精品解析：江苏扬州市新华中学2026届高三考前适应性练习八数学试卷

扬州市新华中学2026届高三考前适应性练习八数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数z满足（其中i为虚数单位），则z的共轭复数＝（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的除法运算法则，结合求模公式及共轭复数的概念，即可得答案. 【详解】由题意， 则z的共轭复数 2. 已知各项均为正数的等比数列的前n项和为，且满足，，成等差数列，则（ ） A. 15 B. 17 C. 80 D. 82 【答案】D 【解析】 【分析】根据等差数列的性质和等比数列的通项公式列方程求解的值，从而利用等比数列的求和公式计算可得结果. 【详解】设各项均为正数的等比数列的公比为， ∵，，成等差数列，∴， ∴，∴，，解得. 则. 3. 已知向量与，，向量在向量方向上的投影向量是，则（ ） A. 4 B. 16 C. 1 D. 3 【答案】A 【解析】 【详解】由题设，则， 由，则. 4. 在一个四面体中，若存在一个顶点处的三条棱两两垂直，则称该四面体为直角四面体，同时，把该顶点叫作“完美顶点”.若在四面体中存在“完美顶点”，，，，F为的中点，则与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】取的中点，连接，，得（或其补角）即为与所成的角，根据已知及余弦定理求夹角余弦值. 【详解】取的中点，连接，， 因为，所以（或其补角）即为与所成的角， 因为，，， 所以， 即与所成角的余弦值为. 故选：C 5. 若函数图象的一个对称中心为，且最小正周期为，则该函数的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为最小正周期为，所以， 所以， 令，则， 又函数图象的一个对称中心为， 所以， 令可得， 所以. 6. 下面四个条件中，使成立的充分而不必要的条件是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：由，但无法得出，A满足；由、均无法得出，不满足“充分”；由，不满足“不必要”. 考点：不等式性质、充分必要性. 7. 2026年秦淮区南部新城灯会于春节期间盛大开幕，本届灯会规模宏大，首次实现“水上、岸上、空中”三维立体赏灯格局，尽显金陵文化的独特魅力．灯会共开设了三处核心赏灯区，分别是夫子庙核心展区、老门东传统灯区、机场跑道无人机灯区．甲、乙、丙、丁四人相约去赏灯，每个赏灯区至少有1人，每人只游览一个赏灯区．在甲游览机场跑道无人机灯区的条件下，甲与乙不到同一赏灯区的概率为（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先按4人分3组、每组至少1人用排列组合求出总基本事件数，再分别算出甲在指定灯区且甲乙不到同一赏灯区时，该灯区2人和仅甲1人两类情况的方法数，联立得到同时满足事件的事件数，求出联合概率，再套用条件概率公式算出最终条件概率. 【详解】记事件: 甲游览机场跑道无人机灯区，事件: 甲与乙不到同一赏灯区，则， 因为每个赏灯区至少有1人，每人只游览一个赏灯区，则先将4个人分为3组，再将这三组分配给三个赏灯区， 基本事件的总数为， 若事件、同时发生，若游览机场跑道无人机灯区有2人，则另外一人为丙或丁， 此时，不同的游览情况种数为， 若游览机场跑道无人机灯区只有甲一人，将另外三人分成两组，再将这两组分配给另外两个赏灯区， 此时，不同的游览情况种数为， 因此，， 由条件概率公式可得. 8. 已知函数，正数满足，则的最小值（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用可得，由此可化简所求式子，结合基本不等式可求得最小值. 【详解】，且在上单调递减， 由得：，即，， （当且仅当时取等号）， 则的最小值为. 故选：B. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，不选或有选错的得0分． 9. 下列说法中不正确的是（ ） A. 一组数据的下四分位数为 B. 在成对样本数据分析中相关系数，表示两个变量之间没有线性相关关系 C. 根据线性回归方程得到预测值为时的观测值为，则残差为 D. 将总体划分为两层，通过分层抽样，得到两层的样本平均数和样本方差分别为，和，，若，则总体方差 【答案】D 【解析】 【详解】对于A，，下四分位数为，A正确； 对于B，相关系数的含义是两个变量没有线性相关关系，但可能存在非线性关系，B正确； 对于C，残差，C正确； 对于D，分层抽样的总体方差不仅与各层样本方差有关，还与各层的样本量和层间均值差异有关，即使，总体方差也不等于，还需要考虑各层的样本量权重，D不正确． 10. 已知直线，点，，，则（ ） A. 点的集合是 B. 点的集合是 C. 点到直线的距离的取值范围是 D. 点到直线的距离的取值范围是 【答案】BC 【解析】 【详解】原点到直线的距离为：， 因此所有直线都是圆的切线. 题目要求对任意，，说明始终不在任何切线上， 即在圆内部，满足. 故A错误，B正确； 求到直线​的距离范围：原点到该直线的距离为， 因为圆半径，则直线在圆外. 圆内点到直线的最小距离为， 最大距离为；又不包含圆边界，因此距离取值范围是，故C正确； 求到直线的距离范围： 原点到该直线的距离为 ， 因为圆半径，则直线穿过圆，圆内存在点落在直线上，点到直线距离可以取到， 因此距离范围是，不是，故D错误. 11. 已知正方体的各个顶点都在表面积为的球面上，点为该球面上的任意一点，则下列结论正确的是（ ） A. 有无数个点，使得平面 B. 有无数个点，使得平面 C. 若点平面，则四棱锥的体积的最大值为 D. 若点平面，则的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据给定条件，求出球的半径及正方体的棱长，利用面面平行、线面垂直的性质判断AB；求出点平面距离的最大值计算判断C；建系设出点的坐标，借助基本不等式求出最大值判断D. 【详解】令正方体的外接球半径为，，，则， 连接，由四边形是该正方体的对角面，得四边形是矩形， 即有，而平面，平面，则平面， 同理平面，又平面， 因此平面平面，令平面截球面所得截面小圆为圆， 对圆上任意一点（除点外）均有平面，A正确； 对于B，过与平面垂直的直线仅有一条，这样的点至多一个，B错误； 对于C，平面截球面为圆，圆的半径为，则圆上的点到底面的距离的最大值为， 因此四棱锥的体积的最大值为，C正确； 对于D，显然平面，在平面内建立平面直角坐标系，如图， 令点，而， 因此， ，令， ，当且仅当取等号， 此时，即，因此的最大值为，D正确. 故选：ACD 【点睛】关键点睛：解决与球有关的内切或外接问题时，关键是确定球心的位置，再利用球的截面小圆性质求解. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，其中，则________. 【答案】 【解析】 【分析】利用二项式定理求展开式中指定项的系数. 【详解】，其中， ，解得， 项的系数为 ，故 . 13. 已知曲线与曲线交于两点P，Q，点F是的焦点，点O是坐标原点．若，则的离心率为______． 【答案】 【解析】 【分析】联立抛物线和双曲线方程，根据韦达定理可得，结合抛物线的定义可得，即可得双曲线离心率. 【详解】由题意可知：抛物线的焦点为， 设，， 联立方程，消去可得， 则，解得，可得， 又因为，则， 即，可得，可得， 所以双曲线的离心率为. 14. 记上的可导函数的导函数为，满足的数列称为“牛顿数列”．若函数，且，数列为牛顿数列．设，已知，则______，数列的前项和为，若不等式对任意的恒成立，则的最大值为______． 【答案】 ①. 4 ②. 【解析】 【分析】由导函数，可得，再由求出，即可得到，从而求出，又，则，可求出数列的通项公式与前项和为，参变分离可得对任意的恒成立，利用对勾函数的性质出即可. 【详解】因为，则，则， 由，所以，解得，所以， 所以， 由，所以， 所以， 即数列是以2为首项、2为公比的等比数列，所以，， 因为对任意的恒成立，又且单调递增， 所以对任意的恒成立，令， 根据对勾函数的性质可得在上单调递减，在上单调递增， 又，且， 所以，所以的最大值为． 故答案为：4；. 【点睛】思路点睛：由与的函数关系，结合“牛顿数列”的定义，由求出，再得到，从而求出，得出数列的特征，求出，最后的恒成立问题转化为函数最值问题． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知等差数列的公差为，前项和为，等差数列的公差为，且，，． （1）求数列，的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）由题意列出等式，解方程求出，即可求出，的通项公式； （2）由分组求和法结合裂项相消法、等比数列的前项和代入即可得出答案. 【小问1详解】 因为数列，都是等差数列，且，， 所以，解得， 所以 综上，． 【小问2详解】 由（1）得： 所以 ． 16. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，已知 （1）求 （2）若，，的面积为. ①求; ②设BC，AC边上的两条中线AD，BE相交于点O，求. 【答案】（1） （2）①，；② 【解析】 【分析】（1）利用和角公式和正弦定理，以及辅助角公式推理计算即得； （2）①利用余弦定理和三角形面积公式即可求得；② 先将分别用表示，再运用向量数量积的运算律和向量夹角的计算公式求出即得答案. 【小问1详解】 由，可得， 由正弦定理得 因为， 所以 由于，则，所以. 又，则，故. 【小问2详解】 ①由题意，的面积，可得①， 由余弦定理得，，且，所以, 则，因为，所以②， 因为，联立①和②解得，， ② 因为D，E分别是BC，AC的中点，O为AD，BE的交点， 所以，， 因为 ， ， 所以, 由题意，为锐角，则. 17. 已知 （1）给定区间，试求出在上的递减区间； （2）求证：不存在，使在处的切线恰平行于轴. 【答案】（1）当  时， 在  上没有递减区间； 当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减. （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）分类讨论，判断导数正负，以此得到单调递减区间. （2）将问题等价于是否存在极值点问题，进而转化成导数为0是否有解. 【小问1详解】 ∵， ①若，则在上单调递增，无递减区间； ②若，当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增； ③若，则，函数在上单调递减， 综上，若，在上单调递增，无递减区间； 当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减； 【小问2详解】 令，， ， 由（1）易知， 当时，在上单调递减，在上单调递增， ∴在上的最小值为， 即，又， ∴， ∵曲线在点处的切线与轴平行等价于方程有实数解， 而，即方程无实数解， 故不存在实数，使曲线在点处的切线与轴平行 18. 已知一个圆柱的上下底面都为椭圆，且其母线与底面垂直，若该圆柱的母线长的立方为27，过点在该圆柱下底面建立一个适当的平面直角坐标系，得到椭圆的离心率为0.5，焦点位于轴上，且其短轴长的平方为12 （1）求出椭圆的长轴的长； （2）若点为该圆柱中椭圆上面的任意一点，且为中点，是以点为中点的一条弦，且直线的方程为：. （i）探究与所满足的等式关系； （ⅱ）设点到平面的距离长度为，试求出的最小值. 【答案】（1）4 （2）（i）（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）由离心率定义结合已知条件可得长轴. （2）（i）首先根据中点条件建立椭圆上的点与另外两点的关系，再通过联立直线方程用，表示椭圆上的点，最后代入化简即可. （ii）先用几何法找到点到面的距离，再用三角形面积法建立椭圆上与的等式，用（i）结论建立不等式求出的最小值，即可确定的最小值. 【小问1详解】 ，，所以，所以椭圆的长轴的长为. 【小问2详解】 （i）由（1）知椭圆的方程为，设、、， 所以，联立，得， 得， 所以， 所以，将点代入方程得， 化简得，由于， 得. （ⅱ）过作于点，连接，作于点. 由平面，又平面，， 又，，平面， 又平面，. ，，， 又平面，平面，则. 设，根据等面积法，， 所以当取到最小值时，也取到最小值. 在椭圆平面内，，由（i）得：， 则，所以. 19. 一个不透明盒子中装有除颜色外大小形状均相同的3个小球，其中包含1个红球，2个黑球．小明在做摸球游戏，游戏规则：从盒子中随机取出一个球，若取出红球，则放回盒子中；若取出黑球则不放回，另外补一个红球放入盒子中．设每次取球相互独立，用随机变量表示小明做了这样的游戏次后盒子中红球的个数． （1）求； （2）求的分布列； （3）证明数列为等比数列，并求． 【答案】（1） （2）的分布列为 1 2 3 P （3）证明见解析，【解析】 【分析】（1）根据古典概型概率公式求解； （2）求出的所有可能取值及概率，即可求出分布列； （3）先求出和的分布列，可得，变形可得，然后利用等比数列定义证明，进而利用等比数列通项公式求解即可． 【小问1详解】 由题意可知摸一次球后盒子中有2个红球即为摸到黑球， 故． 【小问2详解】 由题意可知，的所有可能取值为1，2，3， ， ， ， 故的分布列为 1 2 3 P 【小问3详解】 设的分布列为 1 2 3 P 其中，且， 而，，， 所以的分布列为 1 2 3 P 所以 ， 即，而， 所以数列为等比数列， 所以，故． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 扬州市新华中学2026届高三考前适应性练习八数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数z满足（其中i为虚数单位），则z的共轭复数＝（ ） A. B. C. D. 2. 已知各项均为正数的等比数列的前n项和为，且满足，，成等差数列，则（ ） A. 15 B. 17 C. 80 D. 82 3. 已知向量与，，向量在向量方向上的投影向量是，则（ ） A. 4 B. 16 C. 1 D. 3 4. 在一个四面体中，若存在一个顶点处的三条棱两两垂直，则称该四面体为直角四面体，同时，把该顶点叫作“完美顶点”.若在四面体中存在“完美顶点”，，，，F为的中点，则与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 5. 若函数图象的一个对称中心为，且最小正周期为，则该函数的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 6. 下面四个条件中，使成立的充分而不必要的条件是 A. B. C. D. 7. 2026年秦淮区南部新城灯会于春节期间盛大开幕，本届灯会规模宏大，首次实现“水上、岸上、空中”三维立体赏灯格局，尽显金陵文化的独特魅力．灯会共开设了三处核心赏灯区，分别是夫子庙核心展区、老门东传统灯区、机场跑道无人机灯区．甲、乙、丙、丁四人相约去赏灯，每个赏灯区至少有1人，每人只游览一个赏灯区．在甲游览机场跑道无人机灯区的条件下，甲与乙不到同一赏灯区的概率为（） A. B. C. D. 8. 已知函数，正数满足，则的最小值（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，不选或有选错的得0分． 9. 下列说法中不正确的是（ ） A. 一组数据的下四分位数为 B. 在成对样本数据分析中相关系数，表示两个变量之间没有线性相关关系 C. 根据线性回归方程得到预测值为时的观测值为，则残差为 D. 将总体划分为两层，通过分层抽样，得到两层的样本平均数和样本方差分别为，和，，若，则总体方差 10. 已知直线，点，，，则（ ） A. 点的集合是 B. 点的集合是 C. 点到直线的距离的取值范围是 D. 点到直线的距离的取值范围是 11. 已知正方体的各个顶点都在表面积为的球面上，点为该球面上的任意一点，则下列结论正确的是（ ） A. 有无数个点，使得平面 B. 有无数个点，使得平面 C. 若点平面，则四棱锥的体积的最大值为 D. 若点平面，则的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，其中，则________. 13. 已知曲线与曲线交于两点P，Q，点F是的焦点，点O是坐标原点．若，则的离心率为______． 14. 记上的可导函数的导函数为，满足的数列称为“牛顿数列”．若函数，且，数列为牛顿数列．设，已知，则______，数列的前项和为，若不等式对任意的恒成立，则的最大值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知等差数列的公差为，前项和为，等差数列的公差为，且，，． （1）求数列，的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 16. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，已知 （1）求 （2）若，，的面积为. ①求; ②设BC，AC边上的两条中线AD，BE相交于点O，求. 17. 已知 （1）给定区间，试求出在上的递减区间； （2）求证：不存在，使在处的切线恰平行于轴. 18. 已知一个圆柱的上下底面都为椭圆，且其母线与底面垂直，若该圆柱的母线长的立方为27，过点在该圆柱下底面建立一个适当的平面直角坐标系，得到椭圆的离心率为0.5，焦点位于轴上，且其短轴长的平方为12 （1）求出椭圆的长轴的长； （2）若点为该圆柱中椭圆上面的任意一点，且为中点，是以点为中点的一条弦，且直线的方程为：. （i）探究与所满足的等式关系； （ⅱ）设点到平面的距离长度为，试求出的最小值. 19. 一个不透明盒子中装有除颜色外大小形状均相同的3个小球，其中包含1个红球，2个黑球．小明在做摸球游戏，游戏规则：从盒子中随机取出一个球，若取出红球，则放回盒子中；若取出黑球则不放回，另外补一个红球放入盒子中．设每次取球相互独立，用随机变量表示小明做了这样的游戏次后盒子中红球的个数． （1）求； （2）求的分布列； （3）证明数列为等比数列，并求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $