9.2.4 总体离散程度的估计 同步测试-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

9.2.4 总体离散程度的估计 同步测试-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册 姓名： 班级： 学号： 一、选择题 1.样本中共有五个个体，其值分别为a，0，1，2，3.若该样本的平均数为1，则样本方差为（　　） A. B. C. D.2 2.为评估一种农作物的种植效果，选了n块地作为试验田.这n块地的亩产量（单位：kg）分别为x1，x2，…，xn.下面给出的指标中，可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是（　　） A.x1，x2，…，xn的平均数 B.x1，x2，…，xn的标准差 C.x1，x2，…，xn的最大值 D.x1，x2，…，xn的中位数 3.如图所示，样本A和B分别取自两个不同的总体，它们的样本平均数分别为和，样本标准差分别为sA和sB，则（　　） 　 A.＞，sA＞sB B.＜，sA＞sB C.＞，sA＜sB D.＜，sA＜sB 4.某人参加射击比赛，打了6发子弹，报靶数据如下：7，8，9，10，6，8（单位：环），则下列说法中，错误的是（　　） A.这组数据的平均数是8 B.这组数据的极差是4 C.这组数据的中位数是8 D.这组数据的方差是2 5.已知某6个数据的平均数为4，方差为8，现加入数据2和6，此时8个数据的方差为（　　） A.8 B.7 C.6 D.5 6.在高一年级期中考试中，甲、乙两个班的数学成绩统计如下表所示： 班级 人数 平均成绩 方差 甲 20 2 乙 30 3 其中＝，则两个班数学成绩的方差为（　　） A.3 B.2 C.2.6 D.2.5 7.王老师统计了自己班上三名学生近五次的定时练习成绩，其中1～5号为甲同学近五次成绩，6～10号为乙同学近五次成绩，11～15号为丙同学近五次成绩，相关信息如下： 三人近五次定时练习成绩的平均数如下： 同学 甲 乙 丙 平均数 118 122 121 三人近五次定时练习成绩统计图如图所示： 记甲、乙、丙近五次定时练习成绩的方差分别为，，，根据图表判断，，的大小关系为（　　） A.＜＜ B.＜＜ C.＜＜ D.＜＜ 8.（多选）（2025·安徽池州模拟）在去年某校高二年级“校长杯”足球比赛中，甲、乙两班每场比赛平均进球数、失球数及所有场次比赛进球数、失球数的标准差如下表所示： 比赛情况 班级 进球数 平均数 失球数 平均数 进球数 标准差 失球数 标准差 甲班 2.3 1.5 0.5 1.1 乙班 1.4 2.1 1.2 0.4 下列说法中，正确的有（　　） A.甲班的防守比乙班稳定 B.乙班的总体实力优于甲班 C.乙班很少不失球 D.乙班在进攻中的表现时好时差 9.（多选）（2025·江苏无锡高一期末）在学校组织的“爱我中华”主题演讲比赛中，有10位评委对每位选手进行评分（评分互不相同），将选手的得分去掉一个最低评分和一个最高评分，则下列结论中，错误的有（　　） A.剩下评分的平均数变大 B.剩下评分的极差变小 C.剩下评分的方差变小 D.剩下评分的中位数变大 10.（多选）（2021·新高考Ⅰ卷）有一组样本数据x1，x2，…，xn，由这组数据得到新样本数据y1，y2，…，yn，其中yi＝xi＋c（i＝1，2，…，n），c为非零常数，则下列说法中，正确的有（　　） A.两组样本数据的样本平均数相同 B.两组样本数据的样本中位数相同 C.两组样本数据的样本标准差相同 D.两组样本数据的样本极差相同 二、填空题 11.一组数据的方差是4，将这组数据中的每个数据都乘5，所得到的新数据的标准差是 . 12.已知样本数据a1，a2，a3，a4，a5都为正数，其方差s2＝＋＋＋＋－80），则样本数据2a1＋3，2a2＋3，2a3＋3，2a4＋3，2a5＋3的平均数为 . 13.某学校为了获得该校全体高中学生的体育锻炼情况，按男、女生的比例分别对48名男生和27名女生的每周锻炼时间进行了抽样调查，通过计算得到男生每周锻炼时间的平均数为7.6小时，方差为7.3；女生每周锻炼时间的平均数为6.4小时，方差为8，则所有样本数据的方差为 （结果保留三位小数）. 三、解答题 14.从某实验农场种植的甲、乙两种玉米苗中各随机抽取5株，分别测量它们的株高如下（单位：cm）： 甲：29，31，30，32，28； 乙：27，44，40，31，43. 请根据平均数和方差的相关知识，解答下列问题： （1）哪种玉米苗长得高？ （2）哪种玉米苗长得齐？ 15.某校为了解该校高三年级学生的物理成绩，从某次高三年级物理测试中随机抽取12名男生和8名女生的测试试卷，记录其物理成绩，其中12名男生的物理成绩（单位：分）分别为72，68，72，76，80，76，72，80，88，68，72，76. （1）求这12名男生物理成绩的平均数与方差； （2）经计算得到这8名女生物理成绩的平均数＝70，方差＝23，求这20名学生物理成绩的平均数与方差. 16.（2025·河南开学考试）立定跳远是高中生体能测试的项目之一.对某同学在11月和12月立定跳远练习成绩（单位：米）的统计如下表所示： 11月 2.30 2.25 2.34 2.30 2.22 2.36 2.38 2.33 12月 2.40 2.33 2.38 2.43 2.41 2.44 2.40 2.41 （1）设11月和12月立定跳远练习成绩的平均数分别为，，方差分别为，，求，，，； （2）当－＜2时，说明成绩没有明显提高，反之，说明成绩有明显提高.通过计算判断该同学12月立定跳远成绩比11月是否有明显提高. 参 考 答 案 一、选择题 1.样本中共有五个个体，其值分别为a，0，1，2，3.若该样本的平均数为1，则样本方差为（　D　） A. B. C. D.2 解析： 由题可知样本的平均数为1，∴＝1，解得a＝－1，∴样本的方差为s2＝[（－1－1）2＋（0－1）2＋（1－1）2＋（2－1）2＋（3－1）2]＝2. 2.为评估一种农作物的种植效果，选了n块地作为试验田.这n块地的亩产量（单位：kg）分别为x1，x2，…，xn.下面给出的指标中，可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是（　B　） A.x1，x2，…，xn的平均数 B.x1，x2，…，xn的标准差 C.x1，x2，…，xn的最大值 D.x1，x2，…，xn的中位数 解析： 标准差能反映一组数据的稳定程度. 3.如图所示，样本A和B分别取自两个不同的总体，它们的样本平均数分别为和，样本标准差分别为sA和sB，则（　B　） 　 A.＞，sA＞sB B.＜，sA＞sB C.＞，sA＜sB D.＜，sA＜sB 解析： 由图可知，＜10＜，又样本A的波动程度大于样本B，∴sA＞sB. 4.某人参加射击比赛，打了6发子弹，报靶数据如下：7，8，9，10，6，8（单位：环），则下列说法中，错误的是（　D　） A.这组数据的平均数是8 B.这组数据的极差是4 C.这组数据的中位数是8 D.这组数据的方差是2 解析： 对于A，平均数为＝8，A正确；对于B，极差为10－6＝4，B正确；对于C，数据按从小到大的顺序排列后为6，7，8，8，9，10，中位数为＝8，C正确；对于D，方差为×[（7－8）2＋（8－8）2＋（9－8）2＋（10－8）2＋（6－8）2＋（8－8）2]＝，D错误. 5.已知某6个数据的平均数为4，方差为8，现加入数据2和6，此时8个数据的方差为（　B　） A.8 B.7 C.6 D.5 解析： 设原数据为a1，a2，a3，a4，a5，a6，则，加入数据2和6后，所得8个数据的平均数方差 6.在高一年级期中考试中，甲、乙两个班的数学成绩统计如下表所示： 班级 人数 平均成绩 方差 甲 20 2 乙 30 3 其中＝，则两个班数学成绩的方差为（　C　） A.3 B.2 C.2.6 D.2.5 解析： 由题意可知两个班的数学成绩的平均数为＝＝，则两个班数学成绩的方差为s2＝[2＋（－）2]＋[3＋（－）2]＝×2＋×3＝2.6. 7.王老师统计了自己班上三名学生近五次的定时练习成绩，其中1～5号为甲同学近五次成绩，6～10号为乙同学近五次成绩，11～15号为丙同学近五次成绩，相关信息如下： 三人近五次定时练习成绩的平均数如下： 同学 甲 乙 丙 平均数 118 122 121 三人近五次定时练习成绩统计图如图所示： 记甲、乙、丙近五次定时练习成绩的方差分别为，，，根据图表判断，，的大小关系为（　A　） A.＜＜ B.＜＜ C.＜＜ D.＜＜ 解析： 由统计图知，甲同学成绩的波动幅度最小，丙同学成绩的波动幅度最大，∴＜＜. 8.（多选）（2025·安徽池州模拟）在去年某校高二年级“校长杯”足球比赛中，甲、乙两班每场比赛平均进球数、失球数及所有场次比赛进球数、失球数的标准差如下表所示： 比赛情况 班级 进球数 平均数 失球数 平均数 进球数 标准差 失球数 标准差 甲班 2.3 1.5 0.5 1.1 乙班 1.4 2.1 1.2 0.4 下列说法中，正确的有（　CD　） A.甲班的防守比乙班稳定 B.乙班的总体实力优于甲班 C.乙班很少不失球 D.乙班在进攻中的表现时好时差 解析： 由失球数的标准差可得A错误；由进球数和失球数的平均数可得B错误；由失球数的标准差可知C正确；由进球数的标准差可知D正确. 9.（多选）（2025·江苏无锡高一期末）在学校组织的“爱我中华”主题演讲比赛中，有10位评委对每位选手进行评分（评分互不相同），将选手的得分去掉一个最低评分和一个最高评分，则下列结论中，错误的有（　AD　） A.剩下评分的平均数变大 B.剩下评分的极差变小 C.剩下评分的方差变小 D.剩下评分的中位数变大 解析： 去掉一个最低评分和一个最高评分后剩下评分的平均数有可能变小、不变或变大，A错误；∵评分不相同，∴剩下评分的极差一定会变小，B正确；剩下评分的波动性变小，则方差变小，C正确；剩下评分的中位数不变，D错误. 10.（多选）（2021·新高考Ⅰ卷）有一组样本数据x1，x2，…，xn，由这组数据得到新样本数据y1，y2，…，yn，其中yi＝xi＋c（i＝1，2，…，n），c为非零常数，则下列说法中，正确的有（　CD　） A.两组样本数据的样本平均数相同 B.两组样本数据的样本中位数相同 C.两组样本数据的样本标准差相同 D.两组样本数据的样本极差相同 解析： 设x1，x2，…，xn的平均数、中位数、标准差和极差分别为，m，s，t，则y1，y2，…，yn的平均数为＝＝＋c，中位数为m＋c.由标准差和极差的性质可知y1，y2，…，yn的标准差为s，极差为t. 二、填空题 11.一组数据的方差是4，将这组数据中的每个数据都乘5，所得到的新数据的标准差是　10　. 解析： 一组数据的方差是4，将这组数据中的每个数据都乘5，所得到的新数据的方差是52×4＝100，所得新数据的标准差为10. 12.已知样本数据a1，a2，a3，a4，a5都为正数，其方差s2＝＋＋＋＋－80），则样本数据2a1＋3，2a2＋3，2a3＋3，2a4＋3，2a5＋3的平均数为　11　. 解析： 根据题意，设样本数据a1，a2，a3，a4，a5的平均数为，其方差s2＝[（a1－）2＋（a2－）2＋（a3－）2＋（a4－）2＋（a5－）2]＝＋＋＋＋－2a1－2a2－2a3－2a4－2a5＋5）＝＋＋＋＋－5），又s2＝＋＋＋＋－80），则有5＝80，解得＝4，则样本数据2a1＋3， 2a2＋3，2a3＋3，2a4＋3，2a5＋3的平均数为2＋3＝11. 13.某学校为了获得该校全体高中学生的体育锻炼情况，按男、女生的比例分别对48名男生和27名女生的每周锻炼时间进行了抽样调查，通过计算得到男生每周锻炼时间的平均数为7.6小时，方差为7.3；女生每周锻炼时间的平均数为6.4小时，方差为8，则所有样本数据的方差为　7.884　（结果保留三位小数）. 解析： 设所有样本数据的平均数为＝×7.6＋×6.4＝7.168， ∴所有样本数据的方差为{48×[7.3＋（7.6－7.168）2]＋27×[8＋（6.4－7.168）2]}≈7.884. 三、解答题 14.从某实验农场种植的甲、乙两种玉米苗中各随机抽取5株，分别测量它们的株高如下（单位：cm）： 甲：29，31，30，32，28； 乙：27，44，40，31，43. 请根据平均数和方差的相关知识，解答下列问题： （1）哪种玉米苗长得高？ 解：（1）甲种玉米苗株高的平均数＝×（29＋31＋30＋32＋28）＝×150＝30 cm， 乙种玉米苗株高的平均数＝×（27＋44＋40＋31＋43）＝×185＝37 cm， ∴＜，乙种玉米苗长得高. （2）哪种玉米苗长得齐？ 解：（2）甲种玉米苗株高的方差＝×[（29－30）2＋（31－30）2＋（30－30）2＋（32－30）2＋（28－30）2]＝2， 乙种玉米苗株高的方差＝×[（27－37）2＋（44－37）2＋（40－37）2＋（31－37）2＋（43－37）2]＝46，∴＜，甲种玉米苗长得齐. 15.某校为了解该校高三年级学生的物理成绩，从某次高三年级物理测试中随机抽取12名男生和8名女生的测试试卷，记录其物理成绩，其中12名男生的物理成绩（单位：分）分别为72，68，72，76，80，76，72，80，88，68，72，76. （1）求这12名男生物理成绩的平均数与方差； 解：（1）这12名男生物理成绩的平均数为＝×（68×2＋72×4＋76×3＋80×2＋88）＝75， 方差＝×[（68－75）2×2＋（72－75）2×4＋（76－75）2×3＋（80－75）2×2＋（88－75）2]＝. （2）经计算得到这8名女生物理成绩的平均数＝70，方差＝23，求这20名学生物理成绩的平均数与方差. 解：（2）这20名学生物理成绩的平均数＝＋＝＝73， 方差s2＝[＋（－）2]＋[＋（－）2]＝×＋×[23＋（70－73）2]＝33. 16.（2025·河南开学考试）立定跳远是高中生体能测试的项目之一.对某同学在11月和12月立定跳远练习成绩（单位：米）的统计如下表所示： 11月 2.30 2.25 2.34 2.30 2.22 2.36 2.38 2.33 12月 2.40 2.33 2.38 2.43 2.41 2.44 2.40 2.41 （1）设11月和12月立定跳远练习成绩的平均数分别为，，方差分别为，，求，，，； 解：（1）＝（2.30＋2.25＋2.34＋2.30＋2.22＋2.36＋2.38＋2.33）＝2.31，＝（2.40＋2.33＋2.38＋2.43＋2.41＋2.44＋2.40＋2.41）＝2.40，＝（0.012＋0.062＋0.032＋0.012＋0.092＋0.052＋0.072＋0.022）＝，＝（02＋0.072＋0.022＋0.032＋0.012＋0.042＋02＋0.012）＝. （2）当－＜2时，说明成绩没有明显提高，反之，说明成绩有明显提高.通过计算判断该同学12月立定跳远成绩比11月是否有明显提高. 解：（2）∵－＝2.40－2.31＝0.09，2＝2，　 则（－）2＝0.008 1，＝0.001 43， ∴－＞2，小明12月立定跳远成绩比11月有明显提高. 学科网（北京）股份有限公司 $