精品解析：河南省信阳高级中学新校（贤岭校区）2025-2026学年高三下学期04月测试（一）数学试题

河南省信阳高级中学新校（贤岭校区） 2025-2026学年高三下期04月测试（一） 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 一组样本数据删除一个数后，得到一组新数据：10，21，25，35，36，40.若这两组数据的中位数相等，则删除的数为（　　） A. 25 B. 30 C. 35 D. 40 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用中位数的定义求解即得. 【详解】依题意，新数据组有6个数，其中位数是， 显然原数据组有7个数，因此删除的数是中位数30. 故选：B 2. 在正方体中，下列关系正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系对选项一一判断即可得出答案. 【详解】以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1， 所以，， ，， 对于A，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确. 故选：D. 3. 设等差数列的公差为，其前n项和为，则“”是“存在最小值”的（ ）． A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】化简得到，分别判断充分性和必要性得到答案. 【详解】为等差数列， 则， 对应的二次函数为， 故当时，函数有最小值，对应的数列有最小值， 当数列有最小值时，则二次函数开口向上，所以， 故是充分必要条件． 4. 设O为△ABC的外心，a，b，c分别为角A，B，C的对边，若b=3，c=5，则=（　　） A. 8 B. C. 6 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用数量积的定义结合圆的性质求解作答. 【详解】因为O为△ABC的外心， 则，同理， 所以. 故选：A 5. 已知某种食品保鲜时间与储存温度有关，满足函数关系(为保鲜时间，为储存温度)，若该食品在冰箱中0的保鲜时间是144小时，在常温20的保鲜时间是48小时，则该食品在高温40的保鲜时间是（ ） A. 16小时 B. 18小时 C. 20小时 D. 24小时 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知条件列出方程组，整体求得，然后整体代入计算即可. 【详解】依题意，，解得， 则当时，（小时）. 故选：A 6. 已知函数f(x)=x(lnx-ax)没有极值点，则实数a的取值范围是（ ） A. B. a≤0 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求导函数，函数没有极值点，等价于没有变号零点，等价于函数与的图象不相交，在同一个坐标系中作出它们的图象．由图可求得实数a的取值范围． 【详解】函数， 则， 令得， 函数没有极值点， 等价于没有变号零点， 等价于函数与的图象不相交或相切， 在同一个坐标系中作出它们的图象, 当时，直线与的图象相切， 由图可知，当时，与的图象不相交或相切． 则实数a的取值范围是 故选：A． 【点睛】本题主要考查函数的导数，函数的极值，函数的零点，数形结合的思想，属于中档题. 7. 已知数列的通项公式为， 若该数列的前项和为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】化简通项公式，利用裂项相消法即可求解. 【详解】因为数列 的通项公式为， 当为奇数时，， 当为偶数时，， 所以 ， 故选：B. 【点睛】本题考查的核心是裂项求和，使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的． 8. 已知，若，存在，使得成立，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出给定命题的否定，再利用辅助角公式化简并换元得，由周期性探讨函数在上的最大值中的最小值，建立不等式求出范围，然后否定结论即得答案. 【详解】命题“，存在，使得成立”的否定为： ，对，不等式恒成立， 而，，令， 函数，函数的最小正周期为，不妨令， 当时，，此时，则； 当时，，函数在上递减，在上递增， ； 当时，，； 当时，，函数在上递减，在上递增， ； 当时，，， 由，对，不等式恒成立，得， 即，而，解得， 因此当，存在，使得成立时，， 所以的最大值为. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，.若随机事件A，B相互独立，则（　　） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据条件概率公式和独立事件乘法公式即可判断ABC，再根据即可判断D. 【详解】对B，，B正确； 对A，，，A错误； 对C，，，C正确； 对D， ，D正确. 故选：BCD. 10. 已知椭圆上存在一点P，使椭圆C在点P处的切线l与直线所成角的大小是，点Q是切线l上的动点，，为椭圆C的焦点，则下列说法正确的是（ ） A. 的面积为2 B. 椭圆C的离心率 C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据给定条件，利用椭圆的光学性质可得，再结合椭圆定义及几何性质逐项判断即可. 【详解】由椭圆C在点P处的切线l与直线所成角的大小是，得直线 是的外角平分线， 则，设椭圆C的半焦距为，，， 对于A，的面积，A正确； 对于B，由，得以 为圆心，为半径的圆与椭圆有公共点， 则，椭圆的离心率，B错误； 对于C，椭圆上的点到点 的距离的最小值为，而直线 上除切点外都在椭圆外， 因此，当且仅当重合，且点为椭圆短轴端点时取等号，C正确； 对于D，当时，点在以 为圆心，为半径的圆与切线 相交弦上（除端点外），，D错误. 故选：AC 11. 已知，函数，则（ ） A. 的图象关于y轴对称 B. 恰有3个零点 C. 恰有2个极值点 D. 在上单调递增 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据奇偶函数的定义判断与的关系即可判断A；求出后，式子比较复杂，构造函数，通过导数研究的单调性，零点来研究的性质，从而可判断BCD. 【详解】因为函数是定义在上的函数， 所以定义域关于原点对称，且， 所以是奇函数，所以的图象关于原点对称，故A错误. 由得， 令，则， 当时， ，单调递增； 当时，，单调递减， 又， ， 由函数零点存在定理知在上只有一个零点，设为，在上只有一个零点，设为，作出的大致图象如图1： 所以当时， ，即，单调递减； 当时， ，即 ，单调递增； 当时， ，即，单调递减， 所以恰有2个极值点，故C正确. 又，且当时， , 作出的大致图象如图2： 所以恰有3个零点，故B正确. 因为，由图1知， 当时， ，即 ，单调递增，故D正确. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设 ，i为虚数单位.若集合，，且，则m＝________. 【答案】1 【解析】 【分析】由集合的包含关系得两个集合中元素的关系，由复数的相等解的值. 【详解】集合，，且， 则有或，解得. 故答案为：1 13. 若圆与双曲线（ ， ）的一条渐近线相切，则双曲线的离心率为______. 【答案】 【解析】 【分析】由直线与圆相切的位置关系，根据圆心到直线的距离等于半径，列式求解. 【详解】双曲线的渐近线方程为 ，根据对称性不妨取其中一条渐近线 ，即， 因为与圆相切， 则，得，即，， ∴. 14. 若正四棱锥的棱长均为2，则以所有棱的中点为顶点的十面体的体积为________，该十面体的外接球的表面积为________. 【答案】 ①. ## ②. 【解析】 【分析】根据给定条件，利用割补法，结合锥体体积公式计算体积；建立空间直角坐标系，求出外接球半径即可求出表面积. 【详解】正四棱锥 的所有棱长为2，点是所在棱的中点，如图， 显然，即有 ，则正四棱锥 的高为， 于是， 到平面的距离， 所以所求十面体的体积为； 令，以直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图， 则，则， ，设外接球球心，半径， 则，因此，解得， 所以十面体的外接球的表面积为. 故答案为：； 【点睛】关键点睛：求几何体的体积，将给定的几何体进行恰当的分割，转化为可求体积的几何体求解是关键. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）求的单调递增区间； （2）在 中，，， 的面积为，求边的长. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用辅助角公式，结合正弦函数的单调性即可求解； （2）利用正弦定理角化边，结合面积公式和余弦定理即可求解. 【小问1详解】 ， 令， ， 解得， ， 所以函数的单调递增区间为， . 【小问2详解】 因为， 又为 的内角，则 故， 所以，所以. 设角所对边分别为， 因为，由正弦定理得 .① 因为三角形的面积为，所以.② 由①②解得：， 由余弦定理得， 所以. 16. 已知抛物线 ，点为的焦点，是上任意不重合的两点，当直线过点且垂直轴时， . （1）求的方程； （2）若直线过点且 的面积为，求的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）当直线垂直轴时，可求出、的坐标进而求出的值； （2）根据三角形的面积公式，弦长公式，点到直线的距离公式即可求出. 【小问1详解】 设点，， 因为抛物线，所以. 当直线过点且垂直轴时，直线的方程为， 把代入可得， 故，所以 ，所以方程为 . 【小问2详解】 由（1）可知，易知直线的斜率不为零，设直线方程为， 联立得 ， 则 ，， 所以， 又点 到直线距离， 所以， 令，所以，所以，解得或， 所以直线方程为或. 17. 如图，在四棱锥 中，底面是边长为2的菱形，， 平面，点是棱的中点． （1）求证：； （2）若点到平面 的距离为，求平面 与平面 夹角的余弦值． 【答案】（1）证明如下： 取的中点，连接 ， 因为点是棱的中点，所以 ， 又因为 平面，且 平面，所以 ， 因为 ，所以， 由底面为菱形，且，可得 为等边三角形， 因为是的中点，所以， 又因为 ，且 平面 ，所以平面 ， 因为 平面 ，所以. （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点，证得 和，利用线面垂直的判定定理，证得平面 ，进而证得； （2）取的中点，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，设 ，求得向量 和平面 的法向量 ，利用向量的距离公式，列出方程，求得 ，再由 的一个法向量为 ，结合向量的夹角公式，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取的中点，连接，因为是的中点，可得 ， 因为，所以 ， 又因为 平面，且 平面，所以 ， 以为坐标原点，以 所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 如图所示， 设 ，可得 ， 所以 ， 设平面 的法向量为，可得， 令 ，可得，所以 ， 因为点到平面 的距离为，可得， 则，解得 ，所以 ，所以 ，且 . 又因为平面 与轴所在直线垂直，所以平面 的一个法向量为 ， 设平面 与平面 夹角为，可得， 所以平面 与平面 夹角的余弦值. 18. 已知函数 . （1）若在取极小值，且，求的值; （2）当 时，恒成立，求最大值； （3）是否可以与轴相切? 若可以，求间关系式； 若不可以，说明理由. 【答案】（1）， （2）1 （3） （ ） 【解析】 【分析】（1）求出导函数，由题意 且，列式求解，最后再验证即可； （2）求导函数，利用导数研究的单调性，结合，利用函数的最值思想求解即可； （3）设切点为，利用导数的几何意义及切点在x轴上，得，然后利用函数法求得方程的根为 ，进而求得 . 【小问1详解】 由得， 因为在 取极小值，所以， ① 又，代入得，解得 ， 把 代入①，得，所以； 验证：当， 时，，当时， ，当 时，，所以为的极小值点，符合题意，故， ； 【小问2详解】 当 时， 恒成立，即恒成立， 令，则，符合 ，， 令，则， 因为 ，，所以 ，即在上单调递增， 所以， 若，（即），则 ，在上单调递增， 故，符合条件； 若，（即），则存在，使得， 当时，，单调递减，此时，不符合条件； 所以，即，当时，等号成立，故最大值为1； 【小问3详解】 若与轴相切，设切点为，则需满足，且， 即，由第二个方程得， 代入第一个方程得， 整理得，即， 令，则， 因为 ，，令，得或， 所以当或时， ，单调递减， 当时， ，单调递增， 故的极大值（也是最大值）， 当x无限趋向于正无穷大时，无限趋向于负无穷大，无限趋向于正无穷大， 所以无限趋向于负无穷大，当x无限趋向于负无穷大时， 无限趋向于0， 所以无限趋向于0且 ，所以时，， 即方程的解为 ，所以， 所以可以与轴相切，此时满足 （ ）. 19. 依次投掷一枚骰子若干次，观察向上一面的点数，表示在第次投掷后，前次的结果中出现 种点数的概率，规定.记为第次投掷后出现的点数种类数（例如：投掷三次，向上一面点数分别为，则只有“3”“5”两种点数，于是）. （1）求； （2）求的递推关系式，并求； （3）求的数学期望（用含有的式子表示）. 【答案】（1） （2）， （3）. 【解析】 【分析】（1）由概率新定义计算可得； （2）记第 次投掷后，前 次的结果中出现 种点数的概率为，则第次投掷后，前次的结果中出现 种点数的概率为，记第 次投掷后，前 次的结果中出现 种点数的概率为，则第次投掷后，前次的结果中出现 种点数的概率为，由可得递推关系；由递推关系得到，然后设，求出即可； （3）为第次投掷后出现的点数种类数，则，当 时，通过计算得到，令，得到是以为首项，为公比的等比数列即可. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 记第 次投掷后，前 次的结果中出现 种点数的概率为，则第次投掷后，前次的结果中出现 种点数的概率为； 记第 次投掷后，前 次的结果中出现 种点数的概率为，则第次投掷后，前次的结果中出现 种点数的概率为； 故， ， ， ， 设， 则，于是，得， ， 所以， 所以， 又也满足上式， 所以. 【小问3详解】 为第次投掷后出现的点数种类数， 则， 当 时， ， 令，则， ， 所以是以为首项，为公比的等比数列， ，即， . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南省信阳高级中学新校（贤岭校区） 2025-2026学年高三下期04月测试（一） 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 一组样本数据删除一个数后，得到一组新数据：10，21，25，35，36，40.若这两组数据的中位数相等，则删除的数为（　　） A. 25 B. 30 C. 35 D. 40 2. 在正方体中，下列关系正确的是（　　） A. B. C. D. 3. 设等差数列的公差为，其前n项和为，则“”是“存在最小值”的（ ）． A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 设O为△ABC的外心，a，b，c分别为角A，B，C的对边，若b=3，c=5，则=（　　） A. 8 B. C. 6 D. 5. 已知某种食品保鲜时间与储存温度有关，满足函数关系(为保鲜时间，为储存温度)，若该食品在冰箱中0的保鲜时间是144小时，在常温20的保鲜时间是48小时，则该食品在高温40的保鲜时间是（ ） A. 16小时 B. 18小时 C. 20小时 D. 24小时 6. 已知函数f(x)=x(lnx-ax)没有极值点，则实数a的取值范围是（ ） A. B. a≤0 C. D. 7. 已知数列的通项公式为， 若该数列的前项和为，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知，若，存在，使得成立，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，.若随机事件A，B相互独立，则（　　） A. B. C. D. 10. 已知椭圆上存在一点P，使椭圆C在点P处的切线l与直线所成角的大小是，点Q是切线l上的动点，，为椭圆C的焦点，则下列说法正确的是（ ） A. 的面积为2 B. 椭圆C的离心率 C. D. 11. 已知，函数，则（ ） A. 的图象关于y轴对称 B. 恰有3个零点 C. 恰有2个极值点 D. 在上单调递增 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设 ，i为虚数单位.若集合，，且，则m＝________. 13. 若圆与双曲线（ ， ）的一条渐近线相切，则双曲线的离心率为______. 14. 若正四棱锥的棱长均为2，则以所有棱的中点为顶点的十面体的体积为________，该十面体的外接球的表面积为________. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）求的单调递增区间； （2）在中，，，的面积为，求边的长. 16. 已知抛物线 ，点为的焦点，是上任意不重合的两点，当直线过点且垂直轴时， . （1）求的方程； （2）若直线过点且 的面积为，求的方程. 17. 如图，在四棱锥 中，底面是边长为2的菱形，， 平面，点是棱的中点． （1）求证：； （2）若点到平面 的距离为，求平面 与平面 夹角的余弦值． 18. 已知函数 . （1）若在取极小值，且，求的值; （2）当 时，恒成立，求最大值； （3）是否可以与轴相切? 若可以，求间关系式； 若不可以，说明理由. 19. 依次投掷一枚骰子若干次，观察向上一面的点数，表示在第次投掷后，前次的结果中出现 种点数的概率，规定.记为第次投掷后出现的点数种类数（例如：投掷三次，向上一面点数分别为，则只有“3”“5”两种点数，于是）. （1）求； （2）求的递推关系式，并求； （3）求的数学期望（用含有的式子表示）. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $