精品解析：湖南省湘潭市湘乡市湘乡市东皋学校2025-2026学年下学期八年级数学期中质量监测试题卷

东皋学校2026年上八年级数学期中质量监测试题卷 一、单选题 1. 遵守交通规则不仅关系到自己的生命和安全，同时也是尊重他人生命的体现，是构筑和谐社会的重要因素．下列交通标志图案中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 一个六边形从一个顶点出发，引出对角线的条数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 3. 已知中，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 4. 四边形中，对角线与交于点，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ） A. ， B. ∥，∥ C. ， D. ∥， 5. 若一次函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ） A. B. 当时， C. 随的增大而减小 D. 当时， 6. 将一次函数的图像沿轴向上平移个单位长度后经过点，则的值为（ ） A. 6 B. 5 C. D. 7. 如图，在中，、是对角线上两点，，，，则的大小为（ ） A. B. C. D. 8. 甲、乙二人在一次赛跑中，路程（米）与时间（秒）的关系如图所示，从图中可以看出，下列结论正确的是（ ） A. 甲、乙两人跑的路程不相等 B. 甲、乙同时到达终点 C. 甲的速度比乙的速度快米/秒 D. 甲、乙不是同时出发的 9. 在测浮力的实验中，将一长方体石块由玻璃器皿的上方，向下缓慢移动浸入水里的过程中，弹簧测力计的示数（N）与石块下降的高度之间的关系如图所示（温馨提示：当石块位于水面上方时，，当石块入水后，）．则以下说法不正确的是（ ） A. 当时，（N）与之间的函数表达式为 B. 石块的高度为 C. 当弹簧测力计的示数为时，此时石块距离水底 D. 石块下降高度时，此时石块所受浮力是 10. 如图，已知是边长为3的等边三角形，点是边上的一点，且，以为边作等边，过点作，交于点，连接，则下列结论中①；②；③四边形是平行四边形；④；⑤．其中正确的有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 二、填空题 11. 一个正多边形的内角和为，则它的每一个内角为______． 12. 在梯形中，，，，，，则梯形高_______． 13. 完美五边形是指可以无重叠、无间隙铺满整个平面的凸五边形．如图，五边形ABCDE是迄今为止人类发现的第15种完美五边形，其中，则_________ ． 14. 如图，四边形是平行四边形，平分，交边于E，若，，则DE的长度为________． 15. 已知二元一次方程表示的直线与一次函数的图象交点的横坐标为3，则关于的二元一次方程组的解为___________． 16. 如图，已知正方形的对角线，相交于点，顶点，，的坐标分别为，，，规定“把正方形先沿轴翻折，再向右平移1个单位”为一次变换，如此这样，连续经过次变换后，点的坐标变为___________． 三、解答题 17. 如图，在平行四边形中，点E，F在对角线上，且，连接．求证：． 18. 如图所示，已知正比例函数与一次函数的交点P的坐标为，其中，满足，且与轴交于点； （1）求点的坐标； （2）求直线与直线的函数解析式； （3）求的面积． 19. 如图，在中，，连接，过点作，交的延长线于点，过点作，交的延长线于点； （1）求的度数； （2）若，求的长． 20. 如图，在平面直角坐标系中，四边形的顶点分别为点，，，，点在线段上，连接并延长交轴于点，将沿直线翻折到，延长与轴交于点． （1）求证：； （2）当时，求的长． 21. 为促进学生养成良好的锻炼习惯，提高体质健康水平．某校计划购买篮球和排球，供更多学生参加体育锻炼．已知购买2个篮球与购买3个排球需要的费用相等，购买2个篮球和5个排球共需元． （1）求每个篮球，每个排球的价格分别是多少元？ （2）该校计划购买篮球和排球共个，篮球和排球均需购买，且购买排球的个数不超过购买篮球个数的2倍．请给出最节省费用的购买方案，并求出最少的费用． 22. 对于实数a，b定义两种新运算“※”和“*”： （其中k为常数，且），若对于平面直角坐标系中的点，有点的坐标与之对应，则称点P的“k衍生点”为点．例如：的“2衍生点”为，即． （1）点的“3衍生点”的坐标为 ； （2）若点P的“5衍生点”的坐标为，求点P的坐标； （3） 若点P的“k衍生点”为点，且直线平行于y轴，线段的长度为线段长度的3倍，求k的值． 23. 如图，在中，点，分别为，上的动点（不含端点），且． （1）如图1，当为等边三角形时，将绕点逆时针旋转得到，连接，则与的数量关系为___________； （2）如图2，在中，，于点，交于点，将绕点逆时针旋转得到，连接，． ①试猜想四边形的形状，并证明； ②若，请直接写出的最小值． 24. 【操作思考】如图1，在平面直角坐标系中，等腰的直角顶点在原点，若顶点恰好落在点处．则点的坐标为_____．（直接写结果） 【感悟应用】如图2．在平面直角坐标系中，将等腰如图放置，直角顶点，点，试求直线的函数表达式． 【拓展探究】若点是直线上且位于第三象限图象上的一个动点，点是轴正半轴上的一个动点．点是函数与轴的交点，当以点为顶点的三角形为等腰直角三角形时，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 东皋学校2026年上八年级数学期中质量监测试题卷 一、单选题 1. 遵守交通规则不仅关系到自己的生命和安全，同时也是尊重他人生命的体现，是构筑和谐社会的重要因素．下列交通标志图案中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据中心对称图形的定义，逐个分析判断即可． 【详解】解：A． 该图形不是中心对称图形，不符合题意； B． 该图形是中心对称图形，符合题意； C． 该图形不是中心对称图形，不符合题意； D．该图形不是中心对称图形，不符合题意． 2. 一个六边形从一个顶点出发，引出对角线的条数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了多边形的对角线条数问题， 根据多边形对角线的定义，从一个顶点出发，可以连接除自身及相邻顶点外的所有其他顶点，因此可引对角线条数为顶点数减3． 【详解】解：从一个顶点出发，可引对角线条数， ∵， ∴可引对角线条数． 故选：D． 3. 已知中，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了平行四边形的性质．根据平行四边形对角相等，邻角互补进行解答即可． 【详解】解：∵中，， ∴， ∴， 故选：C． 4. 四边形中，对角线与交于点，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ） A. ， B. ∥，∥ C. ， D. ∥， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定．根据平行四边形的判定定理求解即可求得答案． 【详解】解：、，， 四边形是平行四边形．故能判定这个四边形是平行四边形； B、，， 四边形是平行四边形．故能判定这个四边形是平行四边形； C、，， 四边形是平行四边形．故能判定这个四边形是平行四边形； D、，， 四边形是平行四边形或等腰梯形．故不能判定这个四边形是平行四边形． 故选：D． 5. 若一次函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ） A. B. 当时， C. 随的增大而减小 D. 当时， 【答案】B 【解析】 【分析】根据一次函数的图象与性质判断即可． 【详解】解：、由图象可知，一次函数的图象经过第一、三、四象限，则有，该选项不符合题意； 、由图象可知，当时，，该选项符合题意； 、由图象可知，随的增大而增大，该选项不符合题意； 、由图象可知，当时，，该选项不符合题意． 6. 将一次函数的图像沿轴向上平移个单位长度后经过点，则的值为（ ） A. 6 B. 5 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数的图象与几何变换， 先求出函数平移后的解析式，再把点代入求出的值即可． 【详解】解：一次函数的图象沿轴向上平移个单位长度， 平移后的解析式为， 平移后经过点， ， 解得． 故选：B． 7. 如图，在中，、是对角线上两点，，，，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由平行四边形的性质可得，从而可得，由直角三角形的性质可得，由等边对等角并结合三角形外角的定义及性质得出，再结合，计算即可得出结果． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 8. 甲、乙二人在一次赛跑中，路程（米）与时间（秒）的关系如图所示，从图中可以看出，下列结论正确的是（ ） A. 甲、乙两人跑的路程不相等 B. 甲、乙同时到达终点 C. 甲的速度比乙的速度快米/秒 D. 甲、乙不是同时出发的 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了从函数图象获取信息，根据函数图象可得二者同时出发，且路程都为100米，其中甲比乙先到达终点，再根据速度等于路程除以时间分别计算出两人的速度即可得到答案． 【详解】解：由函数图象可知，二者同时出发，且路程都为100米，其中甲比乙先到达终点， 甲的速度为，乙的速度为， ∴甲的速度比乙的速度快米/秒， 故选：C． 9. 在测浮力的实验中，将一长方体石块由玻璃器皿的上方，向下缓慢移动浸入水里的过程中，弹簧测力计的示数（N）与石块下降的高度之间的关系如图所示（温馨提示：当石块位于水面上方时，，当石块入水后，）．则以下说法不正确的是（ ） A. 当时，（N）与之间的函数表达式为 B. 石块的高度为 C. 当弹簧测力计的示数为时，此时石块距离水底 D. 石块下降高度时，此时石块所受浮力是 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了函数图象的应用，对物理常识的掌握及数形结合的思想是解题关键． 观察图象，解出的函数关系式，利用关系式判断出相关结论即可解题． 【详解】解：A、当时，设，代入，得，故A不符题意； B、由图得，当石块下降时，拉力才变化，故石块的高度为，故B不符合题意； C、将代入，得，故C不符合题意； D、，将代入，得，故D符合题意； 故选：D． 10. 如图，已知是边长为3的等边三角形，点是边上的一点，且，以为边作等边，过点作，交于点，连接，则下列结论中①；②；③四边形是平行四边形；④；⑤．其中正确的有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理等知识，连接，作于，由等边三角形的性质可判断①；证明，是等边三角形，可得，求解，可得判断③，可得，可判断②，可得，如图，过作于点，则，进一步可判断④⑤不符合题意． 【详解】解：连接，作于， ∵，都是等边三角形， ∴，，， ∴，故①符合题意； ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴在中，由勾股定理得：， ∵， ∴四边形是平行四边形，故③符合题意， ∵，，， ∴，故②符合题意， ∴， 如图，过作于点，则， ∵是边长为的等边三角形， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴，故④不符合题意； ∵，， ∴， 而，， ∴， ∴；故⑤不符合题意， 综上①②③符合题意，共个， 故选：B． 二、填空题 11. 一个正多边形的内角和为，则它的每一个内角为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正多边形的内角，先利用内角和公式求出正多边形的边数，进而求出每一个内角的度数即可，掌握多边形的内角和公式是解题的关键． 【详解】解：设正多边形的边数为， 由题意得，， ∴， ∴正多边形是正五边形， ∴它的每一个内角为， 故答案为：． 12. 在梯形中，，，，，，则梯形高_______． 【答案】 【解析】 【分析】线段的长度即为梯形高的长度，过点作于点，证明四边形是矩形，得到，，结合勾股定理可得． 【详解】解：根据题意可知，线段的长度即为梯形高的长度． 过点作于点． ， 四边形是矩形． ，． ． 在中，由勾股定理得． 梯形的高． 13. 完美五边形是指可以无重叠、无间隙铺满整个平面的凸五边形．如图，五边形ABCDE是迄今为止人类发现的第15种完美五边形，其中，则_________ ． 【答案】##340度 【解析】 【分析】本题考查的是多边形的内角与外角，先求解，再结合五边形的内角和定理可得答案． 【详解】解：由条件可知， ∵， ∴； 故答案为：． 14. 如图，四边形是平行四边形，平分，交边于E，若，，则DE的长度为________． 【答案】4 【解析】 【分析】由平行四边形性质得，，，由角平分线得，进而得，根据等角对等边得，进而计算． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，，， ， 平分， ， ， ， ， 故答案为：4 ． 15. 已知二元一次方程表示的直线与一次函数的图象交点的横坐标为3，则关于的二元一次方程组的解为___________． 【答案】 【解析】 【分析】两个一次函数图象交点的横纵坐标就是对应二元一次方程组的解，根据交点横坐标求出纵坐标即可得到方程组的解． 【详解】解：已知交点横坐标为， 将代入，得， 两条直线的交点坐标为， 二元一次方程组的解为． 16. 如图，已知正方形的对角线，相交于点，顶点，，的坐标分别为，，，规定“把正方形先沿轴翻折，再向右平移1个单位”为一次变换，如此这样，连续经过次变换后，点的坐标变为___________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据中点坐标公式求出点的初始坐标为，再根据关于轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数，结合点坐标平移的特点找到点经过变换后点的坐标规律，即可得到答案． 【详解】解：∵正方形的顶点，，的坐标分别为，，， ∴正方形的对角线的交点的坐标为， 把正方形先沿轴翻折，再向右平移个单位为一次变换， 则第一次变换后点的坐标为，即， 第二次变换后点的坐标为，即， 第三次变换后点的坐标为，即， …， 第次变换后，当为奇数时，点的坐标为：；当为偶数时点的坐标为：， ∴连续经过第次变换后，点的坐标为：，即． 三、解答题 17. 如图，在平行四边形中，点E，F在对角线上，且，连接．求证：． 【答案】见详解 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，先根据平行四边形的性质得，结合，证明，即． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴． 18. 如图所示，已知正比例函数与一次函数的交点P的坐标为，其中，满足，且与轴交于点； （1）求点的坐标； （2）求直线与直线的函数解析式； （3）求的面积． 【答案】（1）点P的坐标为 （2）的函数解析式为；的函数解析式为 （3）6 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法发求函数解析式，一次函数综合，算术平方根和偶次方的非负性，掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键． （1）根据算术平方根和偶次方的非负性解答即可； （2）利用待定系数法求函数解析式即可； （3）过点P作，交于N，求出和长，利用三角形的面积公式计算解题． 【小问1详解】 解：∵， ∴，， 解得， ∴点P的坐标为 【小问2详解】 解：设的函数解析式为，代入点P， 解得， ∴的函数解析式为； 设的函数解析式为，代入点P，点A得； ，解得 ∴的函数解析式为； 【小问3详解】 解：过点P作，交于N， ∵P， ∴， 点Q为与轴的交点， ∴Q， ∴， ． 19. 如图，在中，，连接，过点作，交的延长线于点，过点作，交的延长线于点； （1）求的度数； （2）若，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、含度角的直角三角形的性质； （1）根据平行四边形的性质可得，根据平行线的性质可得，进而根据直角三角形的两个锐角互余，即可求解； （2）根据含度角的直角三角形的性质得出，进而证明四边形是平行四边形，得出，即可得出，即可求解． 【小问1详解】 解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 ∵，，， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴ 又∵ ∴， ∴． 20. 如图，在平面直角坐标系中，四边形的顶点分别为点，，，，点在线段上，连接并延长交轴于点，将沿直线翻折到，延长与轴交于点． （1）求证：； （2）当时，求的长． 【答案】（1） 证明：∵点，的纵坐标相同， ∴轴， ∴． 根据图形折叠的性质可知， ∴． ∴． （2） 【解析】 【分析】（1）求得轴，得到，结合，即可证明结论； （2）设，则，，根据勾股定理可得到，结合，即可求得答案． 【小问1详解】 解：略； 【小问2详解】 解：∵点，的横坐标相同， ∴轴． ∴． 设，则，． ∵在中，， ∵， ∴． ∴． ∴． 21. 为促进学生养成良好的锻炼习惯，提高体质健康水平．某校计划购买篮球和排球，供更多学生参加体育锻炼．已知购买2个篮球与购买3个排球需要的费用相等，购买2个篮球和5个排球共需元． （1）求每个篮球，每个排球的价格分别是多少元？ （2）该校计划购买篮球和排球共个，篮球和排球均需购买，且购买排球的个数不超过购买篮球个数的2倍．请给出最节省费用的购买方案，并求出最少的费用． 【答案】（1）每个篮球的价格是元，每个排球的价格是元； （2）最节省费用的购买方案是购买篮球个，购买排球个，最少费用是元． 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组与一元一次不等式的实际应用，涉及方程思想、不等式思想、函数最值思想．解题关键是准确列方程和不等式，易错点是忽略“篮球和排球均需购买”的条件． （1）通过设篮球和排球的价格为未知数，利用“2个篮球费用等于3个排球费用”和“2个篮球加5个排球共元”两个条件列方程组求解；（2）设购买篮球个数，用总数表示排球个数，根据“排球个数不超过篮球个数的2倍”列不等式确定篮球个数范围，再通过总费用函数的单调性求最小值． 【小问1详解】 解：设每个篮球的价格为元，每个排球的价格为元， 根据“购买2个篮球与购买3个排球需要的费用相等”，得； 根据“购买2个篮球和5个排球共需元”，得； 联立方程组， 解得． 答：每个篮球的价格是元，每个排球的价格是元． 【小问2详解】 解：设购买篮球个，总费用为元， 根据“购买排球的个数不超过购买篮球个数的2倍”，得， 解得. 总费用， ， 随的增大而增大， 又且m为整数， 当取最小值20时，取得最小值， 此时（元）， 排球的个数为（个）． 答：最节省费用的购买方案是购买篮球个，购买排球个，最少费用是元． 22. 对于实数a，b定义两种新运算“※”和“*”： （其中k为常数，且），若对于平面直角坐标系中的点，有点的坐标与之对应，则称点P的“k衍生点”为点．例如：的“2衍生点”为，即． （1）点的“3衍生点”的坐标为 ； （2）若点P的“5衍生点”的坐标为，求点P的坐标； （3） 若点P的“k衍生点”为点，且直线平行于y轴，线段的长度为线段长度的3倍，求k的值． 【答案】（1） （2） （3）k的值为3和 【解析】 【分析】本题主要考查坐标与图形的性质，解二元一次方程组，熟练掌握新定义并列出相关的方程和方程组是解题的关键． （1）直接利用新定义进而分析得出答案； （2）直接利用新定义结合二元一次方程组的解法得出答案； （3）先由平行于y轴得出点P的坐标为，继而得出点的坐标为，线段的长度为线段长度的3倍，解之可得． 【小问1详解】 解：点的“3衍生点”的坐标为， 即， 故答案为：； 【小问2详解】 解：设 依题意，得方程组 ， 解得， ∴点； 【小问3详解】 解：设，则的坐标为， ∵平行于y轴， ∴， 即， 又∵， ∴， ∴点P的坐标为，点的坐标为， ∴线段的长度为， ∴线段的长为， 根据题意，有， ∴． ∴． ∴k的值为3和． 23. 如图，在中，点，分别为，上的动点（不含端点），且． （1）如图1，当为等边三角形时，将绕点逆时针旋转得到，连接，则与的数量关系为___________； （2）如图2，在中，，于点，交于点，将绕点逆时针旋转得到，连接，． ①试猜想四边形的形状，并证明； ②若，请直接写出的最小值． 【答案】（1） （2）①四边形是平行四边形，证明见解析；② 【解析】 【分析】（1）根据等边三角的性质可得，再由旋转的性质可得，从而可得，证明即可得求解； （2）根据等腰直角三角形的性质可得，再根据旋转的性质可得，从而可得，由平行线的判定可得，证明，可得，利用等量代换可得，再由平行线的判定可得，根据平行四边形的判定即可得证；②设，则，由勾股定理得出，代入数值，再根据即可求解． 【小问1详解】 解：为等边三角形， ， 绕点M逆时针旋转得到， ， ， 在和中， ， ， ； 【小问2详解】 解：①四边形为平行四边形； 证明如下： ， ， 绕点M逆时针旋转得到， ， ， 则， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， 则四边形为平行四边形； ②设，则， ∵， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴，即的最小值为. 此时，． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，旋转的性质，平行四边形的判定，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，掌握这些知识是解题的关键． 24. 【操作思考】如图1，在平面直角坐标系中，等腰的直角顶点在原点，若顶点恰好落在点处．则点的坐标为_____．（直接写结果） 【感悟应用】如图2．在平面直角坐标系中，将等腰如图放置，直角顶点，点，试求直线的函数表达式． 【拓展探究】若点是直线上且位于第三象限图象上的一个动点，点是轴正半轴上的一个动点．点是函数与轴的交点，当以点为顶点的三角形为等腰直角三角形时，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】【操作思考】；【感悟应用】；【拓展探究】存在，点的坐标为或 【解析】 【分析】【操作思考】过点A作轴于，过点B作轴于，由点坐标可知，证明，得出，，即可得出点B的坐标； 【感悟应用】通过证明得出点坐标，用待定系数法求直线的函数表达式； 【拓展探究】分别以F、E、D为等腰直角三角形的直角顶点，设，，利用感悟应用的全等思想表示相应线段的长度，列出方程求解即可． 【详解】解：【操作思考】如图1，过点A作轴于点，过点B作轴于点． 由点坐标可知， 为等腰直角三角形， ∴，， ∵轴，轴， ∴， 又，， ∴， ∴， ∴，， ∴点坐标为：； 【感悟应用】如图，过点作轴于点H． ∵点，点， ∴，， ∵为等腰直角三角形 ∴，， 轴， ∴， ∵， ，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 设直线的表达式为 将和代入， 得， 解得， ∴直线的函数表达式为：． 【拓展探究】存在； 由F是函数与轴的交点，可知， 点D是直线上且位于第三象限图象上的一个动点，点E是轴正半轴上的一个动点， 设，， 以点F为直角顶点，即：，过F作轴，过点D作于点P，过点E作于点N，如图所示： 由感悟应用类比可得：，， ∴， 解得： 故此时：； 以点D为直角顶点时，点E在y轴的负半轴，不符合题意； 以点E为顶角，即：，过E作轴，过点D作于点P，过点F作于点N，如图所示： 由感悟应用类比可得：，，， 解得： 故： 不存在符合题意的以点D为直角顶点的等腰三角形， 综上，点E的坐标为：或． 【点睛】本题是一次函数与三角形的综合，主要考查了一次函数解析式、全等三角形的证明及性质，灵活运用全等的性质求点的坐标是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $