浙江金华市曙光学校2025-2026学年高三下学期考前预测数学试题

2025-2026学年高三下学期第三次质检数学试题 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟. 一．单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知集合A＝{x|﹣2≤x＜2}，B＝{﹣1，0，1，2}，则A∩B＝（　　） A．{x|﹣2≤x＜2} B．[﹣1，2） C．{﹣1，0，1，2} D．{﹣1，0，1} 2．欧拉公式：eiθ＝cosθ+isinθ（i是虚数单位，e＝2.718⋯，θ∈R）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它非常巧妙地将三角函数与复指数函数关联了起来．若复数，复数z满足z•z＝1，则的最大值为（　　） A．0 B． C．1 D．2 3．若数据a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7，a8，a9，a10的平均数为20，则数据a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7，a8，a9，a10与数据a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7，a8，a9，a10，20有相同的（　　） A．平均数 B．中位数 C．极差 D．方差 4．下列为旋转体的是（　　） A． B． C． D． 5．溶液的酸碱度是用来衡量溶液酸碱性强弱程度的一个指标，在化学中，常用pH值来表示溶液的酸碱度．pH的计算公式为pH＝﹣lg[H+]，其中[H+]表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升．甲同学在径流咸阳的渭河中取出一定的水溶液，经测定其中氢离子的浓度摩尔/升，则渭河咸阳段水溶液的pH值约为（　　）（参考数据：lg2≈0.30，lg3≈0.48） A．6.52 B．6.7 C．7.3 D．7.48 6．在△ABC中，BC＝4，BA＝5，且△ABC的面积为5，则角B的大小为（　　） A．30° B．60° C．30°或150° D．60°或120° 7．已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点为F，过点P（3，﹣2）作C的两条切线，切点为A，B，且Q为C上一动点，若|QF|+|PQ|的最小值为5，则△PAB的面积为（　　） A．75 B． C． D． 8．函数，若2f2（x）﹣3f（x）+1＝0恰有6个不同实数解，则正实数ω的范围为（　　） A． B． C． D． 二．多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．记等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，已知a1＝19，S7＝70．以下说法正确的是（　　） A．a2＝13 B． C．Sn≤S7 D．若n≥13，则Sn＜0 10．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，P，Q分别是棱BB1，DD1上的点（不包括端点），且BP＝DQ，则下列说法正确的是（　　） A．正方体ABCD﹣A1B1C1D1的外接球的表面积为8π B．若平面APQ与平面ABCD的交线为l，则PQ∥l C．若平面APQ与平面ABCD所成的二面角为θ，△APQ的面积为S，则 D．若BP＝2PB1，则平面APQ截正方体ABCD﹣A1B1C1D1所得截面的面积为 11．“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论．奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联．它的具体内容是：已知M是△ABC内一点，△BMC，△AMC，△AMB的面积分别为SA，SB，SC，且．以下命题正确的有（　　） A．若SA：SB：SC＝1：1：1，则M为△ABC的重心 B．若M为△ABC的内心，则 C．若∠BAC＝45°，∠ABC＝60°，M为△ABC的外心，则 D．若M为△ABC的垂心，，则 三．填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．已知双曲线的左焦点为F1，O为坐标原点，，线段OD的垂直平分线与C交于A，B两点，且与C的一条渐近线交于第二象限的点E，若|DE|，则△ABF1的周长为 　 　 ． 13．已知数列{an}的通项公式为an＝2n﹣1，数列{bn}的通项公式为bn＝2n﹣1，n为正整数，若数列{bn}中去掉{an}的项后，余下的项组成数列{cn}，则c1+c2+…+c100＝　 　 ． 14．已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，acosB＝bcos∠BAC，M是BC的中点，若AM＝4，则的最大值为 　 　 ． 四．解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（13分）已知角α是第一象限角，且满足5sin2α+6sinα﹣8＝0． （1）求sinα，cosα，tanα的值； （2）求sin的值． 16．（15分）如图，在圆锥S﹣O中，AB为底面圆的直径，点C为的中点，点D在劣弧上，线段BD，OC交于点E，且OE＝DE． （1）证明：SD⊥AE； （2）若∠OSD＝2∠CBD，求直线SC和平面SDB所成角的正弦值． 17．（15分）已知椭圆的一个焦点F（﹣2，0），短轴长为． （1）求椭圆C的标准方程； （2）直线与x轴交于点Q，过焦点F（﹣2，0）的直线与椭圆交于M，N两点．在l上是否存在点E使得△EMN是等边三角形．若存在，求出直线MN的方程，若不存在，请说明理由． 18．（17分）已知函数f（x）＝x（ex﹣a）﹣alnx，a∈R． （1）当a＝e时，求函数f（x）的单调区间与极值； （2）若f（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围； （3）若函数f（x）有2个不同的零点x1，x2，求实数a的取值范围． 19．（17分）袋中共有6个球，其中有4个白球，2个黑球，这些球除颜色外完全相同．从袋中随机取出一球，如果取出白球，则把它放回袋中；如果取出黑球，则该黑球不再放回，并且添加一个白球放入袋中．重复上述过程n次后，袋中白球的个数记作Xn，Xn的数学期望记为E（Xn）． （1）求随机变量X1的分布列； （2）设P（Xn＝4+k）＝pk（k＝0，1，2），用含pk（k＝0，1，2）的式子表示E（Xn+1）； （3）求E（Xn）． 参考答案 一．选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D D A A D C D B 二．多选题 题号 9 10 11 答案 BC BC ABD 三．填空题 12．． 13．11202． 14．． 四．解答题 15．解：（1）因为角α是第一象限角，所以sinα＞0，cosα＞0，tanα＞0， 由5sin2α+6sinα﹣8＝0，解得或﹣2（舍去）， 则； （2）， ， ． 16．解：（1）证明：连接AD，AE，因为C为的中点，知OC⊥AB， 又因为AB为直径，知∠ADE＝90°＝∠AOE， 因为OE＝DE，AE＝AE， 所以△AOE≌△ADE（SAS）， 所以∠AEO＝∠AED， 又因为OE＝DE，所以AE⊥OD， 由圆锥的定义，可得SO⊥平面AOD，因为AE⊂平面AOD，所以SO⊥AE， 又因为SO∩OD＝O，SO，OD⊂平面SOD，AE⊥OD，SO⊥AE， 所以AE⊥平面SOD，因为SD⊂平面SOD， 所以SD⊥AE． （2）因为C为的中点，知OC⊥AB，且SO⊥平面AOD， 以O为原点，以的方向分别为x，y，z三轴的方向，建立空间直角坐标系， 如图所示，不妨设OA＝1，可得且△AOD为等边三角形， 则， 所以向量， 设平面SBD的法向量为， 则， 取z＝1，则．所以， 设直线SC与平面SDB的所成角为θ， 则， 所以直线SC和平面SDB所成角的正弦值为． 17．解：（1）已知椭圆的一个焦点F（﹣2，0），短轴长为， 则，所以， 则椭圆C的标准方程为； （2）直线与x轴交于点Q，过焦点F（﹣2，0）的直线与椭圆交于M，N两点， 当MN斜率不存在时，由通径公式可得， 此时Q到MN距离为1，故不存在等边三角形； 当MN斜率为0时，易得不存在等边三角形； 当MN斜率存在且不为0时，设直线MN的方程为x＝my﹣2， 设MN中点为G（xG，yG），又M（x1，y1），N（x2，y2）， 由可得，（m2+3）y2﹣4my﹣2＝0， Δ＝16m2+8（m2+3）＝24m2+24＞0恒成立， 根据韦达定理可得， 由中点坐标公式可得， 由于G在直线x＝my﹣2上，所以， 直线EG的斜率为﹣m，所以， ， 因为△EMN是等边三角形，所以，则， 解得m2＝1，即m＝±1， 则在l上存在点E使得△EMN是等边三角形， 直线l的方程为y＝x+2或y＝﹣x﹣2． 18．解：（1）f（x）＝x（ex﹣a）﹣alnx（a∈R）的定义域为（0，+∞）， 当a＝e时，f（x）＝x（ex﹣e）﹣elnx＝xex﹣xe﹣elnx（x＞0）， （x＞0）， 当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，此时f（x）单调递增；当x∈（0，1）时，f′（x）＜0，此时f（x）单调递减； 所以f（x）有极小值f（1）＝0，无极大值； 综上所述，函数f（x）的单调递增区间为（1，+∞），单调递减区间为（0，1），极小值为0，无极大值； （2）法一：同构法，xex﹣ax≥alnx⇔xex≥alnxex，令m＝xex， 则，令，， 所以r（m）在[e，+∞）上单调递增，可得r（m）≥e，所以a≤e，即实数a的取值范围为（﹣∞，e]； 法二：由f（x）≥0在[1，+∞）上恒成立得到xex﹣ax≥alnx，即， 令，则 令u（x）＝x2+lnx+xlnx﹣1，则， 再令，则 在[1，+∞）上恒成立， 所以t（x）在[1，+∞）上递增，所以t（x）≥t（1）＝4＞0， 于是u′（x）＞0，u（x）在[1，+∞）上递增，u（x）≥u（1）＝0， 即g′（x）≥0，g（x）在[1，+∞）上递增， g（x）min＝g（1）＝e，故a≤e，即实数a的取值范围为（﹣∞，e]； （3）f（x）＝x（ex﹣a）﹣alnx＝xex﹣a（x+lnx）＝xex﹣aln（xex），令t＝xex， 因为t′＝（x+1）ex＞0，所以t＝xex在（0，+∞）单调递增，则t＞0， 令h（t）＝t﹣alnt，即h（t）在t∈（0，+∞）有2个零点t1，t2，且， 又因为，当a≤0时，h′（t）＞0，h（t）在t∈（0，+∞）单调递增， 不存在2个零点，所以a＞0， 当t∈（0，a）时，h′（t）＜0；当t∈（a，+∞）时，h′（t）＞0． 所以h（t）在（0，a）单调递减，在（a，+∞）单调递增， 则h（t）min＝h（a）＝a（1﹣lna）， 令φ（x）＝ex﹣ex，φ′（x）＝ex﹣e， 当x∈（0，1）时，φ′（x）＜0，φ（x）单调递减；当x∈（1，+∞）时， φ′（x）＞0，φ（x）单调递增， 则φ（x）min＝φ（1）＝0，所以φ（x）≥0恒成立，即ex≥ex恒成立 因此，即， 又因为当t→0时，h（t）→+∞，当t→+∞时，h（t）→+∞， 且e2a≥2ea＞a＞0，h（e2a）＞0 所以当h（t）min＝a（1﹣lna）＜0，即a∈（e，+∞）时， 函数h（t）有2个不同的零点． 综上知函数f（x）有2个不同的零点x1，x2时实数a的取值范围为（e，+∞）． 19．解：（1）根据题意X1的可能取值为4，5， 所以，， 所以X1的分布列为： X1 4 5 P （2）设第n次摸球摸到黑球为事件An，Xn+1的取值可能为4，5，6， 则， ， ， 所以； （3）由（2）及p0+p1+p2＝1，E（Xn）＝4p0+5p1+6p2得， 由（1）可知， 又因为p0+p1+p2＝1，E（Xn）＝4p0+5p1+6p2， 所以E（Xn+1）， 所以， 又因为， 所以{E（Xn）﹣6}是以为首项，为公比的等比数列， 所以， 即． 学科网（北京）股份有限公司 $