河南南阳市方城县第一高级中学2025-2026学年高二下学期卓越班期中模拟考试数学学科

2026年春期高二卓越班期中模拟考试数学学科 命题人：杨露 审题人：袁小转 考试范围：选必一第七章+选必二 考试时间：120分钟 一、单选题 1．已知函数的导函数为，若，则的值为（   ） A． B． C．2 D．4 2．已知函数在处有极小值，则（    ） A． B． C．或 D．或 3．已知等比数列的首项为1，前项和为，若，则（    ） A．1或2 B．1或4 C．2或4 D．4 4．已知数列的首项，且满足，则数列（ ） A．单调递增 B．单调递减 C．先减后增 D．先增后减 5．设数列满足，则的前2026项和为（   ） A． B． C． D． 6．记函数的导函数为，已知，且，，若关于的不等式在上有解，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．若经过点的直线与曲线相切，也与曲线相切，则（    ） A． B． C． D． 8．已知函数，若不等式恒成立，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．记数列的前项和为，且，，，设，则（    ） A． B．数列为等比数列 C． D．的最大值为53 10．如图是瑞典数学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案．图形的做法是：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边．反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线．设原正三角形（图①）的边长为1，记第个图形的边数为，第个图形的周长为，则（    ） A． B． C．数列是等差数列 D．若对任意恒成立，则 11．已知函数，其中，则（    ） A．若函数有且仅有1个零点，则 B．若函数有且仅有2个极值点，则a的取值范围是 C．不存在，使函数存在唯一的极值点 D．若对恒成立，则 三、填空题 12．已知等差数列与的前n项和分别为，，且，则的值为________；的值为________． 13．与的公共项从小到大构成新数列，则的最小项结果为______. 14．已知函数（e为自然对数的底数）有且只有一个零点，则实数k的取值范围为______. 四、解答题 15．学生的学习除了在课堂上认真听讲，还有一个重要环节就是课后的自主学习，包括提前预习，复习巩固等等，现在人们普遍认为花在课后的学习时间越多越好．某教研机构抽查了部分高中学生，对学生花在课后的学习时间（设为x分钟）和他们的数学平均成绩（设为y）做出了以下数据统计，请根据表格回答问题： x 60 70 80 90 100 110 120 130 y 92 109 114 120 119 121 121 122 (1)从三个函数①．②（）．③中选择一个作为学习时间x和平均成绩y的回归类型，判断哪个类型更加符合，不必说明理由． (2)根据（1）中选择的回归类型，求出y与x的回归方程（系数精确到0.01）． 参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为. 参考数据：，，, 16．设为数列的前项和，已知，. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和，并证明： 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 17．已知数列中，，. (1)证明：数列是等差数列； (2)求数列的前项和； (3)在（2）的条件下，设，且，，求的最大值. 18.已知函数，. (1)讨论的单调性； (2)当时，判断函数的零点个数. 19．已知函数，. (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)当时，证明：； (3)若，，对任意的，恒成立，求的最大值 高二年级数学第 页共４页1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年春期高二卓越班期中模拟考试数学答案 1．B 2．A 3．B 7．C 4．B【详解】由，可得，即， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以，即，可得， 根据指数函数单调性知，可得数列是单调递减数列. 5．B【详解】当时，； 当时，；， 所以，即， 当时，不满足； 所以所以的前项和为. 