9.1.2 分层随机抽样 同步测试-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

9.1.2 分层随机抽样 同步测试-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册 姓名： 班级： 学号： 一、选择题 1.简单随机抽样和分层随机抽样的共同点是（　　） A.都是从总体中逐个抽取 B.都包含抽签法和随机数法 C.抽样过程中每个个体被抽到的机会相同 D.都是将总体分成几层，分层进行抽取 2.下列问题中，最适合用分层随机抽样抽取样本的是（　　） A.从10名同学中抽取3人参加座谈会 B.某高速公路有300盏太阳能标志灯，其中进口的有30盏，联合研制的有75盏，国产的有195盏，为了掌握每盏标志灯的使用情况，要从中抽取一个容量为20的样本 C.从1 000名工人中抽取100名，调查他们上班途中所用的时间 D.从生产流水线上，抽取样本检查产品质量 3.（2025·广东江门高二期末）为了弘扬中华优秀传统文化，某市组建了一支72人的宣传队，其中男队员27人，女队员45人，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法，从全体队员中抽出一个容量为24的样本.如果样本按比例分配，那么女队员应抽取的人数为（　　） A.18 B.16 C.15 D.9 4.某商场有四类食品，食品类别和种数见下表.现从中抽取一个容量为20的样本进行食品安全检测.若采用分层随机抽样的方法抽取样本，则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是（　　） 类别 粮食类 植物油类 动物性食品类 果蔬类 种数 40 10 30 20 A.7 B.6 C.5 D.4 5.已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示.为了解该地区中小学生的近视成因，用分层抽样的方法抽取2％的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为（　　） 图1　图2 A.100，10 B.200，10 C.100，20 D.200，20 6.（2025·黑龙江哈尔滨模拟）在哈尔滨市2024年第一次全市模拟考试中，三所学校高三年级的参考人数分别为500，800，700.现采用按比例分层抽样的方法从三个学校高三年级中抽取样本，经计算得到三所学校高三年级数学成绩的样本平均数分别为92，105，100，则三所学校学生数学成绩的总平均数约为（　　） A.101 B.100 C.99 D.98 7.某高中在校学生有2 000人，为了响应“阳光体育运动”的号召，学校开展了跑步和登山比赛活动.每人都参与而且只参与其中一项比赛，各年级参与比赛的人数情况如下表所示： 年级 项目 高一 高二 高三 跑步 a b c 登山 x y z 其中a∶b∶c＝2∶3∶5，全校参与登山的人数占总人数的.为了了解学生对本次活动的满意程度，用比例分配的分层随机抽样的方法从中抽取一个样本量为200的样本进行调查，则从高二年级参与跑步的学生中应抽取（　　） A.36人 B.60人 C.24人 D.30人 8.（多选）某高中在有120名同学的社团中随机抽取30名同学参加一个交流会.若按社团中高一、 高二、高三年级的成员人数采用比例分配的分层随机抽样的方法，则应从高一年级抽取10人；若按性别采用比例分配的分层随机抽样的方法，则应从男生中抽取18人.下列说法中，正确的有（　　） A.样本容量为30 B.120名社团成员中的男生有72人 C.高二与高三年级的社团成员共有80人 D.高一年级社团成员中的女生最多有48人 9.（多选）某校高二年级有男生490人、女生510人，按性别进行分层，通过分层随机抽样的方法，得到男、女生的平均身高分别为170.2 cm和160.8 cm，则下列说法中，正确的有（　　） A.若采用比例分配的分层随机抽样的方法，共抽取100人，则可用×170.2＋×160.8≈165.4 cm来估计总体均值 B.若从男、女生中分别抽取30人和70人，则可用×170.2＋×160.8≈165.4 cm来估计总体均值 C.若从男、女生中分别抽取30人和70人，则可用×170.2＋×160.8≈163.6 cm来估计总体均值 D.如果仅根据男生、女生的样本均值和方差，无法计算出总样本的均值和方差 10.现有如下问题：“今有甲持钱三百六十，乙持钱二百八十，丙持钱二百，凡三人俱出关，关税六十五钱.欲以钱数多少衰出之，问各几何？”其译文为：今有甲持360钱，乙持280钱，丙持200钱，甲、乙、丙三人一起出关，关税共65钱，要按照各人带钱多少的比例进行交税，问：三人各应付多少税？下列说法中，错误的是（　　） A.甲应付钱 B.乙应付钱 C.丙应付钱 D.三人中甲付的钱最多，丙付的钱最少 二、填空题 11.从某景区某日的游客中随机抽取100人，对他们的出行方式进行统计，统计结果如下表所示： 出行方式 高铁 自驾 飞机 其他 人数 27 16 28 29 若采用比例分配的分层随机抽样的方法，再从这100人中抽取25人，则应从选择飞机出行的人中抽取 人. 12.某学校有高中学生500人，其中男生320人，女生180人.为了了解该校全体高中学生的身高信息，按照比例分配的分层随机抽样方法抽取了男生32人，女生18人.通过计算得到男生身高的样本平均数为173.5 cm，女生身高的样本平均数为163.8 cm.估计该校全体高中学生身高的平均数为 （保留一位小数）. 13.已知全校共3 000名学生，其中有1 800名男生，1 200名女生.为调查学生的身高情况，按分层随机抽样的方法抽取20名学生的身高作为样本，样本中男生身高的平均数为170，方差为30，女生身高的平均数为160，方差为45，估计总体的方差为 . 三、解答题 14.某单位有2 000名职工，管理、技术开发、营销、生产各岗位中老年人、中年人、青年人的人数分布情况如下表所示： 岗位 年龄段 管理 技术开发 营销 生产 合计 老年人 40 40 40 80 200 中年人 80 120 160 240 600 青年人 40 160 280 720 1 200 合计 160 320 480 1 040 2 000 （1）若要抽取40人调查身体状况，应怎样抽取？ （2）若要开一个有25人参与的讨论单位发展与薪资调整方案的座谈会，应怎样抽取出席人？ 15.某武警大队共有第一、 第二、第三三支中队，人数分别为30，30，40.为了检测该大队的射击水平，从整个大队用比例分配的分层随机抽样方法共抽取了30人进行射击考核，统计得三个中队参加射击比赛的平均环数分别为8.8，8.5，8.1，试估计该武警大队队员的平均射击水平. 16.某学校有高中学生500人，其中男生300人，女生200人.有人为了获得该校全体高中学生的身高信息，采用分层抽样的方法抽取样本，并观测样本的指标值（单位：cm），计算得到男生样本的均值为175，方差为20，女生样本的均值为165，方差为30. （1）如果已知男、女的样本量按比例分配，请计算总样本的均值和方差； （2）如果已知男、女的样本量都是25，请计算总样本的均值和方差. 参 考 答 案 一、选择题 1.简单随机抽样和分层随机抽样的共同点是（　C　） A.都是从总体中逐个抽取 B.都包含抽签法和随机数法 C.抽样过程中每个个体被抽到的机会相同 D.都是将总体分成几层，分层进行抽取 解析： 简单随机抽样和分层随机抽样的共同点是抽样过程中每个个体被抽到的机会相同. 2.下列问题中，最适合用分层随机抽样抽取样本的是（　B　） A.从10名同学中抽取3人参加座谈会 B.某高速公路有300盏太阳能标志灯，其中进口的有30盏，联合研制的有75盏，国产的有195盏，为了掌握每盏标志灯的使用情况，要从中抽取一个容量为20的样本 C.从1 000名工人中抽取100名，调查他们上班途中所用的时间 D.从生产流水线上，抽取样本检查产品质量 解析： A中总体的个体无明显差异且个数较少，适合采用简单随机抽样；C和D中总体的个体无明显差异，不适合采用分层随机抽样；B中总体的个体差异明显，适合采用分层随机抽样. 3.（2025·广东江门高二期末）为了弘扬中华优秀传统文化，某市组建了一支72人的宣传队，其中男队员27人，女队员45人，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法，从全体队员中抽出一个容量为24的样本.如果样本按比例分配，那么女队员应抽取的人数为（　C　） A.18 B.16 C.15 D.9 解析： ∵全体队员中女队员所占比例为＝，∴样本中女队员应抽取的人数为24×＝15. 4.某商场有四类食品，食品类别和种数见下表.现从中抽取一个容量为20的样本进行食品安全检测.若采用分层随机抽样的方法抽取样本，则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是（　B　） 类别 粮食类 植物油类 动物性食品类 果蔬类 种数 40 10 30 20 A.7 B.6 C.5 D.4 解析： 由已知条件可得抽样比为＝，∴抽取植物油类与果蔬类食品种数之和为（10＋20）×＝6. 5.已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示.为了解该地区中小学生的近视成因，用分层抽样的方法抽取2％的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为（　D　） 图1　图2 A.100，10 B.200，10 C.100，20 D.200，20 解析： 易知（3 500＋4 500＋2 000）×2％＝200，即样本容量为200；抽取的高中生人数为2 000×2％＝40，由于其近视率为50％，∴近视的人数为40×50％＝20. 6.（2025·黑龙江哈尔滨模拟）在哈尔滨市2024年第一次全市模拟考试中，三所学校高三年级的参考人数分别为500，800，700.现采用按比例分层抽样的方法从三个学校高三年级中抽取样本，经计算得到三所学校高三年级数学成绩的样本平均数分别为92，105，100，则三所学校学生数学成绩的总平均数约为（　B　） A.101 B.100 C.99 D.98 解析： 由题意得可供参考的总人数为500＋700＋800＝2 000（人），三所学校学生数学成绩的总平均数约为×92＋×100＋×105＝100. 7.某高中在校学生有2 000人，为了响应“阳光体育运动”的号召，学校开展了跑步和登山比赛活动.每人都参与而且只参与其中一项比赛，各年级参与比赛的人数情况如下表所示： 年级 项目 高一 高二 高三 跑步 a b c 登山 x y z 其中a∶b∶c＝2∶3∶5，全校参与登山的人数占总人数的.为了了解学生对本次活动的满意程度，用比例分配的分层随机抽样的方法从中抽取一个样本量为200的样本进行调查，则从高二年级参与跑步的学生中应抽取（　A　） A.36人 B.60人 C.24人 D.30人 解析： 根据题意可知，样本中参与跑步的人数为200×＝120，∴从高二年级参与跑步的学生中应抽取120×＝36（人）. 8.（多选）某高中在有120名同学的社团中随机抽取30名同学参加一个交流会.若按社团中高一、 高二、高三年级的成员人数采用比例分配的分层随机抽样的方法，则应从高一年级抽取10人；若按性别采用比例分配的分层随机抽样的方法，则应从男生中抽取18人.下列说法中，正确的有（　ABC　） A.样本容量为30 B.120名社团成员中的男生有72人 C.高二与高三年级的社团成员共有80人 D.高一年级社团成员中的女生最多有48人 解析： 对于A，从中随机抽取30名同学，则样本容量为30，A正确；对于B，设120名社团成员中的男生有n人，∵按性别采用比例分配的分层随机抽样的方法时应从男生中抽取18人，∴＝，解得n＝72，∴120名社团成员中的男生有72人，B正确；对于C，设高二与高三年级的社团成员共有m人，∵按社团中高一、高二、高三年级的成员人数采用比例分配的分层随机抽样的方法时应从高一年级抽取10人，∴＝，解得m＝80，∴高二与高三年级的社团成员共有80人，C正确；对于D，由C可知高一年级的社团成员有120－80＝40（人），由B可知120名社团成员中的女生有120－72＝48（人），高一年级社团成员中的女生最多有40人，D错误. 9.（多选）某校高二年级有男生490人、女生510人，按性别进行分层，通过分层随机抽样的方法，得到男、女生的平均身高分别为170.2 cm和160.8 cm，则下列说法中，正确的有（　ABD　） A.若采用比例分配的分层随机抽样的方法，共抽取100人，则可用×170.2＋×160.8≈165.4 cm来估计总体均值 B.若从男、女生中分别抽取30人和70人，则可用×170.2＋×160.8≈165.4 cm来估计总体均值 C.若从男、女生中分别抽取30人和70人，则可用×170.2＋×160.8≈163.6 cm来估计总体均值 D.如果仅根据男生、女生的样本均值和方差，无法计算出总样本的均值和方差 解析： 对于A，由题意得样本均值为×170.2＋×160.8≈165.4 cm，由此可以估计总体均值约为165.4 cm，A正确；对于B，C，用×170.2＋×160.8≈165.4 cm来估计总体均值，B正确，C错误；对于D，仅根据男、女生的样本均值，可以估计出总体均值，但不能计算出准确的总体均值，D正确. 10.现有如下问题：“今有甲持钱三百六十，乙持钱二百八十，丙持钱二百，凡三人俱出关，关税六十五钱.欲以钱数多少衰出之，问各几何？”其译文为：今有甲持360钱，乙持280钱，丙持200钱，甲、乙、丙三人一起出关，关税共65钱，要按照各人带钱多少的比例进行交税，问：三人各应付多少税？下列说法中，错误的是（　C　） A.甲应付钱 B.乙应付钱 C.丙应付钱 D.三人中甲付的钱最多，丙付的钱最少 解析： ∵360∶280∶200＝9∶7∶5，∴甲应付×65＝（钱），乙应付×65＝（钱），丙应付×65＝（钱），C错误. 二、填空题 11.从某景区某日的游客中随机抽取100人，对他们的出行方式进行统计，统计结果如下表所示： 出行方式 高铁 自驾 飞机 其他 人数 27 16 28 29 若采用比例分配的分层随机抽样的方法，再从这100人中抽取25人，则应从选择飞机出行的人中抽取　7　人. 解析： 由题意，应从选择飞机出行的人中抽取25×＝7（人）. 12.某学校有高中学生500人，其中男生320人，女生180人.为了了解该校全体高中学生的身高信息，按照比例分配的分层随机抽样方法抽取了男生32人，女生18人.通过计算得到男生身高的样本平均数为173.5 cm，女生身高的样本平均数为163.8 cm.估计该校全体高中学生身高的平均数为　170.0 cm　（保留一位小数）. 解析： 样本平均数＝×173.5＋×163.8≈170.0 cm.由于采用了比例分配的分层随机抽样方法，∴估计该校全体高中学生身高的平均数为170.0 cm. 13.已知全校共3 000名学生，其中有1 800名男生，1 200名女生.为调查学生的身高情况，按分层随机抽样的方法抽取20名学生的身高作为样本，样本中男生身高的平均数为170，方差为30，女生身高的平均数为160，方差为45，估计总体的方差为　60　. 解析： 由题意得抽取的20名学生中，男生有×20＝12（名），女生有×20＝8（名），∵样本中男生身高的平均数为170，方差为30，女生身高的平均数为160，方差为45，∴利用样本估计总体的平均数为×170＋×160＝166，估计总体的方差为×{12×[30＋（170－166）2]＋8×[45＋（160－166）2]}＝60. 三、解答题 14.某单位有2 000名职工，管理、技术开发、营销、生产各岗位中老年人、中年人、青年人的人数分布情况如下表所示： 岗位 年龄段 管理 技术开发 营销 生产 合计 老年人 40 40 40 80 200 中年人 80 120 160 240 600 青年人 40 160 280 720 1 200 合计 160 320 480 1 040 2 000 （1）若要抽取40人调查身体状况，应怎样抽取？ 解：（1）按年龄段采用比例分配的分层随机抽样的方法，抽样比为＝，∴从老年人中抽取4人，从中年人中抽取12人，从青年人中抽取24人. （2）若要开一个有25人参与的讨论单位发展与薪资调整方案的座谈会，应怎样抽取出席人？ 解：（2）按岗位采用比例分配的分层随机抽样的方法，抽样比为＝，∴从管理岗位抽取2人，从技术开发岗位抽取4人，从营销岗位抽取6人，从生产岗位抽取13人. 15.某武警大队共有第一、 第二、第三三支中队，人数分别为30，30，40.为了检测该大队的射击水平，从整个大队用比例分配的分层随机抽样方法共抽取了30人进行射击考核，统计得三个中队参加射击比赛的平均环数分别为8.8，8.5，8.1，试估计该武警大队队员的平均射击水平. 解：该武警大队共有30＋30＋40＝100（人），按比例分配得，第一中队参加考核人数为×30＝9；第二中队参加考核人数为×30＝9；第三中队参加考核人数为×30＝12，∴参加考核的30人的平均射击环数为×8.8＋×8.5＋×8.1＝8.43，∴估计该武警大队队员的平均射击水平为8.43环. 16.某学校有高中学生500人，其中男生300人，女生200人.有人为了获得该校全体高中学生的身高信息，采用分层抽样的方法抽取样本，并观测样本的指标值（单位：cm），计算得到男生样本的均值为175，方差为20，女生样本的均值为165，方差为30. （1）如果已知男、女的样本量按比例分配，请计算总样本的均值和方差； 解：（1）男、女的样本量按比例分配， 总样本的均值为×175＋×165＝171 cm， 总样本的方差为×[20＋（175－171）2]＋×[30＋（165－171）2]＝48 cm2. （2）如果已知男、女的样本量都是25，请计算总样本的均值和方差. 解：（2）男、女的样本量都是25， 总样本的均值为×175＋×165＝170 cm， 总样本的方差为×[20＋（175－170）2]＋×[30＋（165－170）2]＝50 cm2. 学科网（北京）股份有限公司 $