精品解析：湖北省襄阳市第四中学2025-2026学年下学期4月九年级数学补充练习

九年级数学补充练习 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分 1. 有理数的绝对值为（ ） A. B. C. D. 2. 已知直线，将一块含角的直角三角板按如图方式放置（），其中，两点分别落在直线，上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 3. 如图所示的几何体的主视图是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，小明从入口进入博物馆参观，参观后可从，，三个出口走出，他恰好从出口走出的概率是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，由边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C都在格点上，以AB为直径的圆经过点C和点D，则tan∠ADC＝（ ） A. B. C. 1 D. 6. 在平面直角坐标系中，若函数图象上任意两点，均满足．下列四个函数图象中， 所有正确的函数图象的序号是（ ） A. ①② B. ③④ C. ①③ D. ②④ 7. 若不等式组无解，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要性，在计算tan15°时，如图．在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，延长CB使BD＝AB，连接AD，得∠D＝15°，所以tan15°．类比这种方法，计算tan22.5°的值为（　　） A. B. ﹣1 C. D. 9. 如图，在菱形ABCD中，P是对角线AC上一动点，过点P作PE⊥BC于点E，PF⊥AB于点F．若菱形ABCD的周长为20，面积为24，则PE＋PF的值为( ) A. 4 B. C. 6 D. 10. 如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的顶点为（1，n），与x轴的一个交点B（3，0），与y轴的交点在（0，﹣3）和（0，﹣2）之间．下列结论中：①0；②﹣2＜b；③（a＋c）2﹣b2＝0；④2c﹣a＜2n，则正确的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 太阳半径约为696000千米，数字696000用科学记数法表示为_______千米． 12. 如图，点是反比例函数图象上的一点，垂直于轴，垂足为．的面积为6．若点也在此函数的图象上，则__________． 13. 如图，中，，，点D为上一个动点，过A作交于E，垂足为F． （1）当时，则的值为__________； （2）当时，则的值为_________． 14. 若关于x的一元二次方程（a+3）x2+2x+a2﹣9＝0有一个根为0，则a的值为_____． 15. 如图，分别以正三角形的3个顶点为圆心，边长为半径画弧，三段弧围成的图形称为莱洛三角形．若正三角形边长为6cm，则该莱洛三角形的周长为_____cm． 三、计算题：本大题共2小题，共6分． 16. 解方程组及解不等式组． （1）解方程组：； （2）解不等式组：． 四、解答题：本题共8小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 先化简，然后从0，1，2，3中选一个合适的值代入求解． 18. 如图，，点在上，交于，． 求证：． 19. 某学校开展了“校园科技节”活动，活动包含模型设计、科技小论文两个项目．为了解学生的模型设计水平，从全校学生的模型设计成绩中随机抽取部分学生的模型设计成绩（成绩为百分制，用表示），并将其分成如下四组：，，，． 下面给出了部分信息： 的成绩为：81，81，82，82，83，83，84，84，84，85，86，86，86，87，88，88，88，89，89，89． 根据以上信息解决下列问题： （1）请补全频数分布直方图； （2）所抽取学生的模型设计成绩的中位数是________分； （3）请估计全校1000名学生的模型设计成绩不低于80分的人数； （4）根据活动要求，学校将模型设计成绩、科技小论文成绩按的比例确定这次活动各人的综合成绩． 某班甲、乙两位学生的模型设计成绩与科技小论文成绩（单位：分）如下： 模型设计 科技小论文 甲的成绩 94 90 乙的成绩 90 95 通过计算，甲、乙哪位学生的综合成绩更高？ 20. 以下各图均是由边长为1的小正方形组成的网格，图中的点A、B、C、D均在格点上． （1）在图①中，　 　． （2）利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法． ①如图②，在上找一点P，使． ②如图③，在上找一点P，使． 21. 如图，中，，，经过B，C两点，与斜边交于点E，连接并延长交于点M，交于点D，过点E作，交于点F． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 22. 为了振兴乡村经济，我市某镇鼓励广大农户种植山药，并精加工成甲、乙两种产品、某经销商购进甲、乙两种产品，甲种产品进价为8元/kg；乙种产品的进货总金额y（单位：元）与乙种产品进货量x（单位：kg）之间的关系如图所示．已知甲、乙两种产品的售价分别为12元/kg和18元/kg． （1）求出0≤x≤2000和x＞2000时，y与x之间的函数关系式； （2）若该经销商购进甲、乙两种产品共6000kg，并能全部售出．其中乙种产品的进货量不低于1600kg，且不高于4000kg，设销售完甲、乙两种产品所获总利润为w元（利润＝销售额一成本），请求出w（单位：元）与乙种产品进货量x（单位：kg）之间的函数关系式，并为该经销商设计出获得最大利润的进货方案； （3）为回馈广大客户，该经销商决定对两种产品进行让利销售．在（2）中获得最大利润的进货方案下，甲、乙两种产品售价分别降低a元/kg和2a元/kg，全部售出后所获总利润不低于15000元，求a的最大值． 23. 如图1，在中，，，，点，分别为边，的中点，连接，将绕点逆时针旋转． （1）如图1，当时，__________，，所在直线相交所成的较小夹角的度数为_________． （2）将绕点逆时针旋转至图2所示位置时，（1）中结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由； （3）当绕点逆时针旋转过程中， ①请直接写出的最大值； ②当，，三点共线时，请直接写出线段的长． 24. 已知：如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，，顶点为． （1）求此抛物线的解析式： （2）在直线下方的抛物线上，是否存在一点，使四边形的面积最大？最大面积是多少？ （3）点在轴上的一个动点，点是坐标平面上的一个动点，是否存在这样的点和点，使点构成矩形，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学补充练习 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分 1. 有理数的绝对值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了绝对值，正数的绝对值是它本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数．根据绝对值的性质解答即可． 【详解】解：有理数的绝对值为． 故选：A． 2. 已知直线，将一块含角的直角三角板按如图方式放置（），其中，两点分别落在直线，上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行线的性质判断即可得出结论. 【详解】解：直线， ， ，，， ， 故选． 【点睛】本题考查的是平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键. 3. 如图所示的几何体的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：如图所示的几何体的主视图是： ． 4. 如图，小明从入口进入博物馆参观，参观后可从，，三个出口走出，他恰好从出口走出的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题根据事件的三种可能性即可确定答案 【详解】当从A口进，出来时有三种可能性即：B，C，D；恰好从C口走出的可能性占总的 ，故概率为； 故答案选：B； 【点睛】此题考查事件的可能性，根据事件发生的所有可能确定概率即可． 5. 如图，由边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C都在格点上，以AB为直径的圆经过点C和点D，则tan∠ADC＝（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】先利用圆周角定理得到∠ACB=90°，∠ADC=∠ABC，再利用正切的定义得到tan∠ABC=，从而得到tan∠ADC的值． 【详解】解：∵AB为直径， ∴∠ACB=90°， 在Rt△ABC中，tan∠ABC=， ∵∠ADC=∠ABC， ∴tan∠ADC=， 故选：D． 【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了解直角三角形． 6. 在平面直角坐标系中，若函数图象上任意两点，均满足．下列四个函数图象中， 所有正确的函数图象的序号是（ ） A. ①② B. ③④ C. ①③ D. ②④ 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数、一次函数及反比例函数的性质可直接进行排除选项． 【详解】解：由①的函数图象可得一次函数的k＜0，则有y随x的增大而减小，当时，，所以，故不符合题意； 由②的函数图象可得一次函数的k＞0，则有y随x的增大而增大，即当时，，所以，故符合题意； 由③的函数图象可得二次函数的开口向上，对称轴为y轴，则有当x≤0时，y随x的增大而减小，当x≥0时，y随x的增大而增大，所以当，，则，当，，则，当时，则或，则或，故不符合题意； 由④的图象可得反比例函数的k＜0，则有y随x的增大而增大，即当时，，所以，故符合题意； ∴符合函数图象上任意两点，均满足的函数图象为②④； 故选D． 【点睛】本题主要考查二次函数、一次函数与反比例函数的图象与性质，熟练掌握二次函数、一次函数与反比例函数的图象与性质是解题的关键． 7. 若不等式组无解，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出第一个不等式的解集，根据口诀：大大小小找不到可得关于m的不等式，解之可得． 【详解】解不等式，得：x＞8， ∵不等式组无解， ∴4m≤8， 解得m≤2， 故选A． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 8. 构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要性，在计算tan15°时，如图．在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，延长CB使BD＝AB，连接AD，得∠D＝15°，所以tan15°．类比这种方法，计算tan22.5°的值为（　　） A. B. ﹣1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作Rt△ABC，使∠C＝90°，∠ABC＝45°，延长CB到D，使BD＝AB，连接AD，根据构造的直角三角形，设AC＝x，再用x表示出CD，即可求出tan22.5°的值. 【详解】解：作Rt△ABC，使∠C＝90°，∠ABC＝90°，∠ABC＝45°，延长CB到D，使BD＝AB，连接AD，设AC＝x，则：BC＝x，AB＝，CD＝， 故选：B. 【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是根据阅读构造含45°的直角三角形，再作辅助线得到22.5°的直角三角形. 9. 如图，在菱形ABCD中，P是对角线AC上一动点，过点P作PE⊥BC于点E，PF⊥AB于点F．若菱形ABCD的周长为20，面积为24，则PE＋PF的值为( ) A. 4 B. C. 6 D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接BP，通过菱形的周长为20，求出边长，菱形面积为24，求出SABC的面积，然后利用面积法，SABP+SCBP=SABC，即可求出的值． 【详解】解：连接BP，如图， ∵菱形ABCD的周长为20， ∴AB=BC=20÷4=5， 又∵菱形ABCD的面积为24， ∴SABC=24÷2=12， 又SABC= SABP+SCBP ∴SABP+SCBP=12， ∴ ， ∵AB=BC， ∴ ∵AB=5， ∴PE+PF=12×=． 故选：B． 【点睛】本题主要考查菱形的性质，解题关键在于添加辅助线，通过面积法得出等量关系，求出PF+PE的值． 10. 如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的顶点为（1，n），与x轴的一个交点B（3，0），与y轴的交点在（0，﹣3）和（0，﹣2）之间．下列结论中：①0；②﹣2＜b；③（a＋c）2﹣b2＝0；④2c﹣a＜2n，则正确的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数的图象和性质逐一进行判断即可 【详解】解：∵抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的开口向上， ∴a＞0， ∵抛物线线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的顶点坐标为（1，n）， ∴对称轴x=， ∴b=-2a＜0， ∵抛物线与y轴的交点在（0，﹣3）和（0，﹣2）之间 ∴-3＜c＜-2＜0， ∴0；故①正确； ∵抛物线线x轴的一个交点B（3，0）， ∴9a+3b+c=0，抛物线线x轴的一个交点（-1，0）， ∵b=-2a ∴c=， ∴-3＜＜-2， ∴﹣2＜b，故②错误； ∵抛物线线x轴的一个交点（-1，0）， ∴a-b+c=0， ∴（a＋c）2﹣b2＝（a+b+c）（a-b+c）=0，故③正确； ∵a＞0，∴-a＜0 ∵b=-2a ∴3a+2b=-a＜0 ∴2c﹣a＞2（a+b+c）， ∵抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的顶点为（1，n）， ∴a+b+c=n， ∴2c﹣a＞2n；故④错误； 故选：B 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），明确以下几点：①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；③常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 太阳半径约为696000千米，数字696000用科学记数法表示为_______千米． 【答案】 【解析】 【详解】696000=6.96×105， 故答案为：6.96×105 12. 如图，点是反比例函数图象上的一点，垂直于轴，垂足为．的面积为6．若点也在此函数的图象上，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】由的面积可得的值，再把代入解析式即可得到答案． 【详解】解： 的面积为6． ＞， 把代入 经检验：符合题意． 故答案为： 【点睛】本题考查的是反比例函数的性质，的几何意义，掌握以上知识是解题的关键． 13. 如图，中，，，点D为上一个动点，过A作交于E，垂足为F． （1）当时，则的值为__________； （2）当时，则的值为_________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）假定AB=AC=1，则BC=．∠BAC=90°，DE⊥BC时，A，B，E，D四点在同一个圆上，可得∠BAE=∠BDE，利用同角的余角相等，可得∠BEF=∠BDE，从而可得△ABE为等腰三角形，BE=AE=1，EC=BCBE=．结论可得； （2）当DE⊥AC时，∠BAC=90°，可得DE∥AB，设DE=x，通过说明△EDA∽△DAB，分别计算线段BE，CE，结论可得． 【详解】解：假定AB=AC=1，则BC=． （1）当DE⊥BC时，如图： ∵DE⊥BC， ∴∠DEB=90°． ∵∠BAC=90°， 如图，取的中点 连接 ∴A，B，E，D四点在以为圆心，为半径的同一个圆上． ∴∠BAE=∠BDE． ∵DE⊥BC， ∴∠BEF+∠DEF=90°． ∵AE⊥BD， ∴∠FDE+∠FED=90°． ∴∠BEF=∠BDE ∴∠BAE=∠BEA． ∴AB=BE=1． ∴EC=BCBE=． ∴． 故答案为：． （2）如图： ∵DE⊥AC，∠BAC=90°， ∴DE∥AB． ∴∠BAE=∠AED． ∵∠BAC=90°， ∴∠BAE+∠EAD=90°． ∵AE⊥BD， ∴∠EAD+∠ADB=90°． ∴∠BAE=∠ADB． ∴∠ADB=∠AED． ∵∠BAD=∠ADE=90°， ∴△ABD∽△DAE． ∴． ∵DE⊥AC，∠C=45°， ∴DE=DC． 设DE=DC=x，则AD=1x，EC=． ∴BE=BCEC=． ∴． 解得：x1＝(大于1，舍去)，x2＝． 经检验：是原方程的根且符合题意， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，圆的基本性质，给出恰当的参数，利用相似三角形的性质得出比例式，求出线段BE，CE的长度是解题的关键． 14. 若关于x的一元二次方程（a+3）x2+2x+a2﹣9＝0有一个根为0，则a的值为_____． 【答案】3 【解析】 【分析】将x＝0代入原方程，结合一元二次方程的定义即可求得a的值． 【详解】解：根据题意，将x＝0代入方程可得a2﹣9＝0， 解得：a＝3或a＝﹣3， ∵a+3≠0，即a≠﹣3， ∴a＝3． 故答案为：3． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以一元二次方程的解也称为一元二次方程的根． 15. 如图，分别以正三角形的3个顶点为圆心，边长为半径画弧，三段弧围成的图形称为莱洛三角形．若正三角形边长为6cm，则该莱洛三角形的周长为_____cm． 【答案】6π 【解析】 【分析】直接利用弧长公式计算即可. 【详解】利用弧长公式计算：该莱洛三角形的周长（cm） 故答案为6π 【点睛】本题考查了弧长公式，熟练掌握弧长公式是解题关键. 三、计算题：本大题共2小题，共6分． 16. 解方程组及解不等式组． （1）解方程组：； （2）解不等式组：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：， 得：， 解得， 将代入①得：， 解得， ∴方程组的解为：； 【小问2详解】 解：， 解不等式①得，， 解不等式②得，， ∴不等式组的解集为：． 四、解答题：本题共8小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 先化简，然后从0，1，2，3中选一个合适的值代入求解． 【答案】，6 【解析】 【分析】将分子、分母因式分解除法转化为乘法，约分、合并同类项，选择合适的值时，a的取值不能使原算式的分母及除数为0． 【详解】解：原式 因为a=0，1，2时分式无意义，所以 当时，原式 【点睛】本题考查了分式的化简求值，关键是先化简，后代值，注意a的取值不能使原算式的分母及除数为0． 18. 如图，，点在上，交于，． 求证：． 【答案】证明见解析． 【解析】 【分析】由平行线的性质可得：∠A=∠FCE，再根据对顶角相等以及DE=FE，利用AAS即可证明：△ADE≌△CFE，再根据全等三角形的性质即可 【详解】解： ， ． 在△ADE和△CFE中， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、平行线的性质，熟练掌握相关的知识是解题的关键 19. 某学校开展了“校园科技节”活动，活动包含模型设计、科技小论文两个项目．为了解学生的模型设计水平，从全校学生的模型设计成绩中随机抽取部分学生的模型设计成绩（成绩为百分制，用表示），并将其分成如下四组：，，，． 下面给出了部分信息： 的成绩为：81，81，82，82，83，83，84，84，84，85，86，86，86，87，88，88，88，89，89，89． 根据以上信息解决下列问题： （1）请补全频数分布直方图； （2）所抽取学生的模型设计成绩的中位数是________分； （3）请估计全校1000名学生的模型设计成绩不低于80分的人数； （4）根据活动要求，学校将模型设计成绩、科技小论文成绩按的比例确定这次活动各人的综合成绩． 某班甲、乙两位学生的模型设计成绩与科技小论文成绩（单位：分）如下： 模型设计 科技小论文 甲的成绩 94 90 乙的成绩 90 95 通过计算，甲、乙哪位学生的综合成绩更高？ 【答案】（1） 补全图形如下： （2） （3）人 （4）甲的综合成绩比乙高. 【解析】 【分析】（1）先求解总人数，再求解的人数，再补全图形即可； （2）根据中位数的含义确定第25个，第26个数据的平均数即可得到中位数； （3）由总人数乘以80分含80以上的人数百分比即可得到答案； （4）根据加权平均数公式分别计算甲，乙二人成绩，再比较即可 【小问1详解】 解：∵，而有20人， ∴有； 【小问2详解】 解：∵， 而的成绩为：81，81，82，82，83，83，84，84，84，85，86，86，86，87，88，88，88，89，89，89． ∴50个成绩按照从小到大排列后，排在第25个，第26个数据分别是：83,83； 中位数为：； 【小问3详解】 解：全校1000名学生的模型设计成绩不低于80分的人数为： （人）； 【小问4详解】 解：甲的成绩为：（分）； 乙的成绩为：（分）； ∴甲的综合成绩比乙高. 【点睛】本题考查的是频数分布直方图，中位数的含义，利用样本估计总体，加权平均数的含义，掌握基础的统计知识是解本题的感觉. 20. 以下各图均是由边长为1的小正方形组成的网格，图中的点A、B、C、D均在格点上． （1）在图①中，　 　． （2）利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法． ①如图②，在上找一点P，使． ②如图③，在上找一点P，使． 【答案】（1） （2） ①如图2所示，点P即为所要找的点； ②如图3所示，点P即为所要找的点． 【解析】 【分析】（1）根据两条直线平行，对应线段成比例即可得结论； （2）①根据勾股定理得的长为5，利用格点，再根据相似三角形的判定及性质即可找到点P； ②作点A的对称点，连接与的交点即为要找的点P，使． 【小问1详解】 解：图1中， ∵， ∴， 故答案为：． 【小问2详解】 解：①在网格图②中，， 如图2所示，连接，交于点P， ∵， ∴， 解得：， ∴点P即为所要找的点； ②如图3所示，作点A的对称点， 连接，交于点P， ∵， ∴， ∴点P即为所要找的点． 【点睛】本题考查了作图—相似变换，解决本题的关键是掌握相似三角形的判定和性质，利用格点构造相似三角形． 21. 如图，中，，，经过B，C两点，与斜边交于点E，连接并延长交于点M，交于点D，过点E作，交于点F． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：连接，延长，交于点，连接如图， ∵ ∴是等腰直角三角形， ∴ ∵是的直径， ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴即 ∵是的半径， ∴是的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，延长，交于点，连接根据直径所对的圆周角是直角求出，得，，由可得，从而可证明是的切线； （2）由得，即，证明，得，由得，故可得，由勾股定理求出，得，由勾股定理求出，，根据求出，进一步求出 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在等腰直角三角形中，, ∴， 解得，， ∴， ∴ 在中， ∴， 又， ∴ ∴ ∴ ∴ 【点睛】本题主要考查平行线的性质，等腰直角三角形的判定与性质，切线的判定，圆周角定理，勾股定理以及相似三角形的判定与性质，正确作出辅助线构造圆周角是解答本题的关键． 22. 为了振兴乡村经济，我市某镇鼓励广大农户种植山药，并精加工成甲、乙两种产品、某经销商购进甲、乙两种产品，甲种产品进价为8元/kg；乙种产品的进货总金额y（单位：元）与乙种产品进货量x（单位：kg）之间的关系如图所示．已知甲、乙两种产品的售价分别为12元/kg和18元/kg． （1）求出0≤x≤2000和x＞2000时，y与x之间的函数关系式； （2）若该经销商购进甲、乙两种产品共6000kg，并能全部售出．其中乙种产品的进货量不低于1600kg，且不高于4000kg，设销售完甲、乙两种产品所获总利润为w元（利润＝销售额一成本），请求出w（单位：元）与乙种产品进货量x（单位：kg）之间的函数关系式，并为该经销商设计出获得最大利润的进货方案； （3）为回馈广大客户，该经销商决定对两种产品进行让利销售．在（2）中获得最大利润的进货方案下，甲、乙两种产品售价分别降低a元/kg和2a元/kg，全部售出后所获总利润不低于15000元，求a的最大值． 【答案】（1）． （2）；当购进甲产品2000千克，乙产品4000千克时，利润最大为24000元． （3）的最大值为． 【解析】 【分析】（1）分当时，当时，利用待定系数法求解即可； （2）根据题意可知，分当时，当时，分别列出与的函数关系式，根据一次函数的性质可得出结论； （3）根据题意可知，降价后，与的关系式，并根据利润不低于15000，可得出的取值范围． 【小问1详解】 当时，设，根据题意可得，， 解得， ； 当时，设， 根据题意可得，， 解得， ． ． 【小问2详解】 根据题意可知，购进甲种产品千克， ， 当时，， ， 当时，的最大值为； 当时，， ， 当时，的最大值为（元， 综上，；当购进甲产品2000千克，乙产品4000千克时，利润最大为24000元． 【小问3详解】 根据题意可知，降价后，， 当时，取得最大值， ，解得． 的最大值为． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出函数关系式． 23. 如图1，在中，，，，点，分别为边，的中点，连接，将绕点逆时针旋转． （1）如图1，当时，__________，，所在直线相交所成的较小夹角的度数为_________． （2）将绕点逆时针旋转至图2所示位置时，（1）中结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由； （3）当绕点逆时针旋转过程中， ①请直接写出的最大值； ②当，，三点共线时，请直接写出线段的长． 【答案】（1）2；60° （2） 解：（1）中结论仍然成立， 证明：延长AA1，BB1相交于点D，如图2， 由旋转知，∠ACA1=∠BCB1， A1C=1，B1C=2， ∵AC=2，BC=4， ∴=2，=2， ∴=， ∴ACA1∽BCB1， ∴==2，∠CAA1=∠CBB1， ∴∠ABD+∠BAD =∠ABC+∠CBB1+∠BAC-∠CAA1 =∠ABC+∠BAC =30°+90° =120°， ∴∠D=180°-（∠ABD+∠BAD）=60°； （3）①；②或 【解析】 【分析】（1）先求出BC，AA1=A1C，再求出B1C，进而求出BB1，即可得出结论； （2）先判断出ACA1∽BCB1，得出==2，∠CAA1=∠CBB1，进而求出∠ABD+∠BAD=120°，即可得出结论； （3）①当点A1落在AC的延长线上时，ABA1的面积最大，利用三角形面积公式求解即可； ②分两种情况：先画出图形，利用勾股定理求出A1B，即可得出结论． 【小问1详解】 解：在RtABC中，AC=2， ∴∠ACB=60°， ∴∠ABC=30°， ∴BC=2AC=4， ∵点A1为边AC的中点， ∴AA1=A1C=AC=1， ∵点A1，B1为边AC，BC的中点， ∴A1B1是ABC的中位线， ∴A1B1AB， ∴∠B1A1C=∠BAC=90°，∠A1B1C=∠ABC=30°， 在RtA1B1C中， B1C=2A1C=2， ∴BB1=BC-B1C=4-2=2， ∴=2， ∵∠ACB=60°， ∴BB1，AA1所在直线相交所成的较小夹角为∠ACB=60°， 故答案为：2，60°； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：①由题意，得 AC=2，AB=2，CA1=1， 当点A1落在AC的延长线上时，ABA1的面积最大， 最大值=×2×3=3； ②在图1中，在RtA1B1C中， B1C=A1C=， ∵A1，B1，B三点共线， 当点B1在BA1的延长线上时，如图3， ∴∠BA1C=∠BA1C=90°， 在RtA1BC中， A1B= = =， ∴BB1=A1B+A1B1 =+； 当点B1在线段A1B上时，如图4， 同①的方法，得A1B=， ∴BB1=A1B-A1B1 =-， 故：线段BB1的长为+或-． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，旋转的性质，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，正确寻找相似三角形解决问题． 24. 已知：如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，，顶点为． （1）求此抛物线的解析式： （2）在直线下方的抛物线上，是否存在一点，使四边形的面积最大？最大面积是多少？ （3）点在轴上的一个动点，点是坐标平面上的一个动点，是否存在这样的点和点，使点构成矩形，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）存在， （3）存在，，或，或或， 【解析】 【分析】（1）由题意得出，，再利用待定系数法求解即可； （2）待定系数法求出直线的解析式为：，求出点，则，求出，作轴交于，设点，则，，表示出，再根据，由二次函数的性质即可得出答案； （3）分三种情况：当四边形为矩形时；当四边形为矩形时；当为对角线时；分别求解即可得出答案． 【小问1详解】 解：， ，， 将，代入得：， 解得：， 抛物线的解析式为：； 【小问2详解】 解：设直线的解析式为：， 将，代入解析式得：， 解得：， 直线的解析式为：， 在中，令，得出， 解得：，， ， ， ， 如图，作轴交于， 设点，则， ， ， ， ， 当时，最大，为； 【小问3详解】 解：， ， 设直线的解析式为， 将，代入解析式得：， 解得：， 直线的解析式为， 如图，当四边形为矩形时， 则， 设直线的解析式为， 将代入解析式得：， 解得：， 直线的解析式为， 令，则， ， 四边形是矩形， ， 点到点，是将点向右平移1个单位长度，向上平移0.5个单位长度得到， 点由点向右平移1个单位长度，向上平移0.5个单位长度得到，即； 如图，当四边形为矩形时， 则， 设直线的解析式为， 将代入解析式得：， 解得：， 直线的解析式为， 令，则， ， 四边形是矩形， ， 点到点，是将点向右平移3个单位长度，向上平移1.5个单位长度得到， 点由点向右平移3个单位长度，向上平移1.5个单位长度得到，即； 当为对角线时，设，， 四边形是矩形， ， ， 解得：或， ，或，； 综上所述，，或，或或，． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数综合—面积问题、二次函数综合—特殊四边形，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用数形结合的思想是解此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $