小升初典型应用题：容斥原理（专项训练）-2025-2026学年六年级下册数学苏教版

小升初典型应用题：容斥原理 1．三年级有20个同学参加兴趣小组，其中参加数学小组的有15人，参加语文小组的有13人． （1）既参加数学小组又参加语文小组的有多少人？ （2）只参加数学小组的有多少人？只参加语文小组的呢？ 2．有55名学生，订阅《小学生英语报》的有32人，订阅《中国少年报》的有29人，两种报纸都订阅的有25人．两种报纸都没有订阅的有多少人？ 3．三（2）班的同学们到游乐园玩，坐碰碰车的有18人，玩旋转木马的有22人，两样都玩的有6人，去游乐园的有多少名同学？ 4．四（1）班有40个学生，其中25人参加数学小组，23人参加航模小组，有19个人两个小组都参加了，那么有多少人两个小组都没参加？ 5．苹果、梨、橘子三种水果都有许多，混在一起合成一大堆，最少要分成多少堆（每堆都有苹果、梨和橘子），为保证找得到这样的两堆，把这两堆合并后这三种水果的个数都是偶数． 6．东风小学三（1）班有50人．其中25人喜欢象棋.22人喜欢围棋.13人既喜欢象棋又喜欢围棋．两种棋类都不喜欢的有多少人？ 7．三（1）班有48人，参加体育队的有36人，参加舞蹈队的有27人，每人至少参加一个队，那么这个班两队都参加的有多少人？ 8．四（二）班共42人，会下跳棋的有18人，会下象棋的有12人，两种棋都不会的有19人。两种棋都会的有多少人？ 9．六年级有120名同学参加学校田径运动会，其中的同学参加了田赛，的同学参加了径赛．田赛和径赛都参加的同学有多少名？ 10．78个同学报名参加文体活动，每人至少参加了体育组或文娱组中的一类，其中参加体育组的有39人，即参加体育组又参加文娱组的有18人．参加文娱组的有多少人？ 11．某次献爱心活动中，三年级（1）班捐款的有12人，捐书的有8人，既捐款又捐书的有5人，一共有多少同学参加这次爱心活动？ 12．三年级2班有54人，所有的同学都参加了兴趣小组，参加舞蹈小组的有27人，参加声乐小组的有34人，两个兴趣小组都参加的有多少人？ 13．三（l）班有35人订了《小学生天地》，有18人订了《数学大世界》，其中9人两种杂志都订了．这个班一共有多少人订了这两种杂志？ 14．大课间体育活动展示，每人至少参加一项。四（3）班第2小组报名参加跳绳展示的有8人，报名参加踢毽子展示的有6人。 （1）第2小组最多有几人？最少有几人？ （2）若已知第2小组有10人，请问两项都参加的有几人？ 15．乔木小学二年级一共有238名同学，每人都至少订了《小学生数学报》和《阅读与写作》中的一种，订《小学生数学报》的有156人，订《阅读与写作》的有120人。这两种都订的有多少人？ 16．六（1）班同学坚持参加体育锻炼．体育委员对班级爱好打乒乓球、羽毛球的情况做了统计：85%的人爱好打乒乓球，75%的人爱好打羽毛球，还有10%的人既不爱好打乒乓球也不爱好打羽毛球．请求出这个班爱好打乒乓球和羽毛球两项活动的人数占总人数的百分之几． 17．六（1）班有50名同学，订《语文报》的有35人，订《数学报》的有38人，两种报纸都不订的有2人．两种报纸都订的有多少人？ 18．书法是中国传统文化的国粹之一，承载着中国人的智慧和情感。学校开展的书法比赛中，三年级硬笔书法有18人获奖，软笔书法有10获奖，两项都获奖的有5人，三年级书法获奖的一共有多少人？ 19．某班学生手中分别拿红、黄、蓝三种颜色的小旗，已知手中有红旗的共有34人，手中有黄旗的共有26人，手中有蓝旗的共有18人，其中手中有红、黄、蓝三种小旗的有6人．而手中只有红、黄两种小旗的有9人，手中只有黄、蓝两种小旗的有4人，手中只有红、蓝两种小旗的有3人，那么这个班共有多少人？ 20．四（1）班共有学生48人，其中27人会游泳，33人会骑自行车，40人会打乒乓球．问这个班至少有多少名学生这三项运动都会？ 21．班里进行了﹣次数学趣味测验．共有两道数学题．全班36人中，做对第一道数学题的有21人，做对第二道数学题的有18人，全班每人至少做对一道题．两道题都做对的有几人？ 22．某餐馆有30道招牌菜，小高吃过其中的15道，萱萱吃过其中的9道，而且有3道菜是两人都吃过的，那么有多少道菜是两人都没吃过的？ 23．少年宫准备成立“双滑社团”，要求必须至少会轮滑、滑雪中的一项，才有资格成为社团成员。已知有900名符合上述要求的人来报名，其中只会轮滑的有206人，只会滑雪的有260人。两种运动都会的有多少人？ 24．暑假自选研学活动中，三（3）班有32人选择去了红岩博物馆研学，有21人选择去了大足石刻研学，其中有8人两个地方都去了，没有人一个地方都没去。那么三（3）班一共有多少人？ 25．三一班全班学生参加兴趣小组，参加数学兴趣小组的有25人，参加语文兴趣小组的有30人，两个小组都参加的有18人．全班有多少人？ 26．某校200名学生在一次语、数、英三科竞赛中，参加语文竞赛的有78人，参加数学竞赛的有98人，参加英语竞赛的有82人，既参加语文又参加数学竞赛的有28人，既参加数学又参加英语竞赛的有26人，既参加语文又参加英语竞赛的有18人，有2人这三项竞赛都不参加．问：三项都参加的共有多少人？ 27．一次数学小测试，只有两道题，结果全班有20人全对。其中第1道题有31人做对，第2道题有29人做对。 （1）只做对第1道题的有多少人？ （2）只做对第2道题的有多少人？ 28．三（1）班有28人订阅了《现代少年报》，有26人订阅了《中国少年报》，有5人两种报都订了。订这两种报的共有多少人？ 29．某班有26人参加数学兴趣小组，30人参加英语兴趣小组，其中数学、英语都参加的有12人，两个小组都不参加的有4人，则这个班学生人数有多少人？ 30．四年级（1）班有52人，参加美术小组的有14人，参加音乐小组的有28人，有8人两个小组都参加了，这个班两个小组都没参加的有多少人？ 31．三（2）班有44个学生参加竞赛，其中参加数学竞赛的有30人，参加美术竞赛的有26人。既参加数学竞赛又参加美术竞赛的有多少人？ 32．三年级有214人去郊游，带面包的有167人，带方便面的有198人，每人至少带这两种食品中的一种，这个年级中两种食品都带的有多少人？ 33．三（1）班有46人，其中24人订阅了《趣味数学》，23人订阅了《开心作文》，有18人两种刊物都订阅了。有多少人两种刊物都没订阅？ 34．在一个班学生中，会下中国象棋的有38人，会下国际象棋的有18人，两种棋都会下的有10人，这两种象棋都不会下的有2人，这个班有多少人？ 35．订阅《作文大王》的有24人，订阅《传统文化故事》的有17人，两种都订阅的有5人．只订阅《作文大王》和《传统文化故事》的一共有多少人？ 36．第26届中国•哈尔滨国际雪雕比赛2024年1月6日开幕，引领了冰雪文化热潮。受此影响，红星小学举行冰雕、雪雕趣味赛，报名雪雕的有34人，报名冰雕的有56人，两项比赛都报名的有18人，共有多少人报名参加比赛？ 37．希望小学三（1）班参加音乐兴趣小组的有32人，参加美术兴趣小组的有30人，这两个小组都参加的有14人。如果每个人至少参加这两个兴趣小组中的一个，则这个班共有学生多少人？ 38．三（4）班同学去社区开展“尊老爱幼，互帮互助”社会实践活动，帮助老人的有32人，帮助儿童的有24人，既帮助老人又帮助儿童的有11人．三（4）班参加这次社会实践活动的一共有几人？ 39．三年级一班有45人，他们去学习书法和绘画，每人至少学一门．学习书法的有26人，学习绘画的有25人．书法和绘画都学习的有多少人？ 40．三年级有学生109人去春游，带矿泉水的有68人，带水果的有85人，每人至少带一样．三年级既带矿泉水又带水果的有多少人？ 41．三（1）班联欢会上歌舞小组一共有16人，共9人参加跳舞表演，12人参加歌唱表演，每人至少参加一种节目．两种节目都参加了多少人？ 42．三（1）、三（2）班共有78个学生，现统计学生们喜欢小说类还是文学类的图书，其中喜欢小说类的有39人，既喜欢小说类又喜欢文学类的有18人。喜欢文学类的有多少人？ 43．学校乐器队招收了40名新学员，会拉小提琴的有25人，会弹电子琴又会拉小提琴的有16人，两项都不会的有1人．会弹电子琴的有多少人？ 44．红火小学三年有210名学生，四年有170名学生。大家都扎了疫苗，两个年级共有多少名学生扎了疫苗？ 45．三年级（2）班有56名学生，这个月进行了两次数学测试：第一次得100分的学生的学号是：6，9，15，16，27，33，56；第二次得100分的学生的学号是：7，9，16，27，36，40，48，51，53．这两次测试中，得过100分的有多少人？ 46．三（1）班55人征订《小学生》杂志和《中国少年报》，每人至少征订其中的一种。征订《小学生》杂志的有38人，征订《中国少年报》的有25人。那么，同时征订了这两种的一共有多少人？ 47．一个班有43名学生都订阅了报纸，订阅《中国少年报》的有32名，订阅《学生报》的有27名，有多少名学生这两种报纸都订阅了？ 48．高中三年级绘画班有48人，其中28人参加了南方学院的绘画考试，有16人参加了北方学院的绘画考试，这两个学院的考试都参加的有10人，不参加这两个学院考试的全部参加了中央美术学院的考试，参加中央美术学院绘画考试的有几人？ 小升初典型应用题：容斥原理 参考答案与试题解析 1．三年级有20个同学参加兴趣小组，其中参加数学小组的有15人，参加语文小组的有13人． （1）既参加数学小组又参加语文小组的有多少人？ （2）只参加数学小组的有多少人？只参加语文小组的呢？ 【答案】（1）8； （2）7，5。 【分析】（1）根据容斥原理公式，两个小组都参加的人数＝参加数学小组的人数+参加语文小组的人数﹣参加兴趣小组的人数； （2）只参加数学小组的人数＝参加数学小组的人数﹣两个小组都参加的人数，同理可求只参加语文小组的人数。 【解答】解：（1）15+13﹣20 ＝28﹣20 ＝8（人） 答：既参加数学小组又参加语文小组的有8人。 （2）15﹣8＝7（人） 13﹣8＝5（人） 答：只参加数学小组的有7人；只参加语文小组的有5人。 【点评】本题主要考查了容斥原理，需要学生熟记容斥原理公式并能灵活运用。 2．有55名学生，订阅《小学生英语报》的有32人，订阅《中国少年报》的有29人，两种报纸都订阅的有25人．两种报纸都没有订阅的有多少人？ 【答案】19人． 【分析】至少订阅一种报纸的人数＝订阅《小学生英语报》的人数+订阅《中国少年报》的人数﹣两种报纸都订阅的人数，用全班的总人数﹣至少订阅一种报纸的人数＝两种报纸都没订阅的人数，据此解答即可． 【解答】解：32+29﹣25＝36（人） 55﹣36＝19（人） 答：两种报纸都没有订阅的有19人． 【点评】本题考查容斥原理，灵活运用公式：A类元素和B类元素的总个数＝A类元素的个数+B类元素的个数﹣既是A类也是B类元素的个数解答即可． 3．三（2）班的同学们到游乐园玩，坐碰碰车的有18人，玩旋转木马的有22人，两样都玩的有6人，去游乐园的有多少名同学？ 【答案】34名。 【分析】根据容斥问题公式：总数量＝A+B﹣既A又B，代入数据解答即可。 【解答】解：18+22﹣6 ＝40﹣6 ＝34（名） 答：去游乐园的有34名同学。 【点评】本题是典型的容斥问题，解答规律是：总数量＝A+B﹣既A又B（两种情况）。 4．四（1）班有40个学生，其中25人参加数学小组，23人参加航模小组，有19个人两个小组都参加了，那么有多少人两个小组都没参加？ 【答案】11人。 【分析】根据容斥原理，有19人两个小组都参加了（重复计算了一次），至少参加一项的人数是：25+23﹣19＝29（人），两个小组都没参加的有：40﹣29＝11（人）；据此解答即可。 【解答】解：40﹣（25+23﹣19） ＝40﹣29 ＝11（人） 答：有11人这两个小组都没参加。 【点评】容斥原理的计算公式：A+B﹣既A又B＝至少参加一项的人数。 5．苹果、梨、橘子三种水果都有许多，混在一起合成一大堆，最少要分成多少堆（每堆都有苹果、梨和橘子），为保证找得到这样的两堆，把这两堆合并后这三种水果的个数都是偶数． 【答案】见试题解答内容 【分析】由于相加后都是偶数，根据数和的奇偶性可知，两堆中水果的个数相加前奇偶性相同，每种水果都是奇、偶两种性质，三种水果就是2×2×2＝8种奇偶性，即得到奇偶性不同的8堆．根据最不利原则可知，只要分出8+1＝9堆，必有两堆奇偶性相同，合并后这三种水果的个数都是偶数；据此解答． 【解答】解：由于相加后都是偶数，根据数和的奇偶性可知，两堆中水果的个数相加前奇偶性相同，每种水果都是奇、偶两种性质，三种水果就是2×2×2＝8种奇偶性，即得到奇偶性不同的8堆． 根据最不利原则可知，只要分出8+1＝9堆，必有两堆奇偶性相同，合并后这三种水果的个数都是偶数． 答：最少要分成9堆（每堆都有苹果、梨和橘子），才能保证找得到这样的两堆，把这两堆合并后这三种水果的个数都是偶数． 【点评】明确相加后都是偶数，则两堆中水果的个数相加前奇偶性相同，是解题关键． 6．东风小学三（1）班有50人．其中25人喜欢象棋.22人喜欢围棋.13人既喜欢象棋又喜欢围棋．两种棋类都不喜欢的有多少人？ 【答案】16人． 【分析】把喜欢象棋和喜欢围棋的人数相加，然后再减去重复计算的13人就是至少喜欢一种的人数，然后再与总人数50作差即可． 【解答】解：25+22﹣13＝34（人） 50﹣34＝16（人） 答：两种棋类都不喜欢的有16人． 【点评】本题考查了容斥原理，知识点是容斥原理一：总人数＝（A+B）﹣既A又B． 7．三（1）班有48人，参加体育队的有36人，参加舞蹈队的有27人，每人至少参加一个队，那么这个班两队都参加的有多少人？ 【答案】见试题解答内容 【分析】参加体育代队和参加舞蹈队的人数之和是36+27＝63人，这比已知的总人数多了63﹣48＝15人，这就是重复加的两个队都参加的人数． 【解答】解：36+27﹣48 ＝63﹣48 ＝15（人） 答：这个班两队都参加的有15人． 【点评】此题属于典型的利用容斥原理解答的问题，如果利用画图的方法分析更简洁易懂． 8．四（二）班共42人，会下跳棋的有18人，会下象棋的有12人，两种棋都不会的有19人。两种棋都会的有多少人？ 【答案】7人。 【分析】先用42减去19求出至少会一种的人数，再根据容斥原理公式“既A又B＝A+B﹣总人数”解答即可。 【解答】解：42﹣19＝23（人） 18+12﹣23 ＝30﹣23 ＝7（人） 答：两种棋都会的有7人。 【点评】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用，可借助图形解决问题。 9．六年级有120名同学参加学校田径运动会，其中的同学参加了田赛，的同学参加了径赛．田赛和径赛都参加的同学有多少名？ 【答案】见试题解答内容 【分析】先根据分数乘法的意义分别求出参加田赛和参加径赛的人数，再根据参加田赛的人数+参加径赛的人数﹣总人数＝两项都参加的人数． 【解答】解：12075（人） 12080（人） 75+80﹣120 ＝155﹣120 ＝35（人） 答：田赛和径赛都参加的同学有35名． 【点评】本题考查了简单的容斥原理：A元素的个数+B元素的个数﹣元素总个数＝既A又B元素的个数，关键是求出参加田赛和径赛的人数． 10．78个同学报名参加文体活动，每人至少参加了体育组或文娱组中的一类，其中参加体育组的有39人，即参加体育组又参加文娱组的有18人．参加文娱组的有多少人？ 【答案】见试题解答内容 【分析】根据“B类元素个数＝A类与B类元素个数的总和﹣A类元素的个数+既是A类又是B类的元素个数”代入数据解答即可． 【解答】解：78﹣39+18 ＝39+18 ＝57（人） 答：参加文娱组的有57人． 【点评】容斥原理公式之一：A类B类元素个数总和＝属于A类元素个数+属于B类元素个数﹣既是A类又是B类的元素个数． 11．某次献爱心活动中，三年级（1）班捐款的有12人，捐书的有8人，既捐款又捐书的有5人，一共有多少同学参加这次爱心活动？ 【答案】15。 【分析】在日常生活中，人们常常需要统计一些数量，在统计的过程中，往往会发现有些数量重复出现，为了使重复出现的部分不致被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，既先不考虑重复的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排除出去。捐款的里面包括既捐款又捐书的5人，捐书的里面也包括既捐款又捐书的5人。 【解答】解：12+8﹣5 ＝20﹣5 ＝15（人） 答：一共有15同学参加这次爱心活动。 【点评】明确个数量之间的关系是解决本题的关键。 12．三年级2班有54人，所有的同学都参加了兴趣小组，参加舞蹈小组的有27人，参加声乐小组的有34人，两个兴趣小组都参加的有多少人？ 【答案】见试题解答内容 【分析】根据“参加舞蹈小组的有27人，参加声乐小组的有34人．”可得两者的总人数：34+27＝61人，这其中把两种兴趣小组都参加的人数多计算了一次，所以根据容斥原理可得两种兴趣小组都参加的人数是：61﹣54＝7（人），据此解答即可． 【解答】解：34+27﹣54 ＝61﹣54 ＝7（人） 答：两种兴趣小组都参加的有7人． 【点评】本题是典型的容斥问题，解答规律是：既A又B＝A+B﹣总数量（两种情况）． 13．三（l）班有35人订了《小学生天地》，有18人订了《数学大世界》，其中9人两种杂志都订了．这个班一共有多少人订了这两种杂志？ 【答案】44． 【分析】要求一共有多少人订了两种杂志，就是把订两种杂志的人数相加，其中，两种杂志都订了的人数重复计算了一次，需要减去，据此计算． 【解答】解：35+18﹣9 ＝53﹣9 ＝44（人） 答：这个班一共有44人订了这两种杂志． 【点评】本题主要考查了容斥原理，明确重复计算的部分，是本题解题的关键． 14．大课间体育活动展示，每人至少参加一项。四（3）班第2小组报名参加跳绳展示的有8人，报名参加踢毽子展示的有6人。 （1）第2小组最多有几人？最少有几人？ （2）若已知第2小组有10人，请问两项都参加的有几人？ 【答案】（1）14人，8人； （2）4人。 【分析】（1）当参加这两项的同学都分别只报名了一项，此时人数最多，所以最多有（8+6）人；当报名参加跳绳的同学同时也报名参加踢毽子时，人数最少为8人； （2）既A又B＝A+B﹣总数量（两种情况），据此解答即可。 【解答】解：（1）8+6＝14（人） 答：第2小组最多有14人，最少有8人。 （2）8+6﹣10 ＝14﹣10 ＝4（人） 答：两项都参加的有4人。 【点评】本题考查了容斥问题的灵活运用，解答规律是：既A又B＝A+B﹣总数量（两种情况）。 15．乔木小学二年级一共有238名同学，每人都至少订了《小学生数学报》和《阅读与写作》中的一种，订《小学生数学报》的有156人，订《阅读与写作》的有120人。这两种都订的有多少人？ 【答案】38人。 【分析】订阅《小学生数学报》的有156名同学，订阅《阅读与写作》的有120名同学，根据容斥原理可知，既订《小学生数学报》又订《阅读与写作》同学有156+120﹣238＝38（名）。 【解答】解：156+120﹣238 ＝276﹣238 ＝38（名） 答：这两种都订的有38人。 【点评】本题为基本的容斥原理题目，其公式为：A类B类元素个数总和＝属于A类元素个数+属于B类元素个数﹣既是A类又是B类的元素个数。 16．六（1）班同学坚持参加体育锻炼．体育委员对班级爱好打乒乓球、羽毛球的情况做了统计：85%的人爱好打乒乓球，75%的人爱好打羽毛球，还有10%的人既不爱好打乒乓球也不爱好打羽毛球．请求出这个班爱好打乒乓球和羽毛球两项活动的人数占总人数的百分之几． 【答案】见试题解答内容 【分析】还有10%的人既不爱好打乒乓球也不爱好打羽毛球，则至少喜欢一样的占总人数1﹣10%，然后根据两量重叠问题：既是A类又是B类的元素个数＝A类元素的个数+B类元素个数﹣A类与B类元素个数的总和；代入数据解答即可． 【解答】解：85%+75%﹣（1﹣10%） ＝160%﹣90% ＝70% 答：这个班爱好打乒乓球和羽毛球两项活动的人数占总人数的70%． 【点评】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用，可借助图形解决问题． 17．六（1）班有50名同学，订《语文报》的有35人，订《数学报》的有38人，两种报纸都不订的有2人．两种报纸都订的有多少人？ 【答案】见试题解答内容 【分析】把订《语文报》的35人，订《数学报》的38人相加，去掉订报纸的总人数50﹣2＝48人，就是重复的两种报纸都订的人数，即可得出答案． 【解答】解：（35+38）﹣（50﹣2） ＝73﹣48 ＝25（人） 答：两种报纸都订的有25人． 【点评】此题考查容斥原理的实际运用，掌握基本计算方法：总人数＝A+B﹣既A又B． 18．书法是中国传统文化的国粹之一，承载着中国人的智慧和情感。学校开展的书法比赛中，三年级硬笔书法有18人获奖，软笔书法有10获奖，两项都获奖的有5人，三年级书法获奖的一共有多少人？ 【答案】23人。 【分析】用硬笔书法获奖的人数加上软笔书法获奖的人数，然后减去两项都获奖的人数，即可求出三年级书法获奖的一共有多少人。由此解答即可。 【解答】解：18+10﹣5 ＝28﹣5 ＝23（人） 答：三年级书法获奖的一共有23人。 【点评】此题考查容斥原理的简单应用。 19．某班学生手中分别拿红、黄、蓝三种颜色的小旗，已知手中有红旗的共有34人，手中有黄旗的共有26人，手中有蓝旗的共有18人，其中手中有红、黄、蓝三种小旗的有6人．而手中只有红、黄两种小旗的有9人，手中只有黄、蓝两种小旗的有4人，手中只有红、蓝两种小旗的有3人，那么这个班共有多少人？ 【答案】见试题解答内容 【分析】先把手中有黄旗的人数和手中有蓝旗的人数和手中有红旗的人数相加，手中有红、黄、蓝三种小旗的有6人，说明重复计算了6+6＝12人，手中只有红、黄两种小旗的有9人，说明重复计算了9人，蓝两种小旗的有4人，说明重复计算了4人，手中只有红、蓝两种小旗的有3人，说明重复计算了3人，将这些重复计算的减去即可． 【解答】解：由分析可得：34+26+18﹣6×2﹣9﹣4﹣3＝50（人） 答：这个班共有50人． 【点评】这种出现重复计算的问题中，将重复计算的部分去掉即可，属于简单题型． 20．四（1）班共有学生48人，其中27人会游泳，33人会骑自行车，40人会打乒乓球．问这个班至少有多少名学生这三项运动都会？ 【答案】见试题解答内容 【分析】这道题可以采用逆思考的方法，找出至少一项运动不会的人数，然后用全班人数减去至少一项运动不会的人数，剩下的是三项运动都会的人数；由已知，不会游泳的有21人，不会骑车的有15人，不会打乒乓球的有8人，至少一项运动也不会的最多的人数即可算出，再根据容斥原理，由此即可求要求的出答案． 【解答】解：由已知，不会游泳的有48﹣27＝21（人）， 不会骑车的有48﹣33＝15（人）， 不会打乒乓球的有48﹣40＝8（人）， 所以至少有一项运动不会的最多有： 21+15+8＝44（人）， 那么全班三项运动都会的至少有： 48﹣44＝4（人）； 答：至少有4人这三项运动都会． 【点评】解答此题的关键是，在理解题意的基础上，采用逆思考的方法，找准对应的量，正确运用容斥原理，列式解答即可． 21．班里进行了﹣次数学趣味测验．共有两道数学题．全班36人中，做对第一道数学题的有21人，做对第二道数学题的有18人，全班每人至少做对一道题．两道题都做对的有几人？ 【答案】3人． 【分析】两题都做对的人数重复数了两次，所以做对第一道题的人数加上做对第二道题的人数减去总人数就是两题都做对的人数． 【解答】解：21+18﹣36 ＝39﹣36 ＝3（人） 答：两道都做对的有3人． 【点评】本题考查了容斥原理，知识点是容斥原理一：总人数＝（A+B）﹣既A又B． 22．某餐馆有30道招牌菜，小高吃过其中的15道，萱萱吃过其中的9道，而且有3道菜是两人都吃过的，那么有多少道菜是两人都没吃过的？ 【答案】见试题解答内容 【分析】根据“小高吃过其中的15道，萱萱吃过其中的9道，”可知：15+9＝24道包括三部分：只有小高吃过的、只有萱萱吃过的、两人都吃过的，所以两人一共吃过的菜有：24﹣3＝21（道），用30减去21就是两人都没吃过的；据此解答． 【解答】解：30﹣（15+9﹣3） ＝30﹣21 ＝9（道） 答：有9道菜两人都没吃过． 【点评】本题考查了容斥原理的灵活运用，知识点是：总人数＝（A+B）﹣既A又B+既非A又非B． 23．少年宫准备成立“双滑社团”，要求必须至少会轮滑、滑雪中的一项，才有资格成为社团成员。已知有900名符合上述要求的人来报名，其中只会轮滑的有206人，只会滑雪的有260人。两种运动都会的有多少人？ 【答案】434人。 【分析】先用206加上260求出两者的总人数，然后再用原来的总人数900人减去两者的总人数，就是重叠的人数，即两种运动都会的有多少人。 【解答】解：900﹣（206+260） ＝900﹣466 ＝434（人） 答：两种运动都会的有434人。 【点评】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用，可借助图形解决问题。 24．暑假自选研学活动中，三（3）班有32人选择去了红岩博物馆研学，有21人选择去了大足石刻研学，其中有8人两个地方都去了，没有人一个地方都没去。那么三（3）班一共有多少人？ 【答案】45人。 【分析】已知去红岩博物馆研学的人数和去大足石刻研学的人数，其中有部分同学两个地方都去了，这部分同学在计算两个地方人数之和时被重复计算了一次，所以，班级总人数等于去红岩博物馆的人数加上去大足石刻的人数，再减去重复计算的两个地方都去的人数，据此解答即可。 【解答】解：32+21﹣8 ＝53﹣8 ＝45（人） 答：三（3）班一共有45人。 【点评】解决此类容斥问题，核心是明确重叠部分的数量关系，避免重复计算或遗漏。在计算两个集合的总数时，要把重复的部分减去，通过“A集合数量+B集合数量﹣重叠部分数量＝总数”这一公式，就能快速准确地得出结果。 25．三一班全班学生参加兴趣小组，参加数学兴趣小组的有25人，参加语文兴趣小组的有30人，两个小组都参加的有18人．全班有多少人？ 【答案】见试题解答内容 【分析】已知参加数学和语文兴趣小组的一共有30+25＝55人，把既参加语文兴趣小组又参加数学兴趣小组的18人重复加了一次，减去重复的18人得出答案即可． 【解答】解：30+25﹣18 ＝55﹣18 ＝37（人） 答：全班有37人． 【点评】本题依据了容斥原理公式之一：A类B类元素个数总和＝属于A类元素个数+属于B类元素个数﹣既是A类又是B类的元素个数． 26．某校200名学生在一次语、数、英三科竞赛中，参加语文竞赛的有78人，参加数学竞赛的有98人，参加英语竞赛的有82人，既参加语文又参加数学竞赛的有28人，既参加数学又参加英语竞赛的有26人，既参加语文又参加英语竞赛的有18人，有2人这三项竞赛都不参加．问：三项都参加的共有多少人？ 【答案】见试题解答内容 【分析】根据“参加语文竞赛的有78人，参加数学竞赛的有98人，参加外语竞赛的有82人，既参加语文又参加数学竞赛的有28人，既参加数学又参加外语竞赛的有26人，既参加语文又参加外语竞赛的有18人”据此由容斥原理可得：78+98+82﹣28﹣26﹣18就应该是参加竞赛的总人数，但是因为这里面还有三项竞赛都参加的人数被重复减去了，所以，可设三项都参加人数为x人，则可得实际参加竞赛的总人数是78+98+82﹣28﹣26﹣18+x，即200﹣2＝198人，据此得出方程求出x的值即可． 【解答】解：根据题干分析，可设三项都参加人数为x人，根据题意可得方程： 78+98+82﹣28﹣26﹣18+x＝200﹣2 186+x＝198 x＝12 答：三项都参加的有12人． 【点评】此题考查了利用容斥原理解决实际问题的灵活应用，明确78+98+82﹣28﹣26﹣18就应该是参加竞赛的总人数，是解答此题的关键． 27．一次数学小测试，只有两道题，结果全班有20人全对。其中第1道题有31人做对，第2道题有29人做对。 （1）只做对第1道题的有多少人？ （2）只做对第2道题的有多少人？ 【答案】（1）11人；（2）9人。 【分析】（1）求只做对第1道题的有多少人，用第1道题做对的31人减去全班全对的20人即可； （2）求只做对第2道题的有多少人，用第2道题做对的29人减去全班全对的20人即可。 【解答】解：（1）31﹣20＝11（人） 答：只做对第1道题的有11人。 （2）29﹣20＝9（人） 答：只做对第2道题的有9人。 【点评】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用，可借助图形解决问题。 28．三（1）班有28人订阅了《现代少年报》，有26人订阅了《中国少年报》，有5人两种报都订了。订这两种报的共有多少人？ 【答案】49人。 【分析】用订阅了《现代少年报》的人数加上订阅了《中国少年报》的人数，再减去两种报都订的人数，求订这两种报的共有多少人。 【解答】解：28+26﹣5＝49（人） 答：订这两种报的共有49人。 【点评】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用，关键知道各部分的关系做题。 29．某班有26人参加数学兴趣小组，30人参加英语兴趣小组，其中数学、英语都参加的有12人，两个小组都不参加的有4人，则这个班学生人数有多少人？ 【答案】48人。 【分析】某班有26人参加数学兴趣小组，30人参加英语兴趣小组，两者共有26+30＝56人，然后再减去其中数学、英语都参加的有12人，即重叠的人数12人就是至少参加一项的人数，最后加上两个小组都不参加的4人，可得这个班学生的人数。 【解答】解：26+30﹣12+4 ＝56﹣12+4 ＝48（人） 答：这个班学生人数有48人。 【点评】两量重叠问题：A类与B类元素个数的总和＝A类元素的个数+B类元素个数﹣既是A类又是B类的元素个数。 30．四年级（1）班有52人，参加美术小组的有14人，参加音乐小组的有28人，有8人两个小组都参加了，这个班两个小组都没参加的有多少人？ 【答案】见试题解答内容 【分析】用14人加上28人求出两者的和，由于8人是重复计算的部分，再减去8人，就是至少参加一项的人数是：28+14﹣8＝34（人），然后用总人数52人减去至少参加一项的人数，就是两个小组都没参加的人数，即52﹣34＝18（人）． 【解答】解：52﹣（28+14﹣8） ＝52﹣34 ＝18（人） 答：这个班两个小组都没参加的有18人． 【点评】容斥原理的计算公式：A+B﹣既A又B＝至少参加一项的人数． 31．三（2）班有44个学生参加竞赛，其中参加数学竞赛的有30人，参加美术竞赛的有26人。既参加数学竞赛又参加美术竞赛的有多少人？ 【答案】12人。 【分析】既参加数学竞赛又参加美术竞赛的人数＝参加数学竞赛的30人+参加美术竞赛的26人﹣三（2）班全班参加竞赛人数；据此解答即可。 【解答】解：30+26﹣44 ＝56﹣44 ＝12（人） 答：既参加数学竞赛又参加美术竞赛的12人。 【点评】本题属于容斥原理问题，既A又B＝A+B﹣总数。 32．三年级有214人去郊游，带面包的有167人，带方便面的有198人，每人至少带这两种食品中的一种，这个年级中两种食品都带的有多少人？ 【答案】见试题解答内容 【分析】带面包的有167人，带方便面的有198人，则带面包的和带方便面的共有（198+167）人，又因为实际总人数是214人，然后用带面包的和带方便面的和减去214人就是既带面包又带方便面的人数，据此解答． 【解答】解：198+167﹣214 ＝365﹣214 ＝151（人） 答：这个年级中两种食品都带的有151人． 【点评】本题解答的依据是：A类与B类元素个数的总和＝A类元素的个数+B类元素个数﹣既是A类又是B类的元素个数． 33．三（1）班有46人，其中24人订阅了《趣味数学》，23人订阅了《开心作文》，有18人两种刊物都订阅了。有多少人两种刊物都没订阅？ 【答案】17人 【分析】因为有18人两种刊物都订阅了是重叠部分的人数，所以根据容斥原理求至少订阅一种的人数是：24+23﹣18＝29（人），然后用46减去29就是两种刊物都没有订阅的总人数；据此解答。 【解答】解：46﹣（24+23﹣18） ＝46﹣29 ＝17（人） 答：有17人两种刊物都没有订阅。 【点评】本题解答依据了容斥原理公式之一：A类B类元素个数总和＝属于A类元素个数+属于B类元素个数﹣既是A类又是B类的元素个数。 34．在一个班学生中，会下中国象棋的有38人，会下国际象棋的有18人，两种棋都会下的有10人，这两种象棋都不会下的有2人，这个班有多少人？ 【答案】48人。 【分析】先求出会下国际象棋的人数与中国象棋的人数和，再加上两样都不会下的人数，这样就比全班的总人数多算了一次两种棋都会下的人数，所以再减去两种棋都会下的人数，就是这个班的总人数。 【解答】解：38+18+2﹣10 ＝58﹣10 ＝48（人） 答：这个班有48人。 【点评】本题依据了容斥原理公式之一：既是A类又是B类的元素个数＝属于A类元素个数+属于B类元素个数+非A非B元素个数﹣元素总个数。 35．订阅《作文大王》的有24人，订阅《传统文化故事》的有17人，两种都订阅的有5人．只订阅《作文大王》和《传统文化故事》的一共有多少人？ 【答案】31． 【分析】用订阅《作文大王》的人数减去两种都订阅的人数，求出只订阅《作文大王》的人数，同理，求出只订阅《传统文化故事》的人数，相加即可． 【解答】解：（24﹣5）+（17﹣5） ＝19+12 ＝31（人） 答：只订阅《作文大王》和《传统文化故事》的一共有31人． 【点评】本题主要考查了容斥原理，明确容斥关系中，各部分之间的数量关系，是本题解题的关键． 36．第26届中国•哈尔滨国际雪雕比赛2024年1月6日开幕，引领了冰雪文化热潮。受此影响，红星小学举行冰雕、雪雕趣味赛，报名雪雕的有34人，报名冰雕的有56人，两项比赛都报名的有18人，共有多少人报名参加比赛？ 【答案】72人。 【分析】先用34人加上56人求出参加冰雕、雪雕趣味赛的人数和，再减去两项都报名的18人，就是参加比赛的总人数。 【解答】解：34+56﹣18 ＝90﹣18 ＝72（人） 答：共有72人报名参加比赛。 【点评】本题是典型的容斥问题，解答规律是：总数量＝A+B﹣既A又B。 37．希望小学三（1）班参加音乐兴趣小组的有32人，参加美术兴趣小组的有30人，这两个小组都参加的有14人。如果每个人至少参加这两个兴趣小组中的一个，则这个班共有学生多少人？ 【答案】48人。 【分析】用参加音乐兴趣小组的人数加上参加美术兴趣小组的人数，减去两个小组都参加的人数，求出这个班的总人数。 【解答】解：32+30﹣14＝48（人） 答：这个班共有学生48人。 【点评】本题考查集合问题，用各部分的总和减去重叠部分，求出实际总量。 38．三（4）班同学去社区开展“尊老爱幼，互帮互助”社会实践活动，帮助老人的有32人，帮助儿童的有24人，既帮助老人又帮助儿童的有11人．三（4）班参加这次社会实践活动的一共有几人？ 【答案】45。 【分析】参加活动的总人数等于两个活动的人数的和，其中既帮助老人又帮助儿童的计算了两次，需要减去，据此列式计算即可。 【解答】解：32+24﹣11 ＝56﹣11 ＝45（人） 答：三（4）班参加这次社会实践活动的一共有45人。 【点评】本题主要考查了容斥原理，需要学生熟记容斥原理公式，并能灵活运用。 39．三年级一班有45人，他们去学习书法和绘画，每人至少学一门．学习书法的有26人，学习绘画的有25人．书法和绘画都学习的有多少人？ 【答案】见试题解答内容 【分析】由题意，用26+25就是只学习书法、只绘画以及书法和绘画都学习的人数的2倍，再减去总人数，即得重复计算的书法和绘画都学习的人数． 【解答】解：26+25﹣45 ＝51﹣45 ＝6（人） 答：书法和绘画都学习的有6人． 【点评】本题考查了容斥原理，关键是求出至少参加一种的人数，知识点是容斥原理一：总人数＝（A+B）﹣既A又B． 40．三年级有学生109人去春游，带矿泉水的有68人，带水果的有85人，每人至少带一样．三年级既带矿泉水又带水果的有多少人？ 【答案】见试题解答内容 【分析】把带矿泉水的有68人和带水果的有85人加在一起，然后减去三年级的总人数就是两样都带的人数． 【解答】解：68+85﹣109 ＝153﹣109 ＝44（人）； 答：三年级既带矿泉水又带水果的有44人． 【点评】此题考查了利用容积原理解决问题的方法，两样都带的人数被算了2次，就是带矿泉水和带水果的人数比总人数多出的人数，这是解决本题的关键． 41．三（1）班联欢会上歌舞小组一共有16人，共9人参加跳舞表演，12人参加歌唱表演，每人至少参加一种节目．两种节目都参加了多少人？ 【答案】5。 【分析】由容斥原理可知，小组的人数＝舞蹈表演的人数+唱歌表演的人数﹣两种节目都参加的人数，将其变式求解即可。 【解答】解：9+12﹣16 ＝21﹣16 ＝5（人） 答：两种节目都参加了5人。 【点评】本题主要考查了容斥原理，需要学生熟练掌握计算公式。 42．三（1）、三（2）班共有78个学生，现统计学生们喜欢小说类还是文学类的图书，其中喜欢小说类的有39人，既喜欢小说类又喜欢文学类的有18人。喜欢文学类的有多少人？ 【答案】57人。 【分析】从喜欢小说类的39人中去掉既喜欢小说类又喜欢文学类的18人，剩下的人数就是只喜欢小说类的，用总人数减去只喜欢小说类的，剩下的就是喜欢文学类的。 【解答】解：39﹣18＝21（人） 78﹣21＝57（人） 答：喜欢文学类的有57人。 【点评】熟练掌握集合问题的计算是解答此题的关键。 43．学校乐器队招收了40名新学员，会拉小提琴的有25人，会弹电子琴又会拉小提琴的有16人，两项都不会的有1人．会弹电子琴的有多少人？ 【答案】30人． 【分析】先求出只会拉小提琴的人数：25﹣16＝9（人），然后用总人数减去只会拉小提琴的人数以及两项都不会的人数，就是会弹电子琴的人数；据此解答． 【解答】解：25﹣16＝9（人） 40﹣9﹣1＝30（人） 答：会弹电子琴的有30人． 【点评】本题考查了容斥原理，关键是理解16人是两项都会的重叠部分，知识点是：既A又B＝（A+B）﹣总人数． 44．红火小学三年有210名学生，四年有170名学生。大家都扎了疫苗，两个年级共有多少名学生扎了疫苗？ 【答案】380名。 【分析】用三年的人数加上四年的人数，求两个年级的总人数即可。 【解答】解：210+170＝380（名） 答：两个年级共有380名学生扎了疫苗。 【点评】本题主要利用整数加减法的运算法则计算。 45．三年级（2）班有56名学生，这个月进行了两次数学测试：第一次得100分的学生的学号是：6，9，15，16，27，33，56；第二次得100分的学生的学号是：7，9，16，27，36，40，48，51，53．这两次测试中，得过100分的有多少人？ 【答案】13人。 【分析】根据题意可得：第一次得100分的学生有7人，第二次得100分的学生有9人，其中两次都得100分的学生有3人，然后用第一、二次得100分学生人数的和，减去两次都得100分的学生人数即可。 【解答】解：7+9﹣3 ＝16﹣3 ＝13（人） 答：这两次测试中，得过100分的有13人。 【点评】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用，可借助图形解决问题。 46．三（1）班55人征订《小学生》杂志和《中国少年报》，每人至少征订其中的一种。征订《小学生》杂志的有38人，征订《中国少年报》的有25人。那么，同时征订了这两种的一共有多少人？ 【答案】8人。 【分析】同时征订了这两种刊物的人数＝征订《小学生》杂志的人数+征订《中国少年报》的人数﹣三（1）班的人数；据此解答即可。 【解答】解：38+25﹣55 ＝63﹣55 ＝8（人） 答：同时征订了这两种的一共有8人。 【点评】本题考查了容斥原理知识点，由基本计算方法：总数＝A+B﹣既A又B，得出“既A又B＝A+B﹣总数”。 47．一个班有43名学生都订阅了报纸，订阅《中国少年报》的有32名，订阅《学生报》的有27名，有多少名学生这两种报纸都订阅了？ 【答案】见试题解答内容 【分析】因为两种刊物都订阅了是的重叠部分的人数，所以根据容斥原理求至少参加订阅一种的人数是：32+27＝59（人），然后再减去总人数；据此解答． 【解答】解：32+27﹣43 ＝59﹣43 ＝16（名）； 答：有16名学生这两种报纸都订阅了． 【点评】本题依据了容斥原理公式之一：A类B类元素个数总和＝属于A类元素个数+属于B类元素个数﹣既是A类又是B类的元素个数． 48．高中三年级绘画班有48人，其中28人参加了南方学院的绘画考试，有16人参加了北方学院的绘画考试，这两个学院的考试都参加的有10人，不参加这两个学院考试的全部参加了中央美术学院的考试，参加中央美术学院绘画考试的有几人？ 【答案】14人。 【分析】把参加了南、北方学院绘画考试的人数相加，求出两者的和，再减去重复计算的人数，即这两个学院的考试都参加的有10人，就是实际参加南、北方学院绘画考试的人数，然后再与48人作差，就是参加中央美术学院绘画考试的人数。 【解答】解：48﹣（28+16﹣10） ＝48﹣34 ＝14（人） 答：参加中央美术学院绘画考试的有14人。 【点评】本题考查了容斥原理，关键是理解10人的意义，知识点是容斥原理一：总人数＝（A+B）﹣既A又B。 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $