专题08分式与分式方程复习讲义(26大题型+题型突破+压轴题型)2025-2026学年北师大版八年级数学下册

该初中数学分式与分式方程复习讲义通过表格与知识框架系统构建知识体系，按“概念-性质-运算-方程-应用”逻辑梳理分式定义、有意义条件、基本性质、四则运算及分式方程解法，用对比表格呈现分式与整式区别、分式三类条件（有意义、无意义、值为0），清晰展现知识内在联系与重难点分布。 讲义亮点在于分层题型设计与核心素养培养，26个题型覆盖基础判断（如分式识别）、中档运算（如分式混合运算）、压轴应用（如工程行程问题），典例结合跟踪专练强化运算能力与建模能力，如分式方程应用题强调“审设列解验答”步骤，引导学生将实际问题抽象为数学模型。同时标注易错点（如去分母漏乘、解后不验根），基础学生可掌握规范步骤，优秀学生能深化思维，助力教师实施精准分层教学。

专题08分式与分式方程复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.分式概念：理解分式定义，掌握分式有意义、无意义、值为 0 的条件。 2.分式性质：掌握分式基本性质，熟练进行约分、通分，化为最简分式。 3.分式运算：熟练进行分式乘除、乘方、加减及混合运算，结果化为最简形式。 4.分式方程：理解分式方程概念，掌握解法（去分母→整式方程→验根），理解增根成因及验根必要性。 5.实际应用：能列分式方程解决工程、行程等实际问题，检验解的合理性。 1.运算能力：提升分式恒等变形与运算求解能力，规范步骤、减少符号与通分约分错误。 2.建模能力：能将实际问题抽象为分式（方程）模型，提升分析与解决问题能力。 3.思维能力：发展类比（分数→分式）、转化（分式方程→整式方程）、归纳思维，构建知识体系。 1.基础题：准确识别分式、求分式有意义条件、简单约分通分，确保满分。 2.中档题：熟练完成分式混合运算、解分式方程，步骤规范、结果正确。 3.压轴题：能列分式方程解应用题，找准等量关系，规范作答并验根。 4.易错点：杜绝分母不为 0 忽略、通分漏乘、去分母漏乘常数项、解后不验根等常见错误。 题型01.分式的判断 题型02.分式规律探究 题型03.按要求构造分式 题型04.分式的求值 题型05.分式有无意义与值为零综合 题型06.分式值为正负及整数时未知数求解 题型07.分式变形的判断与条件 题型08.分式值变化判断 题型09.约分与最简分式 题型10.分式乘除运算 题型11.分式乘方及混合运算 题型12.分式加减 题型13.通分与最简公分母 题型14.分式加减混合运算 题型15.分式加减的实际应用 题型16.分式加减乘除混合运算 题型17.分式化简与最值 题型18.分式方程基础 题型19.由分式方程解的情况求值 题型20.分式方程无解问题 题型21.列分式方程 题型22.分式方程行程问题 题型23.分式方程工程问题 题型24.分式方程经济问题 题型25.分式方程和差倍分问题 题型26.其他实际问题 解答题7题 知识点01:分式核心定义 1.分式定义：形如（、是整式，B中含字母，且B0）的式子叫分式；A是分子，B是分母。 2.分式与整式区别：分母是否含字母。 3.分式的三类关键条件 情形 条件 分式有意义 分母B0 分式无意义 分母B=0 分式值为 0 分子A 且分母B 知识点02:分式的基本性质 1.文字表述：分式的分子与分母同乘（或除以）同一个不为 0 的整式，分式的值不变。 2.公式表达：，（C是整式，C0） 3.分式符号法则 = 即：分子、分母、分式本身，同时改变其中两个符号，分式值不变。 知识点03:分式的约分与最简分式 1. 约分 把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做约分。 2. 公因式找法 (1)系数：最大公约数 (2)字母：相同字母最低次幂 (3)多项式：先因式分解，再找公因式 3. 最简分式 分子与分母没有公因式（互质）的分式。⚠️ 计算结果必须化为最简分式。 知识点04:分式的通分 1. 通分定义 把几个异分母分式化成同分母分式，叫做通分。 2. 最简公分母（LCD）找法 (1)系数：各分母系数的最小公倍数 (2)字母：所有出现字母的最高次幂 (3)多项式：先因式分解，再取所有因式最高次幂 知识点05:分式的乘除运算 1. 乘法法则 文字：分式乘分式，用分子的积作积的分子，分母的积作积的分母。 字母：（b0,d0） 2. 除法法则 文字：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。 字母：== (b.c d0) 3. 运算步骤 ① 先分解因式；② 约分；③ 再计算，结果化为最简分式 / 整式。 知识点06:分式的乘方运算 法则：分式的乘方，把分子、分母分别乘方。 字母：()n=bnan（b0，n为正整数） 注意：先定符号，负数的偶次幂为正，奇次幂为负。 知识点07:分式的加减运算 1. 同分母分式加减 法则：分母不变，分子相加减。 字母：±（c0） 注意：分子相加减时要添括号，最后约分。 2. 异分母分式加减 法则：先通分，化为同分母分式，再按同分母法则计算。 字母：±=（b0,d0） 知识08:分式的混合运算 运算顺序：先乘方→再乘除→最后加减；有括号先算括号内。 运算技巧：① 灵活运用因式分解、约分简化计算；② 整式可看作分母为 1的分式；③ 结果必须化为最简分式或整式。 知识点09:分式方程 1.定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。 2. 标准解题步骤 (1)找最简公分母：对各分母因式分解，确定所有分母的最简公分母。 (2)去分母：方程两边同乘最简公分母，约去分母，化为整式方程。 (3)解整式方程：求解转化后的一元一次 / 一元二次整式方程。 (4)检验（必做步骤）： 把整式方程的解代入最简公分母： 若最简公分母≠0，该解是原分式方程的解； 若最简公分母 = 0，该解为增根，原分式方程无解。 (5)写出结论：明确方程的解或无解。 3.分式方程的实际应用（高频考点） (1). 解题步骤 审：分析题意，找等量关系； 设：设未知数（直接 / 间接设元）； 列：根据等量关系列分式方程； 解：按分式方程解法求解并双重检验（①是否为增根 ②是否符合实际意义）； 答：规范作答。 (2) 常见等量关系模板 工程问题：工作效率 × 工作时间 = 工作总量；合作效率 行程问题：时间；顺水 / 逆水速度差异列方程 销售问题：数量 题型01.分式的判断 【典例】下列各式：①；②；③；④；⑤，是分式的有______________．（只填序号） 【答案】①④ 【分析】本题考查了分式的定义，解题的关键是紧扣分式定义中“分母含有字母"这一核心特征（注意是常数，不属于字母）．明确分式定义（分母含字母）；逐个分析式子分母是否含字母（排除等常数）；确定符合分式定义的序号． 【详解】分式的定义是形如 （、 是整式， 中含有字母且 ）的式子， ① ：分母含有字母，是分式； ② ：分母是常数，不是字母，不是分式； ③ ：是整式的和，不是分式； ④ ：分母 含有字母，是分式； ⑤ ：是单项式，不是分式． 故答案为：①④． 【跟踪专练1】在代数式、、、、、、中，分式有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【详解】解：，，，，的分母中均不含有字母，因此它们是整式，而不是分式， ，分母中含有字母，因此是分式． 【跟踪专练2】下列说法正确的是（    ） A．无论为何值总有意义 B．分式是最简分式 C．分式值为0，则的值为 D．代数式是分式 【答案】A 【分析】本题考查了分式的定义、分式有意义的条件、分式值为0的条件及最简分式的判定，熟练掌握各知识点是解题关键． 根据分式的定义、分式有意义的条件、分式值为0的条件及最简分式的定义，逐项判断，即可求解． 【详解】解：A、∵， ∴， ∴无论为何值总有意义，故本选项正确，符合题意； B、∵， ∴分式不是最简分式，故本选项错误，不符合题意； C、∵分式值为0， ∴ 解得：，故本选项错误，不符合题意； D∵是常数，分母不含字母 ∴它是整式不是分式，故本选项错误，不符合题意； 故选：A 题型02.分式规律探究 【典例】已知（且），，，，，则等于______． 【答案】 【分析】本题考查了分式的规律性问题．通过计算序列的前几项，发现序列具有周期性，周期为3，再根据2026除以3的余数确定的值，即可作答． 【详解】解：∵（且）， ∴， 则， ∴， 因此，序列每3项循环一次，即周期为3， 则， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练1】对于任意正有理数a，规定，例如：，，……，利用以上规律计算：___________． 【答案】4051 【分析】本题主要考查数字的变化规律，解答的关键是由所给的数字得到；根据已知的规定，分别计算出，，，，，的结果，总结出其规律为，再求所求的式子的值即可． 【详解】解：∵， ∴，，，，，，，， ∴，，，， ∴ 【跟踪专练2】杨辉三角形又称贾宪三角形，因首现于南宋杰出数学家杨辉的《详解九章算法》而得名，它的排列规律如图所示：在第一行中间写下数字1；在第二行写下两个1，和第一行的1形成三角形；随后的每一行，第一个位置和最后一个位置的数都是1，其他的每个位置的数都是它左上方和右上方的数之和．若从杨辉三角形的第三行起，每行第3个位置的数依次组成一系列新的数，依次记作，由图可知若，则（　　） A．2025 B．2026 C．2027 D．2028 【答案】B 【分析】根据题中数据，发现规律，再由裂项相消的方法求和后解方程即可得到答案． 【详解】解：由题意可知，的规律是， 则， ， ， 解得． 题型03.按要求构造分式 【典例】写出一个含有字母x的分式，使得当x＝2时，分式的值是1．这个分式可以是_____． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据题意写出一个符合题意的分式即可． 【详解】解：∵当x=2时，分式的值是1， ∴这个分式可以是， 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了分式的定义，分式的值，掌握一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式是解题的关键． 【跟踪专练1】请写出分式所表示的实际意义：________． 【答案】元钱购买单价为元的笔记本的本数 【分析】分式可以表示总量为，单份量为时，所能分成的份数，符合“总量÷单价=数量”等实际场景即可． 【详解】解：元钱购买单价为元的笔记本的本数 【跟踪专练2】一个分式同时满足：①字母仅含有；②当时，分式的值为；③当时，分式的值为,这个分式可以是_____（写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了分式的值为零的条件，掌握分式的值为零的条件：分子等于且分母不等于是解题的关键． 根据分式值为的条件，分子为且分母不为，因此分子需包含因式；再根据分式值为的条件，代入建立方程求解分母． 【详解】解：设分式为 ，其中 和 是关于 的多项式， 由 时分式值为， 得 且 ， 故 含有因式 ， 令 ， 由 时分式值为-2，得 ， 即 ，解得 ， 故可设 ， 验证当 时，，满足条件， 因此分式可为 ． 故答案为：（答案不唯一）． 题型04.分式的求值 【典例】若，则__________． 【答案】 【分析】将已知等式变形拆分，利用等式的性质整理计算即可求出的值． 【详解】解：根据分式的运算法则，对已知等式变形得：， 根据等式的性质移项得：． 【跟踪专练1】若，则的值为_____． 【答案】 【分析】根据已知比例关系，用一个未知数表示另一个未知数，代入所求分式约分即可求出结果． 【详解】解：∵ ， ∴ ，且，． ∴ ． 【跟踪专练2】若，则＝________． 【答案】9 【分析】本题主要考查分式的值，熟练掌握分式的性质是解题的关键．由，去分母，化简得 ，从而得出答案． 【详解】由 ，去分母得 ， ， ， 即， ． 故答案为9． 题型05.分式有无意义与值为零综合 【典例】根据下面表格中的信息（※表示非零的数值），代表的分式可能是（    ） … 0 1 2 … … 0 ※ ※ 无意义 ※ … A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分式无意义时分母为零可排除A，B，将，代入即可排除D． 【详解】解：由表格信息可知，当时，分式无意义， ∴分式的分母在时的值为， A选项分母为，时，不符合，排除A； B选项分母为，时，不符合，排除B； ∵当时，分式的值为， ∴分式的分子在时的值为，且分母不为， C选项分子为，时，分母，符合条件； D选项分子为，时，分式值不为，不符合条件． 【跟踪专练1】在函数中，自变量x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题需同时满足二次根式有意义的条件和分式分母不为零的条件，据此求解自变量x的取值范围即可. 【详解】解：要使函数有意义， ∴， 解得：， 故选项A符合题意． 【跟踪专练2】分式的值为，则的值为 （    ） A． B． C．且 D． 【答案】A 【分析】根据“分式的值为需同时满足分子为、分母不为两个条件”，据此列式求解即可． 【详解】解：∵分式的值为， ∴， 解得：． 【跟踪专练3】若分式的值为，则等于（   ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分式的值为零的条件，分子为零，分母不为零，进行求解即可． 【详解】解：， 且， 解得． 【跟踪专练4】根据下列表格信息，可能为（　　） 0 1 2 0 无意义 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是分式有意义的条件、分式为0的条件等知识，掌握分式的分母不为0是解题的关键．根据分式有意义的条件、分式为0条的件解答即可． 【详解】解：当时，分式无意义， ∴分式的分母可能是， 当时，分式的值为0， 分式的分子可能是， ∴分式可能是． 故选：C． 题型06.分式值为正负及整数时未知数求解 【典例】若分式值为负数，则的取值范围是__________． 【答案】且 【分析】本题考查了求分式的值． 分式的值为负，需分子和分母异号，即且，结合分式有意义的条件作答即可． 【详解】解：∵分式的值为负数， ∴分子和分母异号， ∵， ∴且， 解得：且， ∵分母不能为零， ∴， 综上所述，的取值范围是且． 故答案为：且． 【跟踪专练1】当整数m____时，分式的值也为整数． 【答案】1或或2或 【分析】此题考查分式的值． 先将分式分离常数，根据分式值为整数的条件，确定分母是6的整数约数，再通过解方程求出整数m的值． 【详解】解： ∵m为整数，分式的值也为整数． ∴是整数， ∵是奇数， ∴或， 解得整数1或0或2或， 故答案为：或或2或 【跟踪专练2】有个依次排列的代数式：第1项是，用第1项减去得到，将乘以得到第2项，再将第2项减去得到，将乘以得到第3项，…，依此类推，下面四个结论中正确的个数为（    ） ①方程的实数解为； ②； ③第2024项； ④若为整数，且值为整数，则的取值个数为4个． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】①根据题意探索出，的规律，然后由得到，因式分解得到，进而求解即可判断①；根据题意表示出，然后因式分解即可判断②；根据将代入即可判断③；首先表示出，然后因式分解得到，然后分离常数得到，然后根据为整数，得到的值为，，，，然后分别求解即可判断④． 【详解】解：由题意可知：，， ∴，， ∴，， ∴，， ， ，， 当， 即， ∴， ∴， ∴或或， 解得：或，故①错误； ∴ ，故②正确； ∵， ∴第2024项，故③正确； ， 为整数，且值为整数， 的值为奇数，且是的因数， 的值为，，，， 的值为，，，， 整数的取值共个，故④正确． 综上，正确的有②③④，共3个， 故选：B． 【点睛】本题考查单项式乘以多项式运算，因式分解，分式的化简，数字规律探究，掌握以上知识点是解答本题的关键． 题型07.分式变形的判断与条件 【典例】下列式子中，从左往右变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A选项：分子分母同时加1，不符合分式基本性质．举反例：当时，左边，右边，，变形错误； B选项：原式有意义时，，可得， ，变形正确； C选项：当时，右边无意义，变形错误； D选项：仅分母乘，分子未乘，不符合分式基本性质，变形错误． 【跟踪专练1】在括号里填上使等式成立的式子：，括号内的式子为________． 【答案】/ 【分析】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．根据分式的基本性质，对分式的分子和分母同时乘以6，即可得出结论． 【详解】解：． 故答案为：． 【跟踪专练2】下列变形中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式的基本性质，需依据“分式的分子与分母同时乘（或除以）同一个不为的整式，分式的值不变”这一性质，逐一分析各选项的变形是否正确，掌握分式的基本性质是解题的关键． 【详解】解：∵分式的基本性质为：分式的分子与分母同时乘（或除以）同一个不为的整式，分式的值不变， ∴、将的分子分母同乘，得，与不相等，故该选项变形错误，不符合题意； 、，又，故该选项变形正确，符合题意； 、化简得（），与选项中的结果符号相反，故该选项变形错误，不符合题意； 、当时，无意义，不满足分式基本性质中“乘不为的整式”的要求，故该选项变形错误，不符合题意； 故选：． 题型08.分式值变化判断 【典例】如果把分式中的a，b都变成原来的2倍，那么分式的值（   ） A．是原来的 B．不变 C．是原来的2倍 D．是原来的4倍 【答案】B 【分析】将原分式中的a，b替换为，化简新分式后与原分式比较，即可得出结论． 【详解】解：把分式中的a，b都变成原来的2倍，代入得： ， 新分式与原分式相等，分式的值不变． 【跟踪专练1】将分式中的a，b都扩大为原来的3倍，则分式的值（     ） A．扩大3倍 B．不变 C．扩大9倍 D．扩大2倍 【答案】A 【分析】根据分式的基本性质将扩大后的a、b代入原分式，化简后和原分式比较，即可解答． 【详解】解：∵将a、b都扩大为原来的3倍后，代入原分式得 新分式 ∴新分式的值是原分式的3倍，即分式的值扩大3倍. 【跟踪专练2】如果把分式中的a，b都缩小到原来的，那么分式的值（   ） A．缩小到原来的 B．不变 C．扩大2倍 D．缩小到原来的 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式的基本性质．依题意，分别用和去代换原分式中的a和b，利用分式的基本性质化简即可． 【详解】解：如果把分式中的a和b都缩小到原来的， 则变化后的分式为， 即分式的值缩小为原来的， 故选：A． 题型09.约分与最简分式 【典例】分式约分后的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先变形，再约去分子分母的公因式即可得到结果． 【详解】解：． 【跟踪专练1】下列式子是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据最简分式的定义，分子分母没有公因式的分式即为最简分式，据此逐个判断各选项即可． 【详解】解：分子分母没有公因式的分式是最简分式， 选项A：，分子分母有公因式，可约分，A不是最简分式，故该选项不符合题意； 选项B：的分母是常数，该式是整式，不是分式，故该选项不符合题意； 选项C： ，分子分母有公因式，可约分，不是最简分式，故该选项不符合题意； 选项D：的分子与分母没有公因式，是最简分式，故该选项符合题意． 【跟踪专练2】下列分式中，最简分式是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据最简分式的定义，逐一分析每个选项的分子与分母是否存在公因式，若不存在公因式则为最简分式，反之则不是，最终确定正确选项． 【详解】解：选项A， 分式的分子与分母没有公因式， 该分式是最简分式； 选项B， ， 分式，分子与分母有公因式， 该分式不是最简分式； 选项C， 分式的分子与分母有公因式， 该分式可约分为，不是最简分式； 选项D， ， 分式，分子与分母有公因式， 该分式不是最简分式． 【跟踪专练3】下列约分结果正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先对分式分子分母因式分解，再找公因式约分验证． 【详解】解：A、的分子分母没有公因式，不能约分，选项约分错误； B、，分母为，可得，，选项约分错误； C、，分母为，可得，，选项约分正确； D、，选项约分错误． 题型10.分式乘除运算 【典例】计算：___________． 【答案】 【详解】解： ． 【跟踪专练1】计算：________ 【答案】 【分析】根据分式除法运算法则，将除法转化为乘法，对多项式因式分解后约分即可得到结果． 【详解】解： ． 【跟踪专练2】下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了积的乘方计算，幂的乘方计算，同底数幂除法计算，分式的乘除法计算，根据相关计算法则求出对应选项中式子的结果即可得到答案． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算正确，符合题意； 故选：D． 【跟踪专练3】分式的运算结果为，则“□”处的运算符号是（    ） A．＋ B．－ C．× D．÷ 【答案】D 【分析】此题考查了分式的加减乘除运算．本题可先利用平方差公式对分母因式分解，再将各运算符号代入分式运算，对比结果确定正确符号． 【详解】解：∵ 将“”代入□： 原式= = 与题目运算结果一致． 代入其他符号验证： 若为“＋”： 若为“－”： 若为“×”： ∴“□”处的运算符号是÷， 故选D 【跟踪专练4】在一段坡路，小明骑自行车上坡的速度为每小时千米，下坡时的速度为每小时千米，则他在这段路上、下坡的平均速度是每小时（    ） A．千米 B．千米 C．千米 D．千米 【答案】D 【分析】本题考查分式及分式的化简，根据平均速度总路程总时间，可设坡路长是，根据路程和速度可求出时间，可求解，解题关键是熟练掌握分式的运算法则． 【详解】解：设坡路长是千米，则上坡的时间为：，上坡的时间为：，上下坡总路程为：，总时间为， 所以上、下坡平均速度为：， 故选：． 题型11.分式乘方及混合运算 【典例】计算：_______． 【答案】 【分析】本题考查了负整数指数幂． 根据负整数指数幂的运算法则：计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 【跟踪专练1】____． 【答案】 【分析】本题考查了分式的乘除运算，分式的乘方运算，熟练运用分式运算法则是解题的关键． 分别计算两个分式的乘方，然后将除法转换为乘法，最后进行约分即可． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 【跟踪专练2】计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先将除法转化为乘法，再进行乘方运算，最后通过约分和通分计算出结果，再与选项进行对比 ． 【详解】解：原式 ． 故选：D． 【点睛】本题考查了分式的乘除、乘方运算，解题关键是熟练掌握分式的各种运算法则，正确进行通分、约分计算． 题型12.分式加减 【典例】计算：________． 【答案】1 【详解】解：． 【跟踪专练1】并联电路中两个电阻的阻值分别为，电路的总电阻和满足，则可表示为______（用含，的代数式表示）． 【答案】 【分析】根据已知等式移项得到的表达式，再利用异分母分式减法法则计算，最后取倒数即可得到的表达式． 【详解】解：∵， ∴， 根据异分母分式减法法则通分计算得：， 对等式两边取倒数得：． 【跟踪专练2】计算_______． 【答案】 【分析】本题考查了分式的减法，先通分，再相减即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【跟踪专练3】下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分式加减乘除及乘方的运算法则，逐一计算即可判断对错． 解题的关键在于正确掌握分式的基本运算． 【详解】解：A，，∴A错误，不符合题意； B，，∴B错误，不符合题意； C，，∴C错误，不符合题意； D，，计算正确，∴D正确，符合题意． 【跟踪专练4】计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查整式与分式的加减法，先通分化为同分母分式加减法计算即可 ． 【详解】原式 故答案为：A． 题型13.通分与最简公分母 【典例】将分式通分时，需要把的分子、分母同时乘以_______． 【答案】 【分析】本题考查了分式的通分，确定最简公分母是解题的关键．将分母分解因式后，找到各分母的最简公分母作为公分母，再将各分式化为该公分母的形式即可． 【详解】解：分式的最简公分母为， ∴需要把的分子、分母同时乘以， 故答案为：． 【跟踪专练1】分式，的最简公分母是_____． 【答案】/ 【详解】解：分式，的最简公分母是． 【跟踪专练2】分式、的最简公分母是______，通分为______． 【答案】 、 【分析】本题考查了最简公分母和通分，先对分式的分母进行因式分解，再根据最简公分母的定义可得出最简公分母，最后根据所得的最简公分母通分即可，掌握最简公分母的定义是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴分式、的最简公分母是， ∴，， 故答案为：；、． 题型14.分式加减混合运算 【典例】计算＋的结果是_____． 【答案】 【分析】先通分，最简公分母是(x+3)(x−3)，再根据分母不变，把分子相加减约分后可得答案． 【详解】＋ ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式的加减，掌握先通分，再计算分式的加减运算是解题的关键． 【跟踪专练1】已知：且，，，，，则等于______． 【答案】 【分析】分别求出、、，发现：每三个为一个循环，用2020除以3即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ∴发现：每三个为一个循环， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题考查了数字计算类的规律探究，分式的加减法计算法则，分式的化简，正确掌握运算法则得到计算结果的规律是解题的关键． 【跟踪专练2】对于正数x，规定，例如，的值是（    ） A．9 B．9.5 C．10 D．10.5 【答案】B 【分析】根据，，进而进行求解即可． 【详解】解：∵， ， ， ， 且， ∴， =， ， ， ． 故选：B． 【点睛】本题考查了运算的规律，分式的混合运算，函数值的计算，正确读懂运算的规律是解题的关键． 题型15.分式加减的实际应用 【典例】甲乙两地相距千米，提速前火车从甲地到乙地要用小时，提速后两地间的行车时间减少了1小时，则提速后火车的速度比提速前的快了__________千米/小时． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式加减法的实际应用，根据速度路程时间分别求出提速前后火车的速度，再用提速后的速度减去提速前的速度即可得到答案， 【详解】解： 千米/小时， ∴提速后火车的速度比提速前的快了千米/小时， 故答案为：． 【跟踪专练1】一辆汽车以v千米每小时的速度行驶，从A地到B地需要t小时．若该汽车的行驶速度在原来的基础上增加m千米每小时，那么提速后从A地到B地需要的时间比原来减少________小时． 【答案】 【分析】此题主要考查了分式的实际应用，根据题意求出全程，及提速后行驶的速度，相除即可得到提速后行驶的时间，原来行驶时间减去提速后行驶的时间，即得比原来减少的时间． 【详解】解：A地到B地的路程：（千米）， 提速后的速度：（千米/小时）， 提速后的时间：（小时）， ∴提速后从A地到B地比原来减少的时间：（小时）， 故答案为：． 【跟踪专练2】小乐骑自行车匀速爬上一个斜坡后立即匀速下坡回到出发点，若上坡速度为，下坡速度为，则他上下坡的平均速度为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式加减的应用；由题意知，设上下坡的路程是s，上坡速度为，下坡速度为，时间为，利用平均速度=总路程÷总时间即可解答． 【详解】设上下坡的路程是s，上坡速度为，下坡速度为， ∴上坡的时间=，下坡的时间=， ∴他上下坡的平均速度为． 故选D． 题型16.分式加减乘除混合运算 【典例】计算：____． 【答案】 【分析】先计算括号内的分式化简，然后再计算除法即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 【点睛】题目主要考查分式的化简，熟练掌握运算法则是解题关键． 【跟踪专练1】计算：______． 【答案】 【分析】本题考查了分式的混合运算，掌握分式的混合运算法则是解题关键．先对括号内的分式进行通分相加，再与后面的分式相乘，约分即可． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 【跟踪专练2】计算的结果是________． 【答案】 【分析】先对括号内的分式进行通分并化简，再对括号外分式的分子分母分别因式分解，最后将两个分式相乘，约去分子分母的公因式，得到最简结果． 【详解】解： ． 题型17.分式化简与最值 【典例】若，则_________． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是分式的化简求值，解题关键是将代入． 将代入后即可得解． 【详解】解：，且由分式性质可得， ． 故答案为：． 【跟踪专练1】分式的最大值是（   ） A．5 B．6 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式的最值，利用完全平方公式，求出分母的最小值，进而求出分式的最大值即可． 【详解】解：∵，且， ∴， ∴的最小值为4， ∴分式的最大值是； 故选：C． 【跟踪专练2.】已知，为正实数，则的最小值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【分析】本题考查基本不等式的运用，掌握基本不等式公式是解题的关键． 先将原式拆分并化简，再利用正实数的基本不等式（当且仅当时取等号）求解最小值． 【详解】解：∵，为正实数， ∴原式可拆分化简为：， ∵正实数，满足， 令，， 则， 当且仅当，即时取等号， ∴， 即原式的最小值为9， 故选D． 【跟踪专练3】若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了分式的混合运算，简化给定方程中的分式表达式，通过通分和约分得到简化形式，然后解出并考虑分母不为零的条件． 【详解】解： ，（其中 且 ）， 代入原方程得：， ∴ ，且， 故选：D． 题型18.分式方程基础 【典例】在方程，，，，中，分式方程的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了分式方程的定义，解题的关键是判断方程中分母是否含有未知数． 逐一分析每个方程，判断分母中是否含有未知数，统计满足分式方程定义的个数． 【详解】解：：分母为，不含未知数，不是分式方程； ：分母含未知数，是分式方程； ：分母含未知数，是分式方程； ：分母含未知数，是分式方程； ：分母为（常数），不含未知数，不是分式方程． 综上，分式方程共3个． 故选：B． 【跟踪专练1】方程，去分母正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：， 去分母得：． 【跟踪专练2】关于的方程的解是负数，则的取值范围是（    ） A． B． C．，且 D．，且 【答案】D 【分析】先解关于x的分式方程，求得x的值，然后再依据“解是负数”建立不等式求a的取值范围即可． 【详解】解：去分母，得， 解得， ∵方程的解是负数， ∴，且， ∴，且． 故选：D． 【点睛】本题考查分式方程的解，解题关键是要掌握分式方程的解的定义，使方程成立的未知数的值叫做方程的解． 【跟踪专练3】若关于x的分式方程的解是负数，则实数m的取值范围（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】本题考查了解分式方程，正确计算是解题的关键．先解分式方程得到含的解，根据解为负数，结合分式分母不为零的条件，列出关于的不等式，求解即可得到的取值范围． 【详解】解：方程两边同乘最简公分母，得 整理得 解得 ∵ 方程的解是负数， ∴ ∵ ， ∴ ， 解得. 又∵ 分式方程分母不能为， ∴ 且. ，分子为，故不可能为. 令，解得. 综上，的取值范围是且． 题型19.由分式方程解的情况求值 【典例】若关于x的分式方程有增根，则它的增根是______． 【答案】 【分析】分式方程的增根是使分式方程最简公分母为的未知数的值，根据增根的定义即可求解． 【详解】解：对于分式方程， 它的最简公分母为， 分式方程的增根使最简公分母为， 则， 解得． 【跟踪专练1】如果关于的分式方程的解是正数，那么实数的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，一元一次不等式．先解分式方程得到解，再根据解为正数列不等式，并考虑分母不为零的条件． 【详解】解：解方程， 去分母得， 解得． 由于方程的解是正数，所以，即． 又因为分母，即，则，解得， 综上所述，的取值范围是． 故答案为：． 【跟踪专练2】若分式方程的解为正数，则的取值范围是__________． 【答案】且 【分析】先解分式方程，根据解为正数且分母不为，得出不等式，解不等式，即可求解． 【详解】解： 去分母得， 解得： 依题意，，且 ∴且 题型20.分式方程无解问题 【典例】若关于x的方程无解，则m的值是（    ） A． B．2 C．1 D． 【答案】B 【分析】本题考查分式方程的解法，分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程的解，这个整式方程的解使原分式方程的分母等于． 【详解】方程去分母得：， 当时分母为0，方程无解， 即， 解得：， 故选B． 【跟踪专练1】若关于的方程无解，则的值为（   ） A．1 B．2 C．1或2 D．0或2 【答案】C 【分析】本题考查分式方程无解的情况，解题的关键是掌握分式方程无解的两种情形：一是整式方程无解，二是整式方程的解是原分式方程的增根． 分式方程无解的情况有两种：化简后的方程矛盾（如0=2）或解出的根为增根（使分母为零）．先化简方程，再讨论参数a的取值． 【详解】解：∵原方程=，且， 右边通分：， ∴， 两边同乘得：， 整理得：， 即， 当时，， 若，则，解得，此时为增根，原方程无解； 当时，方程变为，即，矛盾，无解， ∴当或时，方程无解． 故选：C． 【跟踪专练2】若关于的分式方程有增根，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分式方程的增根是使分式分母为0的根，先确定增根，再将分式方程化为整式方程，代入增根即可求出的值． 【详解】解：∵分式方程有增根， ∴分母和为0，则增根为． 原方程两边同乘，得， 将代入上式，得， 解得． 题型21.列分式方程 【典例】《九章算术》是中国古代数学名著，其中记载：“今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．”某同学对该问题改编如下：每头牛比每只羊贵1两，用20两买牛，15两买羊，买得的牛、羊数量相等，则每头牛的价格为多少两？若设每头牛的价格为x两，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式方程的应用，正确理解题意，利用价格关系表示数量是解题关键； 根据买得的牛和羊数量相等这一等量关系列方程即可． 【详解】解：设每头牛的价格为x两，则每只羊的价格为两， 用20两买牛，牛的数量为头， 用15两买羊，羊的数量为只， 则， 故选A． 【跟踪专练1】某商店为庆祝开业，购进甲、乙两种鲜花，购买甲种鲜花花费600元，购买乙种鲜花花费420元，且购买甲种鲜花的数量是购买乙种鲜花数量的2倍．已知购买一束乙种鲜花比购买一束甲种鲜花多花费20元，设购买一束甲种鲜花需元，根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据设定的单价分别表示出甲、乙两种鲜花的购买数量，再根据甲数量和乙数量的等量关系列方程即可 【详解】解：∵设购买一束甲种鲜花需元，购买一束乙种鲜花比甲多花费20元， ∴购买一束乙种鲜花需元， 根据题意得： 【跟踪专练2】某工程队修一条公路，原计划每天修米，实际每天比原计划多修米，原计划修完公路所需时间是实际的倍，所列方程正确的是 （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，假设总工程量为单位“1”，根据题意列出方程即可得出结果． 【详解】解：假设总工程量为单位“1”， 原计划需要时间为， 实际需要时间为， 故可得方程． 题型22.分式方程行程问题 【典例】甲、乙两地相距，乘高铁列车从甲地到乙地比乘特快列车少用，已知高铁列车的平均行驶速度是特快列车的倍，根据题意可列方程，，则方程中表示（    ） A．特快列车的平均行驶速度 B．高铁列车的平均行驶速度 C．特快列车的行驶时间 D．高铁列车的行驶时间 【答案】A 【分析】此题考查分式方程的实际运用，掌握路程、时间、速度三者之间的关系是解决问题的关键． 【详解】解：由，乘高铁列车从甲地到乙地比乘特快列车少用，可知， 方程中表示，特快列车的平均行驶速度， 故选：A． 【跟踪专练1】王老师积极响应“低碳环保，绿色出行”的号召，将上下班的交通方式由驾车改为骑自行车，王老师家距离学校6千米，在相同的路线上，驾车的平均速度是骑自行车的平均速度的3倍，所以王老师每天上班要比开车早出发分钟，才能按原驾车的时间到达学校．问：王老师驾车平均每小时行多少千米？ 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，解题关键是找准等量关系． 设王老师骑自行车的平均速度是x千米/小时，可用x表示出王老师驾车的平均速度，根据题意列出分式方程求解，再求出王老师驾车的速度． 【详解】解：设王老师骑自行车的平均速度是x千米/小时，则王老师驾车的平均速度是千米/小时， 由题意得：，. 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴（千米/小时）． 答：王老师驾车的平均速度是千米/小时． 【跟踪专练2】湘超联赛（湖南省足球协会超级联赛）是湖南人的顶级足球盛宴！自2016年创办以来，14支市州代表队在绿茵场上激烈角逐，既有中学生球员与成年老将同场竞技的青春风暴，也有草根球队逆袭夺冠的热血传奇，更有非遗表演、城市文旅融合的独特魅力． 2025年湘超总决赛于长沙贺龙体育场举办，赛事实行实名制入场制度，观众需凭本人身份证核验进场．小张去离家2700米的贺龙体育场看比赛，到体育场入口核验时，发现身份证忘在家里，此时离比赛开始还有30分钟．于是他跑步回家，拿到身份证后立刻找到一辆“共享单车”原路赶回贺龙体育场，已知小张骑车的时间比跑步的时间少了5分钟，且骑车的平均速度是跑步的平均速度的1.5倍． (1)求小张跑步的平均速度； (2)如果小张在家取票和寻找“共享单车”共用了4分钟，他能否在比赛开始前赶到贺龙体育场？说明理由． 【答案】(1)小张跑步的平均速度为180米/分 (2)小张能在比赛开始前赶到贺龙体育场，理由见解析 【分析】（1）设小张跑步的平均速度为x米/分，则骑车的平均速度为米/分，根据时间路程速度结合骑车的时间比跑步的时间少用了5分钟，列出分式方程，解方程即可； （2）根据时间路程速度可求出小张跑步及骑车的时间，再求出总耗时29分钟，然后与30分钟比较后即可得出结论． 【详解】（1）解：设小张跑步的平均速度为x米/分，则骑车的平均速度为1.5x米/分， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：小张跑步的平均速度为180米/分； （2）解：小张能在比赛开始前赶到贺龙体育场，理由如下： 小张跑步的时间为：（分钟），骑车的时间为：（分钟）， ∵（分钟），， ∴小张能在比赛开始前赶到贺龙体育场． 题型23.分式方程工程问题 【典例】甲、乙两个工程队共同修一条道路，其中甲工程队需要修千米，乙工程队需要修千米．已知乙工程队每个月比甲工程队多修千米，最终用的时间比甲工程队少半个月．若设甲工程队每个月修千米，则可列出方程为_______． 【答案】 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是分析题意，找准关键语句，列出相等关系． 设甲工程队每个月修千米，则乙工程队每个月修千米，根据“最终用的时间比甲工程队少半个月”列出分式方程即可． 【详解】解：设甲工程队每个月修千米，则乙工程队每个月修千米， 依题意得：， 故答案为： 【跟踪专练1】为改善生态环境，某村计划在荒坡上种植1200棵树，由于青年志愿者的支援，每天比原计划多种40棵，结果提前5天完成任务，求原计划每天种多少棵树？ 【答案】原计划每天种80棵树 【分析】本题考查了分式方程相关的工程问题，准确理解题意列出正确的方程是解题的关键．设原计划每天种x棵树，则实际每天种棵树，根据“提前5天完成任务”列出方程，解方程并检验，得到最后答案． 【详解】解：设原计划每天种x棵树，则实际每天种棵树， 由题意得：， 去分母得：， 化简得：， ， 解得：，（不符题意，舍去） 经检验，是原方程的根且符合题意， 答：原计划每天种80棵树． 【跟踪专练2】某一工程，在工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书，工程领导小组根据甲、乙两队的投标书测算，有如下方案： Ⅰ．甲队单独完成这项工程刚好如期完成； Ⅱ．乙队单独完成这项工程要比规定日期多6天； Ⅲ．若甲、乙两队合作3天，余下的工程由乙队单独做也正好如期完成． (1)设甲队单独完成这项工程需要天，将表格补充完整． 工程总量 所用时间（天） 工程效率 甲队 乙队 (2)根据题意及表中所得到的信息列出方程________． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据题干给出的已知条件和所设未知数，表示出表格中对应量； （2）根据总工程量为1，结合题干给出的工作过程找到等量关系，即可列出方程． 【详解】（1）解：工程问题中，通常将总工程量设为单位1， 已知甲队单独完成这项工程需要天，因此： 甲队工程总量为，所用时间为， 根据工作效率等于工程总量除以工作时间，可得甲队工程效率为， 由条件Ⅱ可知，乙队单独完成这项工程比规定日期多6天，规定日期等于甲队单独完成的时间，因此乙队所用时间为天，乙队工程总量为，工程效率为， 将表格补充完整如下： 工程总量 所用时间（天） 工程效率 甲队 1 乙队 1 （2）解：根据题意得： ． 题型24.分式方程经济问题 【典例】随着绿色发展理念的倡导，新能源汽车逐渐普及，市民对充电桩的使用需求日益增强，某停车场计划购买A、B两种型号的充电桩，已知B型充电桩比A型充电桩的单价多1万元，且用10万元购买A型充电桩与用12万元购买B型充电桩的数量相等．设A型充电桩的单价是x万元，那么根据题意可列方程______． 【答案】 【分析】本题考查分式方程的应用，关键是根据购买数量相等列出方程．设A型充电桩的单价是万元，则B型充电桩的单价为万元，根据用10万元购买A型充电桩与用12万元购买B型充电桩的数量相等，列出方程即可． 【详解】解：设A型充电桩的单价是万元，则B型充电桩的单价为万元， 根据题意得， 故答案为：． 【跟踪专练1】王林端午节前后两次到某超市购买同一种粽子，节前按标价购买了80元的粽子，节后粽子半价，王林又花费35元购买若干粽子，两次共买了15个粽子，问这种粽子的标价是每个多少元？ 【答案】10元/个 【分析】设这种粽子的标价是x元/个，则第二次购买的价格是元/个，根据“两次共买了15个粽子”建立分式方程求解，即可解题． 找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 【详解】解：设这种粽子的标价是x元/个，则第二次购买的价格是元/个， 依题意，得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：这种粽子的标价是10元/个． 【跟踪专练2】金师傅近期准备换车，看中了价格相同的两款国产车． 燃油车 油箱容积：40升 油价：9元/升 续航里程：千米 每千米行驶费用：元 新能源车 电池电量：60千瓦时 电价：0.6元/千瓦时 续航里程：千米 每千米行驶费用：________元． (1)用含的代数式表示新能源车的每千米行驶费用； (2)其中，燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.54元．如果燃油车和新能源车每年的其他费用分别为4800元和7500元，且金师傅平均每年都能行驶5100千米．为了节省开支，哪款国产车更适合金师傅，请通过计算说明．（年费用=年行驶费用+年其他费用） 【答案】(1) (2)选择新能源车，理由见解析 【分析】（1）用总电量乘以电的单价，再除以总里程，列出代数式，再化简即可； （2）先根据燃油车每千米的行驶费用比新能源车多0.54元，列出分式方程求出a的值，再分别求出燃油车和新能源车的年费用，进行比较即可得解． 【详解】（1）解：根据题意得新能源车的每千米行驶费用为元； （2）解：依题意，得， 解这个方程，得， 经检验，是所列方程的根，且符合题意， 燃油车每千米行驶费用：（元/千米）， 每年费用为：（元）； 新能源车每千米行驶费用：（元/千米）， 每年费用为：（元）； ， ∴选择新能源车． 题型25.分式方程和差倍分问题 【典例】某边防哨所运来一筐苹果，共有60个，计划每名战士分得数量相同的若干个苹果，结果还剩5个苹果；改为每名战士再多分1个，结果还差6个苹果，那么，这个哨所共有多少名战士？若设这个哨所共有名战士，则根据题意可列方程为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，设这个哨所共有名战士，第一次分苹果每人分得个，第二次分苹果每人分得个，根据第二次每人比第一次多分1个苹果，列出方程即可． 【详解】解：设这个哨所共有名战士， 第一次分苹果：剩余5个苹果，实际分发苹果数为：个，每人分得个， 第二次分苹果：还差6个苹果，需要苹果数为个，每人分得个， 由题意，第二次每人比第一次多分1个苹果，因此有， 故可列方程为：． 故答案为：． 【跟踪专练1】临沂炒鸡作为齐鲁名菜，其独特风味已经家喻户晓．在临沂某美食街有一家小餐馆和一家大餐馆都主营炒鸡，已知小餐馆每小时炒制x份炒鸡，大餐馆每小时比小餐馆多炒制5份，在某一特定的营业时段内，大餐馆炒制30份炒鸡所用的时间和小餐馆炒制20份炒鸡所用的时间相同．求大小餐馆每小时各炒制多少份炒鸡？ 【答案】小餐馆每小时炒制10份炒鸡，大餐馆每小时炒制15份炒鸡 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，根据等量关系列出方程，是解题的关键．设小餐馆每小时炒制x份炒鸡，则大餐馆每小时炒制份炒鸡，根据大餐馆炒制30份炒鸡所用的时间和小餐馆炒制20份炒鸡所用的时间相同，列出方程，解方程即可． 【详解】解：设小餐馆每小时炒制x份炒鸡，则大餐馆每小时炒制份炒鸡． 根据题意可列方程：， 方程两边同时乘以， 得， 解得 检验：当时，， ∴是原分式方程的解， 大餐馆：（份） 答：小餐馆每小时炒制10份炒鸡，大餐馆每小时炒制15份炒鸡． 【跟踪专练2】列方程（组）解下列问题： 旗袍上的盘扣远不止是实用的纽扣，更是“以小见大”的东方美学典范．某手工作坊制作如图所示的“花扣”和“一字扣”两种盘扣．已知制作一对“花扣”的时间比制作一对“一字扣”的时间多65分钟，制作2对“花扣”和6对“一字扣”共用250分钟． (1)求制作一对“花扣”和一对“一字扣”各需多少分钟； (2)因工作坊升级了工艺品质，制作每对“花扣”增加的时间是每对“一字扣”增加时间的4倍，50个小时制作的“花扣”对数是30个小时制作的“一字扣”对数的，求升级后制作一对“一字扣”需多少分钟． 【答案】(1)制作一对“花扣”需要80分钟，则制作一对“一字扣”需15分钟 (2)升级后制作一对“一字扣”需20分钟 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，分式方程的应用等知识． （1）设制作一对“花扣”需要x分钟，根据制作2对“花扣”和6对“一字扣”共用250分钟列出方程，解方程即可求解； （2）设升级后制作一对“一字扣”需增加y分钟，根据50个小时制作的“花扣”对数是30个小时制作的“一字扣”对数的列分式方程，解分式方程即可求解． 【详解】（1）解：设制作一对“花扣”需要x分钟，则制作一对“一字扣”需分钟． 由题意得， 解得， ． 答：制作一对“花扣”需要80分钟，则制作一对“一字扣”需15分钟； （2）解：设升级后制作一对“一字扣”需增加y分钟， 由题意得， 整理得， 去分母得， 解得， 经检验是原分式方程的解， ∴分钟． 答：升级后制作一对“一字扣”需20分钟． 题型26.其他实际问题 【典例】“鄱阳湖鱼肥，南昌米粉香”．鄱阳湖地区某水产养殖专业户为了估计池塘里鱼的数目，第一次捕捞了200条鱼，将这些鱼都做上标记后放回池塘．几天后，第二次捕捞了3500条鱼，发现其中有20条鱼身上有标记，由此可估计该池塘里约有______条鱼． 【答案】35000 【分析】本题考查用样本估计总体，通过标记重捕法建立比例方程求解，利用分式方程的应用解决问题． 【详解】解：设该池塘里约有条鱼， 根据题意得， 解得， 经检验是原分式方程的解， 因此该池塘里约有条鱼． 故答案为：． 【跟踪专练1】兴化具有独特的旅游资源．其中千岛样式形成的垛田景观享誉全国，每年四月份，油菜花开，蓝天、碧水、“金岛”织就了“河有万湾多碧水，田无一垛不黄花”的奇丽画卷．来自世界各地的游客都会来观赏游玩，体验兴化的人文风情．油菜花谢了之后会留下油菜荚，其中包含油菜籽．油菜花开花后会慢慢结出果实，这些果实就是油菜籽，油菜籽可以用于榨油．已知千岛菜花风景区内，2015年油菜籽的总产量达到400万千克，更新技术后，到2024年油菜籽的总产量达到了600万千克，平均每亩产量比2015年多了200千克，2024年每亩产量达到多少千克？ 【答案】2024年每亩产量达到600千克 【分析】设2024年每亩产量达到千克，则2015年每亩产量为千克，根据题意，得解答即可． 本题考查了分式方程的应用，抓住田地的亩数不变是解题的关键． 【详解】解：设2024年每亩产量达到千克，则2015年每亩产量为千克 ， 经检验，是所列方程的解． 答：2024年每亩产量达到600千克． 【跟踪专练2】（1）若的盐水中含盐，那么，盐在盐水中的占比为，现在将盐水中加入的盐，此时，盐水 g，其中盐 g，盐在盐水中的占比为 ； （2）根据生活经验我们知道，盐水中加盐后，盐水更咸了，请用加盐前后的占比的大小来揭示这一生活现象： ； （3）若的盐水中含盐，现往其中加盐若干g，使其占比是原来的2倍，求加盐多少g? 【答案】（1）；；；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了分式的性质与分式方程，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键． （1）根据题意列出数量关系式即可； （2）根据题意可得盐的占比增大即可得结论； （3）设加盐，根据盐的占比是原来的2倍，列出方程即可求解． 【详解】解：（1）由题意可得盐水有，盐有，盐在盐水中占比为． 故答案为：；；． （2）由盐水变咸可得盐在盐水中占比增大，即 ． 故答案为：． (3)设加盐， 依题意，列方程， 解得， 经检验，是方程的解， 答：加盐. 解答题 1．计算、化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先利用有理数乘方、零次幂、负整数次幂化简，然后再计算即可； （2）直接利用分式的混合运算法则求解即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 2．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)1 (2) 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 3．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先确定公分母为，再通分化成同分母分式计算即可； （2）先确定公分母，再通分化为同分母分式计算． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 4．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】先根据多项式乘多项式法则和分式的混合运算法则，分别化简整式部分与分式部分，合并得到最简结果，然后根据二次根式的性质和负整数指数幂的计算法则计算出x的值，再将x的值代入最简结果计算即可． 【详解】解： ， ∵， ∴原式． 5．先化简，再求值：，其中． 下面是小宇同学的化简过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：原式第一步 第二步 第三步 第四步 (1)任务一： 以上化简步骤中，第_____步是通过约分得到的，约分的依据是__________； 第_____步开始出现错误，这一步错误的原因是_____； (2)任务二：请直接写出该式子化简后的正确结果，并代入求值． 【答案】(1)三，分式的基本性质；一；添括号时，括号里面的第二项没有变号； (2)，． 【分析】（1）根据分式的运算法则观察化简步骤即可知答案； 观察分式化简的步骤可知答案； （2）将分式进行正确的化简，再将代入化简之后的式子即可． 【详解】（1）解：以上化简步骤中，第三步是通过约分得到的，约分的依据是分式的基本性质， 第一步开始出现错误，这一步错误的原因是添括号时，括号里面的第二项没有变号； （2）解：， ， 当时， ． 6．已知关于的分式方程． (1)若该分式方程的解是，求的值； (2)若该分式方程的解是非负数，求的取值范围． 【答案】(1) (2)且 【分析】（1）将代入原方程得到关于b的方程求解即可； （2）先求得分式方程的解，然后再根据解是非负数列不等式求解即可． 【详解】（1）解：将代入方程，得，解得：． （2）解：， ， ， ， ． 分式方程的解是非负数， ，且，解得且． 7．阅读：如果两个分式A与B的和为常数k，且k为正整数，则称A与B互为“关联分式”，常数k称为“关联值”．如分式，，，则A与B互为“关联分式”，“关联值”． (1)若分式，，判断A与B是否互为“关联分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“关联值”k． (2)已知分式，，C与D互为“关联分式”，且“关联值”，当x为正整数，且分式D的值也为正整数时，求出所有符合条件的x的值． (3)已知分式，，P与Q互为“关联分式”，且“关联值”，若满足以上关系的关于x的方程无解，求实数m的值． 【答案】(1)A与B互为“关联分式”，关联值 (2)1 (3)或 【分析】（1）根据“关联分式”定义，计算出，进而即可判断； （2）由与互为“关联分式”、，得，求出，将代入，进而即可求解； （3）由与互为“关联分式”、，列方程化简得．方程无解分两类：整式方程无解或增根，分情况求解即可． 【详解】（1）解：A与B互为“关联分式”，关联值，理由如下： 由题意得， ， ∵2是正整数，符合“关联分式”的定义， ∴关联值； （2）解：∵与互为“关联分式”，关联值， ∴ 解得； 当时， ， ∵为正整数，且为正整数， ∴当时，解得； 当时，解得（舍去）， ∴的值为； （3）解：∵与互为“关联分式”，关联值， ∴ 解得， ∵关于的方程无解， ∴当时，即，此时方程变为，无实数解，符合要求； ∵原分式方程的增根为（使分母为0）， ∴将代入整式方程： 解得； 此时整式方程的解是增根，原分式方程无解，符合要求． 综上，实数的值为或． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $专题08分式与分式方程复习讲义 ☆ 复习目标 知识目标 能力目标 应试目标 1.分式概念：理解分式定义，1.运算能力：提升分式恒等1.基础题： 准确识别分式、 掌握分式有意义、无意义、 变形与运算求解能力，规范求分式有意义条件、简单约 值为0的条件。 步骤、减少符号与通分约分 分通分，确保满分。 2.分式性质：掌握分式基本 错误。 2.中档题：熟练完成分式混 性质，熟练进行约分、通分，2.建模能力：能将实际问题 合运算、解分式方程，步骤 化为最简分式。 抽象为分式（方程)模型， 规范、结果正确。 3.分式运算：熟练进行分式 提升分析与解决问题能 3.压轴题：能列分式方程解 乘除、乘方、加减及混合运 力。 应用题，找准等量关系，规 算，结果化为最简形式。 3.思维能力：发展类比（分范作答并验根。 4.分式方程：理解分式方程 数→分式)、转化（分式方4.易错点：杜绝分母不为0 概念，掌握解法（去分母→ 程→整式方程)、归纳思维，忽略、通分漏乘、去分母漏 整式方程→验根)，理解增 构建知识体系。 乘常数项、解后不验根等常 根成因及验根必要性。 见错误。 5.实际应用：能列分式方程 解决工程、行程等实际问题， 检验解的合理性。 ☆ 题型梳理 题型01.分式的判断 题型02.分式规律探究 题型03.按要求构造分式 题型04.分式的求值 题型05.分式有无意义与值为委综合 题型06.分式值为正负及整数时未知数求解 题型07.分式变形的判断与条件 题型08.分式值变化判断 题型09.约分与最简分式 题型10.分式汞除运算 题型11.分式乘方及混合运算 题型12.分式物加减 题型13.通分与最简公分母 题型14.分式加减混合运算 题型15.分式加减的实际应用 型16.分式加减汞除混合运算 题型17.分式化简与最值 题型18.分试方程基础 题型19.由分式方程解的情况求值 题型20.分式方程无解问题 题型21.列份式方程 型22.分式方程行程问题 题型23.分式方程工程问题 题型24.分式方程经济问题 试卷第1页，共3页 题型25.分式方程和差倍分问题 题型26.其他实际列问题 解答题7题 ☆为 知识梳理 海腰知意年年细年海年细 知识点01：分式核心定义 1.分式定义：形如唱(、是整式，B中含字母，且B≠0)的式子叫分式；A是 分子，B是分母。 2.分式与整式区别：分母是否含字母。 3.分式的三类关键条件 情形 条件 分式有意义 分母B≠0 分式无意义 分母B=0 分式值为0 分子A=0且分母B≠0 知识点02：分式的基本性质 1.文字表述：分式的分子与分母同乘（或除以）同一个不为0的整式，分式的 值不变。 2.公式表达：鲁=能，会= (C是整式，C≠0) 3.分式符号法则 =-合--分 即：分子、分母、分式本身，同时改变其中两个符号，分式值不变。 知识点03：分式的约分与最简分式 1.约分 把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做约分。 2.公因式找法 (1)系数：最大公约数 (2)字母：相同字母最低次幂 (3)多项式：先因式分解，再找公因式 试卷第1页，共3页 3.最简分式 分子与分母没有公因式（互质）的分式。 计算结果必须化为最简分式。 知识点04：分式的通分 1.通分定义 把几个异分母分式化成同分母分式，叫做通分。 2.最简公分母(LCD)找法 (1)系数：各分母系数的最小公倍数 (2)字母：所有出现字母的最高次幂 (3)多项式：先因式分解，再取所有因式最高次幂 知识点05：分式的乘除运算 1.乘法法则 文字：分式乘分式，用分子的积作积的分子，分母的积作积的分母。 字母：音·号=器(b≠0，d≠0) 2.除法法则 文字：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。 字母：骨÷号骨·号b+0.c≠0d≠0) 3.运算步骤 ①先分解因式；②约分；③再计算，结果化为最简分式/整式。 知识点06：分式的乘方运算 法则：分式的乘方，把分子、分母分别乘方。 字母：()n=bnan(b≠0，n为正整数) 注意：先定符号，负数的偶次幂为正，奇次幂为负。 知识点07：分式的加减运算 1.同分母分式加减 法则：分母不变，分子相加减。 字母：是士名=些(c≠0) 注意：分子相加减时要添括号，最后约分。 试卷第1页，共3页 2.异分母分式加减 法则：先通分，化为同分母分式，再按同分母法则计算。 字母：号±号-密(b≠0，d≠0) 知识08：分式的混合运算 运算顺序：先乘方→再乘除→最后加减：有括号先算括号内。 运算技巧：①灵活运用因式分解、约分简化计算；②整式可看作分母为1的 分式；③结果必须化为最简分式或整式。 知识点09：分式方程 1.定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。 2.标准解题步骤 (①)找最简公分母：对各分母因式分解，确定所有分母的最简公分母。 (2)去分母：方程两边同乘最简公分母，约去分母，化为整式方程。 (3)解整式方程：求解转化后的一元一次/一元二次整式方程 (④检验（必做步骤)： 把整式方程的解代入最简公分母： 若最简公分母≠0，该解是原分式方程的解： 若最简公分母=0，该解为增根，原分式方程无解。 (⑤写出结论：明确方程的解或无解。 3.分式方程的实际应用（高频考点） (1).解题步骤 审：分析题意，找等量关系： 设：设未知数（直接/间接设元）： 列：根据等量关系列分式方程： 解：按分式方程解法求解并双重检验（①是否为增根②是否符合实际意义）； 答：规范作答。 (2)常见等量关系模板 工程问题：工作效率×工作时间=工作总量；甲效季+乙效季=合作效率 行程问题：餐=时间：顺水/逆水速度差异列方程 路程 试卷第1页，共3页 销售问题： =数量 总价 题型精析 应年==票标=数==参= 题型01.分式的判断 【典例】下列各式：①2000， ,巴：@+y:④：⑤-3，是分式的有 2 x-v ·(只填序号) 跟踪专练1】在代数式3x+)、2,6x片 3ab、2abc、上中，分式有（) 5+y、23 5 元 A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 【跟踪专练2】下列说法正确的是() A无论x为何值2x,总有意义 B.分式-是最简分式 “x-1 C.分式-9值为0，则x的值为3 D.代数式，x是分式 x+3 4+π 题型02.分式规律探究 1 1 【奥例已知a1(x且x2）4a“6 ，…，a.1-a ,则 a26等于 【鼠除专练】对于任意正有数，规定：小-- 2× 2- …,利用以上规律计算： +1 f2026+f302s+f得+付++2+3++/2025列+f120261- 【跟踪专练2】杨辉三角形又称贾宪三角形，因首现于南宋杰出数学家杨辉的《详解九章算 法》而得名，它的排列规律如图所示：在第一行中间写下数字1；在第二行写下两个1，和 第一行的1形成三角形；随后的每一行，第一个位置和最后一个位置的数都是1，其他的每 个位置的数都是它左上方和右上方的数之和.若从杨辉三角形的第三行起，每行第3个位置 的数依次组成一系列新的数，依次记作a1,a2,a,a4,a5,,an,由图可知a1=1,a2=3,a3=6,…若 试卷第1页，共3页 L+L+…+ ,14052 0,2027, 则”=() a1 a2 杨辉三角 1 11 12回 13目1 14 目41 里ge0gg1ag8ne A.2025 B.2026 C.2027 D.2028 题型03按要求构造分式 【典例】写出一个含有字母x的分式，使得当x=2时，分式的值是1.这个分式可以是 【跟踪专练1】请写出分式”m所表示的实际意义： n+2 【跟踪专练2】一个分式同时满足：①字母仅含有x;②当x=-3时，分式的值为0；③当 x=1时，分式的值为-2，这个分式可以是（写出一个即可）， 题型04.分式的求值 【典例】若-3y=1 少2，则 【限除专栋】若子子则的值为一 x+V 【紧专缘】右-周时 y 题型05.分式有无意义与值为零综合 【典例】根据下面表格中的信息（※表示非零的数值），y代表的分式可能是() X 0 1 2 0 ※ ※ 无意义 ※ x-1 x+2 A. B. C.+2 D.2 x+2 x+1 x-1 x-1 x 【跟踪专练1】在函数)3一x中，自变量x的取值范围是（） A.x<3 B.x≤3 C.x>3 D.x≥3 【跟踪专练2】分式-2的值为0，则的值为() x+1 试卷第1页，共3页 A.x=2 B.x=-1 C.x=2且x≠-1D.x=-2 x2-9 【跟踪专练3】若分式x-(x+1 的值为0，则x等于() A.3 B.-3 C.±3 D.-1 【跟踪专练4】根据下列表格信息，y可能为() -2 0 2 0 无意义 A. x-2 B.x-1 x-2 C.+1 D.x-2 x-1 x-2 x+1 题型06.分式值为正负及整数时未知数求解 【典例】若分式三值为负数，则x的取值范围是 x-5 【跟踪专练1】当整数m时，分式m+ 的值也为整数， 2m-1 【跟踪专练2】有n个依次排列的代数式：第1项是a1=4x2-x,用第1项a减去-x+1得 到b,将b乘以x得到第2项4，再将第2项a2减去(-x+1)得到b2,将b乘以x得到第3 项4，…，依此类推，下面四个结论中正确的个数为() ①方程a,=0的实数解为士2 ②a2-b=(x-1(2x+1(2x-1: ③第2024项a2m4=4x2025-x; ④若x为整数，且4-11x-5)值为整数，则的取值个数为4个. A.4 B.3 C.2 D.1 题型07.分式变形的渊判断与条件 【典例】下列式子中，从左往右变形正确的是() A.上=y+1 a-1-1 xx+1 B. a2-1a+1 44m bb C.55m D.a-a 试卷第1页，共3页 1 【跟踪专练1】在括号里填上使等式成立的式子： 2x+3.),括号内的式子为 3 x-y 5x-6y 5 【跟踪专练2】下列变形中，正确的是() A. 0.2a-b2a-b 0.3a+2b3a+2b B. a-b b-a =-1 b-a a-b 1-a-(a-11 C. a2-1（a+1)(a-1)a+1 D. bbc a ac 题型08.分式值变化判断 【典例】如果把分式2a 中的a,b都变成原来的2倍，那么分式的值() A.是原来的；B.不变 C.是原来的2倍D.是原来的4倍 【跟踪专练1】将分式，ab中的a,b都扩大为原来的3倍，则分式的值() 2a+3b A.扩大3倍 B.不变 C.扩大9倍 D.扩大2倍 【跟踪专练2】如果把分式“+少中的a,b都缩小到原来的；，那么分式的值（) 2ab A.缩小到原来的 B.不变 C.扩大2倍D.缩小 到原来的4 题型09.约分与最简分式 【典例】分式a-少 约分后的结果是() (b-a)3 1 A.b-a B.b-a C.a-b 1 1 D.b+a 【跟踪专练1】下列式子是最简分式的是() A.2 3x B.3 c D. x-1 【跟踪专练2】下列分式中，最简分式是() A.+1 C. 2x 2x-3 D. x2+1 B.+1 x2- 6-4x 【跟踪专练3】下列约分结果正确的是() 试卷第1页，共3页 A. atm a B. x2-y2 =x-y b+m b x-y -m2+2m-1=-m+1 6xy C. D. =2xy2 m-1 3x2y3 题型10.分式乘除运算 【典例】计算： -b 【跟踪专练1】计算： x2-*x- 【跟踪专练2】下列运算正确的是() A.b3+b2=bB.(-2b23=-6b6 C.b÷a.b =b D.(-b°÷-b2)=b b a 【跟踪专练3】分式-3-3的运算结果为x-1,则口”处的运算符号是（) x+1x2-1 A.+ B.- C.× D.÷ 【跟踪专练4】在一段坡路，小明骑自行车上坡的速度为每小时y千米，下坡时的速度为每 小时”，千米，则他在这段路上、下坡的平均速度是每小时() A.当+业千米 B. 2 W2千米 v+v C. y+业千米 D. 2y千米 2VV v+v 题型11.分式乘方及混合运算 【典例】计算： 3n 2m 【跟踪专练1】 02 【跟踪专练2】计算x÷ 2x ÷ .上的结果是() 2y 1 1 2-xV A. 2-y B. 4y2 C. D. 4y 4y 4y2 题型12.分式加减 【典例】计算： 1m= m≠1. 1-m1-m 【跟踪专练1】并联电路中两个电阻的阻值分别为R、R2,电路的总电阻R和R、R2满足 试卷第1页，共3页 111 RR+R,则R可表示为 (用含R,R的代数式表示). 【跟踪专练2】计算+1-1= 【跟踪专练3】下列计算正确的是() A.2、35Ba一6=5 a b a+b 236 c.*31 D. 【跟踪专练4】计算a+1+1 的结果是() a-1 A. C.a-1 a-1 B. a-1 D.d 题型13.通分与最简公分母 【典】将分式。 。通分时，需要把，1。的分子、分母同时乘以 2a-2 【鼠除专练】分式去·的龄简公分绿是 【跟踪专练2】分式a-a2-a 1 2一的最简公分母是 ,通分为 题型14.分式加减混合运算 【奥例1计算，十的结果足 1 1 【跟踪专练1】已知：4，=x+1(x≠0且x≠-1)，a2= 1-an-1 则a2020等于 【鼠除专练2】对于正数规定川产例如2到2号 )得+0+0*2+ +f(10)的值是() A.9 B.9.5 C.10 D.10.5 题型15.分式加减的实际应用 【典例】甲乙两地相距n千米，提速前火车从甲地到乙地要用t小时(t>),提速后两地间 的行车时间减少了1小时，则提速后火车的速度比提速前的快了 千米小时. 【跟踪专练1】一辆汽车以v千米每小时的速度行驶，从A地到B地需要t小时.若该汽车 的行驶速度在原来的基础上增加m千米每小时，那么提速后从A地到B地需要的时间比原 来减少 小时. 【跟踪专练2】小乐骑自行车匀速爬上一个斜坡后立即匀速下坡回到出发点，若上坡速度为 试卷第1页，共3页 ,下坡速度为，则他上下坡的平均速度为() A.当+当 B.当+ c.当业 D. 2VV2 2 2 +2 V+v2 题型16.分式动加减乘除混合运算 22. 【典例】计算：(a+b)÷(仁+)= a b 【跟踪专练1】计算： araa-l a-1 【跟踪专练2】计算 0 3a).a2-1的结果是 a+13a-6 题型17.分式化简与最值 【典例】若a=2b,则a+2b b 【跟踪专练1】分式。】一的最大值是〈) x2+2x+5 A.5 B.6 c. 【跟踪专练2.】已知X,y为正实数，则+8x+y的最小值为《) A.6 B.7 C.8 D.9 【银除专练】去+ w=1,则w=() A.a+2(a≠-2 B.-a+2a≠2 C.a-2(a≠2 D.-a-2(a≠±2 题型18.分式方程基础 【典例】在方程3-5=0,4=6 ,x-3=0,X4-,X=2中，分式方程的个数 2+x T 是() A.2 B.3 C.4 D.5 【跟踪专练1】方程3x+-2,去分母正确的是(） x-11-x A.3+x-1=2x-1) B.3-x-1=2x-1 C.3+x+1=2x-1 D.3-x+1=2(x-1 【跟踪专练2】关于x的方程a一=1的解是负数，则4的取值范围是() x+1 试卷第1页，共3页 A.a<2 B.a>1 C.a>1,且a≠2D.a<2,且a≠1 【跟踪专练3】若关于x的分式方程-”，=0的解是负数，则实数m的取值范围《) xx+3 A.m<2 B.m>2 C.m<2且m≠0 D.m>2且 题型19.由分式方程解的情况求值 【典例】若关于x的分式方程一】-2=m有增根，则它的增根是 x-2 2-x 【跟踪专练1】如果关于x的分式方程x-m=1的解是正数，那么实数m的取值范围是 x+1 、. 【跟踪专练2】若分式方程-2=m+2的解为正数，则m的取值范围是 “x-3x-3 题型20.分式方程无解问题 【典例】若关于x的方程”_2=1无解，则m的值是《) xx A.-2 B.2 C.1 D.-1 -2一2+1无解，则a的值为（) 【跟踪专练1】若关于x的方程=4 A.1 B.2 C.1或2 D.0或2 【跟踪专练2】若关于x的分式方程7 一)+3三m一有增根，则m的值为( 2-x A.m=-2 B.m=-7 C.m=7 D.m=2 题型21.列分式方程 【典例】《九章算术》是中国古代数学名著，其中记载：“今有牛五、羊二，直金十两；牛 二、羊五，直金八两.”某同学对该问题改编如下：每头牛比每只羊贵1两，用20两买牛， 15两买羊，买得的牛、羊数量相等，则每头牛的价格为多少两？若设每头牛的价格为x两， 则可列方程为() A. 20_15 B.20-15 c.20+15=1D.20-15=1 x x-1 x-1 x x'x-1 x x-1 【跟踪专练1】某商店为庆祝开业，购进甲、乙两种鲜花，购买甲种鲜花花费600元，购买 乙种鲜花花费420元，且购买甲种鲜花的数量是购买乙种鲜花数量的2倍.已知购买一束乙 种鲜花比购买一束甲种鲜花多花费20元，设购买一束甲种鲜花需x元，根据题意可列方程 为() 试卷第1页，共3页 A. 600=2×420 B.2×600、420 x+20 xx+20 C.2×600-420 D.600=2×420 x+20x x+20 【跟踪专练2】某工程队修一条公路，原计划每天修x米，实际每天比原计划多修20米，原 计划修完公路所需时间是实际的1.5倍，所列方程正确的是() A.1-1.5x1 B. 1-=1.5×2 C.11541 D. x+20 x+20 x+20 1=15÷ 1 x+20 x 题型22.分式方程行程问题 【典例】甲、乙两地相距1400km,乘高铁列车从甲地到乙地比乘特快列车少用9%，己知高 铁列车的平均行驶速度是特快列车的2.8倍，根据题意可列方程，1400_1400-9，则方程 2.8x 中x表示() A.特快列车的平均行驶速度 B.高铁列车的平均行驶速度 C.特快列车的行驶时间 D.高铁列车的行驶时间 【跟踪专练1】王老师积极响应低碳环保，绿色出行”的号召，将上下班的交通方式由驾车 改为骑自行车，王老师家距离学校6千米，在相同的路线上，驾车的平均速度是骑自行车的 平均速度的3倍，所以王老师每天上班要比开车早出发15分钟，才能按原驾车的时间到达 学校.问：王老师驾车平均每小时行多少千米？ 【跟踪专练2】湘超联赛（湖南省足球协会超级联赛）是湖南人的顶级足球盛宴！自2016 年创办以来，14支市州代表队在绿茵场上激烈角逐，既有中学生球员与成年老将同场竞技 的青春风暴，也有草根球队逆袭夺冠的热血传奇，更有非遗表演、城市文旅融合的独特魅力 2025年湘超总决赛于长沙贺龙体育场举办，赛事实行实名制入场制度，观众需凭本人身份 证核验进场.小张去离家2700米的贺龙体育场看比赛，到体育场入口核验时，发现身份证 忘在家里，此时离比赛开始还有30分钟.于是他跑步回家，拿到身份证后立刻找到一辆“共 享单车”原路赶回贺龙体育场，己知小张骑车的时间比跑步的时间少了5分钟，且骑车的平 均速度是跑步的平均速度的1.5倍. ()求小张跑步的平均速度： (②)如果小张在家取票和寻找“共享单车”共用了4分钟，他能否在比赛开始前赶到贺龙体育场？ 说明理由. 试卷第1页，共3页 题型23.分式方程工程问题 【典例】甲、乙两个工程队共同修一条道路，其中甲工程队需要修9千米，乙工程队需要修 12千米.已知乙工程队每个月比甲工程队多修1千米，最终用的时间比甲工程队少半个月.若 设甲工程队每个月修x千米，则可列出方程为· 【跟踪专练1】为改善生态环境，某村计划在荒坡上种植1200棵树，由于青年志愿者的支 援，每天比原计划多种40棵，结果提前5天完成任务，求原计划每天种多少棵树？ 【跟踪专练2】某一工程，在工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书，工程领导小组 根据甲、乙两队的投标书测算，有如下方案： I.甲队单独完成这项工程刚好如期完成； Ⅱ.乙队单独完成这项工程要比规定日期多6天： Ⅲ.若甲、乙两队合作3天，余下的工程由乙队单独做也正好如期完成。 (1)设甲队单独完成这项工程需要x天，将表格补充完整. 工程总量 所用时间（天） 工程效率 甲队 乙队 (2)根据题意及表中所得到的信息列出方程 工程总量 所用时间（天） 工程效率 甲队 1 1 1 乙队 1 x+6 x+6 题型24.分式方程经济问题 【典例】随着绿色发展理念的倡导，新能源汽车逐渐普及，市民对充电桩的使用需求日益增 强，某停车场计划购买A、B两种型号的充电桩，已知B型充电桩比A型充电桩的单价多1 万元，且用10万元购买A型充电桩与用12万元购买B型充电桩的数量相等.设A型充电 桩的单价是x万元，那么根据题意可列方程· 【跟踪专练1】王林端午节前后两次到某超市购买同一种粽子，节前按标价购买了80元的 粽子，节后粽子半价，王林又花费35元购买若干粽子，两次共买了15个粽子，问这种粽子 试卷第1页，共3页 的标价是每个多少元？ 【跟踪专练2】金师傅近期准备换车，看中了价格相同的两款国产车. 燃油车 新能源车 油箱容积：40升 电池电量：60千瓦时 油价：9元/升 电价：0.6元/千瓦时 续航里程：Q千米 续航里程：a千米 每千米行驶费用： 40×9 元 每千米行驶费用： 元. (1)用含a的代数式表示新能源车的每千米行驶费用： (2)其中，燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.54元.如果燃油车和新能源车每年的其 他费用分别为4800元和7500元，且金师傅平均每年都能行驶5100千米.为了节省开支， 哪款国产车更适合金师傅，请通过计算说明.（年费用=年行驶费用+年其他费用）》 题型25.分式方程和差倍分问题 【典例】某边防哨所运来一筐苹果，共有60个，计划每名战士分得数量相同的若干个苹果， 结果还剩5个苹果；改为每名战士再多分1个，结果还差6个苹果，那么，这个哨所共有多 少名战士？若设这个哨所共有x名战士，则根据题意可列方程为 【跟踪专练1】临沂炒鸡作为齐鲁名菜，其独特风味已经家喻户晓.在临沂某美食街有一家 小餐馆和一家大餐馆都主营炒鸡，已知小餐馆每小时炒制x份炒鸡，大餐馆每小时比小餐馆 多炒制5份，在某一特定的营业时段内，大餐馆炒制30份炒鸡所用的时间和小餐馆炒制20 份炒鸡所用的时间相同.求大小餐馆每小时各炒制多少份炒鸡？ 【跟踪专练2】列方程（组）解下列问题： 旗袍上的盘扣远不止是实用的纽扣，更是“以小见大的东方美学典范.某手工作坊制作如图 所示的花扣”和“一字扣两种盘扣.已知制作一对“花扣”的时间比制作一对一字扣的时间 多65分钟，制作2对“花扣”和6对“一字扣”共用250分钟. 试卷第1页，共3页 花 字扣 (1)求制作一对“花扣”和一对“一字扣”各需多少分钟： (2)因工作坊升级了工艺品质，制作每对“花扣”增加的时间是每对“一字扣”增加时间的4倍， 50个小时制作的花打”对数是30个小时制作的一字扣"对数的 ,求升级后制作一对“一字 扣”需多少分钟， 题型26.其他实际问题 【典例】“鄱阳湖鱼肥，南昌米粉香”.鄱阳湖地区某水产养殖专业户为了估计池塘里鱼的数 目，第一次捕捞了200条鱼，将这些鱼都做上标记后放回池塘.几天后，第二次捕捞了3500 条鱼，发现其中有20条鱼身上有标记，由此可估计该池塘里约有条鱼. 【跟踪专练1】兴化具有独特的旅游资源.其中千岛样式形成的垛田景观享誉全国，每年四 月份，油菜花开，蓝天、碧水、“金岛”织就了“河有万湾多碧水，田无一垛不黄花”的奇丽画 卷.来自世界各地的游客都会来观赏游玩，体验兴化的人文风情.油菜花谢了之后会留下油 菜荚，其中包含油菜籽.油菜花开花后会慢慢结出果实，这些果实就是油菜籽，油菜籽可以 用于榨油.已知千岛菜花风景区内，2015年油菜籽的总产量达到400万千克，更新技术后， 到2024年油菜籽的总产量达到了600万千克，平均每亩产量比2015年多了200千克，2024 年每亩产量达到多少千克？ 【跟踪专练2】(1)若g的盐水中含盐bg,那么，盐在盐水中的占比为，现在将盐水中 加入cg的盐，此时，盐水g,其中盐g,盐在盐水中的占比为_； (2)根据生活经验我们知道，盐水中加盐后，盐水更咸了，请用加盐前后的占比的大小来 揭示这一生活现象：一 (3)若100g的盐水中含盐10g,现往其中加盐若干g,使其占比是原来的2倍，求加盐多 少g? 解答题 1.计算、化简： 试卷第1页，共3页 ---: a+4 a-1 2.计算： 0+4+2-x-6_22-2x-5 x+3+x+33+x ②)3y-x-x+2y4y-x x2-y2x2-y2y2-x2 3.计算： (①)日+1+1 a2-aai ②)-八-2y x-y x2-y2. +先北m,再球信：a--小2-小任小关神 5.先化简，再求值： *2x*1】 x2-1 2+4x+4,其中x=-4. x-1 下面是小宇同学的化简过程，请认真阅读并完成相应任务. 解：原式= x2-1(x+1(x+2)]x2+4x+4 …第一步 x+2 x+2 x-1 -二3x-3.+2…第二步 x+2x-1 --3x-3儿x+2…第三步 x-1 =-3(x+(x+2…第四步 x-1 (1)任务一： ①以上化简步骤中，第 步是通过约分得到的，约分的依据是 ②第步开始出现错误，这一步错误的原因是 (2)任务二：请直接写出该式子化简后的正确结果，并代入求值. 6.已知关于x的分武方程3r+h-1. x-2 (1)若该分式方程的解是x=1,求b的值； 试卷第1页，共3页 (2)若该分式方程的解是非负数，求b的取值范围. 7.阅读：如果两个分式A与B的和为常数k,且k为正整数，则称A与B互为“关联分式”， 常数k称为“关联值”.如分式A=x 8=4+B1,测A与B互为关联分式 x-1 “关联值”k=1. 0若分式4青B-号，为断4与8是省互为关联分式，若不是，暗说明理由：若 是，请求出“关联值”k. ②已知分式C-号，0-4C与D互为关联分式，且关联能=2，当x为正整 数，且分式D的值也为正整数时，求出所有符合条件的x的值. (③)已知分式P=3x-5, ·3，。=一3，P与O互为“关联分式”，且“关联值k=2，若满足 3-x 上关系的关于x的方程无解，求实数m的值. 试卷第1页，共3页