10.1.2 事件的关系和运算 同步测试-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

10.1.2 事件的关系和运算 同步测试-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册 姓名： 班级： 学号： 一、选择题 1.事件A与事件B的关系如图所示，则（　　） A.A⊆B B.A⊇B C.A与B互斥而不对立 D.A与B互为对立事件 2.甲、乙两人独立地破译一份密码，设事件A＝“甲成功破译”，事件B＝“乙成功破译”，则表示“密码被成功破译”的事件为（　　） A.A∪B B.A∩B C.∪ D.∩ 3.一个人连续射击目标2次，则下列选项中，与“至少有一次击中”为对立事件的是（　　） A.两次均击中 B.恰有一次击中 C.第一次击中 D.两次均未击中 4.在试验E“连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，观察掷出的点数”中，事件M表示随机事件“两次掷出的点数均为偶数”，事件N表示随机事件“两次掷出的点数和比9大”，用（i，j）表示抛掷的结果，其中i表示第一次掷出的点数，j表示第二次掷出的点数，则事件M∩N等于（　　） A.{（6，6）} B.{（4，6），（6，6）} C.{（5，6），（6，6）} D.{（4，6），（6，4），（6，6）} 5.对空中移动的目标连续射击两次，设A＝“两次都击中目标”，B＝“两次都没击中目标”，C＝“恰有一次击中目标”，D＝“至少有一次击中目标”.下列关系中，错误的是（　　） A.A⊆D B.B∩D＝⌀ C.A∪C＝D D.A∪C＝B∪D 6.（2025·上海黄浦区高一期末）掷一颗质地均匀的骰子，观察朝上的点数，若事件A表示“点数大于3”，事件B表示“点数为偶数”，则事件“点数为5”可以表示为（　　） A.∩B B.A∩ C.∪B D.A∪ 7.抛掷一枚质地均匀的骰子1次，事件A表示“掷出的点数大于2”，则与A互斥且不对立的事件是（　　） A.掷出的点数为偶数 B.掷出的点数为奇数 C.掷出的点数小于2 D.掷出的点数小于3 8.（多选）抛掷一枚质地均匀的骰子，定义以下事件：D1＝ “点数大于2”，D2＝ “点数不大于2”，D3＝ “点数大于3”，D4＝ “点数为4”，则下列结论中，正确的有（　　） A.D3⊆D1 B.D4⊆D3 C.D1∪D3＝D3 D.D1∩D2＝⌀ 9.（多选）从五名女生和四名男生中任选两个人参加某项活动，记A＝“选出的两个人中至少有一个是女生”，B＝“选出的两个人中至少有一个是男生”，C＝“选出的两个人中恰有一个是男生”，D＝“选出的两个人都是女生”，E＝“选出的两个人中恰有一个是女生”，样本空间为Ω.下列结论中，正确的有（　　） A.C＝E B.A＝B C.D∩E≠⌀ D.B∩D＝⌀，B∪D＝Ω 10.（多选）一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红球（标号为1和2），2个绿球（标号为3和4），从袋中不放回地依次随机摸出2个球，每次摸出一个球.设事件R1＝“第一次摸到红球”，R＝“两次都摸到红球”，G＝“两次都摸到绿球”，M＝“两球颜色相同”，N＝“两球颜色不同”，则下列结论中，正确的有（　　） A.R1⊆R B.R∩G＝⌀ C.R∪G＝M D.M＝ 二、填空题 11.从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球并观察其颜色.设事件A表示“所取两个球至少有一个白球”，事件B表示“所取两个球恰有一个红球”，则A∩B表示的事件为 . 12.生产某种产品需要经过2道工序，设事件A＝“第一道工序加工合格”，事件B＝“第二道工序加工合格”，事件D＝（A∩）∪（∩B）∪（∩）表示的含义是 . 13.如图所示为一个连有电灯的含有三个开关的电路.用A表示事件“电灯变亮”，用B，C，D依次表示“开关Ⅰ闭合”“开关Ⅱ闭合”“开关Ⅲ闭合”，则A＝ .（用B，C，D之间的运算关系式表示） 三、解答题 14.在试验“甲、乙、丙三人各射击1次，观察中靶的情况”中，事件A表示随机事件“甲中靶”，事件B表示随机事件“乙中靶”，事件C表示随机事件“丙中靶”.试用A，B，C的有关运算表示下列随机事件： （1）甲未中靶； （2）甲中靶而乙未中靶； （3）三人中只有丙未中靶； （4）三人中至少有一人中靶； （5）三人中恰有两人中靶. 15.从某大学数学系图书室中任选一本书，设A＝“数学书”，B＝“中文版的书”，C＝“2024年后出版的书”，问： （1）A∩B∩表示什么事件？ （2）在什么条件下，有A∩B∩C＝A？ （3）⊆B表示什么意思？ （4）如果＝B，那么是否意味着图书室中的所有数学书都不是中文版的？ 16.某班要进行一次辩论比赛，现有4名男生和2名女生，随机分成甲、乙两个辩论小组，每组3人.考虑甲组的人员组成情况，记事件Ak＝“甲组有k名女生”. （1）事件A1含有多少个样本点？ （2）若事件B＝“甲组至少有一名女生”，则事件B与事件Ak有怎样的关系？ （3）判断事件A2与事件∪A0的关系. 参 考 答 案 一、选择题 1.事件A与事件B的关系如图所示，则（　C　） A.A⊆B B.A⊇B C.A与B互斥而不对立 D.A与B互为对立事件 解析： 由题图知，事件A与事件B不能同时发生，且A∪B≠Ω，因此A与B互斥而不对立. 2.甲、乙两人独立地破译一份密码，设事件A＝“甲成功破译”，事件B＝“乙成功破译”，则表示“密码被成功破译”的事件为（　A　） A.A∪B B.A∩B C.∪ D.∩ 解析： “密码被成功破译”是指甲、乙两人至少有一人成功破译密码，而事件A∪B指的就是至少有一人成功破译密码. 3.一个人连续射击目标2次，则下列选项中，与“至少有一次击中”为对立事件的是（　D　） A.两次均击中 B.恰有一次击中 C.第一次击中 D.两次均未击中 解析： 事件“至少有一次击中”包含“恰有一次击中”和“两次均击中”，与“两次均未击中”互为对立事件. 4.在试验E“连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，观察掷出的点数”中，事件M表示随机事件“两次掷出的点数均为偶数”，事件N表示随机事件“两次掷出的点数和比9大”，用（i，j）表示抛掷的结果，其中i表示第一次掷出的点数，j表示第二次掷出的点数，则事件M∩N等于（　D　） A.{（6，6）} B.{（4，6），（6，6）} C.{（5，6），（6，6）} D.{（4，6），（6，4），（6，6）} 解析： 根据题意，事件M＝{（2，2），（2，4），（2，6），（4，2），（4，4），（4，6），（6，2），（6，4），（6，6）}，事件N＝{（4，6），（5，5），（5，6），（6，4），（6，5），（6，6）}，∴事件M∩N＝{（4，6），（6，4），（6，6）}. 5.对空中移动的目标连续射击两次，设A＝“两次都击中目标”，B＝“两次都没击中目标”，C＝“恰有一次击中目标”，D＝“至少有一次击中目标”.下列关系中，错误的是（　D　） A.A⊆D B.B∩D＝⌀ C.A∪C＝D D.A∪C＝B∪D 解析： 对于A，事件A包含于事件D，A正确；对于B，由于事件B，D不能同时发生，故B∩D＝⌀，B正确；对于C，由题意知C正确；对于D，由于A∪C＝D＝“至少有一次击中目标”，不是必然事件；而B∪D为必然事件，∴A∪C≠B∪D，D错误. 6.（2025·上海黄浦区高一期末）掷一颗质地均匀的骰子，观察朝上的点数，若事件A表示“点数大于3”，事件B表示“点数为偶数”，则事件“点数为5”可以表示为（　B　） A.∩B B.A∩ C.∪B D.A∪ 解析： ∩B表示“点数为2”，A∩表示“点数为5”，∪B表示“点数为1或2或3或4或6”，A∪表示“点数为1或3或4或5或6”. 7.抛掷一枚质地均匀的骰子1次，事件A表示“掷出的点数大于2”，则与A互斥且不对立的事件是（　C　） A.掷出的点数为偶数 B.掷出的点数为奇数 C.掷出的点数小于2 D.掷出的点数小于3 解析： 由题意，样本空间Ω＝{1，2，3，4，5，6}，而事件A＝{3，4，5，6}，“掷出的点数为偶数”包含的样本点为2，4，6，与A不互斥，“掷出的点数为奇数”包含的样本点为1，3，5，与A不互斥，“掷出的点数小于2”包含的样本点为1，与A互斥且不对立，“掷出的点数小于3”包含的样本点为1，2，与A对立. 8.（多选）抛掷一枚质地均匀的骰子，定义以下事件：D1＝ “点数大于2”，D2＝ “点数不大于2”，D3＝ “点数大于3”，D4＝ “点数为4”，则下列结论中，正确的有（　ABD　） A.D3⊆D1 B.D4⊆D3 C.D1∪D3＝D3 D.D1∩D2＝⌀ 解析： 对于A，D3＝“点数大于3”，D1＝“点数大于2”，显然D3⊆D1，A正确；对于B，D4＝“点数为4”，D3＝“点数大于3”，D4⊆D3，B正确；对于C，由A选项知，D3⊆D1，则D1∪D3＝D1，C错误；对于D，D1＝“点数大于2”，D2＝“点数不大于2”，显然不能同时发生，则D1∩D2＝⌀，D正确. 9.（多选）从五名女生和四名男生中任选两个人参加某项活动，记A＝“选出的两个人中至少有一个是女生”，B＝“选出的两个人中至少有一个是男生”，C＝“选出的两个人中恰有一个是男生”，D＝“选出的两个人都是女生”，E＝“选出的两个人中恰有一个是女生”，样本空间为Ω.下列结论中，正确的有（　AD　） A.C＝E B.A＝B C.D∩E≠⌀ D.B∩D＝⌀，B∪D＝Ω 解析： 对于A，事件C，E均表示“选出的两个人是一名男生和一名女生”，则C＝E成立，A正确；对于B，事件A＝“选出的两个人是一名男生和一名女生或者两个人都是女生”，事件B＝“选出的两个人是一名男生和一名女生或者两个人都是男生”，则A＝B不成立，B错误；对于C，事件D，E包含的样本点都不相同，则D∩E＝⌀，C错误；对于D，事件B，D包含的样本点都不相同，则B∩D＝⌀，事件B＝“选出的两个人是一名男生和一名女生或者两个人都是男生”，事件D＝“选出的两个人都是女生”，则B∪D包含了样本空间中所有的样本点，∴B∪D＝Ω，D正确. 10.（多选）一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红球（标号为1和2），2个绿球（标号为3和4），从袋中不放回地依次随机摸出2个球，每次摸出一个球.设事件R1＝“第一次摸到红球”，R＝“两次都摸到红球”，G＝“两次都摸到绿球”，M＝“两球颜色相同”，N＝“两球颜色不同”，则下列结论中，正确的有（　BCD　） A.R1⊆R B.R∩G＝⌀ C.R∪G＝M D.M＝ 解析： 从袋中不放回地依次随机摸出2个球的样本点有（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4），（2，1），（3，1），（4，1），（3，2），（4，2），（4，3）.由题意得，R1＝{（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，3），（2，4）}，R＝{（1，2），（2，1）}，G＝{（3，4），（4，3）}，M＝{（3，4），（4，3），（1，2），（2，1）}，N＝{（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，1），（4，1），（3，2），（4，2）}.由集合间的关系可知B，C，D正确. 二、填空题 11.从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球并观察其颜色.设事件A表示“所取两个球至少有一个白球”，事件B表示“所取两个球恰有一个红球”，则A∩B表示的事件为　所取两个球恰有一个红球（或所取两个球恰有一个白球）　. 解析： ∵从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，这一随机试验的样本空间Ω＝{（白，白），（白，红），（红，红）}，且A＝{（白，红），（白，白）}，B＝{（白，红）}，∴A∩B＝{（白，红）}，故A∩B表示的事件为所取两个球恰有一个红球，或所取两个球恰有一个白球. 12.生产某种产品需要经过2道工序，设事件A＝“第一道工序加工合格”，事件B＝“第二道工序加工合格”，事件D＝（A∩）∪（∩B）∪（∩）表示的含义是　产品不合格　. 解析： 事件D＝（A∩）∪（∩B）∪（∩）表示的是第一道工序和第二道工序中至少有一道工序加工不合格，∴事件D表示“产品不合格”. 13.如图所示为一个连有电灯的含有三个开关的电路.用A表示事件“电灯变亮”，用B，C，D依次表示“开关Ⅰ闭合”“开关Ⅱ闭合”“开关Ⅲ闭合”， 则A＝　B∩（C∪D）　.（用B，C，D之间的运算关系式表示） 解析： 要使电灯变亮，则开关Ⅰ必须闭合，且开关Ⅱ和Ⅲ中至少有一个闭合，即要使事件B发生且事件C发生或事件D发生，用符号表示为B∩（C∪D）. 三、解答题 14.在试验“甲、乙、丙三人各射击1次，观察中靶的情况”中，事件A表示随机事件“甲中靶”，事件B表示随机事件“乙中靶”，事件C表示随机事件“丙中靶”.试用A，B，C的有关运算表示下列随机事件： （1）甲未中靶； 解：（1）甲未中靶：. （2）甲中靶而乙未中靶； 解：（2）甲中靶而乙未中靶：A∩，即. （3）三人中只有丙未中靶； 解：（3）三人中只有丙未中靶：A∩B∩，即. （4）三人中至少有一人中靶； 解：（4）三人中至少有一人中靶：A∪B∪C. （5）三人中恰有两人中靶. 解：（5）三人中恰有两人中靶：（）∪（C）∪（BC）. 15.从某大学数学系图书室中任选一本书，设A＝“数学书”，B＝“中文版的书”，C＝“2024年后出版的书”，问： （1）A∩B∩表示什么事件？ 解：（1）A∩B∩＝“2024年或2024年前出版的中文版的数学书”. （2）在什么条件下，有A∩B∩C＝A？ 解：（2）在“图书室中所有数学书都是2024年后出版的且为中文版的”条件下，才有A∩B∩C＝A. （3）⊆B表示什么意思？ 解：（3）⊆B表示2024年或2024年前出版的书全是中文版的. （4）如果＝B，那么是否意味着图书室中的所有数学书都不是中文版的？ 解：（4）是.＝B意味着图书室中的非数学书都是中文版的，而且所有中文版的书都不是数学书，同时＝B又可化成＝A，因而也可解释为图书室中所有数学书都不是中文版的，而且所有不是中文版的书都是数学书. 16.某班要进行一次辩论比赛，现有4名男生和2名女生，随机分成甲、乙两个辩论小组，每组3人.考虑甲组的人员组成情况，记事件Ak＝“甲组有k名女生”. （1）事件A1含有多少个样本点？ 解：（1）用1，2，3，4表示4名男生，用a，b表示2名女生，∵事件A1＝“甲组有1名女生”，∴A1＝{（1，2，a），（1，2，b），（1，3，a），（1，3，b），（1，4，a），（1，4，b），（2，3，a），（2，3，b），（2，4，a），（2，4，b），（3，4，a），（3，4，b）}，共含12个样本点. （2）若事件B＝“甲组至少有一名女生”，则事件B与事件Ak有怎样的关系？ 解：（2）事件B＝“甲组至少有一名女生”，其含义是甲组有一名女生或甲组有两名女生，∴B＝A1∪A2. （3）判断事件A2与事件∪A0的关系. 解：（3）∵A2与A0∪A1是对立事件， ∴＝A0∪A1，∴∪A0＝A0∪A1， ∴事件A2与事件∪A0是对立事件. 学科网（北京）股份有限公司 $