所以 6．D 【详解】令，则，单调递减， 由，可得，， 即，所以当时，有解，即有解，所以， 故的取值范围为． 8．A【详解】由恒成立，则恒成立， 即恒成立，即恒成立， 令，则， 由在上单调递增，故，则恒成立， 令，则， 当时，，当时，，故在上单调递增，在上单调递减，故，故，则，即实数a的取值范围为. .二．9．ABD【详解】，．当时，，解得，A正确． 由，得．即，因为， 则．又， 所以数列是以为首项，2为公比的等比数列，B正确．由B，可得，即，当时， ， 又符合上式，所以，C错误．当时，，即单调递增；当时，，即单调递减．所以，所以的最大值为，D正确． 10．ACD【详解】观察图形知，从第二个图形开始，每一个图形的边数是前一个图形的4倍，边长为前一个图形的，因此从第二个图形开始，每一个图形的周长是前一个图形周长的，AB选项，是以为首项，公比为4的等比数列，所以，，，A正确，B错误；C选项，是以为首项，公比为的等比数列，所以，故， 所以，所以为等差数列，C正确；D选项，对任意恒成立， 故，设，当时，， 当时，， 显然，， 当时，，即，，， 当时，，即，，， 当时，，，，， 所以取得最大值，最大值为，则，D正确. 故选：ACD 11．ABD 【详解】对于A，显然0不是函数的零点，当时，令，变形为， 令，，作出的图象，如下： 直线与其仅有一个公共点，则； 对于B，，令，函数有且仅有2个极值点，故有2个变号零点，令得，显然0不是函数的零点，当时，变形为，令，作出的图象，如下： 直线与其交于两点，则，故，B正确；对于C，结合B的分析，显然当时，有且仅有一个变号零点， 函数存在唯一的极值点，C错误；对于D，，即，当时，满足要求，当时，，变形为， 令，结合A的分析，当x＞0时，，故，D正确. 12． 13．【详解】是以13为首项，14为公差的等差数列，. 令，根据在上单调递减，上单调递减，又时，，时，，最小值为. 14．【详解】由，得，因为，所以， 令，则，令，则，当或时，，当时，，所以在和上递增，在上递减， 所以当时，函数有极小值，且当时，， 因为函数有且只有一个零点，所以结合函数图象可得，所以实数k的取值范围为. 四：15．(1)②合适 (2)； 【详解】（1）根据题意，经比较可知，选择②（）作为学习时间x和平均成绩y的回归类型最合适； （2）对（）两边取以e为底的对数可得， 设，则， ，所以， 故,即，所以； 16．(1)1. （2）， ③， ④， ③④得： ， ， ， ，是单调递增数列，， ，，. 综上：. 17．【详解】（1）因为， 所以， 所以是公差为2，首项为1的等差数列 （2）由（1）可知，， 则 则 （3）由（2）可知， 令， 则，所以数列为递增数列 所以，所以 又因为，所以的最大值为9. 18． （1）综上所述： 当时， 在上单调递减，在上单调递增； 当时， 在和上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在和上单调递增，在上单调递减． （2）当时，， ①当时，由（1）知函数在上单调递减，在上单调递增，又因为，而x趋近正无穷时，趋近正无穷，故在上只有一个零点； ②当时，，在上单调递增，且连续不间断，且，故在上只有一个零点． ③当时，令，解得，即在上只有一个零点， ④当时，令可得，令，可得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 当x趋近正无穷时，趋近正无穷，当x趋近0时，趋近正无穷， 若，即时，在上无零点． 若，即时，在上只有一个零点， 若，即时，在上有两个零点， 综上所述： 当时，函数无零点，当或时，函数的零点个数为1，当时，函数的零点个数为2． 19．(1) (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）当时，，， 则切线斜率，， 所以切线方程为，即， （2）当时，只需证明，， 当时，，，此时成立， 当时，令，， 令，则，因为在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以在区间上单调递增， 因为，所以时，，所以在区间上单调递增，所以，所以在区间上单调递增，， 所以，综上可得 （3）任意的，恒成立，只需要， 又是增函数，，，， 故由零点存在性定理可知，，使得， 此时，由题设及可知，，解得， 当，，故单调递减， 当，，单调递增， 所以，取得极小值也是最小值，所以， 所以，得， 则， 令， 得到，得（舍去）或， 当，0单调递增，当，，单调递减， 所以时，取得极大值也是最大值， 所以，故的最大值是 学科网（北京）股份有限公司 $