精品解析：河南省信阳高级中学新校（贤岭校区）、老校（文化街校区）2025-2026学年高一下学期04月测试（一）数学试题

河南省信阳高级中学新校（贤岭校区）、老校（文化街校区） 2025-2026学年高一下期04月测试（一） 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，若（i为虚数单位），则实数a的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为，， 所以，所以，所以， 解得或，所以实数a的取值范围是. 2. 设是单位向量，，则四边形一定是（ ） A. 梯形 B. 菱形 C. 矩形 D. 正方形 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用共线向量及向量模的意义判断即得. 【详解】由，得，， 所以四边形一定是菱形. 故选：B 3. 为所在平面上动点，点满足, ,则射线过的 A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心 【答案】B 【解析】 【分析】将变形为，因为和的模长都是1，根据平行四边形法则可得，过三角形的内心. 【详解】 因为和分别是和的单位向量 所以是以和为邻边的平行四边形的角平分线对应的向量 所以的方向与的角平分线重合 即射线过的内心 故选B 【点睛】本题主要考查平面向量的平行四边形法则、单位向量的性质以及三角形四心的性质，属于中档题. 4. 在平行四边形ABCD中，为AB中点，为BC上一点，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为是的中点，， 因为，所以，又， 由题意得，故B正确. 5. 已知向量.若，则向量在向量上的投影向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据向量垂直求得，再根据投影向量公式求解即可. 【详解】由，又， 所以，解得， 所以， 所以向量在向量上的投影向量的坐标为， 6. 下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 对任意非零向量，是和它同向的一个单位向量 D. 零向量没有方向 【答案】C 【解析】 【分析】结合共线向量、单位向量、零向量的定义逐项判断即得. 【详解】对于A，当时，任意向量都与共线，则不一定共线，A错误； 对于B，向量不能比较大小，B错误； 对于C，对任意非零向量，是和它同向的一个单位向量，C正确； 对于D，零向量有方向，其方向是任意的，D错误. 7. 已知三点共线，不共线且在线段上（不含端点），若，则的最小值为（ ） A. 7 B. 4 C. 9 D. 11 【答案】C 【解析】 【分析】首先根据三点共线的充要条件得，然后运用均值定理求最值. 【详解】因为三点共线， 不共线且在线段上， 由可得且, 则， 当且仅当且，解得时，等号成立. 8. 在锐角中，角的对边分别为，为的面积，，且，则的周长的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用面积公式和余弦定理可得，然后根据正弦定理及三角变换可得，再根据三角形是锐角三角形，得到的范围，转化为三角函数求值域的问题. 【详解】， ， ∴，即，为锐角， ∴，又， 由正弦定理可得， 所以 ，其中，， 因为为锐角三角形， 所以，则， 即：， 所以，又， ∴，即， 故的周长的取值范围是. 故选：C. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选的得部分分，有选错的得0分. 9. 的内角的对边分别为，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，，，则有两解 C. 若，，则面积的最大值为 D. 若为钝角三角形，则 【答案】ABC 【解析】 【详解】对于A，若，则， 根据正弦定理（是外接圆半径）， 可得， 所以，即，A正确； 对于B，由正弦定理， 代入得， 因为，且，（即）， 所以可以是锐角或钝角，两种情况均符合三角形内角和为， 所以有两解，B正确； 对于C，由余弦定理得，， 所以， 由基本不等式得，， 则，即， 当且仅当时，等号成立， 所以面积，C正确； 对于D，若为钝角，则由余弦定理得，， 所以，即，D错误. 10. 设，，是非零向量，则下列说法中不正确的是（ ） A. B. C. 若，则 D. 若，，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据向量的数量积、向量乘法、向量的模、相等向量及向量平行逐项分析判断即可. 【详解】选项A：表示与共线的向量，表示与共线的向量，故不正确. 选项B：当时，，所以不正确. 选项C：若，此时与不一定是相等向量，如，故不正确. 选项D：因为，，是非零向量，若，，则，故正确. 11. 下列关于非零复数、的结论正确的有（ ） A. 若，则、互为共轭复数 B. C. 在复平面内对应的点为，且满足，则点所在的区域的面积为 D. 若，则 【答案】BC 【解析】 【分析】利用特殊值法可判断AD选项；利用共轭复数的定义和复数的运算可判断B选项；利用复数模的几何意义可判断C选项. 【详解】对于A选项，不妨取，，则，但、不互为共轭复数，A错； 对于B选项，取，， 所以， ，B对； 对于C选项，因为， 所以表示以点为圆心，半径为的圆及其内部， 表示以点为圆心，半径为的圆及其外部， 所以点所在的区域如下图所示： 故点所在的区域的面积为，C对； 对于D选项，不妨取，，则， 但，，即，D错. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在中，，则的最小内角的余弦值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】由正弦定理可得是最小的角，设，再由余弦定理可得答案. 【详解】由正弦定理可得， 可得是最小的角，设，则， 由余弦定理得. 13. 已知复数，为虚数单位，则的共轭复数__________． 【答案】 【解析】 【分析】法一：根据已知化简分子约分得出，即可求解共轭复数；法二：应用分母实数化结合复数的乘法得出，即可求解共轭复数. 【详解】法一，所以的共轭复数为． 法二，所以的共轭复数为． 故答案为：. 14. 已知的面积为分别是的中点，若，则BC长度的最小值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用余弦定理结合辅助角公式得到，再结合正弦函数的有界性求解即可. 【详解】连接相交于点，则为的重心，连接并延长交于点， 则由重心的性质得为的中点，则， 而，且，得到， 设，则， 由三角形面积公式得， 则，解得， 由余弦定理得， 解得，化简可得， 由辅助角公式得， 则，解得，即长度的最小值为. 故答案为： 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知，，，. （1）若，求的值； （2）若与的夹角为，求实数的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由向量坐标运算即可求解； （2）由数量积的坐标运算以及定义，列方程即可化简求解. 【小问1详解】 若，则，，所以， 所以． 【小问2详解】 ， ． 即，平方得：， ∴或， ． 由于，所以不符合要求，故舍去； ∴． 16. 已知向量， （1）若，求的值； （2）当时，求； （3）若向量，夹角为锐角，求的取值范围 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）条件可转化为，解方程即可； （2）根据向量加法坐标运算公式求，再由向量的模的坐标公式求解； （3）条件可转化为，且需排除同向共线情况，解不等式可得结论. 【小问1详解】 由题设，得，即， 所以. 【小问2详解】 当时，， 所以 故. 【小问3详解】 由题设，，故， 当，同向共线时，有且，此时， 可得，不满足，夹角为锐角， 综上，或. 所以的取值范围为. 17. 在中，角的对边分别为，且． （1）求角的大小； （2）若角是锐角，，求的面积． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将边角关系转化为三角函数关系，通过三角恒等变换求出的值； （2）利用余弦定理结合完全平方式求出，进而求出三角形面积. 【小问1详解】 由， 得， . 因为，所以， 所以，可得或． 【小问2详解】 因为角是锐角，所以，则， 由余弦定理可得， 则， 因为， 所以，得， 故的面积为． 18. 如图，半圆O的直径为2，A为直径延长线上一点，，B为半圆上任意一点，以为一边作等边三角形. （1）当时， ①求三角形的面积. ②若，求m、n. （2）若，求的最小值. 【答案】（1）①；②， （2） 【解析】 【分析】（1）依据已知条件先求出、和，进而求出，则①由即可求解；②法一（坐标法）：作于点M，由得，依次求出和进而求出，则以所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，求出、和即可由求出；法二（向量法）：先求得，，作于点M，接着又由数量积定义公式和投影几何意义得，，进而得，，再利用和求出和即可求解. （2）设与相交于点Q，得，过点C作直线的平行线l，作垂直l于点F，交于点E，有，设，，由余弦定理以及等面积法，结合三角恒等变换可得关于的表达式，再利用基本不等式可求得最值. 【小问1详解】 当时，由条件知，，， 所以，， 所以 ， ①三角形的面积为. ②方法一（坐标法）：作交于点M， 由①知，同理， 所以， ， 所以， 以所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系， 则，，， 因为，所以， 所以，. 方法二（向量法）：因为，，，， 所以，， 作于点M，则，， 所以， ， 所以，. 由①知，同理， 所以， ， 所以， 所以，. 【小问2详解】 设与相交于点Q，则且， 所以， 又，所以， 所以， 所以，过点C作直线的平行线l，作垂直l于点F，交于点E， 则，设，， 由余弦定理知， 又在中由等面积法知， 所以，所以， 又正三角形的高为，所以， 所以， 即 ， 当且仅当，即，即时，取得最小值为. 【点睛】思路点睛：对于求最小值，可先设与相交于点Q，由三点共线结合得，过点C作直线的平行线l，作垂直l于点F，交与点E，于是有，设，，接着由余弦定理得及在中由等面积法得，再由即可得，结合三角恒等变换公式可得关于的表达式，再利用基本不等式即可得最小值. 19. 在平面四边形中，，. （1）若. （i）若A，B，C，D四点共圆M，求； （ii）求四边形面积S的最大值. （2）若，，与交于点.记，求当为何值时，. 【答案】（1）（i）；（ii） （2） 【解析】 【分析】（1）设，，利用余弦定理可得.（i）由题意可得，进而可得和；（ii）根据面积公式可得，整理可得，进而分析最值； （2）利用余弦定理可得，可知A，B，C，D四点共圆，且圆的半径，根据正弦定理已经圆的性质可得，运算求解即可. 【小问1详解】 设，，其中， 在中，由余弦定理可得； 在中，由余弦定理可得； 即，可得. （i）若A，B，C，D四点共圆M，则， 可得，， 由可得，即， 则，即； （ii）因为四边形面积， 即，且， 又因为， 当且仅当时，等号成立 即，解得， 所以四边形面积S的最大值为. 【小问2详解】 在中，由余弦定理可得， 即， 则，即， 因为，可知A，B，C，D四点共圆，且圆的半径， 则， 且，可知， 若，则， 即，可得， 又因为，则，可得，解得， 所以当时，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南省信阳高级中学新校（贤岭校区）、老校（文化街校区） 2025-2026学年高一下期04月测试（一） 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，若（i为虚数单位），则实数a的取值范围是（　　） A. B. C. D. 2. 设是单位向量，，则四边形一定是（ ） A. 梯形 B. 菱形 C. 矩形 D. 正方形 3. 为所在平面上动点，点满足, ,则射线过的 A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心 4. 在平行四边形ABCD中，为AB中点，为BC上一点，且，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知向量.若，则向量在向量上的投影向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 对任意非零向量，是和它同向的一个单位向量 D. 零向量没有方向 7. 已知三点共线，不共线且在线段上（不含端点），若，则的最小值为（ ） A. 7 B. 4 C. 9 D. 11 8. 在锐角中，角的对边分别为，为的面积，，且，则的周长的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选的得部分分，有选错的得0分. 9. 的内角的对边分别为，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，，，则有两解 C. 若，，则面积的最大值为 D. 若为钝角三角形，则 10. 设，，是非零向量，则下列说法中不正确的是（ ） A. B. C. 若，则 D. 若，，则 11. 下列关于非零复数、的结论正确的有（ ） A. 若，则、互为共轭复数 B. C. 在复平面内对应的点为，且满足，则点所在的区域的面积为 D. 若，则 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在中，，则的最小内角的余弦值为___________． 13. 已知复数，为虚数单位，则的共轭复数__________． 14. 已知的面积为分别是的中点，若，则BC长度的最小值为__________. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知，，，. （1）若，求的值； （2）若与的夹角为，求实数的值． 16. 已知向量， （1）若，求的值； （2）当时，求； （3）若向量，夹角为锐角，求的取值范围 17. 在中，角的对边分别为，且． （1）求角的大小； （2）若角是锐角，，求的面积． 18. 如图，半圆O的直径为2，A为直径延长线上一点，，B为半圆上任意一点，以为一边作等边三角形. （1）当时， ①求三角形的面积. ②若，求m、n. （2）若，求的最小值. 19. 在平面四边形中，，. （1）若. （i）若A，B，C，D四点共圆M，求； （ii）求四边形面积S的最大值. （2）若，，与交于点.记，求当为何值时，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $