三角形，得．菱形周长边长． 【详解】（1）证明：在中 ， ， ， ， 四边形为平行四边形 （2）解：， 为的垂直平分线， 14．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）已知和均为等边三角形，F、D分别在、上，，，连接、． (1)求的度数； (2)求证：四边形为平行四边形． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）根据等边三角形的性质，得出，，求出，证明，得出，根据三角形外角的性质得出答案即可； （2）连接，证明，得出，，证明为等边三角形，得出，，从而证明，，即可证明结论． 【详解】（1）证明：是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：连接，如图所示： ∵为等边三角形， ∴，， ，即， ∵， ， ∴，， ∵，， ∴，即， ∴， ∴为等边三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∴四边形为平行四边形． 15．（22-23八年级下·贵州·期中）如图，在中，已知，点P在上以的速度从点A出发向点D运动，点Q在上以的速度从点C出发向点B运动，两点同时出发，当点Q到达点B时停止运动（同时点P也停止），设运动时间为t秒（）． (1)当点P，Q运动t秒时，线段的长度为_________；线段的长度为_________； (2)若经过t秒，四边形是平行四边形，请求出t的值． 【答案】(1)t， (2)3 【分析】（1）根据平行四边形的性质和点运动的时间进行解答即可； （2）根据平行四边形的判定得到关于的方程，解方程即可． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵点P在上以的速度从点A出发向点D运动，点Q在上以的速度从点C出发向点B运动， ∴当点P，Q运动t秒时，线段的长度为；线段的长度为； （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴ ∴当时，四边形是平行四边形， 即， 解得． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $