精品解析：江苏扬州市新华中学2026届高三考前适应性练习六数学试卷

扬州市新华中学2026届高三考前适应性练习六 数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数在复平面内对应的点位于第二象限，则下列结论一定成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数是偶函数，则实数 （ ） A. B. C. 1 D. 2 4. 现有甲､乙等五名学生参加“弘扬中华文化”的演讲比赛，已知甲既不在第一个出场，又不在最后一个出场，且乙不在第三个出场，则不同的出场顺序共有（ ） A. 120种 B. 96种 C. 72种 D. 60种 5. 若，则n的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 6. 已知数列是等比数列，则“”是“为单调递减数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 已知三棱锥 的体积为，．若该三棱锥的四个顶点都在球的球面上，则球的表面积为（ ） A. B. C. D. 8. 钝角的内角，，的对边分别为 ，，，满足，则的取值范围为（ ） A. （0，1） B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得分，有选错的得0分． 9. 已知抛物线的焦点为准线为，圆过点．下列说法正确的是（ ） A. B. 的方程为 C. 若圆心在上，则圆与相切 D. 若圆与相切，则圆心在上 10. 已知函数的部分图象如图所示，点、在的图象上．下列说法正确的是（ ） A. 的最小正周期是 B. 在区间单调递增 C. 的一个对称中心是 D. 的图象可以由的图象向左平移个单位长度得到 11. 如图，由开始，作一系列的相似三角形，，.设第个三角形的斜边长为，面积为，前个三角形的面积之和为，其中，，则（ ） A. 为等差数列 B. 为等比数列 C. 为递增数列 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知单位向量满足，则______. 13. 设，是方程的两个不同的解，且（），则________． 14. 在平面凸四边形 中，， ，，的面积为．当最大时，四边形 的面积为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，内角，，的对边分别为 ，，，且. （1）求角的大小； （2）若，的面积为，求 边上的高. 16. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若，求 的取值范围． 17. 如图，已知四棱锥 的底面 是边长为2的菱形，， 平面 ，是 的中点， 是的中点. （1）求证： 平面 ； （2）若 ， ①求直线与平面 所成角的正弦值； ②平面 将四棱锥 分成两部分，求较小部分的体积. 18. 已知点在椭圆上，椭圆的右焦点，直线l过椭圆的右顶点A，与椭圆交于另一点D，与y轴交于点E. （1）求椭圆C的方程； （2）若P为弦AD的中点，是否存在定点Q，使得恒成立？若存在，求出Q点的坐标，若不存在，请说明理由； （3）若，交椭圆C于点M，求的取值范围. 19. 某盲盒商店调查数据显示，顾客一次性购买某种文创盲盒数量 的分布列为 其中，． （1）当时，求顾客一次性购买该种文创盲盒数量的平均值； （2）已知该种文创盲盒分为封面款与非封面款两类，且每个盲盒为封面款的概率为，每个盲盒是否为封面款相互独立．若顾客一次性购买的盲盒中，封面款的数量大于非封面款的数量，则称此顾客为幸运客户．现从顾客中随机选取一人． （i）求该顾客为幸运客户的概率； （ii）若该顾客是幸运客户，他购买的盲盒全部是封面款的概率不超过，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 扬州市新华中学2026届高三考前适应性练习六 数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】写出集合，利用补集的定义可得集合. 【详解】因为全集，，故. 2. 已知复数在复平面内对应的点位于第二象限，则下列结论一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的乘法求出对应的点结合该点在第二象限判断即可. 【详解】， 所以复数在复平面内对应的点为， 因为该点在第二象限，所以，，则， 所以，即，所以. 3. 已知函数是偶函数，则实数 （ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据偶函数定义求解. 【详解】因为函数为偶函数， 所以， 所以，解得 . 4. 现有甲､乙等五名学生参加“弘扬中华文化”的演讲比赛，已知甲既不在第一个出场，又不在最后一个出场，且乙不在第三个出场，则不同的出场顺序共有（ ） A. 120种 B. 96种 C. 72种 D. 60种 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，分甲在第三个出场和甲不在第一个、第三个和最后一个出场两种情况讨论求解即可. 【详解】若甲在第三个出场，则不同的出场顺序有种； 若甲不在第一个、第三个和最后一个，则不同的出场顺序有种． 根据分类加法计数原理可知，不同的出场顺序共有种． 5. 若，则n的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】利用二项式定理补项配凑求和的通项表达式 【详解】由， 解得. 6. 已知数列是等比数列，则“”是“为单调递减数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据等比数列的通项公式，结合充分性和必要性的定义进行运算判断即可. 【详解】设该等比数列的公比为， 由，得，所以， 所以或， 取，此时满足且，则成立， 但数列不是单调递减数列，故充分性不成立； 当数列为单调递减数列时，则有，所以， 所以，所以或， 可得成立，故必要性成立； 因此“”是“为单调递减数列”的必要不充分条件. 7. 已知三棱锥 的体积为，．若该三棱锥的四个顶点都在球的球面上，则球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先找到的外接圆圆心位置，结合三棱锥的体积确定外接球半径 及外接球球心的位置，并利用勾股定理建立关于 的方程求解，最后用球的表面积公式计算求解. 【详解】 已知，，所以的面积. ，直角三角形外接圆圆心为斜边中点， 设中点为，则. 因为三棱锥体积，代入得，， 又，为中点，由等腰三角形三线合一得 ， 且 ， 因此 平面，即在底面投影为. 设，球半径为 ，则. ，， 联立得，解得，因此. 即球的表面积. 8. 钝角的内角，，的对边分别为 ， ，，满足，则的取值范围为（ ） A. （0，1） B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用正弦定理将条件 转化为角的关系，结合钝角三角形的限制，推出 的取值范围，再将目标式 转化为关于 的函数，最后结合函数单调性求出取值范围即可. 【详解】因为，由正弦定理得，， 即，中，故， 由及为钝角三角形可得，， 由正弦定理得， ， 由各内角大于0，即，可得，故， 对勾函数在上单调递减，且， 所以，的取值范围为. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得分，有选错的得0分． 9. 已知抛物线的焦点为准线为，圆过点．下列说法正确的是（ ） A. B. 的方程为 C. 若圆心在上，则圆与相切 D. 若圆与相切，则圆心在上 【答案】BCD 【解析】 【详解】因抛物线的焦点为，则，解得，故A错误； 准线的方程为，故B正确； 当圆心在上时，设点到准线的距离为 ，根据抛物线的定义，可得， 又因圆过点，即点到准线的距离 等于圆的半径，故圆与相切，即C正确； 反之，若圆与相切，则点到准线的距离 等于圆的半径，又圆过点． 即，故点在上，即D正确. 10. 已知函数的部分图象如图所示，点、在的图象上．下列说法正确的是（ ） A. 的最小正周期是 B. 在区间单调递增 C. 的一个对称中心是 D. 的图象可以由的图象向左平移个单位长度得到 【答案】AD 【解析】 【分析】由图象求出、的值，结合正切型函数的周期公式可判断A选项；利用正切型函数的周期公式可判断B选项；利用正切型函数的对称性可判断C选项；利用三角函数图象变换可判断D选项. 【详解】对于A选项，由题意可得，又因为，所以， 所以， 又因为，所以，解得， 由图可知函数的最小正周期 满足，即，即， 故，因为，故 ，， 所以函数的最小正周期为，A对； 对于B选项，由A选项可知， 当时，，故函数在区间上不单调，B错； 对于C选项，因为，故不是函数的一个对称中心，C错； 对于D选项，因为， 所以的图象可以由的图象向左平移个单位长度得到，D对. 11. 如图，由开始，作一系列的相似三角形，，.设第 个三角形的斜边长为，面积为，前 个三角形的面积之和为，其中，，则（ ） A. 为等差数列 B. 为等比数列 C. 为递增数列 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】由直角三角形边长关系和相似性质求，通项，再利用等比数列求和公式得出，最后根据等差、等比、递增数列的定义和构造不等式、指数函数的性质分析各个选项. 【详解】对于A选项，在中，，， 根据三角函数的定义， 所以， 又因为三角形相似，所以， 即，所以为等比数列， 所以A选项错误， 对于B选项，，其中， 所以，， 又因为相似三角形的面积比等于相似比的平方，相似比为， 所以， 所以是首项为，公比为的等比数列， 所以B选项正确， 对于C选项，， 所以， 所以为递增数列，所以C选项正确， 对于D选项，因为，，， 所以令 ， 所以， 所以D选项正确. 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知单位向量满足，则______. 【答案】## 【解析】 【分析】由求解即可. 【详解】， 又，为单位向量， 故，解得， 又， 所以. 13. 设，是方程的两个不同的解，且（），则________． 【答案】 【解析】 【分析】，利用两角和与差的正余弦公式可求得，进而可求得，利用二倍角的正切公式求解即可. 【详解】因为，是方程的两个不同的解， 所以，， 所以， 所以 ， 所以， 所以， 又因为（），所以（），所以， 所以，所以， 所以. 14. 在平面凸四边形中，，，，的面积为．当最大时，四边形的面积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用余弦定理结合勾股定理可得出，以点为坐标原点，、 所在直线分别为 、 轴建立平面直角坐标系，设点，根据以及图形求得，且有 ，分析可得，利用基本不等式结合两角差的正切公式可求出的最大值，利用等号成立的条件可求出点的坐标，进而可求得四边形的面积. 【详解】在中，，，， 由余弦定理可得， 即，整理可得，解得 或（舍去）， 所以，故， 以点为坐标原点，、 所在直线分别为 、 轴建立如下图所示的平面直角坐标系， 则、、，则点在第一象限，设点， 则，解得，则， 因，而，， 则， 当且仅当时，即当时，等号成立，此时取最大值，则点， 故. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，内角，，的对边分别为 ， ，，且. （1）求角的大小； （2）若，的面积为，求边上的高. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理将边转化为角，结合诱导公式、辅助角公式及特殊角的三角函数值解方程即可. （2）由三角形面积公式、余弦定理分别可得 、，再由等面积法求解即可. 【小问1详解】 ∵， 由正弦定理可得：， ∴. ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴. 【小问2详解】 如图所示， ∵， ∴. 由余弦定理可知. 而，解得， 所以AB边上的高为. 16. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若，求 的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】利用导数的几何意义、导数的应用等基础知识求解即可. 【详解】（1）函数的定义域为，． 当时，因为，所以， 又，所以曲线在点处的切线方程为， 即． （2）解法一：(i)当 时，，在单调递增，此时存在 ，使， 不符合题意，舍去； (ii)当 时，显然成立； (iii)当 时，令，得，令，得； 所以在单调递减，在单调递增． 所以，解得． 综上所述， 的取值范围为． 解法二：由已知，得． (i)当时，可得．因为，所以，又因为时，， 所以 ； (ii)当 时，恒成立，所以； (iii)当 时，可得． 令，， 当时， ，单调递减；当时， ，单调递增； 所以，所以． 综上所述， 的取值范围为． 17. 如图，已知四棱锥 的底面是边长为2的菱形，， 平面，是的中点， 是的中点. （1）求证： 平面 ； （2）若 ， ①求直线与平面 所成角的正弦值； ②平面 将四棱锥 分成两部分，求较小部分的体积. 【答案】（1）取 的中点为，连接 ，因为 是 的中点， 所以 . 因为四边形 为菱形，所以 ， 又 是的中点，所以 ，所以四边形 为平行四边形， 所以 ，又 平面 ，而 不在平面 内， 所以 平面 . （2）①；② 【解析】 【分析】（1）要证明线面平行，需通过证明线线平行进而得到线面平行，即证明 . （2）①先建立空间直角坐标系，然后列出各个点的坐标，求出平面 的法向量坐标，进而根据向量夹角的余弦公式求出结果；②延长 交的延长线于点，连接 交 于点 ，然后根据三棱锥体积公式计算即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①因为 平面 ， 平面 ，所以 . 因为 ，所以以 为原点，以 所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则 . 所以 . 设平面 的一个法向量为，则有， 即，令 ，则 ，所以 . 所以直线 与平面 所成角的正弦值为. 延长 交的延长线于点，连接 交 于点 ， 易知 ， . 18. 已知点在椭圆上，椭圆的右焦点，直线l过椭圆的右顶点A，与椭圆交于另一点D，与y轴交于点E. （1）求椭圆C的方程； （2）若P为弦AD的中点，是否存在定点Q，使得恒成立？若存在，求出Q点的坐标，若不存在，请说明理由； （3）若，交椭圆C于点M，求的取值范围. 【答案】（1） （2）存在定点 （3） 【解析】 【分析】（1）根据点的坐标和焦点可求方程； （2）根据垂直关系得出斜率关系，利用恒成立可求定点坐标； （3）把所求式进行转化，利用换元法，根据函数单调性可求答案. 【小问1详解】 由题意，解得，所以椭圆C的方程为. 【小问2详解】 存在定点符合题意； 由题意可知，直线的斜率存在且不为0，设直线的方程， 联立，整理可得， 设，则，则， 所以，由P为弦AD的中点，则， 所以直线OP的斜率；直线l的方程，令，则， 假设存在定点，满足，直线EQ的斜率， 所以，整理得， 由恒成立，则，解得，故定点的坐标为. 【小问3详解】 由，则直线OM的方程，设， 由，解得， 由平行线的性质可得， ， 令，则 ，因为对勾函数在上单调递增， 所以的取值范围是. 19. 某盲盒商店调查数据显示，顾客一次性购买某种文创盲盒数量 的分布列为 其中，． （1）当时，求顾客一次性购买该种文创盲盒数量的平均值； （2）已知该种文创盲盒分为封面款与非封面款两类，且每个盲盒为封面款的概率为，每个盲盒是否为封面款相互独立．若顾客一次性购买的盲盒中，封面款的数量大于非封面款的数量，则称此顾客为幸运客户．现从顾客中随机选取一人． （i）求该顾客为幸运客户的概率； （ii）若该顾客是幸运客户，他购买的盲盒全部是封面款的概率不超过，求的取值范围． 【答案】（1） （2）（i），；（ii）. 【解析】 【分析】（1）由分布列的性质得出，再利用期望公式求解即可； （2）（i）设事件“一次性购买个文创盲盒”，事件“顾客为幸运客户”，求出、，利用全概率公式可得出的表达式及的取值范围； （ii）设事件“一次性购买的文创盲盒全部是封面款”， 求得，利用全概率公式求出的值，利用条件概率公式结合可得出关于的不等式，结合可得出的取值范围. 【小问1详解】 由题可知，， 化简可得 ， 当时，，则， 即顾客一次性购买文创盲盒数量的平均值为． 【小问2详解】 （i）设事件“一次性购买个文创盲盒”，事件“顾客为幸运客户”， 则，，，． 依题意，得，， 因为每个盲盒是否为封面款相互独立， 所以，， 又由题意知，，且、、 、两两互斥， 所以， 由（1）得，，代入化简可得， 所以，； （ii）设事件“一次性购买的文创盲盒全部是封面款”， 依题意，得，且，、、两两互斥， 所以， 由（i）得，， 所以幸运客户中，一次性购买的文创盲盒全部是封面款的概率为 ， 由题意，可得，解得， 又因为，所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $