精品解析：江苏扬州市新华中学2026届高三下学期4月考前适应性练习三数学试卷

扬州市新华中学2026届高三4月考前适应性练习三 数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数在复平面内所对应的点位于第一象限，且，则复数在复平面内所对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 在中，“”是“为等腰三角形”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知函数的图象向右平移个单位后关于原点对称，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 5. 的展开式中的系数是（ ）． A. -6 B. 2 C. 10 D. 18 6. Peukert于1898年提出蓄电池的容量C（单位：A·h），放电时间t（单位：h）与放电电流I（单位：A）之间关系的经验公式，其中为Peukert常数．在电池容量不变的条件下，当放电电流时，放电时间，则当放电电流时，放电时间为（ ） A. 29.5h B. 29h C. 28.5h D. 28h 7. 从编号1~10的10张卡片中依次不放回地抽出两张，记事件A：“第一次抽到的卡片编号数字为5的倍数”，事件B：“第二次抽到的卡片编号数字小于第一次”，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知双曲线，，分别为的右焦点和左顶点，点在双曲线的左支上，且，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合㬲目要求.全部选对的得6分，部分选对的得分，有选错的得0分. 9. 下列说法中正确的是（ ） A. 样本的方差，则这组样本数据总和等于60 B. 若样本数据标准差为8，则数据的标准差为32 C. 数据13，27，24，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是23 D. 若一个样本容量为8的样本的平均数为5，方差为2，现样本中又加入一个新数据5，此时样本容量为9，平均数不变，方差变小 10. 在锐角中，角的对边分别为，记的面积为，若，则以下说法正确的有（ ） A. B. C. D. 11. 数学中有许多美丽的曲线，图中美丽的眼睛图案由两条曲线构成，曲线，上顶点为，右顶点为，曲线上的点满足到和直线的距离之和为定值4，已知两条曲线具有公共的上下顶点，过作斜率小于0的直线与两曲线从左到右依次交于且，则（ ） A. 曲线由两条抛物线的一部分组成 B. 线段的长度与点到直线的距离相等 C. 若线段的长度为，则直线的斜率为 D. 若，则直线的斜率为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在中，若，则______. 13. 某地普法小组安排4名男性普法员和2名女性普法员前往甲、乙、丙三个社区进行宣讲，每名普法员只能前往一个社区，每个社区至少有1名普法员，则2名女性普法员被安排在不同社区的方案共有______种． 14. 在四棱锥中，已知底面，，，，，是平面内的动点，且满足.则当四棱锥的体积最大时，三棱锥外接球的表面积为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列的前项和为，若，且. （1）证明：为等差数列，并求. （2）若，求数列的前项和. 16. 已知在中，. （1）求的值； （2）若边上的高等于，求. 17. 如图，在四棱锥 中，底面 为矩形，，侧面 是等边三角形，三棱锥的体积为，点 是棱的中点. （1）求四棱锥 的高； （2）求证：平面平面 ； （3）求平面与平面 夹角的余弦值. 18. 人工智能快速发展、给我们的生活带来极大的便利．2026年某班元旦晚会上，同学们利用人工智能设置了一款有趣的答题游戏，游戏规则如下：1每位同学依次答题三道，每题答错得0分，答对得相应分值；2第一题系统随机出题，分值为4分；从第二题开始，后面每题根据前一答题情况给出、若前一题答对，则后一题增加难度，答对概率相对前一题减少0.1，分值加倍；若前一题答错，则后一题降低难度，答对概率相对前一题增加0.1，分值减半；3答题结束时，若总得分不少于8分，则参与者获得一份奖品，同学们纷纷踊跃参加游戏，已知甲同学答对第一题的概率为． （1）若 ①求甲同学答对第二题的概率； ②记甲同学最后一题的得分为，求的分布列； （2）为增加趣味性，允许答题同学有一次场外求助机会，场外一定能答对，但下一题会增加更大的难度，答对概率相对前一题减少0.2，分值仍加倍．若甲选择求助，则选择第几题求助获得奖品的概率最大？ 19. 若为项数列，若存在数列满足：①；②中的最大项为1，最小项为0，则称是“-好数列”． （1）请写出所有第二项为的“3-好数列”； （2）若为单调不增（即）的“2026-好数列”，求的最大值； （3）若为“-好数列”，记为中的最大项，为中的最小项，求最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 扬州市新华中学2026届高三4月考前适应性练习三 数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出集合，利用补集的定义可求得集合. 【详解】因为集合，，故. 故选：B. 2. 已知复数在复平面内所对应的点位于第一象限，且，则复数在复平面内所对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】先根据题意设复数的代数形式，再由条件求得，进而得到其对应点的坐标，从而判断得解. 【详解】因为复数在复平面内所对应的点位于第一象限， 则设， 因为，所以， 所以复数在复平面内所对应的点为， 又，所以该点位于第四象限. 故选：D. 3. 在中，“”是“为等腰三角形”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由二倍角公式展开结合三角形的内角特点可得充分性成立，通过举反例说明必要性不成立即得结论. 【详解】因，， 由可得， 因为是三角形的内角，所以，所以， 则可得或（不合题意，舍去），故为等腰三角形， 即由“”可得“为等腰三角形，故充分性成立； 若为等腰三角形，可能有，不一定有， 例如，为等腰三角形，但是， 所以必要性不成立.故“”是“为等腰三角形”的充分不必要条件. 故选：A 4. 已知函数的图象向右平移个单位后关于原点对称，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由图象变换得到新函数，根据三角函数性质及诱导公式求解. 【详解】将函数的图象向右平移个单位，得到， 因为该图象关于原点对称，所以，解得， 因为，所以的最小值为， 故选：A. 5. 的展开式中的系数是（ ）． A. -6 B. 2 C. 10 D. 18 【答案】A 【解析】 【分析】根据二项式的通项求展开式的系数即可. 【详解】二项式的通项为， 当产生时，令，解得； 当产生时，令，解得； 所以展开式中的系数为. 故选：A. 6. Peukert于1898年提出蓄电池的容量C（单位：A·h），放电时间t（单位：h）与放电电流I（单位：A）之间关系的经验公式，其中为Peukert常数．在电池容量不变的条件下，当放电电流时，放电时间，则当放电电流时，放电时间为（ ） A. 29.5h B. 29h C. 28.5h D. 28h 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意代入公式计算电池容量，当时，代入公式计算时间. 【详解】根据题意在电池容量不变的条件下，， 当时，，代入公式得：， 当放电电流时，代入公式得， 解得 ， 故选：D. 7. 从编号1~10的10张卡片中依次不放回地抽出两张，记事件A：“第一次抽到的卡片编号数字为5的倍数”，事件B：“第二次抽到的卡片编号数字小于第一次”，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据古典概型的计算方法和分步乘法概率计算公式，求出事件的概率和积事件的概率，依据条件概率公式求出条件概率即可. 【详解】由题意，在1~10这10个数字中，5的倍数有5、10，共2个， 所以事件A发生的概率， 记事件AB表示“第一次抽到的卡片编号数字为5的倍数且第二次抽到的卡片编号数字小于第一次”， 若第一次抽到5，那么第二次从剩下9张卡片中抽小于5的卡片，有4种抽法； 若第一次抽到10，那么第二次从剩下9张卡片中抽小于10的卡片，有9种抽法； 所以. 根据条件概率公式，. 故选：B. 8. 已知双曲线，，分别为的右焦点和左顶点，点在双曲线的左支上，且，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，，根据双曲线的定义结合余弦定理可求离心率. 【详解】如图，因为分别为双曲线的右焦点和左顶点，所以． 因为，所以，故． 设左焦点为，则，故， ， 整理得到：，故 故选：A． 【点睛】方法点睛：求双曲线离心率或其取值范围的方法： （1）直接求出的值，利用离心率公式直接求解； （2）列出含有的齐次方程（或不等式），借助于消去，再借助于，转化为含有的方程（或不等式）求解． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合㬲目要求.全部选对的得6分，部分选对的得分，有选错的得0分. 9. 下列说法中正确的是（ ） A. 样本的方差，则这组样本数据总和等于60 B. 若样本数据标准差为8，则数据的标准差为32 C. 数据13，27，24，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是23 D. 若一个样本容量为8的样本的平均数为5，方差为2，现样本中又加入一个新数据5，此时样本容量为9，平均数不变，方差变小 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A，根据方差公式求得样本容量，样本平均数即可判断；对于B，根据方差与标准差，方差的公式求解判断；对于C，先将数据从小到大排序，再求解判断；对于D，结合样本方差与平均值的公式计算即可. 【详解】对于A，由样本的方差得样本容量，样本平均数，所以样本数据总和为，故正确； 对于B，样本数据标准差为8，故样本数据的方差为64， 所以数据的方差为，标准差为，故错误； 对于C，将数据从小到大排序后得12，13，14，15，17，19，23，24，27，30，共10个数， 所以，所以该组数据的第70百分位数是，故错误； 对于D，一个样本容量为8的样本的平均数为5，方差为2， 不妨记原始数据为，则 ，，即， 现样本中又加入一个新数据5，此时样本平均值为， 样本方差为， 所以加入一个新数据5，平均数不变，方差变小，故正确. 10. 在锐角中，角的对边分别为，记的面积为，若，则以下说法正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用面积公式和正余弦定理化简条件，得到角的关系，再结合锐角三角形定义确定的范围，最后将转化为关于的函数求值域. 【详解】已知在锐角中，，其中面积， ，因为，所以，即，选项A正确； 由余弦定理，，代入得：， 由正弦定理，，，代入得：， 继续化简得， 因为是锐角三角形，所以，，故，即，选项B正确； 因为是锐角三角形，且，所以：，解得：，选项C错误； ，而，代入得： ，因为，所以， 令，则，该函数是开口向上，对称轴为的二次函数， 因为区间在对称轴右侧，所以函数在该区间上单调递增， 而，，所以，选项D正确. 11. 数学中有许多美丽的曲线，图中美丽的眼睛图案由两条曲线构成，曲线，上顶点为，右顶点为，曲线上的点满足到和直线的距离之和为定值4，已知两条曲线具有公共的上下顶点，过作斜率小于0的直线与两曲线从左到右依次交于且，则（ ） A. 曲线由两条抛物线的一部分组成 B. 线段的长度与点到直线的距离相等 C. 若线段的长度为，则直线的斜率为 D. 若，则直线的斜率为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于选项A，根据题干列出等式即可判断；对于选项B，利用抛物线的定义即可判断，对于选项C，利用焦半径公式列出等式即可判断，对于选项D，由焦半径，又因为可得，即可得到结果. 【详解】 对于A选项，设曲线上任意一点， 由定义可知，满足， 移项，平方可得：， 即，为两条抛物线，故A正确； 对于B选项，和直线分别为抛物线的焦点和准线，由抛物线定义可知，故B正确 对于C选项，设与轴夹角为同时为抛物线和椭圆的焦点，， ， 解得，则，故C错误. 对于D选项，易知为抛物线和的焦点， 前者，后者分别为两个抛物线的较短的焦半径，因此 ，由于， 则，因此，所以，故D正确， 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：抛物线的求解，一般利用定义和二级结论直接能够列出等式求解. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在中，若，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据正弦定理直接求解即可. 【详解】在中，由正弦定理得， 所以. 故答案为： 13. 某地普法小组安排4名男性普法员和2名女性普法员前往甲、乙、丙三个社区进行宣讲，每名普法员只能前往一个社区，每个社区至少有1名普法员，则2名女性普法员被安排在不同社区的方案共有______种． 【答案】390 【解析】 【详解】第一步，安排女性普法员，分别去两个社区，有种安排方案； 第二步，安排4名男性普法员去三个社区，总共有种情况， 其中一个社区没人，即都在女性普法员所在社区，共有种情况， 因为社区至少有1名普法员，所以男性普法员的安排方案有种； 由分步乘法计数原理可知，共有种不同的方案. 14. 在四棱锥中，已知底面，，，，，是平面内的动点，且满足.则当四棱锥的体积最大时，三棱锥外接球的表面积为______. 【答案】 【解析】 【分析】分析可知，然后以点以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设点，求出点的轨迹方程，可知当点到平面的距离最大时，四棱锥的体积最大，设点，设三棱锥的球心为，列方程组求出点的坐标，可求得球的半径，再利用球体表面积公式可求得结果. 【详解】因为，，，，则四边形为直角梯形， 平面，平面，则， ，，平面，则平面， 、平面，，，则， 故， 平面，，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、，设点， 由可得，化简可得， 即点的轨迹为圆，当点到平面的距离最大时，四棱锥的体积最大， 不妨设点，设三棱锥的球心为， 由，可得，解得， 所以，三棱锥的外接球球心为，球的半径为， 因此，三棱锥的外接球的表面积为. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：求空间多面体的外接球半径的常用方法：①补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱二面角均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解； ②利用球的性质：几何体中在不同面均对直角的棱必然是球大圆直径，也即球的直径； ③定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据带其他顶点距离也是半径，列关系求解即可； ④坐标法：建立空间直角坐标系，设出外接球球心的坐标，根据球心到各顶点的距离相等建立方程组，求出球心坐标，利用空间中两点间的距离公式可求得球的半径. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列的前项和为，若，且. （1）证明：为等差数列，并求. （2）若，求数列的前项和. 【答案】（1） ， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以； （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的定义进行运算证明即可； （2）运用裂项相消法进行求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ， . 16. 已知在中，. （1）求的值； （2）若边上的高等于，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）代入两角和差的正切公式，再进行化简求得，再利用同角三角函数的关系，求得； （2）利用三角形的面积公式得出等量关系，求出边之间的关系，再代入余弦定理进行求解； 【小问1详解】 ， ， ， 所以 解得， 又因为， 又因为为三角形内角，故 则. 【小问2详解】 设，高为，则面积. 由面积公式， ， 得. 由，， 得 代入余弦定理：， 得， 代入，得 . 17. 如图，在四棱锥 中，底面 为矩形，，侧面 是等边三角形，三棱锥的体积为，点 是棱的中点. （1）求四棱锥 的高； （2）求证：平面平面 ； （3）求平面与平面 夹角的余弦值. 【答案】（1） （2）取中点 ，连接，为等边三角形，且 ， ，平面 ， 又平面 ，， 又，，， 平面 ，平面 ， 平面 ， 平面平面 . （3） 【解析】 【分析】（1）由等体积法即可求解 （2）结合锥体的体积公式及面面垂直的判定定理即可证明； （3）建立空间直角坐标系，求出两平面的法向量，即可求解. 【小问1详解】 设 到底面 的距离为 ， ， 【小问2详解】 略 【小问3详解】 取 的中点 ，连接，则， 故由（1）可以 为坐标原点，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角标系，    则， 则， 设平面的一个法向量为， 则，令，则， 所以平面的一个法向量为， 又平面 的一个法向量为， 设平面与平面 夹角为 所以， 所以平面与平面 夹角的余弦值为． 18. 人工智能快速发展、给我们的生活带来极大的便利．2026年某班元旦晚会上，同学们利用人工智能设置了一款有趣的答题游戏，游戏规则如下：1每位同学依次答题三道，每题答错得0分，答对得相应分值；2第一题系统随机出题，分值为4分；从第二题开始，后面每题根据前一答题情况给出、若前一题答对，则后一题增加难度，答对概率相对前一题减少0.1，分值加倍；若前一题答错，则后一题降低难度，答对概率相对前一题增加0.1，分值减半；3答题结束时，若总得分不少于8分，则参与者获得一份奖品，同学们纷纷踊跃参加游戏，已知甲同学答对第一题的概率为． （1）若 ①求甲同学答对第二题的概率； ②记甲同学最后一题的得分为，求的分布列； （2）为增加趣味性，允许答题同学有一次场外求助机会，场外一定能答对，但下一题会增加更大的难度，答对概率相对前一题减少0.2，分值仍加倍．若甲选择求助，则选择第几题求助获得奖品的概率最大？ 【答案】（1）①0.5； ②分布列如下： 0 1 4 16 0.5 0.14 0.3 0.06 （2）第1题【解析】 【分析】（1）①利用全概率公式计算第二题的答对概率，②根据前两题的结果推导最后一题得分的 的可能取值为 、、、，计算可求得分布列； （2）分别计算在第1、2、3题求助时获奖的概率，通过比较概率大小确定最优求助策略. 【小问1详解】 设甲同学答对第题为事件， ① , ②若甲同学最后一题答错，则有4种情况， ，，，此时， ． 若甲同学最后一题答对，则有4种情况， ，，， ， ， ． 综上可知：，分布列如下： 0 1 4 16 0.5 0.14 0.3 0.06 【小问2详解】若甲第一题进行场外求助，设获奖的概率为， 则． 若甲第二题进行场外求助，获奖的概率为，则， 若甲第三题进行场外求助，设获奖的概率为， 则， 令， 该二次函数开口向下，对称轴为. 因为，函数的最小值在端点处取到， 即，即. ，故选择第1题求助获奖概率最大． 19. 若为项数列，若存在数列满足：①；②中的最大项为1，最小项为0，则称是“-好数列”． （1）请写出所有第二项为的“3-好数列”； （2）若为单调不增（即）的“2026-好数列”，求的最大值； （3）若为“-好数列”，记为中的最大项，为中的最小项，求最小值． 【答案】（1）或 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据“3-好数列”定义列举即可； （2）根据“2026-好数列”的定义，结合单调不增，证得单调性，得出，再进行放缩即可； （3）根据“-好数列”的定义，存在，使得，存在，使得， 讨论的大小关系，结合进行放缩，得到，并给出1个的即可. 【小问1详解】 若，则，，则，符合题意； 若，则，则不符合题意； 若，则， 若，则，不符合题意， 若，则符合题意. 所以或. 【小问2详解】 由于为单调不增（即）的“2026-好数列”， 则， 则，， 即， ，， 当时取等号， 则的最大值为. 【小问3详解】 由题意，存在，使得，， 存在，使得，， 若，则，， 结合可得， 若，则，， 结合可得， 当时，， 综上，最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $