精品解析：黑龙江哈尔滨市第六十九中学校2025-2026学年七年级下学期数学学科活动（一）

哈尔滨市第六十九中学校2025-2026年度七年级下学期数学学科活动（一） 活动时间：120分钟 满分：120分 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 的平方根是（ ） A. 4 B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了求算术平方根和平方根， 先计算的值，再求其平方根．注意区分算术平方根与平方根的概念． 【详解】的平方根是． 故选：C． 2. 如图，已知直线和相交于点，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用对顶角的性质求出，再根据邻补角的性质即可求解． 【详解】解：∵直线 ， 相交于点，  ，  ，  ，  ，  ． 3. 下列说法中，正确的是（ ） A. 点到x轴的距离是3 B. 在平面直角坐标系中，点和点表示同一个点 C. 若，则点在y轴上 D. 在平面直角坐标系中，第三象限内点的横坐标与纵坐标同号 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了点的坐标，正确掌握点的坐标特点是解题关键． 直接利用各象限内点的坐标特点，分别分析得出答案． 【详解】解：A．点到轴距离是2，故此选项不合题意； B．在平面直角坐标系中，点和点不是同一个点，故此选项不合题意； C．若，则点在轴上，故此选项不合题意； D．在平面直角坐标系中，第三象限内点的横坐标与纵坐标同号，故此选项符合题意． 故选：D． 4. 下列能用“垂线段最短”来解释的现象是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据垂线段最短、两点确定一条直线、两点之间线段最短等几何性质对各个选项进行分析即可． 【详解】解：A．两钉子固定木条，利用的是“两点确定一条直线”，故本选项不符合题意； B．P村庄到Q村庄的路程，利用的是“两点之间，线段最短”，故本选项不符合题意； C．测量跳远成绩，是测量落地点到起跳线的垂直距离，利用的是“垂线段最短”，故本选项符合题意； D．弯曲河道改直，利用的是“两点之间，线段最短”，故本选项不符合题意． 5. 下列实数，0，，，，中，无理数有（ ） A. 1 个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了无理数的定义，无理数是指无限不循环小数，据此作答． 【详解】解：依题意，，是无限循环小数，是有理数， 则，是无限不循环小数， 所以无理数有2个， 故选：B 6. 如图所示，，，下列说法不正确的是（ ） A. 线段是点到的垂线段 B. 线段是点到的垂线段 C. 点到的垂线段是线段 D. 点到的垂线段是线段 【答案】B 【解析】 【详解】解：、， ∴线段是点到的垂线段，该选项说法正确，不符合题意； 、， ∴线段是点到的垂线段，该选项说法错误，符合题意； 、， ， ∴点到的垂线段是线段，该选项说法正确，不符合题意； 、， ， ∴点到的垂线段是线段，该选项说法正确，不符合题意． 7. ，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用非负数的性质求出，再代入代数式计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴． 8. 在平面直角坐标系中，点一定在（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查由点的坐标判断其所在象限，熟记象限中点的坐标符号特征是解决问题的关键． 点的横坐标为负，纵坐标恒为正，根据象限符号特点判断即可得到答案． 【详解】解：在平面直角坐标系中，点的横坐标、纵坐标， ∴ 点在第二象限， 故选：B． 9. 如图，已知，点在直线上，交于点，平分，交于点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行线的性质得出，根据角平分线的定义得出，再根据平行线的性质可得答案． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 10. 下列命题是真命题的是（ ） A. 如果两个角的和是平角，那么这两个角是邻补角 B. 在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行 C. 两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补 D. 直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离 【答案】B 【解析】 【分析】根据邻补角定义，平行线的判定与性质，点到直线距离的定义，逐一判断各命题真假即可． 【详解】解：∵ 两个角的和是平角时，这两个角不一定有公共顶点和公共边，不一定是邻补角， ∴ A是假命题； ∵ 在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线，形成的同位角都为，满足两直线平行的判定条件， ∴B是真命题； ∵只有两条平行直线被第三条直线所截时，同旁内角才互补，任意两条直线不满足该结论， ∴C是假命题； ∵直线外一点到这条直线的垂线段的长度，才叫做点到直线的距离，不是垂线段本身， ∴D是假命题． 二、填空题（每题3分，共30分） 11. 的相反数为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用算术平方根的定义求出的值，再根据相反数的定义即可求解． 【详解】解：∵， ∴的相反数是． 12. 比较大小：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的大小比较， 正数都大于0，负数都小于0，两个负数比较大小，其绝对值大的反而小；据此进行比较即可求解．掌握比较方法是解题的关键． 【详解】解：， ， 故答案为：． 13. 若，，则______． 【答案】54.77 【解析】 【分析】根据二次根式的性质把进行化简，再把已知数据代入计算即可． 【详解】解：∵=5.477， ∴=10 =54.77， 故答案为：54.77． 【点睛】本题考查的是算术平方根的性质和二次根式的化简，掌握一个非负数的正的平方根是这个数的算术平方根和二次根式的性质是解题的关键． 14. 已知的立方根是，的算术平方根是3，则的立方根为____． 【答案】 【解析】 【分析】根据立方根、算术平方根的定义求出、的值，进而求出的值，再求其立方根即可． 【详解】解：∵的立方根是，的算术平方根是3， ∴，， ∴， ∴的立方根为． 15. 若，，则____． 【答案】 1 【解析】 【分析】观察两点坐标可知两点纵坐标相等，线段平行于x轴，线段长度等于两点横坐标差的绝对值，据此计算即可． 【详解】解：∵，，两点纵坐标相等， ∴线段平行于x轴， ∴． 16. 线段CD是由线段AB平移得到的，点的对应点为，则点的对应点D的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】点的对应点为，确定平移方式，先向右平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度，从而结合可得其对应点的坐标. 【详解】解： 线段CD是由线段AB平移得到的，点的对应点为， 而 ， 故答案为： 【点睛】本题考查的是坐标系内点的平移，掌握由坐标的变化确定平移方式，再由平移方式得到对应点的坐标是解本题的关键. 17. 如图，，为延长线上一点，若，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据平行线的性质得，由垂直定义得，即得，再联立已知条件求出的度数，最后利用邻补角定义解答即可求解． 【详解】解：，  ， ，  ， ， ， 又，  ，  ， ，  ． 18. 如图，小正方形的一条边恰好在大正方形的一条边上，若小正方形的面积为1，大正方形的面积为5，则图中阴影部分的面积为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可知阴影部分可看作高为1，底为的三角形，求解即可； 【详解】解：大正方形的边长为：，小正方形的边长为：1； 阴影部分的面积为：； 故答案为：. 【点睛】本题主要考查实数混合运算的应用，正确列出算式是解题的关键. 19. 如图，，点是上一点，点是平面内一点，且，作的角平分线，它所在直线与直线交于点，则________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质和角平分线的性质，解题的关键是分情况讨论的位置． 分情况画出图形，根据平行线的性质和角平分线的性质即可解答此题． 【详解】解：①根据题意画图如下： ， ， 平分， ， ， ， ； ②根据题意画图如下： ， ， 平分， ， ， ； 综上可得，的度数为或． 故答案为：或 20. 如图，已知点在的延长线上，与交于点，且，，是的余角的5倍，点是线段上的一个动点，点是线段上一点且满足，平分角．下列结论：①；②；③；④；⑤其中结论正确的个数有_____个． 【答案】4 【解析】 【分析】根据内错角相等，两直线平行，可得，故①正确；根据同旁内角互补，两直线平行，可得，故②正确；根据两直线平行，内错角相等，可得：，又因为，等量代换可得：，故④正确；根据两直线平行，内错角相等，可得：，根据两直线平行，内错角相等，可得：，又因为是的余角的倍，可以求出，从而可得：，故③正确；根据角平分线的定义可得：，，从而可得：，故⑤错误． 【详解】解：和是、被直线所截形成的内错角，且， ， 故①正确； ， ， 又， ， ， 故②正确； ， ， ， ， 平分， ∴， 故④正确； ， ， ， ， 设， 是的余角的倍， ， 解得：， ， 在中，， ， ， ∴ 故③正确； 平分， ， ∵平分， ， ， 故⑤错误； 综上所述，结论正确的个数是． 三．解答题（21题12分，22题7分，23题各6分，24题5分，25-27题各10分） 21. 计算或解方程： （1） （2） （3） （4） 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（）利用平方根的定义解答即可求解； （）利用立方根的定义解答即可求解； （）先去括号和绝对值符号，再进行加减运算即可； （）先进行乘方运算，再进行减法运算即可 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：原式 ； 【小问4详解】 解：原式 ． 22. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，．将向右平移5个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到，其中点，，分别为点A，B，C的对应点． （1）请在所给坐标系中画，并直接写出点的坐标； （2）若边上一点P经过上述平移后的对应点为，用含x，y的式子表示点P的坐标；（直接写出结果即可） （3）求的面积． 【答案】（1）见解析，点的坐标为 （2） （3）7 【解析】 【分析】本题考查了点的坐标，运用网格求面积，平移作图，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合将向右平移5个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到，分别找到点，，，再依次连接，即可作答． （2）结合向左平移5个单位长度，再向上平移4个单位长度，得出横坐标减5，纵坐标加4，即可作答． （3）运用割补法进行列式计算出的面积，即可作答． 【小问1详解】 解：如图所示： ∴点的坐标为； 【小问2详解】 解：∵边上一点P经过上述平移后的对应点为，且将向右平移5个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到， ∴向左平移5个单位长度，再向上平移4个单位长度，得点； 【小问3详解】 解：的面积为：． 23. 已知正数的两个不相等的平方根分别为和，的立方根是，是的整数部分． （1）求的值； （2）求的平方根． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（）利用平方根的性质求出的值，即得的值，利用立方根的定义求出的值，再代入代数式计算即可求解； （）利用无理数的估算方法求出的值，进而求出的值，再根据平方根的定义解答即可求解； 本题考查了平方根，立方根，无理数的估算，熟练掌握知识点是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵正数的两个不相等的平方根分别为和， ∴， 解得， ∴， ∴， ∵的立方根是， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， 又∵是的整数部分， ∴， ∴， ∴的平方根为． 24. 将一个直角三角尺与两边平行的纸条如图放置，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】根据平行线的性质得到，即可求出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 25. 观察下列一组算式的特征及运算结果，探究规律： 第1个算式：； 第2个算式：； 第3个算式：； 第4个算式：； …… 规律发现： （1）根据上述规律，直接写出下列算式的值：__________； （2）用含（的正整数）的代数式表示出第个等式：__________； （3）根据上述规律计算： ． 【答案】（1）100 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据已知算式得出规律，即可得出答案； （2）根据已知算式得出规律，即可得出答案； （3）根据，计算即可得出答案． 【小问1详解】 解：由规律可得， 【小问2详解】 解：第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 第5个等式：； …… 第个等式：； 【小问3详解】 解： ． 26. 已知直线，直线与和分别交于点、，为上一点，为上一点，连接． （1）如图，若，垂足为点，，求的度数； （2）如图，点为直线和直线之间一点，连接和，若，， 求的度数； （3）如图，若，垂足为点，与的角平分线相交于点，的角平分线与的角平分线所在直线相交于点，与的角平分线相交于点，求证：．（注意：若使用三角形内角和等于，请证明．） 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（）过点作，由平行线的性质和垂线的定义可得，，进而即可求解； （）延长交直线于点，设，，可得，，即得，，，进而根据得到，再根据即可求解； （）先证明三角形的内角和等于，如图，连接并延长交直线于点，由角平分线的定义可得，即得，即得到，进而得到，再根据平行线的性质和角平分线的定义可得，即可求证； 【小问1详解】 解：如图，过点作， ∵直线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴； 【小问2详解】 解：如图，延长交直线于点， 设，， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵直线， ∴，， 由（）可得，，  ∴， ∴， 由（）可得，； 【小问3详解】 证明：如图，过点作， ∴，， ∵， ∴，即三角形的内角和等于， 如图，连接并延长交直线于点， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴， 由（）可得，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵直线， ∴， ∵平分， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 27. 如图1，在平面直角坐标系中，，，且满足， （1）直接写出M、N的坐标：M（0，_____），N（_____，0）； （2）点P以每秒2个单位长度从点M向负半轴运动，同时，点Q以每秒3个单位长度从N点向x轴的正半轴运动，直线、交于点，设点、运动的时间为秒． ①如图1，当时，设，求与的比值； ②如图2，当与互补时，在线段上任取一点E，连接．点G为的角平分线上一点，连接，且满足，设、，和，请直接写出，，三者之间的数量关系． 【答案】（1）； （2）①；②或． 【解析】 【分析】（1）首先根据非负数的性质解得的值，可确定点的坐标，即可获得答案； （2）①当时，可有，易得，，进而可计算出，结合，得到，进而根据三角形面积公式计算即可； ②分G点在平行线之间和G点在平行线之外两种情况，分别根据平行线的判定和性质求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴，， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：①当时，， ，， ∴，， ， ， ∴， ∴ 由图可知点在第四象限， ∴， ∴， ∴； ②根据题意，将图2补全，如下图所示， ∵与互补 ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 如下图，当G点在平行线之间时，过点作，过点作， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即； 如下图，当G点在平行线之外时，过点作，过点作， 则， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即； 综上所述，，，之间的数量关系为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 哈尔滨市第六十九中学校2025-2026年度七年级下学期数学学科活动（一） 活动时间：120分钟 满分：120分 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 的平方根是（ ） A. 4 B. C. D. 2 2. 如图，已知直线和相交于点，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 3. 下列说法中，正确的是（ ） A. 点到x轴的距离是3 B. 在平面直角坐标系中，点和点表示同一个点 C. 若，则点在y轴上 D. 在平面直角坐标系中，第三象限内点的横坐标与纵坐标同号 4. 下列能用“垂线段最短”来解释的现象是（ ） A. B. C. D. 5. 下列实数，0，，，，中，无理数有（ ） A. 1 个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 6. 如图所示，，，下列说法不正确的是（ ） A. 线段是点到的垂线段 B. 线段是点到的垂线段 C. 点到的垂线段是线段 D. 点到的垂线段是线段 7. ，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 在平面直角坐标系中，点一定在（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 9. 如图，已知，点在直线上，交于点，平分，交于点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 下列命题是真命题的是（ ） A. 如果两个角的和是平角，那么这两个角是邻补角 B. 在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行 C. 两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补 D. 直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离 二、填空题（每题3分，共30分） 11. 的相反数为______． 12. 比较大小：______． 13. 若，，则______． 14. 已知的立方根是，的算术平方根是3，则的立方根为____． 15. 若，，则____． 16. 线段CD是由线段AB平移得到的，点的对应点为，则点的对应点D的坐标是______． 17. 如图，，为延长线上一点，若，则_____． 18. 如图，小正方形的一条边恰好在大正方形的一条边上，若小正方形的面积为1，大正方形的面积为5，则图中阴影部分的面积为_____． 19. 如图，，点是上一点，点是平面内一点，且，作的角平分线，它所在直线与直线交于点，则________． 20. 如图，已知点在的延长线上，与交于点，且，，是的余角的5倍，点是线段上的一个动点，点是线段上一点且满足，平分角．下列结论：①；②；③；④；⑤其中结论正确的个数有_____个． 三．解答题（21题12分，22题7分，23题各6分，24题5分，25-27题各10分） 21. 计算或解方程： （1） （2） （3） （4） 22. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，．将向右平移5个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到，其中点，，分别为点A，B，C的对应点． （1）请在所给坐标系中画，并直接写出点的坐标； （2）若边上一点P经过上述平移后的对应点为，用含x，y的式子表示点P的坐标；（直接写出结果即可） （3）求的面积． 23. 已知正数的两个不相等的平方根分别为和，的立方根是，是的整数部分． （1）求的值； （2）求的平方根． 24. 将一个直角三角尺与两边平行的纸条如图放置，求的度数． 25. 观察下列一组算式的特征及运算结果，探究规律： 第1个算式：； 第2个算式：； 第3个算式：； 第4个算式：； …… 规律发现： （1）根据上述规律，直接写出下列算式的值：__________； （2）用含（的正整数）的代数式表示出第个等式：__________； （3）根据上述规律计算： ． 26. 已知直线，直线与和分别交于点、，为上一点，为上一点，连接． （1）如图，若，垂足为点，，求的度数； （2）如图，点为直线和直线之间一点，连接和，若，， 求的度数； （3）如图，若，垂足为点，与的角平分线相交于点，的角平分线与的角平分线所在直线相交于点，与的角平分线相交于点，求证：．（注意：若使用三角形内角和等于，请证明．） 27. 如图1，在平面直角坐标系中，，，且满足， （1）直接写出M、N的坐标：M（0，_____），N（_____，0）； （2）点P以每秒2个单位长度从点M向负半轴运动，同时，点Q以每秒3个单位长度从N点向x轴的正半轴运动，直线、交于点，设点、运动的时间为秒． ①如图1，当时，设，求与的比值； ②如图2，当与互补时，在线段上任取一点E，连接．点G为的角平分线上一点，连接，且满足，设、，和，请直接写出，，三者之间的数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $