第三单元长方形和正方形（同步练习）-2025-2026学年三年级下册数学人教版

第三单元教材母题精析 例把18幅绘画作品贴在一起，做一个“绘画园地”。要在“绘画园地”的四周贴上花边。 怎样设计“绘画园地”，才能使贴的花边最少? 分析每幅作品都是边长2分米的正方形，总面积是固定的，周长越小，花边越少，而长方形越接近正方形，周长越小，18幅作品贴在一起，可以排1行，也可以排2行，还可以排3行，所以排3行时花边最少，此时一行有6幅作品。(贴法合理即可，也可以是排6行，一行有3幅作品) 解答 反馈练习 1.把20幅边长为5分米的正方形绘画作品拼在一起，做一个“绘画园地”，如果四周要围上花边，怎样设计围的花边最少?需要多少分米的花边? 2.用30张边长是1厘米的正方形纸拼长方形。拼成周长最短的图形，周长是多少厘米? 学科网（北京）股份有限公司 第三单元压轴思维拓展 极速提分2招 第 1 招 通过分类讨论解决数图形问题 例1 数一数，图中有( )个长方形。 分析由题可知，图中大长方形是由5个相同的小长方形排成一排组成的，因此可以把1个小长方形当作基本图形，然后按组成的长方形的基本图形的个数来分类。 (1)单个的长方形有5个，如下图： ① ② ③ ④ ⑤ (2)由2个小长方形组成的长方形有4个:①②,②③,③④,④⑤; (3)由3个小长方形组成的长方形有3个:①②③,②③④,③④⑤; (4)由4个小长方形组成的长方形有2个:①②③④,②③④⑤; (5)由5个小长方形组成的长方形有1个:①②③④⑤。 从上面的分类讨论可以发现，图中长方形的总数量为5+4+3+2+1=15(个)。那么可以总结：数长方形总个数的问题，可以取小长方形为基本图形，运用分类讨论法解决问题，即基本图形的个数+(基本图形个数-1)+(基本图形个数-2)+…+1。 解答 反馈练习 1.数一数，图中一共有( )个长方形。 2.如图是由小正方形组成的图形，图中有( )个长方形。 3.数一数，图中有( )个正方形。 技巧归纳 数图形题型可按边长、形状(正、斜)分类，分别统计不同大小的图形数量后求和，确保不重复不遗漏。 第 2 招 求拼接后图形的周长 例2 将5个完全相同的小长方形拼成一个如图所示的大长方形，每个小长方形的长是8厘米，拼成的大长方形的周长是多少厘米? 分析 5个同样的小长方形正好拼成一个大长方形，由图可知，大长方形的长=小长方形的长+小长方形的宽，大长方形的宽=小长方形的长，同时也是4个小长方形的宽，所以由8÷4=2(厘米)，求出小长方形的宽，再由8+2=10(厘米)，求出大长方形的长，最后根据长方形的周长公式求解。 解答 反馈练习 4.如图，8个同样大小的小长方形和一个边长是4厘米的小正方形拼成了一个边长是8厘米的大正方形，求每个小长方形的周长。 5.如图是由三个同样的长方形拼成的，求拼成的图形的周长。 技巧归纳 解这类拼接后图形的周长题，先找长和宽的关系，求出小长方形的宽，再确定大长方形的长和宽，最后算周长。 学科网（北京）股份有限公司 第三单元 从课本到奥数：平移法求周长 亲爱的同学们，我们已经学习了长方形、正方形的周长计算方法。那你知道该如何求一些复杂图形的周长吗?是啊，我们可以用平移的方法巧妙地把不规则图形转化成学过的规则图形来计算它的周长。赶紧去看看吧！ 初步感悟 例1 想办法算出下面两个图形的周长。(单位：厘米) 我的思考 方法一：“凹”“凸”形可以通过向外、向内平移1条线段，把它们的周长变成长方形的周长加上2条短线段的长度。 这两个图形的周长均为 ，所以这两个图形的周长相等。 方法二：“凹”“凸”形都可以通过向外平移线段，变成大长方形。 学科网（北京）股份有限公司 “凹”形的周长为 ，它的周长( )平移后形成的规则图形的周长。(括号里填“大于”“小于”或“等于”) “凸”形的周长为 ，它的周长( )平移后形成的规则图形的周长。(括号里填“大于”“小于”或“等于”) 深度理解 例2 想办法算出如图两个图形的周长。(单位：厘米) 我的思考 我的验证 我的结论 图形A的周长为 ，它的周长( )平移后形成的规则图形的周长。(括号里填“大于”“小于”或“等于”) 图形 B的周长为 ，它的周长( )平移后形成的规则图形的周长。(括号里填“大于”“小于”或“等于”) 学科网（北京）股份有限公司 实践应用 1.如图，将一个长36分米、宽20分米的长方形的四个角上分别截去一个边长是4分米的正方形。剩余部分的周长是多少分米? 2.小兔子在森林里采完蘑菇准备回家，从森林到家有一实一虚两条路可以选择。请你帮帮小兔子，选择一条更快到家的路，并说明理由。 3.如图所示，5个相同的正方形拼在一起，每个正方形的边长都是2分米，拼好的新图形的周长是多少分米? 参考答案 第三单元教材母题精析 例 2×6=12(分米) 2×3=6(分米) 12+6=18(分米) 18×2=36(分米) 答：将18幅绘画作品排成3行，每行6幅，能使贴的花边最少，最少为36分米。(贴法合理即可) 反馈练习 1.5×5=25(分米) 5×4=20(分米) 25+20=45(分米) 45×2=90(分米) 答：将20幅作品分成4行，每行5幅，能使围的花边最少。最少需要 90 分米的花边。(围法合理即可) 2. 1×6+1×5=11(厘米) 11×2=22(厘米) 答：周长是22厘米。 第三单元 压轴思维拓展 例1 15 反馈练习 1. 18 提示：把6个小长方形当作基本图形，分类讨论组成的长方形个数。单个的长方形有6个；由2个小长方形组成的长方形有7个；由3个小长方形组成的长方形有2个；由4个小长方形组成的长方形有2个；由6个小长方形组成的长方形有 1 个。一共有6+7+2+2+1 =18(个)长方形。 2.6 提示：由2个小正方形组成的长方形有4个，由3个小正方形组成的长方形有2个，共有6个长方形。 3.32 提示：图中有正放和斜放的两种正方形，设最小的正方形的边长是1，正放的正方形可以分成边长为1、2、3、4的4类，斜放的正方形可以按照大小分成2类。正放：边长为1的正方形有 16个，边长为2的正方形有9个，边长为3的正方形有4个，边长为4的正方形有1个；斜放：小正方形有1个，大正方形有1个，所以一共有16+9+4+1+1+1=32(个)正方形。 例2 小长方形的宽:8÷4=2(厘米)大长方形的长:8+2=10(厘米) 10+8=18(厘米) 周长:18×2=36(厘米) 答：拼成的大长方形的周长是36厘米。 反馈练习 4.8-4=4(厘米) 4÷2=2(厘米)8-2=6(厘米) 6÷2=3(厘米)3+2=5(厘米) 5×2=10(厘米) 答：每个小长方形的周长是10厘米。 提示：从题图中可以看出8-4=4(厘米)相当于小长方形的2个宽，因此小长方形的宽是4÷2=2(厘米)。又因为小长方形的两个长与一个宽加起来是8厘米，所以小长方形的长是8-2=6(厘米),6÷2=3(厘米),进而求出小长方形的周长。 5.18-6=12(厘米) 小长方形的宽:12÷3=4(厘米) 小长方形的长:4+6=10(厘米) 18×2=36(厘米) 36+10+10=56(厘米) 答：拼成的图形的周长是56厘米。 提示：小长方形的长+小长方形的宽×2=18厘米，小长方形的长-小长方形的宽=6厘米，据此计算出小长方形的长和宽。然后通过平移边的方法计算图形的周长。 第三单元从课本到奥数 例1 我的思考 (7+5)×2=24(厘米),24+1×2=26(厘米) (7+5)×2=24(厘米),24+1×2=26(厘米) 大于 5+1=6(厘米),(6+7)×2=26(厘米) 等于 例2 我的结论 (12+15)×2=54(厘米) 等于 (12+15)×2=54(厘米), 54+4×2=62(厘米) 大于 实践应用 (36+20)×2=112(分米)1. 答：剩余部分的周长是112分米。 提示：剩余部分的周长等于原来长方形的周长。 2.选择虚线路。理由：虚线路的长度=长方形的长+长方形的宽，实线路的长度>长方形的长+长方形的宽，所以选择虚线路。 提示：如图，通过平移发现虚线路的长度等于长方形周长的一半(即一长加一宽)；实线路的长度大于长方形周长的一半(即一长加一宽)。故而选择虚线路更快到家。 3.1×2+2×3=8(分米) 2+2=4(分米) (8+4)×2=24(分米) 24+2+2=28(分米) 答：拼好的新图形的周长是28分米。 提示：如图所示，通过平移可以将原图形补成一个大长方形，观察可知，新图形的周长=大长方形的周长+2条正方形的边长(图中粗线部分)；先计算出大长方形的长和宽,长是1×2+2×3=8(分米),宽是2+2=4(分米)，大长方形的周长是(8+4)×2=24(分米),那么新图形的周长=24+2+2=28(分米)。 1 学科网（北京）股份有限公司 $