广东江门市鹤山市第一中学2025-2026学年高一下学期第一阶段考试数学试题

鹤山一中2025-2026学年度第二学期第一阶段考试 高一数学试卷 2026.04 一、单选题.（每小题5分，共40分） 1.sim7cos7=（ ) A号 B. C.1 D.3 2.在△ABC中，CD=2DB,AE=ED,则CE=() A.号AB-名ACB.名AB-子ACC.名AB-ACD.专AB-AC 3:设非零向量a,五，c,满足同==同，a+6=,则向量a,6的夹角等于（ A.150° B.120° C.60° D.30° 4.在△ABC中，若b=3,c=V6,C=则角B的大小为() A.8 B.背 c.ξ D.岭 3 5.在平面内，某质点在三个力，瓦，瓦的作用下恰好处于平衡状态，其中 万=(3，-2)，瓦=(-1,2)，则瓦在上的投影向量的坐标为（) A.（-2,0) B.(1,0) 6.设向量a=(sina,cosa),方=(3,2)，若a/i,则tam2a等于( ) A.号 B. C.2 5 7.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若A+C=2B, √5d+√5c2-2 acsin B=9W3,则b=（) A.3V5 B.3 C.6 D.5 8.我国古代数学家僧一行应用“九服晷影算法”在《大衍历》中建立了晷影长1与 太阳天顶距日(0°≤0<90°)的对应数表，这是世界数学史上较早的一张正切函数 表.根据三角学知识可知，晷影长1等于表高与太阳天项距8正切值的乘积，即 高一级数学第1页，共4页 1=htan6、对同一“表高”测量两次，第一次和第二次太阳天顶距分别为a,P,若 第一次的“晷影长”是“表高的2倍，且a(a-)=,则第二次的“晷影长”是“表 高的() A.是倍 B.倍 C.倍 D.子倍 二、多选题（每小题6分，共18分；漏选部分给分，错选得0分) 9.下列命题正确的是() A.若ā/1仍，则存在唯一实数1使得a=2 B.“同=”是“a=”的必要不充分条件 C.已知à，五为平面内两个不共线的向量，则{a+6,-a+36可作为平面的一组基底 D.若点G为△ABC的重心，则GaA+GB+GC=0 10.已知O为坐标原点，点R(cosa,sina),P(cosB,-sin),(cos(a+),sim(c+B), AQ,0),则（) A.OP -OP B.=回C.OA0°=0正：0丽D.OA0=O丽.0丽 11.函数fx=Asin(ωx+p)(A>0,w>0,lp|<)的部分图象如图所示，将f (x)的图象向右平移2个单位长度得到函数g（(x)的图象，则下列关于函数g (x)的说法正确的有() A.x=一是g(x)的一条对称轴 B.g(x)在(-石，)上单调递增 C.g(x)的一个对称中心为(-石，0) D.g&+)是偶函数 三、填空题（每小题5分，共15分） 12.已知平面向量a=(x,1),6=(x-1,2x),若a1(a-，则|a片 13.函数f)-smx+n后的最小正周期是 试卷第2页，共4页 4在△c中，石a花-5-2，且消足同司}6-司-0，英中众亚0 是△ABC外接圆的圆心，则AM·Aō= 四、解答题（共77分） 15.（13分)已知向量à与6的夹角为60，且同=4，=2，求 (1)a6 (2)la+副 (3)设向量(a+)与(a-)的夹角为0，求cos0的值. 16.(15分)已知函数f(x)=V3si血(wx+中)(w>0,-≤中<的图象 关于直线x=对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π· (1)求w和Φ的值； (2)若f学=5（号<a<),求cos(a+受）的值. 17.（15分)如图，△ABC中，B=45°，D是边BC上一点，AD=10,AC=14,DC=6. (1)求∠ADC的值； (2)求AB的长； (3)求△ABC的面积. 高一级数学 第3页，共4页 18.(17分)设△ABC是边长为4的正三角形，点P1、P2、P3四等分线段BC(如 图所示). (1)求AB.AP1+AP1·AP2的值； (2)Q为线段AP,上一点，若AQ=mAB+号AC,求实 数m的值； P。P3P (3)P在边BC的何处时，PA·PC取得最小值，并求出此最小值. 19.(17分)如图，在扇形ON中，半径oM=2,圆心角∠oN=货，矩形ABCD内 接于该扇形，其中点A,B分别在半径OM和O上，点C,D在 上，AB1IMW,记矩形ABCD的面积为S B (1)当点A,B分别为半径oM和ow的中点时，求S的值； (2)设∠DoM=g0<g<),当9为何值时，S取得最大值，并 求此时S的最大值. 试卷第4页，共4页 鹤山一中2025-2026学年度第二学期第一阶段考试高一数学 参考答案 题号 2 3 4 6 9 10 11 答案 B D B C B B BCD AC AD 12、√2 13、元 7.因为A+C=2B,而A+C+B=元，所以B= 3,则 V5c2+5c2-2acsm于=5ad2+5c2-5ac=5,得d2+e2-ac=9.根据余弦定 理可得b2=a2+c2-2acc0sB=a2+c2-ac=9,故b=3,故选：B. 8由题可得细a=2,加e-)-又 tana-tan(a-B) 2- tnB-tan[a-(-B)-i+tatam(-)1+2x 23 ，即第二次的“晷影长”是“表高”的 14设示-同十同，则P在∠84C的角平分线上， a b a-)=.丽=0， 正1C8,即AP⊥BC,又AP为角平分线，所以AB=AC,÷=同=a-=2, 即VABC是边长为2的等边三角形，设D为BC中点， ,O是VABC外接圆的圆心， 0在∠BAC的角平分线上，且A0-名AD=名V2-平_25 3 3 d=3C-子，∠0AM=∠BAc=30, 2 4-M-olcos30-2_2 332“3 故答案为：子 15.(1)a.6=l6cos60°=4×2x5=4.——3分 (2)由(1)得ab=4, a+=@+=层+2a6+=P+2a6+f=i6+2x4+4=27.一7分 答案第.1页，共4页 (3)由(1)(2)得àb=4,a+=2万， COs&= (a+)(a-) 2-62 lap -8p a+6a-a+xa-2ā.6+a+×aP-2a-6+6r 16-4 12-2团 2W7×√16-2×4+42W7×√127 -一13分 16.(1)因为2 bcosC=2a+c,所以由正弦定理得2 sin BcosC=2sinA+sinC, 所以2 sin BcosC=2sin(B+C)+sinC, 即2 sin BcosC=2(sin BcosC+cos Bsin C)+sinC,整理可得(2cosB+1)sinC=0, :0<C<,血C>0,则osB=克又：Be0列.因t,B=, 3 (2)由余弦定理得b2=a2+c2-2 ac cos B,所以28=a2+4+2a,即a2+2a-24=0, :a>0,解得a=4. 17.(1)在△ADC中，AD=10,AC=14,DC=6,由余弦定理，得 o8<ADC=10+6-14=-0<Z4DC≤，所以∠ADC=2玩 一4分 3 ②油)知∠ADC=号，所以∠ADB=-∠ADC=号 在△ABD中，MD=10B=年∠4DB=号 由正弦定理AD=AB 。10x3 si咖Bsim乙ADB'得AB= 2=56,9分 2 O在△BD中，B=年ABD=号所以∠BAD=-B-∠4D=沿 12 在AMBD中，由正弦定理，BD AB 56x6+2 ,得BD= 'sin∠BAD sin∠ADB 4=55+5, 3 2 所以BC=BD+DC=5V5+5+6=5V5+11, 所以5am=方40xCx血8=7+55 --一15分 2 答案第2页，共4页 17.(1)由题意可得函数f(x)的最小正周期为，2=，“=2.再根据图象关 于直线x=对称，可得2x号+中=km+受k∈z.结合-受≤中<可得中=一云 7分 2)f学=渠爱<a<,sin(a-骨=号in(a-骨=录再根 据0<a-君<受cos(a-爱=且-sin2a-8=平0os(a+受)=sina= sinl（a-晋)+g】=sin（a-君)cos君+coe（a-若) 后=×号+×分-西 4×2 8 —15分 18.(1)△ABC是边长为4的正三角形，点P,P,P,四等分线段BC,AB,AP1+AP1·AP2= AB(AB+B即)+(AB+BP)(AB+BP)=AB·(AB+BO+(AB+BO·(AB+2BG =2AB2+AB.BC+Bc2=32+4X4×(-2=26;5分 (2)设A0=M,=(AB+的=婴AB+AC,又A0=mAB+号A配，由平面向量基本 定理解得 m= ,解得=一1分 (3)设PC=tBC,t∈[0,1]，PA.PC=(PC+CA.PC=PC2+CA.PC=t2BC2+CA. (tBC)=16t2-8t,又t∈[0,1门，∴当t=时，即P在P处时，PA.PC取得最小值-1. 一17分 19.1)如图，连接OC,0D,则OC=OD=2,所以20C=∠0cD,又因 为矩形ABCD,∠ADC=∠BCD=90°，所以∠ADO=∠BCO, 从而可得△OAD≡△OBC,所以OA=OB, 因为 0N=号，且OA=08,则V408为等边三角形即 BAO=T 3 又因为矩形ABCD,∠BAD=90°，则 DM-8, 过点D作OM的垂线，垂足为E,设 oM-0<08) 则DE=0Dsin0=2sin日，OE=ODcos8=2cos8, DE 在RtAADE中，则 AD= sin∠DAM =4sin8,AB=4Dcos∠DAM=25s血9， 可得OA=OE-AE=2cos日-2W5sin日，若点4，B分别为半径OM和ON的中点， 4-2w0-2a5sm0-4omor引1，mo+引}月 则 o8.则29后引.m0引-o到- 可得 0[or}引-ma-om-,9 S-AB-AD-AD.On-4x 所 8 2.—10分 (2)由(1)可得：S=BAD=AD.0A=4sin0(2c0s6-2V5sin6l =46m20+45cos20-45=8sm20+9-4W月 又因为 333 20+π、元 nBs龙 可知 32,即12时，矩形ABCD面积S取到最大值为8-4W5.一17分