精品解析：重庆市第四十九中学校2025-2026学年高一下学期第一次月考数学试题

重庆市第四十九中学校2025—2026学年高一下学期 第一次月考数学试题 一、单选题（本题共8个小题，每小题5分，共40分） 1. 复平面内，复数表示的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】利用复数的几何意义求解即可. 【详解】在复平面内，复数表示的点的坐标为，位于第四象限. 故选：D. 2. 已知向量，，若，则实数m等于（ ） A. B. 0 C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用向量数量积的坐标表示，列式计算即得. 【详解】向量，，则，解得， 所以实数m等于. 故选：D 3. 一个梯形的直观图是一个如图所示的等腰梯形，且，，，则原梯形的面积为（ ） A. B. C. 8 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据直观图可知其平面图形为直角梯形，再计算面积即可得答案. 【详解】解：根据梯形的直观图可得其平面图形为直角梯形，上底为，下底，高为， 所以原梯形的面积为. 故选：C 4. 已知单位向量的夹角为与垂直，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】根据数量积的定义求出，依题意可得，根据数量积的运算律计算可得； 【详解】因为单位向量、的夹角为，所以， 又与垂直，所以，即， 即，解得， 故选：C. 5. 已知t∈R，i为虚数单位，复数z1＝3＋4i，z2＝t＋i，且z1·z2是实数，则t等于(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为z1＝3＋4i，z2＝t＋i，所以z1·z2＝(3t－4)＋(4t＋3)i， 又z1·z2是实数，所以4t＋3＝0，所以t＝. 故选：D. 6. 若，，，则向量与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】借助向量模长与数量积的关系以及夹角公式计算即可得. 【详解】由，，， 则， 而，即得， 所以，又， 所以. 故选：A. 7. 如图所示，已知点G是的重心，过点G作直线分别与AB，AC两边交于M，N两点（点N与点C不重合），设，则的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】利用平面向量基本定理计算即可. 【详解】设，则 ， 又因为G是的重心，故， 所以有. 故选：A 8. 在中，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用余弦定理的边角变换得到，再利用正弦定理的边角变换与三角函数的和差公式即可得解. 【详解】因为，所以， 因为， 两式相减，得， 由正弦定理，得，即， 因为，所以. 故选：A. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下面是关于复数（i为虚数单位）的命题，其中真命题为（ ） A. B. C. z的共轭复数为 D. z的虚部为 【答案】BD 【解析】 【分析】根据复数的运算法则化简复数，结合复数的基本概念，复数的乘方及模的运算逐项判定即可. 【详解】， ，A错误； ，B正确； 的共轭复数为，C错误； 的虚部为，D正确； 故选：BD 10. 下列说法不正确的有（ ） A. 已知，若与垂直，则 B. 若，，则 C. 若为三个不共线向量，则 D. 若，，若为钝角，则实数的范围是 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据向量垂直坐标运算判断A选项，根据向量共线的性质判断B选项，根据数量积的定义及运算律判断C选项，再根据向量数量积与夹角的关系可判断D选项. 【详解】A选项：，，若与垂直，则，解得，A选项正确； B选项：当时，，，但不一定成立，B选项错误； C选项：根据向量的数量积的含义可知是一个实数，故是与共线的向量， 同理是与共线的向量，但是，不一定共线， 故不一定成立，C选项错误； D选项：，，若为钝角，则， 解得且，D选项错误； 故选：BCD. 11. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（ ） A. 若，且，则为直角三角形 B. 若，，，要使满足条件的三角形有且只有两个，则 C. 若平面内有一点满足：，且，则为等边三角形 D. 若，则为钝角三角形 【答案】BC 【解析】 【分析】A：由已知确定的角平分线与BC垂直，所以，所以，再利用向量夹角的余弦得出，最后得出是等边三角形，判断A错；由正弦函数值确定角的范围判断B正确；由向量模长关系得到角的大小，再用全等关系得出等边三角形判断C正确；D利用弦切互化，三角恒等变换和两角和与差的正余弦展开式判断D错误. 【详解】对于选项A，因为，，分别为单位向量，所以的角平分线与BC垂直，所以，所以.又因为， 即，因为，所以，所以，所以为等边三角形，故选项A错误； 对于选项B，要使满足条件的三角形有且只有两个，则，因为，，所以，即，所以，故选项B正确； 对于C，因为，故，即，又，所以，故，由于，故，同理可得，结合，故，可得，故为等边三角形，C正确； 对于D.， 而，所以A，B，C都为锐角，D错误； 故选：BC. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知，则______. 【答案】 【解析】 【分析】先根据复数的乘法及除法运算化简复数，再代入计算乘方得出，最后应用模长公式计算求解. 【详解】， ， . 故答案为： 13. 在中，，，则外接圆半径为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据面积公式和数量积的定义可求，根据同角的三角函数基本关系式和正弦定理可求外接圆的半径. 【详解】因为，故, 故，故为锐角，故， 故外接圆的半径为， 故答案为：. 14. 正方形的边长为3，是线段上靠近的三等分点，是线段（含端点）上的动点，为线段的中点，则的最小值为_________. 【答案】 【解析】 【分析】设，以为基底，利用向量的线性运算法则将用表示， 则转化为关于的二次函数，求该二次函数的最小值即为答案. 【详解】如图，，且，即不共线，故其可以作为基底，设， 由题意可得，由向量的线性运算法则可得 ， ， 故， 这是关于的二次函数，对称轴为， 所以当时，即与重合时，取得最小值. 故答案为：. 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知复数（其中为虚数单位）. （1）求； （2）求. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）根据复数代数形式的乘法运算化简复数，再根据共轭复数的定义计算可得； （2）根据复数模的定义计算可得. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 因为，所以. 16. 已知，求： （1）； （2）． 【答案】（1）44 （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量线性运算的坐标表示及向量数量积的坐标运算即可直接求出答案； （2）根据向量线性运算的坐标表示及向量模的坐标表示即可求出答案. 【小问1详解】 因为，，所以， 所以. 【小问2详解】 因为，，所以， 所以. 17. 如图，在中，，D为中点，E为上一点，且，的延长线与的交点为F. （1）用向量与表示 和 （2）用向量与表示 （3）求出 的值 【答案】（1），； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）（2）由向量的线性运算法则求解； （3）设，求得，再利用向量共线可得结论． 【小问1详解】 是中点， ， ； 【小问2详解】 ，则， ； 【小问3详解】 设，则，， 又向量共线，而不共线， 所以，解得． 18. 在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求角A的大小； （2）若，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，结合正弦定理及诱导公式，即可求得，得角即可； （2）由正弦定理，将边全部化为角，利用三角函数来求值域即可． 【小问1详解】 根据题意得，， 由正弦定理得，， 即， 即， 因为，则，则， 则，则． 【小问2详解】 由正弦定理得，，所以． 所以， 因为是锐角，则，即，解得． 则，故． 所以，则的取值范围为． 19. 在锐角△ABC中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，． （1）若，求△ABC的面积； （2）求的值； （3）求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理和面积公式进行求解；（2）由正弦定理和三角恒等变换求解；（3）解法一：设BC中点为D，推导出，在三角形AOD中，利用余弦定理，正弦定理和函数单调性求出AD的取值范围，从而求出的取值范围；解法二：由余弦定理和数量积运算法则求出，换元后利用三角恒等变换得到，求出答案. 【小问1详解】 由余弦定理 结合可知，△ABC的面积 【小问2详解】 因为，，所以， 由正弦定理， 所以，① 由于， 带入①式可知： 【小问3详解】 解法1： 设BC中点为D，则 所以 如下图所示， 设△ABC的外接圆为圆O，由于△ABC为锐角三角形，故点A的运动轨迹为劣弧（不含端点），由正弦定理知圆O的半径，故 设，则，由余弦定理： 由于函数在时单调递减，， 所以 解法2： 由余弦定理② 由定义 所以 设， 则 由正弦定理： 其中锐角的终边经过点，由锐角三角形可知 注意到， 所以 所以，②式变形为，故 从而， 此时函数单调递减，而， 所以 【点睛】向量相关的取值范围问题，考查面较广，可以和很多知识相结合，基本不等式，函数值域，解三角形，三角函数等，需要对知识熟练掌握且灵活运用，本题的第三问难度较大，需要用到极化恒等式，三角函数恒等变换等知识，属于难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆市第四十九中学校2025—2026学年高一下学期 第一次月考数学试题 一、单选题（本题共8个小题，每小题5分，共40分） 1. 复平面内，复数表示的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知向量，，若，则实数m等于（ ） A. B. 0 C. 1 D. 3. 一个梯形的直观图是一个如图所示的等腰梯形，且，，，则原梯形的面积为（ ） A. B. C. 8 D. 4 4. 已知单位向量的夹角为与垂直，则（ ） A. B. C. D. 1 5. 已知t∈R，i为虚数单位，复数z1＝3＋4i，z2＝t＋i，且z1·z2是实数，则t等于(　　) A. B. C. D. 6. 若，，，则向量与的夹角为（ ） A. B. C. D. 7. 如图所示，已知点G是的重心，过点G作直线分别与AB，AC两边交于M，N两点（点N与点C不重合），设，则的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 8. 在中，，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下面是关于复数（i为虚数单位）的命题，其中真命题为（ ） A. B. C. z的共轭复数为 D. z的虚部为 10. 下列说法不正确的有（ ） A. 已知，若与垂直，则 B. 若，，则 C. 若为三个不共线向量，则 D. 若，，若为钝角，则实数的范围是 11. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（ ） A. 若，且，则为直角三角形 B. 若，，，要使满足条件的三角形有且只有两个，则 C. 若平面内有一点满足：，且，则为等边三角形 D. 若，则为钝角三角形 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知，则______. 13. 在中，，，则外接圆半径为______. 14. 正方形的边长为3，是线段上靠近的三等分点，是线段（含端点）上的动点，为线段的中点，则的最小值为_________. 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知复数（其中为虚数单位）. （1）求； （2）求. 16. 已知，求： （1）； （2）． 17. 如图，在中，，D为中点，E为上一点，且，的延长线与的交点为F. （1）用向量与表示 和 （2）用向量与表示 （3）求出 的值 18. 在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求角A的大小； （2）若，求的取值范围． 19. 在锐角△ABC中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，． （1）若，求△ABC的面积； （2）求的值； （3）求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $