精品解析：湖南省湘潭市湘乡市东皋学校2024-2025学年八年级下学期4月期中数学试题

东皋学校2025年上八年级期中学科质量监测数学试题卷 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 如图，在中，，，若 ，则的长为（ ） A. 1 B. C. D. 2 2. 从多边形的一个顶点出发可引出条对角线，则它是（ ） A. 七边形 B. 八边形 C. 九边形 D. 十边形 3. 如图，将直角三角尺放置在刻度尺上，斜边上三个点A，D，B对应的刻度分别为1，4，7（单位：），则的长度为（ ） A 6 B. 4.5 C. 3.5 D. 3 4. 图给出了四边形的部分数据，若使得四边形为平行四边形，添加的条件可以是（   ） A. B. C. D. 5. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 6. 函数中自变量x取值范围是（　　） A. B. C. D. 7. 将点A（3，2）沿x轴向左平移4个单位长度得到点A′，点A′关于y轴对称的点的坐标是（ ） A. （﹣3，2） B. （﹣1，2） C. （1，2） D. （1，﹣2） 8. 在复习特殊的平行四边形时．某小组同学画出了如图关系图，组内一名同学在箭头处填写了它们之间转换的条件，其中填写错误的是（ ） A. ①，有一个角是直角 B. ③，对角线相等 C. ②，对角线互相垂直 D. ④，有一个角是直角 9. 下列说法不正确的是（ ） A. 点在第一象限 B. 点到y轴的距离为 C. 若中，则点P在x轴上 D. 点一定第二象限 10. 如图，，和分别平分和，过点P，且与垂直．若点P到的距离是4，则的长为（　　） A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 二、填空题（每小题3分，共24分） 11. 一个正多边形的内角和为，则它的每一个内角为______． 12. 若点P在第二象限，且到x轴的距离为3，到y轴的距离为6，则点P的坐标为______． 13. 若函数是关于的一次函数，则_____． 14. 如图，为了测量池塘边A、B两地之间的距离，在的同侧取一点C，连接并延长至点D，连接并延长至点E，使得，．若测得，则A，B间的距离是______． 15. 如图，四边形为平行四边形，请你添加一个合适的条件_____________，使其成为矩形(只需添加一个即可)． 16. 如图所示，是一块由花园小道围成的边长为12米的正方形绿地，在离处5米的绿地旁边处有健身器材，为保护绿地，不直接穿过绿地从到，而是沿小道从，这样多走了______米． 17. 如图，顺次连接任意四边形各边中点，所得的四边形是中点四边形． 下列四个叙述： ①中点四边形一定是平行四边形； ②当四边形是矩形，中点四边形也是矩形； ③当四边形菱形，中点四边形也是菱形； ④当四边形是正方形，中点四边形也是正方形．其中正确的结论是________（只填代号） 18. 若点在第二象限，则关于未知数x的不等式的解集为______． 三、解答题 19. 如图，已知，垂足分别为E，F，，求证：． 20. 如图，已知． （1）画出关于y轴的对称的图形，并写出点B的对称点的坐标； （2）求的面积． 21. 如图，平行四边形中，、分别在、边上，且． （1）求证：； （2）求证：四边形是平行四边形． 22. “一树新栽益四邻，野夫如到旧上春”，春天是植树的最佳季节．如图，四边形为某林场种植树林的区域，经测量，，， （1）护林员操控一架无人机从A处沿直线飞行到C处进行巡查，求无人机飞行路径的长； （2）证明： 23. 如图，菱形的对角线与相交于点O，的中点为E，连接并延长至点F，使得，连接，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求菱形的面积． 24. 如图，已知是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O为坐标原点，点，点，在边上任取一点D，将沿翻折，使点A落在边上，记为点E． （1）直接写出点B的坐标__________； （2）求的长； （3）若在x轴正半轴上存在点P，使得为等腰三角形，求点P的坐标． 25. 定义：平面内有P、A、B三点，连接，若且，则称点A和点B是关于点P的“n度等距点”． （1）如图1，已知在平面直角坐标系内，点P在x轴的正半轴上，且，点M在第一象限，若点O和点P是关于点M的“60度等距点”，则点M的坐标为 ； （2）如图2，已知点A、B的坐标分别是，点N在第一象限，若点B和点N是关于点A的“90度等距点”，求点N的坐标； （3）如图3，已知在平面直角坐标系内，点C在第二象限，，与x轴的所夹锐角为，点E为平面直角坐标系内一点，若点O和点E是关于点C的“120度等距点”，则点E的坐标是 ． 26. 如图，在正方形中，点是对角线上一点，连接，将线段绕点逆时针旋转，使点落在射线上的点处，连接． 【问题引入】 （1）请你在图1或图2中证明；（选择一种情况即可） 【探索发现】 （2）在（1）中你选择的图形上继续探索：延长交直线于点．将图形补充完整，猜想线段和线段的数量关系，并说明理由； 【拓展应用】 （3）如图3，，延长AE至点，使，连接．直接写出的周长最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 东皋学校2025年上八年级期中学科质量监测数学试题卷 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 如图，在中，，，若 ，则的长为（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，根据含30度角的直角三角形中，30度角所对的边是斜边的一半即可解答． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， 故选：B． 2. 从多边形的一个顶点出发可引出条对角线，则它是（ ） A. 七边形 B. 八边形 C. 九边形 D. 十边形 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了多边形的对角线条数问题，解题的关键是熟记如果一个多边形有条边，则经过此多边形的一个顶点所有的对角线有条，经过此多边形的一个顶点的所有对角线把它分成个三角形． 设多边形有条边，然后根据从多边形的一个顶点可以作对角线的条数公式，求出边数即可． 【详解】解：设多边形有条边，则， 解得， 故多边形的边数为，即它是八边形， 故选：． 3. 如图，将直角三角尺放置在刻度尺上，斜边上三个点A，D，B对应的刻度分别为1，4，7（单位：），则的长度为（ ） A. 6 B. 4.5 C. 3.5 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是直角三角形斜边上的中线，在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．根据直角三角形斜边上的中线的性质解答即可． 【详解】解：由题意可知：， 在中，是的中线， 故选：D． 4. 图给出了四边形的部分数据，若使得四边形为平行四边形，添加的条件可以是（   ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定、平行线的判定．根据平行四边形的判定定理添加条件即可求解． 【详解】解：∵在四边形中，， ∴， ∴根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形的判定，可添加的条件是：． 故选：D． 5. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查轴对称和中心对称图形的定义，掌握轴对称图形与中心对称图形的概念是解决的关键．在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；在平面内，一个图形绕某个点旋转，如果旋转前后的图形能完全重合，那么这个图形叫做中心对称图形． 【详解】解：A．是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意； B．既是轴对称图形也是中心对称图形，故符合题意； C．是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意； D．是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意． 故选：B ． 6. 函数中自变量x的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了求函数自变量取值范围，解答时注意通过二次根式被开方数要大于等于零求出x取值范围．由二次根式的被开方数大于等于0问题可解． 【详解】解∶根据题意，得， 解得， 故选∶C． 7. 将点A（3，2）沿x轴向左平移4个单位长度得到点A′，点A′关于y轴对称点的坐标是（ ） A. （﹣3，2） B. （﹣1，2） C. （1，2） D. （1，﹣2） 【答案】C 【解析】 【分析】先利用平移中点的变化规律求出点A′的坐标，再根据关于y轴对称的点的坐标特征即可求解． 【详解】根据坐标的平移变化的规律，左右平移只改变点的横坐标，左减右加．上下平移只改变点的纵坐标，下减上加， 因此，将点A（3，2）沿x轴向左平移4个单位长度得到点A′，点A′的坐标为（－1，2）． 关于y轴对称的点的坐标特征是纵坐标不变，横坐标互为相反数， 从而点A′(－1，2)关于y轴对称的点的坐标是（1，2）． 故选C． 8. 在复习特殊的平行四边形时．某小组同学画出了如图关系图，组内一名同学在箭头处填写了它们之间转换的条件，其中填写错误的是（ ） A. ①，有一个角是直角 B. ③，对角线相等 C. ②，对角线互相垂直 D. ④，有一个角是直角 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、矩形和菱形、正方形的判定等知识点，熟练掌握矩形、菱形、正方形的判定定理是解本题的关键． 根据平行四边形的性质和矩形、菱形、正方形的判定定理，对它们之间转换的条件逐步分析判断即可． 【详解】解：A、①有一个角是直角的平行四边形一定是矩形，故该转换条件填写正确，不符合题意； B、③对角线相等矩形不一定是正方形，故该转换条件填写错误，符合题意； C、②，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故该转换条件填写正确，不符合题意； D、④，有一个角是直角的菱形是正方形，故该转换条件填写正确，不符合题意． 故选：B． 9. 下列说法不正确的是（ ） A. 点在第一象限 B. 点到y轴的距离为 C. 若中，则点P在x轴上 D. 点一定在第二象限 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了点的坐标特征，绝对值的非负性等知识，根据点在各象限的坐标符号特征，坐标轴上点的坐标特征，点到坐标轴的距离即可解答，掌握点的坐标特征是解题的关键． 【详解】解：A、点在第一象限，说法正确，故选项不符合题意； B、点到y轴的距离为，说法正确，故选项不符合题意； C、若中，则点在轴或轴上，故选项符合题意； D、∵，， ∴点一定在第二象限，故选项不符合题意； 故选：C． 10. 如图，，和分别平分和，过点P，且与垂直．若点P到的距离是4，则的长为（　　） A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查角平分线的性质定理．过点P作于E，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得，，那么，又点P到的距离是4，进而求出． 【详解】解：过点P作于E， ∵，， ∴， ∵和分别平分和， ∴，， ∴， ∵，， ∴． 故选A． 二、填空题（每小题3分，共24分） 11. 一个正多边形的内角和为，则它的每一个内角为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正多边形的内角，先利用内角和公式求出正多边形的边数，进而求出每一个内角的度数即可，掌握多边形的内角和公式是解题的关键． 【详解】解：设正多边形的边数为， 由题意得，， ∴， ∴正多边形是正五边形， ∴它的每一个内角为， 故答案为：． 12. 若点P在第二象限，且到x轴的距离为3，到y轴的距离为6，则点P的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了点的坐标（写出直角坐标系中点的坐标），是基础题，熟记点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值是解题的关键． 根据第二象限内点的横坐标是负数，纵坐标是正数，点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值解答即可． 【详解】解：点在第二象限，且到x轴的距离为3，到y轴的距离为6， 点的横坐标为，纵坐标为， 点的坐标为， 故答案为：． 13. 若函数是关于的一次函数，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一次函数的定义：形如的函数是一次函数．根据一次函数的定义得到且，进而解方程即可求解． 【详解】解：∵函数是关于的一次函数， ∴且， 解得， 故答案为：． 14. 如图，为了测量池塘边A、B两地之间的距离，在的同侧取一点C，连接并延长至点D，连接并延长至点E，使得，．若测得，则A，B间的距离是______． 【答案】13 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，熟练掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键． 根据三角形中位线定理解答即可． 【详解】解：∵，， ∴A、B分别是、的中点， ∴是的中位线， ∴， 故答案为：13． 15. 如图，四边形为平行四边形，请你添加一个合适的条件_____________，使其成为矩形(只需添加一个即可)． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定，熟练掌握矩形的判定是本题的关键； 根据矩形的判定定理即可解答． 【详解】四边形为平行四边形，， 四边形为矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）； 故答案为：（答案不唯一）． 16. 如图所示，是一块由花园小道围成的边长为12米的正方形绿地，在离处5米的绿地旁边处有健身器材，为保护绿地，不直接穿过绿地从到，而是沿小道从，这样多走了______米． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理在实际生活中的运用，解题的关键是正确的运用勾股定理求．在直角中，为斜边，已知，，则根据勾股定理可以求斜边，根据少走的距离为可以求解． 【详解】解：在中，为斜边， 米， 少走的距离为 （米）， 故答案为：4． 17. 如图，顺次连接任意四边形各边中点，所得的四边形是中点四边形． 下列四个叙述： ①中点四边形一定是平行四边形； ②当四边形是矩形，中点四边形也是矩形； ③当四边形是菱形，中点四边形也是菱形； ④当四边形是正方形，中点四边形也是正方形．其中正确的结论是________（只填代号） 【答案】①④##④① 【解析】 【分析】此题考查了三角形的中位线定理、平行四边形的判定、菱形的判定、矩形的判定与正方形的判定．熟练掌握中位线定理是解题的关键；连接，，根据三角形中位线定理“三角形的中位线等于第三边的一半”，再根据平行四边形的判定，菱形的判定，矩形的判定，正方形的判定，求解即可． 【详解】解：如图，连接，， ，，，分别是四边形各边的中点， ， 四边形是平行四边形；（①正确） 若四边形是矩形， ＝， ＝，＝， ＝， 四边形是菱形；（②错误） 若四边形是菱形， ， ∵， ， 四边形是矩形，不一定是菱形；（③错误） 四边形是正方形， ＝，， ＝，＝， ＝， 四边形是菱形； ，， ， ， 四边形是正方形．（④正确） 正确的是①④． 故答案为：①④． 18. 若点在第二象限，则关于未知数x的不等式的解集为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据点所在的象限，得到，根据不等式的性质，解不等式即可． 【详解】解：∵点在第二象限， ∴， ∵， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查解一元一次不等式，根据点所在的象限，判断出，是解题的关键． 三、解答题 19. 如图，已知，垂足分别为E，F，，求证：． 【答案】详见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，垂直的定义等知识，先证出,即可证出,熟练掌握全等三角形的判定并能灵活运用是解决此题的关键． 【详解】证明：, , 又, ,即, 在和中， , ． 20. 如图，已知． （1）画出关于y轴的对称的图形，并写出点B的对称点的坐标； （2）求的面积． 【答案】（1）见解析， （2） 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形，轴对称的性质，割补法求面积，解题关键是掌握关于y轴对称的点的坐标特征：纵坐标相同，横坐标互为相反数． （1）关于y轴对称的点纵坐标相同，横坐标互为相反数，从而得到三点的对应点坐标，依次连接得到，再写出的坐标即可； （2）利用割补法求面积即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所求作； 点B的对称点的坐标为， 故答案为： 【小问2详解】 解：的面积． 21. 如图，在平行四边形中，、分别在、边上，且． （1）求证：； （2）求证：四边形是平行四边形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握平行四边形的判定与性质． （1）根据平行四边形的性质可得：，，可证明，根据全等三角形的性质即可得证； （2）由四边形是平行四边形可得：，，结合，可得，即可得证． 【小问1详解】 解：四边形是平行四边形， ，， ， ， ； 【小问2详解】 四边形是平行四边形， ，， ， ，即， 四边形是平行四边形． 22. “一树新栽益四邻，野夫如到旧上春”，春天是植树的最佳季节．如图，四边形为某林场种植树林的区域，经测量，，， （1）护林员操控一架无人机从A处沿直线飞行到C处进行巡查，求无人机飞行路径的长； （2）证明： 【答案】（1）无人机飞行路径的长为 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用以及勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）根据勾股定理求出即可； （2）根据勾股定理的逆定理证明即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， 在中，由勾股定理得： ， 答：无人机飞行路径的长为； 【小问2详解】 证明：，， ， 是直角三角形，且， 23. 如图，菱形的对角线与相交于点O，的中点为E，连接并延长至点F，使得，连接，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求菱形的面积． 【答案】（1）见解析 （2）96 【解析】 【分析】（1）由，，证明四边形是平行四边形，根据菱形的性质证明，则四边形是矩形； （2）由菱形的性质得，由矩形的性质得，则6，，所以，则． 【小问1详解】 证明：∵的中点为E， ∴， ∵， ∴四边形平行四边形， ∵四边形是菱形，对角线与相交于点O， ∴， ∴， ∴四边形是矩形． 【小问2详解】 解：∵，， ∴，， ∴， ∴6， ∴， ∴， ∴菱形的面积为96． 【点睛】此题重点考查菱形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理等知识，求得及是解题的关键． 24. 如图，已知是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O为坐标原点，点，点，在边上任取一点D，将沿翻折，使点A落在边上，记为点E． （1）直接写出点B的坐标__________； （2）求的长； （3）若在x轴正半轴上存在点P，使得为等腰三角形，求点P的坐标． 【答案】（1） （2） （3）或或． 【解析】 【分析】（1）由折叠的性质得出，由勾股定理可得出答案； （2）求出，设，则，，由可得出答案； （3）分①当，②，③时，三种情况讨论，画出图形，利用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解： 点，点， ， 将沿翻折，使点落在边上，记为点， ， ， ∴． 【小问2详解】 解：，， ， 设，则，， ， ， 解得：， ． 【小问3详解】 解：①当时， ， ， 此时点与点重合， 点坐标为； ②当时， 过点作轴于点， 则， 在中，， 设，则，， 在中，， ， 解得：， 点的坐标为； ③当时，过点作轴于点， ， 同②得， ， 点的坐标为； 综上，点的坐标为或或． 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了翻折变换，矩形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，点的坐标，分类讨论思想的运用是解题的关键． 25. 定义：平面内有P、A、B三点，连接，若且，则称点A和点B是关于点P的“n度等距点”． （1）如图1，已知在平面直角坐标系内，点P在x轴的正半轴上，且，点M在第一象限，若点O和点P是关于点M的“60度等距点”，则点M的坐标为 ； （2）如图2，已知点A、B的坐标分别是，点N在第一象限，若点B和点N是关于点A的“90度等距点”，求点N的坐标； （3）如图3，已知在平面直角坐标系内，点C在第二象限，，与x轴的所夹锐角为，点E为平面直角坐标系内一点，若点O和点E是关于点C的“120度等距点”，则点E的坐标是 ． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）如图1，过点M作于N，先证明是等边三角形，再由勾股定理及坐标与图形的性质即可解答； （2）如图2，过点N作轴于D，证明，即可解答； （3）分两种情况：①如图3，延长交x轴于K，②如图4，过点C作轴于H，根据新定义可得是顶角为的等腰三角形，由勾股定理即可解答． 【小问1详解】 解：如图1，过点M作于N， ∵点O和点P是关于点M的“60度等距点”， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 由勾股定理得：， ∴M的坐标为； 故答案为：； 【小问2详解】 如图2，过点N作轴于D， ∴， ∴， ∵点A、B的坐标分别是， ∴， ∵点B和点N是关于点A的“90度等距点”， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ∴N的坐标为； 【小问3详解】 分两种情况： ①如图3，延长交x轴于K， ∵点O和点E是关于点C的“120度等距点”， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴点E的坐标为； ②如图4，过点C作轴于H， 由①同理得：，是顶角为的等腰三角形， 所以点E在x轴上， ∵， ∴， ∴点E的坐标为， 综上，点E的坐标为或． 故答案为：或． 【点睛】本题是三角形的综合题，考查了新定义“n度等距点”的理解和运用，等腰三角形的性质和判定，坐标与图形的性质，勾股定理，等边三角形的性质和判定等知识，熟练掌握“n度等距点”是解题的关键． 26. 如图，在正方形中，点是对角线上一点，连接，将线段绕点逆时针旋转，使点落在射线上的点处，连接． 【问题引入】 （1）请你在图1或图2中证明；（选择一种情况即可） 【探索发现】 （2）在（1）中你选择图形上继续探索：延长交直线于点．将图形补充完整，猜想线段和线段的数量关系，并说明理由； 【拓展应用】 （3）如图3，，延长AE至点，使，连接．直接写出的周长最小值． 【答案】（1）证明见解析（2）猜想；理由见解析；（3） 【解析】 【分析】（1）选择图1，根据正方形性质可得：，，进而证得，结合旋转的性质即可证得结论；选择图2，同理可证得结论； （2）猜想，选择图1，过点作交于点，则，利用正方形的性质即可证得，再利用等腰三角形性质即可得出答案；选择图2，同理可证得结论； （3）取的中点，连接，根据三角形中位线定理可得，由的周长，可得当的周长最小时，最小，此时，、、三点共线，根据勾股定理求出，即可求得答案． 【详解】（1）证明：选择图1， 四边形是正方形， ，， ， ， ， 由旋转得：， ． 选择图2， 四边形是正方形， ，， ， ， ， 由旋转得：， ． （2）解：猜想．理由如下： 选择图1，过点作交于点， 则， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ． 若选择图2，过点作交的延长线于点， 则， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． （3）解：如图3，取的中点，连接， ， 点是的中点， ， 的周长， 当的周长最小时，最小，此时，、、三点共线，如图3， ， 的周长． 【点睛】本题是正方形综合题，考查了正方形性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，旋转变换的性质等，熟练掌握全等三角形的判定和性质、三角形中位线定理等是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$