精品解析：浙江金华市曙光学校2025-2026学年高三下学期第三次质检数学试题

2025-2026学年高三下学期第三次质检数学试题 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟. 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】集合，集合， 因为，，，都在区间内， 所以. 2. 欧拉公式：是虚数单位，是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它非常巧妙地将三角函数与复指数函数关联了起来.若复数，复数满足，则的最大值为（ ）. A. 0 B. C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】由题设新定义得，再应用乘方运算得，且，即可得. 【详解】由题设，则， 所以， 由，则，故时的最大值为2. 故选：D 3. 若数据，，，，，，，，，的平均数为20，则数据，，，，，，，，，与数据，，，，，，，，，，20有相同的（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 极差 D. 方差 【答案】A 【解析】 【分析】由平均数、中位数、极差和方差的定义和计算公式对选项一一判断即可得出答案. 【详解】因为数据，，，，，，，，，的平均数为20， 所以， 所以 对于A，数据，，，，，，，，，，20的平均数为： ，故A正确； 对于B、C,无法确定数据，，，，，，，，，，20的大小， 所以无法确定它们的中位数和极差，故B，C错误； 对于D，数据，，，，，，，，，的方差为： ， 数据，，，，，，，，，，20的方差为： 所以D错误. 故选：A. 4. 下列为旋转体的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据多面体和旋转体的概念判断即可. 【详解】对于A，球是旋转体，直径是球的旋转轴，故A符合题意； 对于B，长方体是多面体，故B不符合题意； 对于C，四棱锥是多面体，故C不符合题意； 对于D，三棱柱是多面体，故D不符合题意. 5. 溶液的酸碱度是用来衡量溶液酸碱性强弱程度的一个指标，在化学中，常用值来表示溶液的酸碱度.的计算公式为其中表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升.甲同学在径流咸阳的渭河中取出一定的水溶液，经测定其中氢离子的浓度摩尔/升，则渭河咸阳段水溶液的值约为（ ）（参考数据：，） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由对数的运算性质可求得渭河咸阳段水溶液的值. 【详解】由题意可知，渭河咸阳段水溶液的值为. 故选：D. 6. 在中，，，且的面积为5，则角的大小为（ ） A. 30° B. 60° C. 30°或150° D. 60°或120° 【答案】C 【解析】 【详解】的面积， 所以，解得. 因为， 所以角的大小为30°或150°. 7. 已知抛物线的焦点为F，过点作C的两条切线，切点为A，B，且Q为C上一动点，若的最小值为5，则的面积为（ ） A. 75 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据抛物线定义得到，再利用导数得到切点弦所在直线方程，再求出直线的长和点P到直线的距离，最后利用三角形面积公式即可． 【详解】当F，Q，P三点共线时，取得最小值，且， 所以，解得，所以． 由，得． 设，，则曲线在处的切线方程为， 即．因为切线过点，所以． 同理可得，所以直线的方程为，即． 联立方程组，得， ，则． 因为直线过焦点F，所以， 点P到直线的距离， 所以． 故选：D． 【点睛】关键点点睛：本题的关键之一是利用抛物线定义和三点共线得到p，再然后是利用导数得到切点弦所在直线方程，最后再求出和点P到直线的距离． 8. 函数，若恰有6个不同实数解，则正实数的范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】把问题转化为与或的交点，画出图形，数形结合，再结合单调性和对称性求出参数取值范围即可. 【详解】由题意可知的实数解可以转化为或的实数解， 即与或的图象交点的横坐标， 当时，，则， 所以时，，所以在上单调递增， 当时，，可得在上单调递减， 所以当时，取得极大值，也是最大值，且； 作出函数的大致图象如下图所示： 所以当时，由图可知与无交点，即方程无解； 与有两个不同的交点，即有两个实数解； 当时，， 令，则，则， 作出大致图象如下图所示： 因为当时，与有两个不同的交点， 所以与及共有四个交点， 所以，解得， 即可得正实数的取值范围. 故选：B 二、多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 记等差数列的公差为，前项和为，已知，．以下说法正确的是（ ） A. B. C. D. 若，则 【答案】BC 【解析】 【分析】由题设结合等差数列求和公式可求得，进而得到，进而求解判断各选项即可. 【详解】由题意得，，而，则， 所以，则，故A错误； 而，则，故B正确； 因为时，，时，，则，故C正确； 当时，，故D错误. 故选：BC 10. 如图，正方体的棱长为2，分别是棱上的点（不包括端点），且，则下列说法正确的是（ ） A. 正方体的外接球的表面积为 B. 若平面与平面的交线为，则 C. 若平面与平面所成的二面角为，的面积为，则 D. 若，则平面截正方体所得截面的面积为 【答案】BC 【解析】 【分析】求出正方体的体对角线得球半径判断A；利用线面平行的判定性质推理判断B；作出二面角并求解判断C；作出截面并求出面积判断D. 【详解】对于A，由，得正方体的外接球半径， 因此正方体的外接球表面积为，A错误； 对于B，由，，得四边形是平行四边形，， 而平面，平面，则平面， 是平面与平面的交线，平面，因此，B正确； 对于C，分别取的中点，，连接，则， ，，，又，则，， 因此是平面和平面所成的二面角的平面角， 则，C正确； 对于D，延长使得，连接交于点，连接交于点， 则，，且，， 四边形为菱形，平面截正方体所得截面为五边形， 又，，， 所以的面积为，五边形的面积为，D错误． 故选：BC 11. “奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论．奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联．它的具体内容是：已知是内一点，的面积分别为，且．以下命题正确的有（ ） A. 若，则为的重心 B. 若为的内心，则 C. 若为的外心，则 D. 若为的垂心，，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，由给定的条件和定理可以得到，从而得到为的重心；对于B，由给定的条件和定理可以得到；对于C，设的外接圆半径为，则由，即可验证结论；对于D，对比条件和定理，结合严格的论证，即可得到，再计算证明，即可求出，最后求出即可. 【详解】对于A，若，由，知，故为的重心，A正确； 对于B，若为的内心，设的内切圆半径为，由，知，故，B正确； 对于C，若为的外心，设的外接圆半径为，则 ，C错误； 对于D，若为的垂心，由， 故， 从而，而和都是正数且相加小于，故在内部，所以是锐角三角形. 由在内部，知， 与刚才同理，可由得到. 由不共线，知是一组基底， 故，，从而. 设到对边的投影分别是，的面积为，且我们约定分别简记为角， 由于，， 故相似于，从而， 故可得到， 从而，同理，. 由于，，， 故， 设，，，其中， 则，解得，故. 而， 故，D正确. 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于对不同的情况，计算出不同的，进而由题目中定理得到一系列性质. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知双曲线的左焦点为，为坐标原点，，线段的垂直平分线与交于两点，且与的一条渐近线交于第二象限的点，若，则的周长为______. 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意分析可知，进而可得，结合双曲线的定义分析可知的周长为，联立方程求点A的纵坐标，结合几何性质分析求解. 【详解】记的右焦点为， 由题意可知：双曲线的一条渐近线为，可知点在的渐近线上， 且，即， 且，，则， 可知和均为等边三角形， 则，即， 所以双曲线的方程为. 不妨设A在上方， 则的周长为， 又因为的直线方程为，与双曲线方程联立得， 整理得，解得， 且，可知，所以的周长为. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：在焦点三角形中，可以将圆锥曲线的定义，三角形中边角关系，结合起来，结合直线与双曲线的交点分析求解． 13. 已知数列的通项公式为，数列的通项公式为为正整数，若数列中去掉的项后，余下的项组成数列，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据等差等比数列的前项和公式求解即可. 【详解】因为 所以数列中前107项去掉的前7项后为数列的前100项， 设数列的前项和为，数列的前项和为， 所以. 故答案为：. 14. 已知在中，角所对的边分别为，，是的中点，若，则的最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据正弦定理及两角差的正弦公式可得，，再利用余弦定理可得，进而得到，再根据基本不等式求解即可. 【详解】由， 根据正弦定理得，， 即，所以． 又因为，， 所以，所以． 在中，，① 在中，，② 因为，所以， ①②可得，又因为，所以， 即，所以， 令，则，即，解得， 又因为，所以，当且仅当时，等号成立， 则的最大值为． 故答案为：. 四、解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知角是第一象限角，且满足. （1）求，，的值； （2）求，的值. 【答案】（1），， （2）， 【解析】 【分析】（1）解方程得，再由同角三角函数的基本关系式求解； （2）根据二倍角公式与两角差的余弦公式求解． 【小问1详解】 因为角是第一象限角，所以，，. 由， 解得或（舍去）， 则，． 【小问2详解】 ， ， . 16. 如图，在圆锥中，为底面圆的直径，点为的中点，点在劣弧上，线段交于点，且． （1）证明：； （2）若，求直线和平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明：连接 ，因为为的中点，知， 又因为为直径，知， 因为，所以，所以， 又因为，所以， 由圆锥的定义，可得平面 ，因为平面 ，所以， 又因为，平面，， 所以 平面，因为 平面，所以. （2）. 【解析】 【分析】（1）连接 ，证得，得到，证得，再由平面 ，得到，利用线面垂直的判定定理，证得 平面，即可证得. （2）法一：作，由勾股定理求得，得到，设为到平面 的距离，利用等体积法，求得，结合线面角的定义法，即可求解； 法二：以为原点，建立空间直角坐标系，不妨设 ，求得向量和平面 的一个法向量为，结合向量的夹角公式，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解法一：由，可得，所以． 又由，所以，即， 所以， 故， 设，则， 且 如图所示，作于，因为，所以， 在直角中，由勾股定理得， 所以， 又因为， 设为到平面 的距离，则， 所以， 设直线和平面所成角为，可得， 所以直线和平面所成角的正弦值为. 解法二：因为为的中点，知，且平面 ， 以为原点，以的方向分别为三轴的方向，建立空间直角坐标系， 如图所示，不妨设 ，可得且为等边三角形， 则， 所以向量， 设平面 的法向量为，则， 取，则．所以， 设直线与平面的所成角为， 则， 所以直线和平面所成角的正弦值为. 17. 已知椭圆的一个焦点短轴长为． （1）求椭圆C的标准方程； （2）直线与x轴交于点Q，过焦点的直线与椭圆交于M，N两点．在l上是否存在点E使得是等边三角形．若存在，求出直线的方程，若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）存在；或 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的基本性质来确定方程参数； （2）利用直线与椭圆方程联立得到相关点的坐标关系，再结合等边三角形的性质建立等式求解直线方程. 【小问1详解】 由题意得，所以， 则椭圆的标准方程为， 【小问2详解】 当斜率不存在时，，此时到距离为1，故不存在等边三角形，当斜率为0时，易得不存在等边三角形， 当斜率存在且不为0时，设直线的方程为， 设中点为，又， 由可得，， 恒成立， 则 ，由于在直线上，所以 直线的斜率为，所以. ， 因为是等边三角形，所以，则 解得，即， 故直线的方程为或. 18. 已知函数，． （1）当时，求函数的单调区间与极值； （2）若在上恒成立，求实数a的取值范围； （3）若函数有2个不同的零点，，求实数a的取值范围. 【答案】（1）单调递减区间为，单调递增区间为；极小值为0，无极大值 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）当时，利用导数求出极值即可； （2）法一：转化为，令，利用导数求出最值可得答案；法二：令，则，令，利用导数求出最值可得答案； （3）令，利用导数结合零点个数可得答案. 【小问1详解】 当时，，其定义域为， ， 当时，，此时单调递减；当时，， 此时单调递增；所以有极小值，无极大值. 综上所述，函数的单调递减区间为，单调递增区间为； 极小值为0，无极大值； 【小问2详解】 法一：由在上恒成立得到，即， 令，则 令，则， 再令，则 在上恒成立， 所以在上递增，所以， 于是在上递增，， 即在上递增， ，故，即实数的取值范围为； 法二：同构法，，令， 则，令，， 所以在上单调递增，可得，所以； 【小问3详解】 ，令， 因为，所以在单调递增，则， 令，即在有2个零点，且， 又因为，当时，在单调递增， 不存在2个零点，所以， 当时，；当时，． 所以在单调递减，在单调递增， 则， 令， 当时，单调递减；当时， 单调递增， 则，所以恒成立，即恒成立 因此即， 又因为当时，，当时，， 且 所以当，即时， 函数有2个不同的零点. 综上知函数有2个不同的零点时实数的取值范围为. 19. 袋中共有6个球，其中有4个白球，2个黑球，这些球除颜色外完全相同．从袋中随机取出一球，如果取出白球，则把它放回袋中；如果取出黑球，则该黑球不再放回，并且添加一个白球放入袋中．重复上述过程n次后，袋中白球的个数记作 的数学期望记为 （1）求随机变量的分布列； （2）设用含的式子表示 （3）求 【答案】（1） 4 5 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）确定的可能取值，按照分布列的步骤进行求解即可； （2）利用条件概率及全概率公式结合数学期望的计算公式即可求解； （3）利用（2）中的结论及可得到递推公式，再利用构造法即可求出. 【小问1详解】 根据题意的可能取值为， 即一次摸球摸到白球，， 即一次摸球摸到黑球，， 所以的分布列为 4 5 【小问2详解】设第次摸球摸到黑球为事件，的取值可能为4，5，6， 则， ， ， 所以． 【小问3详解】 由（2）及得， ， 所以，又， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以，即. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高三下学期第三次质检数学试题 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟. 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（　　） A. B. C. D. 2. 欧拉公式：是虚数单位，是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它非常巧妙地将三角函数与复指数函数关联了起来.若复数，复数满足，则的最大值为（ ）. A. 0 B. C. 1 D. 2 3. 若数据，，，，，，，，，的平均数为20，则数据，，，，，，，，，与数据，，，，，，，，，，20有相同的（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 极差 D. 方差 4. 下列为旋转体的是（　　） A. B. C. D. 5. 溶液的酸碱度是用来衡量溶液酸碱性强弱程度的一个指标，在化学中，常用值来表示溶液的酸碱度.的计算公式为其中表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升.甲同学在径流咸阳的渭河中取出一定的水溶液，经测定其中氢离子的浓度摩尔/升，则渭河咸阳段水溶液的值约为（ ）（参考数据：，） A. B. C. D. 6. 在中，，，且的面积为5，则角的大小为（ ） A. 30° B. 60° C. 30°或150° D. 60°或120° 7. 已知抛物线的焦点为F，过点作C的两条切线，切点为A，B，且Q为C上一动点，若的最小值为5，则的面积为（ ） A. 75 B. C. D. 8. 函数，若恰有6个不同实数解，则正实数的范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 记等差数列的公差为，前项和为，已知，．以下说法正确的是（ ） A. B. C. D. 若，则 10. 如图，正方体的棱长为2，分别是棱上的点（不包括端点），且，则下列说法正确的是（ ） A. 正方体的外接球的表面积为 B. 若平面与平面的交线为，则 C. 若平面与平面所成的二面角为，的面积为，则 D. 若，则平面截正方体所得截面的面积为 11. “奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论．奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联．它的具体内容是：已知是内一点，的面积分别为，且．以下命题正确的有（ ） A. 若，则为的重心 B. 若为的内心，则 C. 若为的外心，则 D. 若为的垂心，，则 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知双曲线的左焦点为，为坐标原点，，线段的垂直平分线与交于两点，且与的一条渐近线交于第二象限的点，若，则的周长为______. 13. 已知数列的通项公式为，数列的通项公式为为正整数，若数列中去掉的项后，余下的项组成数列，则_____． 14. 已知在中，角所对的边分别为，，是的中点，若，则的最大值为______． 四、解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知角是第一象限角，且满足. （1）求，，的值； （2）求，的值. 16. 如图，在圆锥中，为底面圆的直径，点为的中点，点在劣弧上，线段交于点，且． （1）证明：； （2）若，求直线和平面所成角的正弦值． 17. 已知椭圆的一个焦点短轴长为． （1）求椭圆C的标准方程； （2）直线与x轴交于点Q，过焦点的直线与椭圆交于M，N两点．在l上是否存在点E使得是等边三角形．若存在，求出直线的方程，若不存在，请说明理由． 18. 已知函数，． （1）当时，求函数的单调区间与极值； （2）若在上恒成立，求实数a的取值范围； （3）若函数有2个不同的零点，，求实数a的取值范围. 19. 袋中共有6个球，其中有4个白球，2个黑球，这些球除颜色外完全相同．从袋中随机取出一球，如果取出白球，则把它放回袋中；如果取出黑球，则该黑球不再放回，并且添加一个白球放入袋中．重复上述过程n次后，袋中白球的个数记作 的数学期望记为 （1）求随机变量的分布列； （2）设用含的式子表示 （3）求 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $