专题09平行四边形复习讲义(16大题型+题型突破+压轴题型)2025-2026学年北师大版八年级数学下册

专题09平行四边形复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.吃透平行四边形性质 + 3 类判定，辨清性质与判定逻辑 2.熟记三角形中位线定理，会证会用 3.掌握平行四边形与三角形的转化思路 1.规范书写几何证明，步骤有依据 2.快速解边长 / 角度 / 面积计算，精准证平行四边形 3.灵活应对性质、判定与中位线的综合题 1.基础题不丢分，中档题稳拿分 2.避开判定条件不全、中位线 / 中线混淆等易错坑 3.轻松破解平行四边形综合探究题 题型01.利用平行四边形性质求解 题型02.利用平行四边形性质证明 题型03.平行四边形性质的应用 题型04.等腰题型的定义与性质 题型05.数与构平行四边形的个数 题型06.判定与补条件构平行四边形 题型07.证明四边形是平行四边形 题型08.利用平行四边形判定与性质求解 题型09.利用平行四边形性质与判定证明 题型10.平行四边形性质与判定应用 题型11.三角形中位线的求解 题型12.三角形中位线的证明 题型13.三角形中位线的实际应用 题型14.平行四边形与折叠问题 题型15.平行四边形与动点问题 题型16.平行四边形最值问题 解答题6题 知识点 01. 平行四边形的定义及表示 定义：两组对边分别平行的四边形，叫做平行四边形。 表示：用符号□表示，平行四边形ABCD记作□ABCD，读作 “平行四边形ABCD”。 平行四边形基本元素：边、角、对角线。 知识点02:平行四边形核心性质(必考.知平行四边形推边角特征) 维度 性质 几何语言 边 对边平行且相等 AB∥CD，AB=CD；AD∥BC，AD=BC 角 对角相等，邻角互补 ∠A=∠C，∠B=∠D；∠A+∠B=180∘ 对角线 互相平分 AO=OC，BO=OD 面积 S=底×对应高（S=ah） 同底等高的平行四边形面积相等 知识点03:平行四边形的判定定理（核心，知边角特征推平行四边形） 判定方法 文字条件 几何语言 定义法 两组对边分别平行 ∵AB∥CD, AD∥BC ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形 两组对边分别相等 两组对边分别相等 ∵AB=CD, AD=BC ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形 一组对边平行且相等 一组对边平行且相等 ∵AB∥CD 且 AB=CD ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形 对角线互相平分 对角线互相平分 ∵OA=OC, OB=OD ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形 知识点04:三角形的中位线 一、核心定义 三角形的中位线：连接三角形两边中点的线段。 一个三角形有3 条中位线，与三角形中线（连接顶点与对边中点）不同。 二、核心定理（三角形中位线定理） 内容：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。 几何语言：在△ABC 中，若 M、N 分别是 AB、AC 中点，则MN∥BC，且 MN=BC。 高频雷区（避坑 = 提分，一眼避开） 1.混淆性质：平行四边形对角线互相平分≠相等（矩形才具备对角线相等） 2.对称性误区：是中心对称，不是轴对称，无对称轴 3.书写漏洞：用性质前必须先写 “四边形 ABCD 是平行四边形”，做到有据可依 4.计算陷阱：求边长 / 对角线时，结合 “三角形三边关系” 验证，避免取值无效 题型01.利用平行四边形性质求解 【典例】如图，在平行四边形中，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】平行四边形的对角相等，据此可得答案． 【详解】解：∵在平行四边形中，， ∴． 【跟踪专练1】如图，在中，，由尺规作图的痕迹，则的度数为________． 【答案】/65度 【分析】首先根据平行四边形的性质求出，然后由作图得，平分，即可求解． 【详解】解：∵在中，， ∴ ∴ 由作图得，平分 ∴． 【跟踪专练2】如图，平行四边形中，的平分线交于点，若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行四边形的性质可得，，推出，结合角平分线的性质可推出，进而得到，即可求解． 【详解】解：平行四边形中，，， ， 平分， ， ， ， . 题型02.利用平行四边形性质证明. 【典例】如图，是的边上的点，是中点，连接并延长交于点，连接与相交于点，若，，则阴影部分的面积为________． 【答案】 【分析】本题考查平行四边形，三角形的知识，解题的关键是掌握平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，连接，根据平行四边形的性质，则，，根据点是的中点，则，根据全等三角形的判定和性质，则，，再根据平行四边形的判定和性质，则四边形是平行四边形，得到，再根据平行四边形的判定和性质，则四边形是平行四边形，，根据阴影部分的面积为：，即可． 【详解】解：连接， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵点是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴阴影部分的面积为：． 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，在中，过点D作，垂足为E，过上一点F作，垂足为G，交于P，连接，．过F作，垂足为H．连接．若，，．则____________________ ． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，延长到Q，使，连接，证明，得出，证明，得出，，证明为等腰直角三角形，得出，即可得出答案． 【详解】解：延长到Q，使，连接，如图所示： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴为等腰直角三角形， 则，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，在中，对角线相交于点，过点作交于点，若，则的长为（   ） A． B．6 C． D．8 【答案】C 【分析】连接，由平行四边形的性质得，因为交于点，所以垂直平分，则，而，则，所以，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接， 四边形是平行四边形，，对角线相交于点， ， 交于点， 垂直平分， ， ， ， 是直角三角形，且， ， ． 题型03.平行四边形性质的应用 【典例】如图，已知点，将线段向左平移三个单位长度，则线段扫过的面积为（　　） A．3 B．6 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了坐标与图形变化-平移，根据平移的性质和平行四边形的面积公式即可得到结论． 【详解】∵点，将线段向左平移三个单位长度， ∴线段扫过的图形是一个底边长为3，高为2的平行四边形， ∴线段扫过的面积为， 故选：B． 【跟踪专练1】平行四边形两邻边分别是4和6，其中一边上的高是3，则平行四边形的面积是______． 【答案】12或18/18或12 【分析】分两种情况讨论：①3是长为4的边上的高，②3是长为6的边上的高，再根据平行四边形的面积公式求解即可． 【详解】解：当3是长为4的边上的高时，平行四边形的面积为：3×4=12； 当3是长为6的边上的高时，平行四边形的面积为：3×6=18； 故答案为：12或18． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的面积计算，解题的关键是掌握平行四边形的面积公式，当高不知道是哪条边上的高时，要进行讨论． 【跟踪专练2】如图，面积为的三角形沿方向平移至三角形的位置，平移的距离是边的2倍，则图中四边形的面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平移的性质及三角形面积的计算，推出四边形的面积是的4倍是解本题的关键． 根据平移的性质得出四边形是平行四边形，用表示出、，设点A到的距离为h，然后根据三角形的面积公式与平行四边形的面积公式列式进行计算即可． 【详解】面积为的沿方向平移至的位置，平移的距离是边的2倍， ，即， ，， 四边形为平行四边形， 设点A到的距离为h， ， ∴四边形的面积为： 故选：C． 题型04.等腰题型的定义与性质 【典例】如图，找一点D，使是一个梯形．D点共有（   ）种不同的选法． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】本题考查梯形． 根据梯形的定义，确定点的位置即可． 【详解】解：若，且，则点可以位于、、的位置， 若，且，则点可以位于、的位置， ∴点共有种不同的选法． 故选：D． 【跟踪专练1】如图，四边形是等腰梯形，O是坐标原点，A，C的坐标分别是，，则B点坐标是（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】此题考查等腰梯形的性质，根据等腰梯形的腰相等求解即可 【详解】解：四边形是等腰梯形，O是坐标原点，A，C的坐标分别是，， ∴， ∴， 故选∶C． 【跟踪专练2】已知高为的梯形中，， 是锐角，，，，那么梯形的面积为________． 【答案】或 【分析】本题考查了梯形的性质，勾股定理；根据题意分两种情况讨论，分别画出图形，求得的长，根据梯形的面积公式，即可． 【详解】解：如图所示，过点作于点，过点作于点， 梯形中，， 四边形是矩形， ，， ， ， ． ∴ 如图，． 故答案为：或． 【跟踪专练3】如图，在等腰梯形中，，，，求___________． 【答案】 【分析】首先设，由，，可求得，，然后由，可得方程：，解此方程即可求得答案． 【详解】解：设， ∵等腰梯形中，，， ． ． ， ． ∵等腰梯形中，， ． ∵在中，， ， ， 解得， ． 题型05.数与构平行四边形的个数. 【典例】在中，，则图中平行四边形的个数是（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】D 【分析】首先根据已知条件找出图中的平行线，然后根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，来判断图中平行四边形的个数． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， , ， 根据平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形， 可得图中平行四边形有：, 共6个． 【跟踪专练1】已知平面直角坐标系中、、，若以A、B、C、D点为顶点作平行四边形，则点D的坐标为______． 【答案】或或 【分析】分情况讨论：设点D的坐标为，当、为平行四边形对角线或当、为对角线或、为对角线时，根据两条对角线的中点坐标相同，据此列方程求解即可． 【详解】解：设点D的坐标为， 当、为平行四边形对角线时， 的中点坐标为，的中点坐标为， ， 解得， 点坐标为； 当、为对角线时， 的中点坐标为，的中点坐标为， ， 解得， 点坐标为； 当、为对角线时， 的中点坐标为，的中点坐标为， ， 解得， 点坐标为； 综上所述，点D的坐标为或或． 【跟踪专练2】如图，，若，则_____；图中共有_____个平行四边形． 【答案】 4 3 【分析】此题主要考查平行四边形的判定：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．根据平行四边形的判定找出平行四边形有3个．根据平行四边形的性质，对边相等可得出． 【详解】解：由两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可得图中的平行四边形有、、三个． ∵四边形为平行四边形， ∴． 故答案为：4；3． 题型06.判定与补条件构平行四边形 【典例】在四边形中，，要使四边形是平行四边形，则需添加一个条件，其中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】已知，根据“一组对边平行且相等”可判定平行四边形，根据“两组对边分别平行”可判定平行四边形，根据同旁内角互补可推出另一组对边平行，而一组对边平行另一组对边相等可能是等腰梯形． 【详解】解：, 若添加，则(同旁内角互补，两直线平行)， 四边形是平行四边形，选项A正确， 若添加，则且， 四边形是平行四边形，选项C正确， 若添加，则且， 四边形是平行四边形，选项D正确， 若添加，四边形可能是等腰梯形，不一定是平行四边形，选项B错误． 【跟踪专练1】如图是一个已标有部分数据的四边形，若添加一个条件，能使四边形是平行四边形，则这个条件可以是：_____（写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题先通过已知的和，计算得出，依据“同旁内角互补，两直线平行”得到，再结合平行四边形的判定定理，得出添加，或、等条件，都能判定四边形是平行四边形． 【详解】解：已知  ， ，则， 根据同旁内角互补，两直线平行，可得， 根据平行四边形的判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，或两组对边分别平行的四边形是平行四边形， 因此添加，或、都可判定四边形是平行四边形． 故这个条件可以是：，答案不唯一，也可填、等． 【跟踪专练2】如图，在四边形中，，要使为平行四边形，下列添加的条件不能是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行四边形的判定定理逐项判断即可． 【详解】解：A．∵，， ∴四边形为平行四边形，故此选项不符合题意； B．∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形，故此选项不符合题意； C．当，时，四边形可能为等腰梯形， 所以不能证明四边形为平行四边形，故此选项符合题意； D．∵，， ∴四边形为平行四边形，故此选项不符合题意． 题型07.证明四边形是平行四边形 【典例】如图，将两张对边平行的纸条交叉叠放在一起，则重合部分构成的四边形______平行四边形（填“是”或“不是”）． 【答案】是 【详解】解：由题意已知， 四边形为平行四边形， 故答案为：是． 【跟踪专练1】如图，四边形的对角线，交于点，，．当_____时，四边形是平行四边形． 【答案】8 【分析】本题考查了平行四边形的判定，掌握对角线互相平分的四边形是平行四边形是解题的关键． 已知对角线互相平分，根据平行四边形判定定理，需对角线也互相平分，从而计算的长度． 【详解】解：∵已知 ，即对角线被点平分． ∴要使四边形是平行四边形，对角线也必须被点平分，即 ∵，且 ∴ 当时，四边形是平行四边形． 故答案为：． 【跟踪专练2】下列条件中，不能判定四边形是平行四边形的是（   ） A． B． C．，其中O为对角线与的交点； D． 【答案】D 【分析】根据平行四边形的判定定理分别进行分析即可． 【详解】解：A、， 四边形是平行四边形，故此选项不合题意； B、， 四边形是平行四边形，故此选项不合题意； C、， 四边形是平行四边形，故此选项不合题意； D、∵， ∴四边形是梯形或平行四边形，故此选项符合题意． 题型08.利用平行四边形判定与性质求解 【典例】在四边形中，，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先证明四边形是平行四边形，再根据平行四边形的对角相等，由此即可得到答案． 【详解】∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴． 【跟踪专练1】如图，在四边形中，，且，，，点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以的速度由点A向点D运动，点Q以的速度由点C向点B运动，__________后直线将四边形截出一个平行四边形． 【答案】4或6 【分析】设秒时，直线将四边形截出一个平行四边形，，根据平行四边形的性质，可得或，列方程并解方程即可求出t值． 【详解】解：设t秒时，直线将四边形截出一个平行四边形， 根据题意得：， ∵直线将四边形截出一个平行四边形，， ∴或， ∴ 或 解得或， 即4或后直线将四边形截出一个平行四边形． 【跟踪专练2】如图，在中，，分别是边，上的点，且，连接交于点，连接，，若，，则的面积为（    ） A．4 B．6 C．8 D．1 【答案】C 【分析】由题意先判断四边形和四边形都是平行四边形，再根据，可得，再根据比例关系即可求解． 【详解】解：∵,, ∴, ∵ ∴四边形和四边形都是平行四边形， ∵， ∴， ∵， ， ∴． 题型09.利用平行四边形性质与判定证明 【典例】如图，在等腰中，，，E，M，F分别是，，上的点，并且，，则四边形的周长是_______． 【答案】26 【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，解题的关键是掌握以上知识点． 根据题意得出四边形是平行四边形，进而根据等边对等角以及平行线的性质可得，得出，则，进而根据平行四边形的性质，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ， ∵， ， ， ， ， ， ， ， ∴平行四边形的周长为， 故答案为：26． 【跟踪专练1】如图，平行四边形的对角线交于点O，E，F是对角线上两点，添加一个能判定四边形是平行四边形的条件：________． 【答案】E，F分别是，的中点（答案不唯一） 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键． 首先由平行四边形得到，，然后结合中点性质得到，即可判定四边形是平行四边形． 【详解】添加的条件：E，F分别是，的中点 证明：四边形是平行四边形， ，， 、F分别是、的中点， ，， ， 四边形是平行四边形． 【跟踪专练2】如图，在平行四边形中，，，、的交点O在上，则图中面积相等的平行四边形有（　　） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 【答案】C 【分析】先证明四边形，四边形，四边形，四边形都是平行四边形，四边形，四边形，四边形，四边形都是平行四边形．利用平行四边形的性质得出，，．则，即，则，，即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，． ∵，， ∴四边形，四边形，四边形，四边形，四边形，四边形，四边形，四边形都是平行四边形． ∵四边形是平行四边形， ∴． ∵是平行四边形的对角线， ∴， ∵是平行四边形的对角线， ∴． ∴，即， ∴， 同理， 即：，，， 综上有3对面积相等的平行四边形． 题型10.平行四边形性质与判定应用 【典例】如图，，，，，点，为垂足，则下列说法中错误的是（    ） A． B．直线，之间的距离是线段的长 C． D．直线，之间的距离是线段的长 【答案】B 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，平行线间的距离，根据平行四边形的性质可判断A选项，根据点到直线的距离为垂线段的长度，平行线间的距离处处相等，可判断BCD选项． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴；故A选项正确，不符合题意； ∵，，， ∴A、B两点间的距离就是线段或的长，故选项B错误，符合题意； ∵，，， ∴；故选项C正确，不符合题意； ∵，，， ∴A、B两点间的距离就是线段或的长，故选项D正确，不符合题意； 故选：B． 【跟踪专练1】如图，，，，的面积为6，则四边形的面积为_____． 【答案】20 【分析】本题考查了平行线间的距离、三角形面积公式及梯形面积公式的应用，解题的关键是通过三角形面积求出平行线间的距离，进而计算四边形的面积． 由点B、C、E的排列顺序及已知长度求出的长；利用的面积和的长度求出与之间的距离（高）；根据与平行，确定四边形为梯形，结合梯形面积公式计算其面积． 【详解】∵点B、C、E在同一直线上且顺次排列，，， ∴． 设与之间的距离为（即的高）， ∵的面积为6，由三角形面积公式得：， 即，解得． ∵，在上， ∴，又, 四边形是平行四边形，其中，，高为． 由平行四边形面积公式得：四边形的面积． 故答案为：． 【跟踪专练2】在中，，满足下列条件，不一定能构成平行四边形的是（     ） A．四个内角平分线围成的四边形 B．过四个顶点作对边的高线围成的四边形 C．以对角线的交点把对角线分成的四部分的中点为顶点的四边形 D．以一条对角线上的两点，与另两个顶点为顶点的四边形． 【答案】D 【详解】解：A、的四个内角平分线围成的四边形是平行四边形，不符合题意，选项错误； B、过四个顶点作对边的高线围成的四边形是平行四边形，不符合题意，选项错误； C、以对角线的交点把对角线分成的四部分的中点为顶点的四边形是平行四边形，不符合题意，选项错误； D、以一条对角线上的两点与另两个顶点为顶点的四边形不一定是平行四边形，符合题意，选项正确． 题型11.三角形中位线的求解 【典例】如图，在中，，分别是边，的中点，，则的长为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，熟练掌握“三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半”是解题的关键． 根据三角形中位线的判定，确定是的中位线，再利用中位线定理求的长度． 【详解】解：∵，分别是边，的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 【跟踪专练1】如图，在中，，点分别是三边的中点，且，则______． 【答案】 【分析】根据线段中点的定义求出斜边的长，再根据三角形中位线定理解答即可求解． 【详解】解：∵点是的中点，， ， ∵点分别是的中点， 是的中位线， ． 【跟踪专练2】如图，四边形是平行四边形，对角线交于点是的中点，以下说法错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行四边形的性质，可得，，由此可判定B正确，不符合题意；进而得到是的中位线，是的中位线，利用中位线性质以及平行线性质，可得，，由此判定A、C正确，不符合题意；由已知条件，无法判定，故D错误，符合题意． 【详解】解： 四边形是平行四边形， ，，故B正确， E是的中点， 是的中位线，是的中位线， ，，故A正确， ， ，故C正确，不符合题意， 由已知条件，不能得到，故不能判定，故D错误，符合题意． 题型12.三角形中位线的证明 【典例】如图，点，，分别是各边上的中点，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了三角形中位线的性质和判定，平行线的性质，首先得到，是的中位线，得到，，然后根据平行线的性质求解即可． 【详解】∵点，，分别是各边上的中点， ∴，是的中位线 ∴， ∴ ∵ ∴． 故选：C． 【跟踪专练1】如图，对“三角形中位线定理” 进行拓展思考，可以提出以下三个命题： ①若，则． ②若，则是的中位线． ③若，则． 以上命题是假命题有__________________(填序号) 【答案】③ 【分析】本题考查了命题与定理以及三角形中位线定理，掌握平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质是解答本题的关键． ①是真命题，过点作交边于点，连接，证明四边形是平行四边形得，，再证明四边形是平行四边形得，，然后证明四边形是平行四边形可证结论成立； ②是真命题，作交的延长线于点，证明四边形是平行四边形得，．再证明得，，进而可证结论成立； ③是假命题，画出图形说明即可． 【详解】解：命题①是真命题，理由： 证明：过点作交边于点，连接， 又， 四边形是平行四边形， ，， ∵， ， 四边形是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）， ，， ， 四边形是平行四边形， ∴， ∴， 命题②是真命题，理由： 证明：如图，作交的延长线于点， ∵， ∴四边形是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）， ，． ∵， ∴， ， ∵， ∴， ， ，， ∴ 是的中位线． ③是假命题，如图，满足，但．故③是假命题． 故答案为：③． 【跟踪专练2】如图，在中，E，F分别是，的中点，连接，，G，H分别是，的中点，连接，若，则的长度是（     ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】如图，连接并延长交于，连接，过作交延长线于，根据平行四边形的性质得到；再说明，根据直角三角形的性质和勾股定理可得、，根据全等三角形的性质得到，进而求得，再由勾股定理可得，最后运用三角形的中位线定理即可解答． 【详解】解：连接并延长交于，过作交延长线于， ∵四边形是平行四边形， ， ∵点分别是边的中点，， ， ， ， ， ∵， ， 在与中， ， ， ， ， ， ， ∵点是的中点，， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形的中位线定理、勾股定理，直角三角形的性质等知识点，正确的作出辅助线、构造全等三角形是解题的关键． 题型13.三角形中位线的实际应用 【典例】如图，小张要测量池塘两岸相对的A，B两点间的距离，可以在池塘外选一点，连接，，分别取，的中点D，E，测得，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意三角形中位线定理得到，据此求解即可． 【详解】解：点D，E分别是，的中点 ， 是的中位线 ， ． 【跟踪专练1】如图，数学实践活动中，为了测量校园内被花坛隔开的，两点间的距离，同学们在外选择一点，测得，,，两边中点的距离，则，两点间的距离是_____． 【答案】 【分析】根据中位线定理得到，即可求解． 【详解】解：由题可得：、为、的中点， 是的中位线， ， ， ． 【跟踪专练2】如图，为了测量池塘边两地之间的距离，在的同侧取一点，连接并延长至点，连接并延长至点，使得，，若测得，则间的距离是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形中位线定理解答即可． 【详解】解：，， 分别是的中点， 是的中位线， ， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理，熟练掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键． 题型14.平行四边形与折叠问题 【典例】如图，在中，点E在边上，以为折痕，将向上翻折，使点A恰好落在边上的点F处．若的周长为8，的周长为32，则的周长为 ______． 【答案】40 【分析】本题考查了平行四边形的性质及图形翻折的性质．利用平行四边形的性质和折叠的性质，分别找出、与平行四边形边长的关系，进而求出平行四边形的周长． 【详解】解：由题意知， ，， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∵由翻折得到， ∴，， ∴，， ∴， 即平行四边形的周长为40． 故答案为：40． 【跟踪专练1】如图，在平行四边形中，，点在边上，连接，将三角形沿折叠，若点落在延长线上的点处，则的长为( )． 【答案】1. 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，翻折的性质，线段的和差，解题的关键是熟练掌握以上性质． 利用翻折的性质和条件证明为等边三角形，求出，再利用平行四边形的性质和线段的和差求解． 【详解】解：根据翻折的性质得，， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 故答案为：1． 【跟踪专练2】如图，将纸片折叠(折痕为)，使点A落在上，记作①；展平后再将折叠(折痕为)，使点D落在上，记作②；展平后继续折叠，使落在直线上，记作③；重新展平，记作④．若，则图④中线段的长度为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】图中，连接，延长交于；由题意易知：，，是的中位线，，则可求出的长度，即可解决问题． 【详解】解：如图中，连接，延长交于．    ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 由折叠得：， ∴， ∴，， ，， 由折叠知：G、H分别是的中点， ∴是的中位线， ，，， ∴， ，， 是的中位线， ； 故选：． 【点睛】本题考查翻折变换，平行四边形的性质，三角形的中位线定理，等腰三角形的判定，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，属于中考选择题中的压轴题． 【跟踪专练3】如图1，在中，O是对角线的中点，过点O的直线分别与，交于点E，F，将四边形沿折叠得到四边形，点M在上方，交线段于点T，交线段于点H，交线段于点G，连接． (1)求证：； (2)求证：； (3)如图2，若，求、的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)4； 【分析】（1）根据平行四边形的性质，证明，得到．根据折叠性质，得到．等量代换即可得证． （2）根据平行四边形的性质，折叠的性质，证明，，继而证明，延长交的延长线于点K，延长交的延长线于点L，证明，得到，，根据等腰三角形的三线合一性质即可证明． （3）过点H作交的延长线于点Q，过点O作于点R，连接，过点C作于点K，得到，根据折叠的性质，勾股定理等证明是等腰直角三角形，再利用勾股定理解答即可． 【详解】（1）证明：， ∴，， ∴．， 在和中， ∵， ∴， ∴． ∵四边形沿折叠得到四边形， ∴． ∴． （2）证明：∵四边形沿折叠得到四边形， ∴，，，， ， ∴，， ∴，，， ∴，， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 延长交的延长线于点K，延长交的延长线于点L， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴，， ∴． （3）解：过点H作交的延长线于点Q，过点O作于点R，连接， ，， ， ， ， ， ， ， ， 过点C作于点K， ，， ， ， 根据折叠的性质，得， ； ，， ， ， ，， ， ， 是等腰直角三角形， ，， ， ， ， 根据（2）证明，得， ， ， ． 题型15.平行四边形与动点问题 【典例】如图，中，，，为边上的一动点，以，为边作平行四边形，则线段长度的最小值为（   ） A．6 B．8 C． D． 【答案】D 【分析】根据平行四边形的性质可知，当时，最小，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， ∵为边上的一动点， ∴时有最小值，即有最小值， 此时在中，，， ， 即最小值为． 【跟踪专练1】如图，在中，，，．H、G分别是上的动点，连接，分别为的中点，则的最小值是（    ） A．4 B．6 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理，直角三角形的性质，勾股定理，垂线段最短，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．连接，过点作于，由平行四边形的性质得到，得出，求出，求出，由三角形中位线定理得到，当时，有最小值，即有最小值，当点与点重合时，的最小值为，得到 的最小值为，即可得到答案． 【详解】解：如图，连接，过点作于点， 四边形是平行四边形，， ， ， ， ， ， 分别为的中点， ， 当时，有最小值，即有最小值， 当点与点重合时，的最小值为， 的最小值为， 故选：D． 【跟踪专练2】如图，在中，，，点为直线上一动点，连接，，若，则的最小值为______． 【答案】 【分析】作点关于的对称点，连接，，设交于点，则即为的最小值，由轴对称的性质可得：，，在中，根据勾股定理可得，即，所以，则，然后通过勾股定理求出即可． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接，，设交于点， 则即为的最小值， 由轴对称的性质可得：，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，根据勾股定理可得：，即， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 在中，根据勾股定理可得：， ∴的最小值为． 【跟踪专练3】如图，在中，对角线，相交于点，，，为直线上的两个动点（点，始终在的外面），连接，，，． (1)若，，求证：四边形为平行四边形； (2)若，，四边形________平行四边形；（填“是”或“不是”） (3)若，（为大于的正整数），四边形________平行四边形．（填“是”或“不是”） 【答案】(1)证明见解析 (2)是 (3)是 【分析】（1）由平行四边形的性质可知，再证明，然后由平行四边形的判定即可得出结论； （2）（3）根据对角线互相平分的四边形是平行四边形分别判定即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ， ， ， ， ∴四边形为平行四边形； （2）解：， ， ，即， 又， ∴四边形为平行四边形， 即若，，四边形是平行四边形； （3）解：∵，，， ， ，即， 又， ∴四边形为平行四边形， 即若，，四边形为平行四边形． 题型16.平行四边形最值问题 【典例】如图，在面积为24的中，，点为边上的一点，连接，则的最小值为___________． 【答案】10 【分析】本题考查平行四边形面积公式，轴对称的性质，三角形三边关系，勾股定理；作C点关于的对称点，连接，，，由轴对称的性质可得，，，所以，当P点与F点重合时时有最小值即为的长度，再根据平行四边形面积公式和勾股定理计算出的长度即可. 【详解】解：作C点关于的对称点，连接，，，如图所示， 由轴对称的性质可得，，， ∴ 当P点与F点重合时时有最小值即为的长度， ∵的面积为24 ∴ ∴ ∴ ∵四边行是平行四边形 ∴ ∴ 在中， ∴的最小值为10， 故答案为：10 【跟踪专练1】如图，中，点为线段上一动点，过点作于点，连接，点为中点，连接．则的最小值为______． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，等边三角形判定和性质，三角形中位线的性质等，延长到点，使，连接，由平行四边形的性质和等腰三角形的性质可得，即得，进而可得是等边三角形，得到，即得，又由三角形中位线的性质可得，可知当时，最小，此时为等腰直角三角形，，利用勾股定理解答即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，延长到点，使，连接， ∵四边形是平行四边形， ∴， ， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∵于点， ∴， ∴， ∵，， ∴垂直平分， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵点为中点，， ∴， 当时，最小，此时为等腰直角三角形，， ∴， 即的最小值为， ∴的最小值为， 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，在中，，，．点，分别是线段，上的两动点，且，连接，，则的最小值为________．    【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，勾股定理，两点之间，线段最短，过点B作且使，连接，，证明，得进而可得，再由两点之间线段最短可得：，所以当点在上时，有最小值为，利用勾股定理计算即可，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 【详解】解：过点B作且使，连接，，    ∵， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 由两点之间线段最短可得： ，所以当点在上时，有最小值, 即有最小值为， ∵，， ∴， ∴， ∴中，， ∴最小值为：， 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，在中，，，，是对角线上的动点，连接．求的最小值． 【答案】 【分析】过点作于点，则．根据“垂线段最短”得当时，为最小，最小值是线段的长，在中，根据得，，进而得，，然后由三角形的面积公式得，由此可得出的最小值． 【详解】解：如图，过点作于点，则． ， ， ， ． ∵四边形是平行四边形， ， ， ． ∵点在对角线上运动，是锐角三角形， ∴当时，取得最小值． 由平行四边形的性质知，， ∴此时， ， 的最小值为． 【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质，垂线段最短，灵活运用含有角的直角三角形的性质，勾股定理及三角形的面积公式进行计算是解决问题的关键． 解答题 1．如图，在平行四边形中，点是的中点，连接，交的延长线于点，且平分．求证：． 【答案】见解析 【分析】根据平行四边形的性质结合已知条件，证明，根据全等三角形的性质即可得证． 【详解】证明：四边形是平行四边形， ，即    ， 点是的中点， 在和中，      2．如图，在中，对角线，交于点，．若，． (1)求的长； (2)求的面积． 【答案】(1)3 (2)24 【分析】（1）利用平行四边形性质求出，再利用勾股定理求解，即可解题； （2）根据平行四边形面积公式求解，即可解题． 解题的关键在于熟练掌握平行四边形性质． 【详解】（1）解：， ， 四边形是平行四边形， ，， ； （2）解：． 3．如图，在四边形中，，，，，．动点从点出发，沿射线的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点同时从点出发，在线段上以每秒1个单位长的速度向点运动，当其中一个动点到达端点时另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为（秒）． (1)设的面积为，请用含的式子表示； (2)当为何值时，四边形是平行四边形？ (3)当为何值时，的长度为？ 【答案】(1) (2)当时，四边形是平行四边形 (3)当或时，的长度为 【分析】（1）由题可知：，，则，可得点到的距离等于的长，再由求解即可； （2）若要使四边形为平行四边形，只需，得到，即可求解； （3）过点作于点，可得四边形为平行四边形，则，，，然后对运用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，点运动到点需要：（秒），点运动到点需要：（秒）， ∵其中一个动点到达端点时运动停止， ∴的取值范围是， 由题可知：，，则， ∵， ∴ ∵， ∴点到的距离等于的长， ∴； （2）解：∵，点在上，点在上， ∴， 若要使四边形为平行四边形，只需， 即： 解得： 经检验，在范围内，符合题意， ∴当时，四边形是平行四边形； （3）解：过点作于点，则 ∵， ∴， ∴ 又 ∴四边形为平行四边形， ∴，， 在中，由勾股定理得： 其中，，， ∴ ∴ 由此可得两种情况： ①当时，解得 ②当时：解得 经检验，和均在范围内，均符合题意， ∴当或时，的长度为． 4．如图，在中，点，分别是，的中点，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若平分，，求的周长． 【答案】(1)见解析； (2)36． 【分析】（）由平行四边形的性质和中点的性质可得，即可得结论； （）由角平分线的定义和平行线的性质可证，即可求解； 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，． ∵点，分别是，的中点， ∴，， ∴． 又∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的周长为． 5．如图，在四边形中，E是的中点，交于点F，，连接 (1)求证：； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了三角形的中位线定理，平行四边形的判定与性质，勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． 对于，根据三角形中位线定理得到，根据平行四边形的判定定理得到四边形为平行四边形，进而得证； 对于，首先推导出，在中，利用勾股定理进行计算即可解答． 【详解】（1）证明：是的中点， ， ， 是的中位线， ， ， ， 四边形为平行四边形， ； （2）解：由知，是的中位线，四边形为平行四边形， ， ， ， 在中，，， 由勾股定理得： 6．如图1，在中，为的中点，为的延长线上一点，连接交于点，过点作交的延长线于点，连接，且． (1)求证：； (2)若，，，求的长． (3)如图2，若，，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）延长至点，使，连接、，构造全等三角形，得到，，则，易知垂直平分，根据垂直平分线的性质可得，结合已知的，等量代换即可证得是直角三角形，，再根据平行线的性质即可得证； （2）根据含角直角三角形的性质以及勾股定理可求得，的长，设，则，在中，根据勾股定理可表示出，再结合已知的，列方程求解即可； （3）取的中点，连接，根据中位线的判定与性质可求得的长，在中，利用勾股定理可求得的长，根据线段之间的和差关系可求得的长，设，在中，根据勾股定理可表示出，再结合已知的，列方程求解的长，最后根据三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）证明：延长至点，使，连接、， 为的中点， ， 在和中， ， ， ，， ， ，， 垂直平分， ， ， ， 是直角三角形，， ， ； （2）解：在中，，， ，，， 设，则， ， ， 在中，， ， ，解得， 即； （3）解：如图，取的中点，连接， 为的中点， 是的中位线， ，， , 在中，， ， 为的中点， ， ， 设，则， ，， ，即， 解得， 即， 的面积为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09平行四边形复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.吃透平行四边形性质 + 3 类判定，辨清性质与判定逻辑 2.熟记三角形中位线定理，会证会用 3.掌握平行四边形与三角形的转化思路 1.规范书写几何证明，步骤有依据 2.快速解边长 / 角度 / 面积计算，精准证平行四边形 3.灵活应对性质、判定与中位线的综合题 1.基础题不丢分，中档题稳拿分 2.避开判定条件不全、中位线 / 中线混淆等易错坑 3.轻松破解平行四边形综合探究题 题型01.利用平行四边形性质求解 题型02.利用平行四边形性质证明 题型03.平行四边形性质的应用 题型04.等腰题型的定义与性质 题型05.数与构平行四边形的个数 题型06.判定与补条件构平行四边形 题型07.证明四边形是平行四边形 题型08.利用平行四边形判定与性质求解 题型09.利用平行四边形性质与判定证明 题型10.平行四边形性质与判定应用 题型11.三角形中位线的求解 题型12.三角形中位线的证明 题型13.三角形中位线的实际应用 题型14.平行四边形与折叠问题 题型15.平行四边形与动点问题 题型16.平行四边形最值问题 解答题6题 知识点 01. 平行四边形的定义及表示 定义：两组对边分别平行的四边形，叫做平行四边形。 表示：用符号□表示，平行四边形ABCD记作□ABCD，读作 “平行四边形ABCD”。 平行四边形基本元素：边、角、对角线。 知识点02:平行四边形核心性质(必考.知平行四边形推边角特征) 维度 性质 几何语言 边 对边平行且相等 AB∥CD，AB=CD；AD∥BC，AD=BC 角 对角相等，邻角互补 ∠A=∠C，∠B=∠D；∠A+∠B=180∘ 对角线 互相平分 AO=OC，BO=OD 面积 S=底×对应高（S=ah） 同底等高的平行四边形面积相等 知识点03:平行四边形的判定定理（核心，知边角特征推平行四边形） 判定方法 文字条件 几何语言 定义法 两组对边分别平行 ∵AB∥CD, AD∥BC ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形 两组对边分别相等 两组对边分别相等 ∵AB=CD, AD=BC ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形 一组对边平行且相等 一组对边平行且相等 ∵AB∥CD 且 AB=CD ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形 对角线互相平分 对角线互相平分 ∵OA=OC, OB=OD ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形 知识点04:三角形的中位线 一、核心定义 三角形的中位线：连接三角形两边中点的线段。 一个三角形有3 条中位线，与三角形中线（连接顶点与对边中点）不同。 二、核心定理（三角形中位线定理） 内容：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。 几何语言：在△ABC 中，若 M、N 分别是 AB、AC 中点，则MN∥BC，且 MN=BC。 高频雷区（避坑 = 提分，一眼避开） 1.混淆性质：平行四边形对角线互相平分≠相等（矩形才具备对角线相等） 2.对称性误区：是中心对称，不是轴对称，无对称轴 3.书写漏洞：用性质前必须先写 “四边形 ABCD 是平行四边形”，做到有据可依 4.计算陷阱：求边长 / 对角线时，结合 “三角形三边关系” 验证，避免取值无效 题型01.利用平行四边形性质求解 【典例】如图，在平行四边形中，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，在中，，由尺规作图的痕迹，则的度数为________． 【跟踪专练2】如图，平行四边形中，的平分线交于点，若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 题型02.利用平行四边形性质证明. 【典例】如图，是的边上的点，是中点，连接并延长交于点，连接与相交于点，若，，则阴影部分的面积为________． 【跟踪专练1】如图，在中，过点D作，垂足为E，过上一点F作，垂足为G，交于P，连接，．过F作，垂足为H．连接．若，，．则____________________ ． 【跟踪专练2】如图，在中，对角线相交于点，过点作交于点，若，则的长为（   ） A． B．6 C． D．8 题型03.平行四边形性质的应用 【典例】如图，已知点，将线段向左平移三个单位长度，则线段扫过的面积为（　　） A．3 B．6 C． D． 【跟踪专练1】平行四边形两邻边分别是4和6，其中一边上的高是3，则平行四边形的面积是______． 【跟踪专练2】如图，面积为的三角形沿方向平移至三角形的位置，平移的距离是边的2倍，则图中四边形的面积为（    ）    A． B． C． D． 题型04.等腰题型的定义与性质 【典例】如图，找一点D，使是一个梯形．D点共有（   ）种不同的选法． A．2 B．3 C．4 D．5 【跟踪专练1】如图，四边形是等腰梯形，O是坐标原点，A，C的坐标分别是，，则B点坐标是（   ） A． B． C． D．无法确定 【跟踪专练2】已知高为的梯形中，， 是锐角，，，，那么梯形的面积为________． 【跟踪专练3】如图，在等腰梯形中，，，，求___________． 题型05.数与构平行四边形的个数. 【典例】在中，，则图中平行四边形的个数是（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【跟踪专练1】已知平面直角坐标系中、、，若以A、B、C、D点为顶点作平行四边形，则点D的坐标为______． 【跟踪专练2】如图，，若，则_____；图中共有_____个平行四边形． 题型06.判定与补条件构平行四边形 【典例】在四边形中，，要使四边形是平行四边形，则需添加一个条件，其中错误的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图是一个已标有部分数据的四边形，若添加一个条件，能使四边形是平行四边形，则这个条件可以是：_____（写出一个即可）． 【跟踪专练2】如图，在四边形中，，要使为平行四边形，下列添加的条件不能是（ ） A． B． C． D． 题型07.证明四边形是平行四边形 【典例】如图，将两张对边平行的纸条交叉叠放在一起，则重合部分构成的四边形______平行四边形（填“是”或“不是”）． 【跟踪专练1】如图，四边形的对角线，交于点，，．当_____时，四边形是平行四边形． 【跟踪专练2】下列条件中，不能判定四边形是平行四边形的是（   ） A． B． C．，其中O为对角线与的交点； D． 题型08.利用平行四边形判定与性质求解 【典例】在四边形中，，，若，则（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，在四边形中，，且，，，点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以的速度由点A向点D运动，点Q以的速度由点C向点B运动，__________后直线将四边形截出一个平行四边形． 【跟踪专练2】如图，在中，，分别是边，上的点，且，连接交于点，连接，，若，，则的面积为（    ） A．4 B．6 C．8 D．1 题型09.利用平行四边形性质与判定证明 【典例】如图，在等腰中，，，E，M，F分别是，，上的点，并且，，则四边形的周长是_______． 【跟踪专练1】如图，平行四边形的对角线交于点O，E，F是对角线上两点，添加一个能判定四边形是平行四边形的条件：________． 【跟踪专练2】如图，在平行四边形中，，，、的交点O在上，则图中面积相等的平行四边形有（　　） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 题型10.平行四边形性质与判定应用 【典例】如图，，，，，点，为垂足，则下列说法中错误的是（    ） A． B．直线，之间的距离是线段的长 C． D．直线，之间的距离是线段的长 【跟踪专练1】如图，，，，的面积为6，则四边形的面积为_____． 【跟踪专练2】在中，，满足下列条件，不一定能构成平行四边形的是（     ） A．四个内角平分线围成的四边形 B．过四个顶点作对边的高线围成的四边形 C．以对角线的交点把对角线分成的四部分的中点为顶点的四边形 D．以一条对角线上的两点，与另两个顶点为顶点的四边形． 题型11.三角形中位线的求解 【典例】如图，在中，，分别是边，的中点，，则的长为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【跟踪专练1】如图，在中，，点分别是三边的中点，且，则______． 【跟踪专练2】如图，四边形是平行四边形，对角线交于点是的中点，以下说法错误的是（    ） A． B． C． D． 题型12.三角形中位线的证明 【典例】如图，点，，分别是各边上的中点，，则（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，对“三角形中位线定理” 进行拓展思考，可以提出以下三个命题： ①若，则． ②若，则是的中位线． ③若，则． 以上命题是假命题有__________________(填序号) 【跟踪专练2】如图，在中，E，F分别是，的中点，连接，，G，H分别是，的中点，连接，若，则的长度是（     ） A． B． C． D．2 题型13.三角形中位线的实际应用 【典例】如图，小张要测量池塘两岸相对的A，B两点间的距离，可以在池塘外选一点，连接，，分别取，的中点D，E，测得，则的长是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，数学实践活动中，为了测量校园内被花坛隔开的，两点间的距离，同学们在外选择一点，测得，,，两边中点的距离，则，两点间的距离是_____． 【跟踪专练2】如图，为了测量池塘边两地之间的距离，在的同侧取一点，连接并延长至点，连接并延长至点，使得，，若测得，则间的距离是（    ）    A． B． C． D． 题型14.平行四边形与折叠问题 【典例】如图，在中，点E在边上，以为折痕，将向上翻折，使点A恰好落在边上的点F处．若的周长为8，的周长为32，则的周长为 ______． 【跟踪专练1】如图，在平行四边形中，，点在边上，连接，将三角形沿折叠，若点落在延长线上的点处，则的长为( )． 【跟踪专练2】如图，将纸片折叠(折痕为)，使点A落在上，记作①；展平后再将折叠(折痕为)，使点D落在上，记作②；展平后继续折叠，使落在直线上，记作③；重新展平，记作④．若，则图④中线段的长度为（    ）    A． B． C． D． 【跟踪专练3】如图1，在中，O是对角线的中点，过点O的直线分别与，交于点E，F，将四边形沿折叠得到四边形，点M在上方，交线段于点T，交线段于点H，交线段于点G，连接． (1)求证：； (2)求证：； (3)如图2，若，求、的长． 题型15.平行四边形与动点问题 【典例】如图，中，，，为边上的一动点，以，为边作平行四边形，则线段长度的最小值为（   ） A．6 B．8 C． D． 【跟踪专练1】如图，在中，，，．H、G分别是上的动点，连接，分别为的中点，则的最小值是（    ） A．4 B．6 C． D． 【跟踪专练2】如图，在中，，，点为直线上一动点，连接，，若，则的最小值为______． 【跟踪专练3】如图，在中，对角线，相交于点，，，为直线上的两个动点（点，始终在的外面），连接，，，． (1)若，，求证：四边形为平行四边形； (2)若，，四边形________平行四边形；（填“是”或“不是”） (3)若，（为大于的正整数），四边形________平行四边形．（填“是”或“不是”） 题型16.平行四边形最值问题 【典例】如图，在面积为24的中，，点为边上的一点，连接，则的最小值为___________． 【跟踪专练1】如图，中，点为线段上一动点，过点作于点，连接，点为中点，连接．则的最小值为______． 【跟踪专练2】如图，在中，，，．点，分别是线段，上的两动点，且，连接，，则的最小值为________．    【跟踪专练3】如图，在中，，，，是对角线上的动点，连接．求的最小值． 解答题 1．如图，在平行四边形中，点是的中点，连接，交的延长线于点，且平分．求证：． 2．如图，在中，对角线，交于点，．若，． (1)求的长； (2)求的面积． 3．如图，在四边形中，，，，，．动点从点出发，沿射线的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点同时从点出发，在线段上以每秒1个单位长的速度向点运动，当其中一个动点到达端点时另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为（秒）． (1)设的面积为，请用含的式子表示； (2)当为何值时，四边形是平行四边形？ (3)当为何值时，的长度为？ 4．如图，在中，点，分别是，的中点，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若平分，，求的周长． 5．如图，在四边形中，E是的中点，交于点F，，连接 (1)求证：； (2)若，，，求的长． 6．如图1，在中，为的中点，为的延长线上一点，连接交于点，过点作交的延长线于点，连接，且． (1)求证：； (2)若，，，求的长． (3)如图2，若，，，求的面积． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $