精品解析：黑龙江鸡西实验中学2025-2026学年高二下学期4月月考数学试题

黑龙江鸡西实验中学2025-2026学年高二下学期4月月考数学试题 注意事项： 1．本试卷分第I卷和第Ⅱ卷两部分.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上. 2．回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.写在本试卷上无效. 3．回答第II卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 4．考试结束后，将答题卡交回. 第I卷（选择题 共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知函数，则（ ） A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据导数的定义，就是函数在处的导数，结合对数函数求导公式求结论. 【详解】根据导数的定义，就是函数在处的导数， 因为，所以，代入得， 所以. 2. 有4封不同的信投入3个不同的信箱，可有不同的投入方法种数为（ ） A. 81 B. 64 C. 27 D. 24 【答案】A 【解析】 【分析】利用分步计数原理，每封信独立选择信箱，将各步的方法数相乘得到总方法数。 【详解】每封信都有3种选择，所以将4封不同的信投入3个不同的信箱，共有种方法． 故选：A. 3. 若函数，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【详解】因为， 所以， 则， 解得. 4. 现将12个相同的小球全部放入4个不同的盒子里，每个盒子至少放2个小球，则不同的放法共有（ ） A. 24种 B. 35种 C. 56种 D. 70种 【答案】B 【解析】 【分析】先在每个盒子中分别放入一个小球，剩余的个小球采用隔板法即可. 【详解】先在每个盒子中分别放入一个小球则剩余个小球， 只需保证个盒子中分别再放入至少个小球，则采用隔板法可得有种放法. 故选择：B 5. 有8名划船运动员，其中2人只会划左舷，3人只会划右舷，其他3人既会划左舷又会划右舷，现要从这8名运动员中选出6人平均分在左、右舷参加划船比赛，则不同的选法共有（ ） A. 52种 B. 53种 C. 54种 D. 55种 【答案】D 【解析】 【分析】以划右舷的人进行分类：（1）只会划右舷的3人去划右舷；（2）从只会划右舷的人中选2人去划右舷；（3）从只会划右舷的人中选1人划右舷.确定划右舷的人之后，再选划左舷的人，根据分类加法和分步乘法计数原理，可得答案. 【详解】（1）若只会划右舷的3人去划右舷，则划左舷的人有种，共有种； （2）若从只会划右舷的人中选2人去划右舷，则需从3名既会划左舷又会划右舷的运动员中选1人划右舷， 再从余下能划左舷的4名运动员中选3人划左舷，有种； （3）若从只会划右舷的人中选1人划右舷，则需从左、右都会划的人中选2人划右舷， 则另3人去划左舷，有种. 因此，共有种选法. 6. 的展开式中的第6项的二项式系数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二项式的定义，即可得答案. 【详解】由题意可知第6项的二项式系数为． 故选：C 7. 设等差数列的前项和分别为，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用等差数列的前n项和公式设，，，再利用关系即可求解. 【详解】因为等差数列的前项和分别为，且， 可设，，， 所以. 8. 已知定义在上的函数满足，则必有（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】构造辅助函数，用导数构造函数判断单调性，比较大小. 【详解】观察已知条件，构造，定义域为， ， 由题知，即，因此在上单调递增， 由单调性得，则， 化简得. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 展开式中二项式系数最大的是，则可以是（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据二项式系数的概念和组合数的运算公式求解. 【详解】根据二项式系数的对称关系， 当时，所有二项式系数中，，且均为最大； 当时，所有二项式系数中， 最大； 当时，所有二项式系数中，，且均为最大； 故选:BCD. 10. 为弘扬我国古代的“六艺文化”，某国学班计划开设“礼”、“乐”、“射”、“御”、“书”、“数”六门课程，每天开设一门，连续开设6天，则（ ） A. 课程“数”不排在第一天，“礼”不排在最后一天的不同排法共有504种 B. 课程“射”必须排在“御”前面的不同排法共有360种 C. 课程“御”、“书”、“数”互不相邻的不同排法共有24种 D. 课程“御”和“书”不相邻的不同排法共有480种 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用间接法计算判断A项；考虑到“射”与“御”的相对位置只有2种，即可求出排法判断B；利用插空法计算判断C，D两项即可. 【详解】对于A，应用间接法，总排法， 减去“数”在第一天的排法种和“礼”在最后一天的排法种， 再加回重复减去的“数在第一天且礼在最后一天”的排法种， 即不同排法共有种，故A正确； 对于B，“射”与“御”的相对位置有2种（“射”前或“御”前），且两种情况排法数相等． 总排法数为，故B正确； 对于C，课程“御”、“书”、“数”互不相邻，则可先排“礼、乐、射”，有种排法， 产生4个空位，将“御、书、数”插入空位且互不相邻，需从4个空位选3个排列，即． 故排法数为，故C错误； 对于D，要使课程“御”和“书”不相邻， 只需将课程“御”和“书”在另外四门课留下的5个空中选2个安排，有种排法， 再将另外四门课进行全排有种排法，则不同排法共有种，故D正确. 11. 函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 为函数的单调递增区间 B. 为函数的单调递增区间 C. 函数在处取得极小值 D. 函数在处取得极小值 【答案】AC 【解析】 【分析】根据时以及时，导函数图象即可判断A，B；利用导数的正负与函数极值之间的关系，即可判断C，D 【详解】对于A，B，当 时，，，，所以函数在单调递减，在单调递增，故A正确，B错误； 对于C，当时，，当时，，故是函数的极小值点，故C正确； 对于D，当时，，当时，，故是函数的极大值点，故D错误. 第II卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 展开式的二项式系数之和是256，则_________________. 【答案】8 【解析】 【分析】根据二项式展开式的二项式系数之和等于列方程求解即得. 【详解】因展开式的二项式系数之和为，解得：. 故答案为：8. 13. 函数的单调减区间为______． 【答案】 【解析】 【分析】求出导函数，然后解不等式即可求解单调减区间． 【详解】， 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增； 所以函数的单调减区间为． 故答案为：． 14. 如图，一个圆环分成A，B，C，D四个区域，用3种颜色（全部用完）对这四个区域涂色，要求相邻区域不同色，则不同涂色的方法种数为_______.（用数字作答） 【答案】12 【解析】 【详解】若AD同色，3种颜色（全部用完），有种， 若BC同色，3种颜色（全部用完），有种， 所以共有6+6=12种. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列的首项，且满足． （1）求证：是等比数列； （2）求数列的通项公式及前10项的和． 【答案】（1）证明见解析 （2），2036 【解析】 【分析】（1）利用递推证明等比数列即可； （2）利用等比数列通项公式和求和公式即可求解. 【小问1详解】 因为，所以， 又，所以，， 所以，即是首项为2，公比为2的等比数列． 【小问2详解】 由（1）得，即， 设数列的前项和为， 所以． 16. 已知函数. （1）求函数的单调区间以及极值； （2）求函数在上的最小值. 【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为；极大值为，无极小值 （2）1 【解析】 【分析】(1)先求函数的定义域，然后对函数求导，利用导数的正负，求得函数的单调区间，从而可求得函数的极值; (2)根据第(1)小问的单调性，确定函数在区间上的单调性，从而函数的最小值是，比较和的大小，求得函数的最小值. 【小问1详解】 函数的定义域是. 又，令，得，令，得， 故函数的单调递增区间为，单调递减区间为， 所以函数的极大值为，无极小值. 【小问2详解】 由（1）可知，在上单调递增，在上单调递减， 所以在上的最小值为. 因为，所以， 所以函数在上的最小值为1. 17. 已知． （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，利用组合数的计算公式，化简得，即可求解； （2）求得二项展开式的通项，得到为正数，为负数，分别令和，即可求得的值． （3）由（1）得到，两边求导，再令，即可求解. 【小问1详解】 解：由组合数的计算公式，可得， 即，解得或（舍去）． 【小问2详解】 解：二项式展开式的通项公式为， 由 二项式展开式中的系数为, 当为偶数时，；当为奇数时， 令，可得， 令，可得，即， 所以． 【小问3详解】 解：由（1）知，可得 两边求导得 可得， 令，代入得， 所以． 18. 已知数列的前项和为，且长为，宽为的长方形的面积为． （1）求的通项公式； （2）求的前项和； （3）若数列的前项和为，证明：． 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】(1) 首先求，再根据公式求解通项公式； (2) 利用错位相减法求和即可； (3) 利用裂项相消法求和即可. 【小问1详解】 由题意得， 当时，， 当时，满足， 所以. 【小问2详解】 由(1) 可知，， 所以， ， 两式相减得， 所以. 【小问3详解】 因为， 所以， 因为，所以， 故成立. 19. 已知函数. （1）当时，求函数的极小值； （2）讨论函数的单调性； （3）若函数有两个零点，求a的取值范围. 【答案】（1） （2）若，则是减函数；若，则在上单调递减，在上单调递增. （3） 【解析】 【分析】（1）利用导数分析当时，函数的单调性，即可得其极值点，从而求得其极小值； （2）分和两种情况，利用导数讨论函数的单调性； （3）结合（2）的结论，构造新函数，利用新函数的导数分析新函数的单调性，求解不等式得的取值范围. 【小问1详解】 当时，. . 因为恒成立， 所以当时，；当时，. 所以在上单调递减；在上单调递增. 所以在处取得极小值，极小值为. 【小问2详解】 函数.的定义域为. . 因为恒成立， 所以若，恒成立，所以恒成立，在上单调递减； 若，当时，；当时，. 所以在上单调递减，在上单调递增. 综上所述，若，在上单调递减；若，在上单调递减，在上单调递增. 【小问3详解】 由（2）知，若，则是减函数，函数不可能有两个零点； 若，则在上单调递减，在上单调递增， 在处取得极小值，即最小值，最小值为. 此时，当时，；当时，； 要使函数有两个零点，只需使，即. 令，则恒成立， 所以是增函数. 又，所以当且仅当时，. 所以a的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 黑龙江鸡西实验中学2025-2026学年高二下学期4月月考数学试题 注意事项： 1．本试卷分第I卷和第Ⅱ卷两部分.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上. 2．回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.写在本试卷上无效. 3．回答第II卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 4．考试结束后，将答题卡交回. 第I卷（选择题 共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知函数，则（ ） A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 2. 有4封不同的信投入3个不同的信箱，可有不同的投入方法种数为（ ） A. 81 B. 64 C. 27 D. 24 3. 若函数，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 4. 现将12个相同的小球全部放入4个不同的盒子里，每个盒子至少放2个小球，则不同的放法共有（ ） A. 24种 B. 35种 C. 56种 D. 70种 5. 有8名划船运动员，其中2人只会划左舷，3人只会划右舷，其他3人既会划左舷又会划右舷，现要从这8名运动员中选出6人平均分在左、右舷参加划船比赛，则不同的选法共有（ ） A. 52种 B. 53种 C. 54种 D. 55种 6. 的展开式中的第6项的二项式系数是（ ） A. B. C. D. 7. 设等差数列的前项和分别为，若，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知定义在上的函数满足，则必有（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 展开式中二项式系数最大的是，则可以是（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 10. 为弘扬我国古代的“六艺文化”，某国学班计划开设“礼”、“乐”、“射”、“御”、“书”、“数”六门课程，每天开设一门，连续开设6天，则（ ） A. 课程“数”不排在第一天，“礼”不排在最后一天的不同排法共有504种 B. 课程“射”必须排在“御”前面的不同排法共有360种 C. 课程“御”、“书”、“数”互不相邻的不同排法共有24种 D. 课程“御”和“书”不相邻的不同排法共有480种 11. 函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 为函数的单调递增区间 B. 为函数的单调递增区间 C. 函数在处取得极小值 D. 函数在处取得极小值 第II卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 展开式的二项式系数之和是256，则_________________. 13. 函数的单调减区间为______． 14. 如图，一个圆环分成A，B，C，D四个区域，用3种颜色（全部用完）对这四个区域涂色，要求相邻区域不同色，则不同涂色的方法种数为_______.（用数字作答） 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列的首项，且满足． （1）求证：是等比数列； （2）求数列的通项公式及前10项的和． 16. 已知函数. （1）求函数的单调区间以及极值； （2）求函数在上的最小值. 17. 已知． （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值． 18. 已知数列的前项和为，且长为，宽为的长方形的面积为． （1）求的通项公式； （2）求的前项和； （3）若数列的前项和为，证明：． 19. 已知函数. （1）当时，求函数的极小值； （2）讨论函数的单调性； （3）若函数有两个零点，求a的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $