精品解析：吉林长春市力旺实验初级中学2025-2026学年九年级下学期第七周学情自测数学试题

数学大练习 一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分） 1. 若使算式的运算结果最小，则□表示的运算符号是（　　） A. + B. － C. × D. ÷ 【答案】A 【解析】 【详解】将各个选项中的运算符号代入题干中的式子，计算相应的结果，然后比较即可． 【解答】解：， ， ， ， 则， ∴在算式的□中填上+时，使结果最小， 故选：A． 【点睛】本题考查了有理数的加、减、乘、除运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 2. 如图，央视2026马年春晚主标识是由四马拾级而上构成，象征国人齐头并进、步步登高．从数学角度观察，四马之间存在的图形变换关系为（ ） A. 平移 B. 旋转 C. 轴对称 D. 中心对称 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了图形的变换，熟练掌握平移是解题的关键； 根据平移可进行求解． 【详解】解：由图可知，四马之间存在的图形变换关系为平移， 故选：A． 3. 近似数表示精确到（ ） A. 千位 B. 万位 C. 十分位 D. 百分位 【答案】A 【解析】 【分析】对于用科学记数法表示的近似数，判断精确到哪一位时，需要先将其还原为原数，再看有效数字的末位在原数中的数位即可. 【详解】解：∵ ， ∴ 原数中近似数的末位数字5位于千位， ∴ 近似数精确到千位. 4. 不等式组的解集在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查求不等式组的解集，在数轴上表示不等式的解集，先求出不等式组的解集，定边界，定方向，在数轴上表示出解集，判断即可． 【详解】解：解，得：， 在数轴上表示解集如图： 故选D． 5. 如图，在点F处，看建筑物顶端D的仰角为32°，向前走了15米到达点E即米，在点E处看点D的仰角为64°，则的长用三角函数表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先根据题目条件，利用外角的性质，得出△DEF是等腰三角形，在Rt△DEC中，利用∠DEC的正弦即可表示出CD的长度． 【详解】∵∠F=32°，∠DEC=64°， ∴∠EDF=, ∴, 由题可知，△DCE为直角三角形， 在Rt△DEC中， 即： , ∴, 故选：C 【点睛】本题考查三角形的外角，等腰三角形的性质，解直角三角形的运算，解题关键是利用三角形的外角得出等腰三角形． 6. 如图，在中，．仅用直尺和圆规在上确定点，使．则下列作图痕迹中，一定符合要求的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A．图中，不一定，不一定得出，故该选项不符合题意， B．图中点在的垂直平分线上，，不一定得出，故该选项不符合题意， C．图中点在的垂直平分线上，，，故该选项符合题意， D．图中是的角平分线，不一定得出，故该选项不符合题意． 7. 有一张三角形纸片，已知，按如下两种方案用剪刀沿着箭头方向剪开，若方案中两个阴影部分的三角形一定全等打“√”，若不一定全等打“×”．则下列判断正确的是（ ） A. 方案一：√、方案二：√ B. 方案一：×、方案二：× C. 方案一：×、方案二：√ D. 方案一：√、方案二：× 【答案】D 【解析】 【分析】对于方案一，可以运用“角边角”的判定定理证明两个阴影部分的三角形全等；对于方案二，只有当点N是中点时，两个阴影部分的三角形才能全等． 【详解】解：如图，方案一： ∵，，， ∴． 又∵，， ∴在与中， ， ∴， 即方案一正确； 方案二： 只有当点N是中点时，两个阴影部分的三角形才能全等， ∴方案二中两个阴影部分的三角形不一定全等． 8. 如图所示为某新款茶吧机，开机加热时每分钟上升，加热到，停止加热，水温开始下降，此时水温与通电时间成反比例关系．当水温降至时，饮水机再自动加热，若水温在时接通电源，水温与通电时间之间的关系如图所示，则下列说法中错误的是（ ） A. 水温从加热到，需要 B. 水温下降过程中，与的函数关系式是 C. 上午点接通电源，可以保证当天水温为 D. 在一个加热周期内水温不低于的时间为 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，熟练掌握待定系数法确定函数解析式、灵活运用所学知识解决问题是解题的关键． 因为开机加热时，饮水机每分钟上升，所以开机加热到，所用时间为，故A不合题意；利用点，可以求出反比例函数解析式，故B不符合题意；令，则，求出每20分钟，饮水机重新加热，则时间为时，可以得到饮水机是第二次加热，把，代入到反比例函数中，求出y，即可得到此时水温，故C不符合题意；先求出加热时间段时，水温达到所用的时间，再由反比例函数，可以得到冷却时间时，水温为时所对应的时间，两个时间相减，即为水温不低于时的时间，故D符合题意． 【详解】解：∵开机加热时每分钟上升， ∴水温从加热到，所需时间为：，故A选项说法正确，不合题意； 由题可得，在反比例函数图象上， 设反比例函数解析式为， 代入点可得，， ∴水温下降过程中，y与x的函数关系式是，故B选项说法正确，不合题意； 在中，令，则， 即：每20分钟，饮水机重新加热， ∴上午10点接通电源，当天时饮水机是第二次加热， 把代入，得：， 即：10:30时的水温为，故C选项说法正确，不合题意； 当水温升至时，用时， 当水温降至时，，解得：， ∴在一个加热周期内水温不低于的时间为，故D选项说法错误，符合题意； 故选：D． 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 9. 若，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了立方根的性质，准确分析计算是解题的关键．根据立方根的定义计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得：． 故答案为：． 10. 单项式的次数是 _____． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查了单项式次数的定义，“单项式中所有字母的指数和叫做单项式的次数”，根据单项式的次数定义填空即可． 【详解】解：单项式的次数是． 故答案为：3． 11. 若抛物线与轴无交点，则的值是________．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】由抛物线与轴无交点，可知方程无实数根，结合一元二次方程根的判别式，即可求解． 【详解】解：∵抛物线与轴无交点， ∴方程无实数根， ∴， 解得，， 实数的值可以是（答案不唯一）． 12. 若正多边形的半径与边心距的夹角为，则该正多边形的边数为______． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查了正多边形与圆．根据正多边形的半径与边心距的夹角为，求得正多边形的中心角为，于是得到结论． 【详解】解：∵正多边形的半径与边心距的夹角为， ∴正多边形的中心角为， ∴该正多边形的边数为， 故答案为：9． 13. 如图，函数和的图象相交于点，则关于x的不等式的解集为__________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，关键是求出A点坐标以及利用数形结合的思想．先利用待定系数法求出A点坐标，结合图象写出不等式的解集即可． 【详解】解：将点代入得，， 解得，， 所以点A的坐标为， 由图可知，不等式的解集为． 故答案为：． 14. 如图，在四边形 ABCD 中，AD ∥ BC ，∠BCD=90° ，∠ABC=45° ，AD=CD ，CE 平分 ∠ ACB 交 AB 于点 E ，在 BC 上截取 BF=AE ，连接 AF 交 CE 于点 G ，连接 DG 交 AC 于点 H ，过点 A 作 AN ⊥ BC ，垂足为 N ， AN 交 CE 于点 M ．则下列结论：① CM=AF ； ② CE ⊥ AF ； ③△ ABF ∽△ DAH ；④ GD 平分 ∠ AGC ，其中正确的序号是 ________ ． 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】结论 ① 正确，证明 △ ACM ≌△ ABF 即可；结论 ② 正确，由 △ ACM ≌△ ABF 得出 ∠ 2= ∠ 4 ，进而得 ∠ 4+∠ 6=90° ，即 CE ⊥ AF ，结论 ③ 正确，证法一：利用四点共圆；证法二：利用三角形全等；结论 ④ 正确，证法一：利用四点共圆，证法二：利用三角形全等． 【详解】解： ⑴ 结论 ① 正确．理由如下： ∵∠1=∠2 ， ∠1+∠CMN=90° ，∠2+∠6=90° ， ∴∠6=∠CMN ， 又 ∵∠5=∠CMN ， ∴∠5= ∠6 ， ∴ AM=AE=BF ． ∵∠BCD=90° ，AN⊥BC，垂足为 N， ∴AN∥CD, ∵AD∥BC∴四边形ADCN是平行四边形， ∵∠BCD=90°，AD=CD ∴ ADCN 为正方形，△ ABC为等腰直角三角形， ∴ AB=AC ． 在△ ACM与△ ABF 中， ， ∴△ACM ≌△ABF（SAS）， ∴ CM=AF ； ⑵ 结论②正确．理由如下： ∵△ACM ≌△ABF ，                                  ∴∠2=∠4 ， ∵∠2+∠6=90° ， ∴∠4+∠6=90° ， ∴ CE⊥AF ； ⑶ 结论③正确．理由如下： 证法一： ∵CE⊥AF ， ∴∠ADC+∠AGC=180° ， ∴ A 、D 、C 、G 四点共圆， ∴∠7=∠2 ， ∵∠2=∠4 ， ∴∠7=∠4 ， 又 ∵∠DAH=∠B=45° ， ∴△ABF∽△DAH ； 证法二： ∵ CE⊥AF， ∠1=∠2 ， ∴△ACF为等腰三角形，AC=CF，点G为AF中点． 在 Rt△ANF中，点G为斜边AF中点， ∴ NG=AG ， ∴∠MNG=∠3 ， ∴∠DAG=∠CNG ． 在△ADG与△NCG 中， ， ∴△ADG≌△NCG ( SAS)， ∴∠7=∠1 ， 又 ∵∠1=∠2=∠4 ， ∴∠7=∠4 ， 又 ∵∠DAH=∠B=45° ， ∴△ABF∽△DAH ； ⑷ 结论④正确．理由如下： 证法一： ∵ A、D、C、G 四点共圆， ∴∠DGC=∠DAC=45° ， ∠DGA=∠DCA=45° ， ∴∠DGC=∠DGA ，即GD平分∠AGC ． 证法二： ∵ AM=AE ，CE⊥AF ， ∴∠3=∠4 ，又 ∠2=∠4 ， ∴∠3=∠2 则 ∠CGN=180°-∠ 1- 90°-∠MNG=180°﹣∠1﹣90°﹣∠3=90°-∠1-∠2=45° ． ∵△ADG ≌△NCG ， ∴∠DGA=∠CGN=45°=∠AGC ， ∴ GD平分∠AGC ． 综上所述，正确的结论是：①②③④，共 4 个． 故答案为： ①②③④ 【点睛】本题是几何综合题,考查了相似三角形的判定、全等三角形的判定与性质、正方形、等腰直角三角形、直角梯形、等腰三角形等知识点，有一定的难度.解答中四点共圆的证法，仅供参考. 三、解答题（共10道题，共78分） 15. 先化简，再求值：，其中． 【答案】 ， 【解析】 【分析】本题考查分式的化简与求值，解题关键是利用平方差公式和完全平方公式分解因式，再约分，最后代入求值．先对分子、分母因式分解，约去公因式，再将代入化简后的式子计算． 【详解】解： ， 当时， 原式． 16. 2026年央视春晚推出了三个极具科技感的热门节目：武术《武》、歌曲《智造未来》、歌咏创意秀《贺花神》（分别记为：A、B、C）．若小丽从三个节目中随机选择两个节目回看，请用列表法或画树状图的方法，求她选择《智造未来》和《贺花神》的概率， 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了列表法或画树状图求概率．通过列表法罗列出所有等可能的情况，再从中找出符合条件的情况数，最后利用概率公式求解． 【详解】解：依题意，列表如下： A B C A B C 由上表可知，共有6种等可能的结果，其中小丽选择《智造未来》和《贺花神》的结果有2种， ∴小丽选择《智造未来》和《贺花神》的概率． 17. 用计算机处理数据，为了防止数据输入出错，某研究室安排两位程序操作员各输入一遍，比较两人的输入是否一致，两人各输入2640个数据，已知甲的输入速度是乙的2倍，结果甲比乙少用2小时输完，这两个操作员每分钟各能输入多少个数据？ 【答案】甲每分钟输22个数据，乙每分钟输11个数据． 【解析】 【分析】设乙每小时输x个数据，根据题意列出分式方程，求解并检验，然后用各自的数据除以60即可得出答案． 【详解】解：设乙每小时输x个数据，根据题意得： ， 解得x＝660， 经检验x＝660是原方程的解． ∴甲每小时输1320个数据． 1320÷60＝22（个）， 660÷60＝11（个）． 答：甲每分钟输22个数据，乙每分钟输11个数据． 【点睛】本题主要考查分式方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键． 18. 如图，的对角线相交于点O，且，，，求证：是菱形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】利用勾股定理逆定理，证明，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形证明即可． 本题考查了平行四边形的性质，勾股定理的逆定理，菱形的判定，熟练掌握定理和判定是解题的关键． 【详解】证明：∵四边形为平行四边形，，， ∴，． ∵， 故， ∴为直角三角形，且． ∴． ∴四边形是菱形． 19. 如图，在每个小正方形的边长为的网格中，的顶点，，均为格点，仅用无刻度的直尺在给定网格图中按要求完成作图，保留作图痕迹，不写作法． （1）在图1上，利用网格图，作出该圆的直径； （2）在图2上，过点作该圆的切线； （3）在图3的圆上作一点，使得． 【答案】（1）图见解析 （2）图见解析 （3）图见解析 【解析】 【分析】（1）根据度的圆周角所对的弦是直径，即可求解； （2）结合勾股定理和勾股定理的逆定理得出，即可求解； （3）根据平行线的性质得出，结合在同圆中，等弧所对的圆周角是圆心角的一半和同圆中，相等的圆心角所对的弧相等，即可求解． 【小问1详解】 如图：线段，即为所求； 作法：找出经过点且与垂直的线，确定该直线与圆的交点为点，连接，即为所求． 理由如下： ∵， ∴是该圆的直径． 【小问2详解】 如图：切线，即为所求； 作法：在线段的左侧确定一点，连接，，使得，则即为所求． 理由如下：根据勾股定理可得，，，， ∵， 即， 故是直角三角形，， ∵为直径， 故与圆相切． 【小问3详解】 如图，点即为所求； 作法：在圆内确定一点，使得，延长与圆交于点，点即为所求． 理由如下：∵， ∴， ∴． 20. 某校举办“学生讲堂”，八年级为了选出一位同学代表年级参赛，先后进行了笔试和面试，在笔试中，甲、乙、丙三位同学脱颖而出，他们的笔试成绩（满分分）分别是分，分，分在面试中，十位评委对甲、乙、丙三位同学的表现进行打分，每位评委最高打分，面试成绩等于十位评委打分之和对甲、乙、丙三位同学的面试数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息． 信息三：乙、丙三位同学而试情况统计表 同学 面试成绩 评委打分的中位数 评委打分的众数 甲 乙 丙 根据以上信息，回答下列问题： （1）填空：______分，______分，______分； （2）在面试中，如果评委给某位同学的打分的方差越小，则认为评委对该同学面试的评价越一致根据已知信息判断：乙、丙两位同学中，评委对______的评价更一致（填“乙”或“丙”）； （3）按笔试成绩占，面试成绩占确定甲、乙、丙三位同学的综合成绩，综合成绩最高者将代表年级参赛，请你通过计算确定参赛同学． 【答案】（1），， （2）丙 （3）乙 【解析】 【分析】本题考查折线统计图，条形统计图，中位数、众数、方差以及加权平均数，理解中位数、方差的意义和计算方法是正确解答的前提． 根据条形统计图给出的数据和中位数以及众数的定义可得答案； 根据方差的意义解答即可； 根据加权平均数公式计算即可． 【小问1详解】 解：甲的面试成绩是：分，即； 由折线统计图可知乙的得分分的最多，故众数； 把丙的成绩从小到大排列为：，，，，，，，，，， 则中位数； 故答案为：，，； 【小问2详解】 解：由题意可知，乙的数据在和之间波动，丙的数据在和之间波动，所以评委对丙同学的评价更一致； 故答案为：丙； 【小问3详解】 解：甲的综合成绩为：分， 乙的综合成绩为：分， 丙的综合成绩为：分， ， 所以综合成绩最高的是乙． 故答案为：乙． 21. 如图是小明做“探究拉力与斜面高度的关系”的实验装置，一个高度可自动调节的斜面上，斜面的初始高度为，实验时他用弹簧测力计拉着同一物块沿粗糙程度相同的斜面向上做匀速直线运动．实验的部分数据如下： 实验次数 斜面的倾斜程度 物块重量/ 斜面高度 沿斜面拉力 较缓 较陡 最陡 （1）根据上面数据分析，在弹性范围内，拉力与高度的变化规律是_______函数，斜坡越陡，越_______（选填“省力”或“费力”）． （2）求拉力与高度之间的函数解析式； （3）若弹簧测力计的最大量程是，求装置高度的取值范围． 【答案】（1）一次函数，费力 （2）与的函数解析式为 （3）装置高度h的取值范围为 【解析】 【分析】（）根据表格数据即可判断求解； （）利用待定系数法解答即可求解； （）根据题意可得，即得，解不等式即可求解； 本题考查了一次函数的应用，根据题意，判断出于的函数关系并求出它们的函数解析式是解题的关键． 【小问1详解】 解：由表格可知，当斜面高度由增加到时，拉力增加了， 当斜面高度由增加到时，拉力增加了， ∴拉力是高度的一次函数， 由表格可知，斜坡越陡，越费力， 故答案为：一次，费力； 【小问2详解】 解：设，把和代入得， ， 解得， ∴； 【小问3详解】 解：∵弹簧测力计的最大量程是， ∴， ∴， 解得， 又∵斜面的初始高度为， ∴装置高度的取值范围． 22. 【问题呈现】小明在数学兴趣小组活动时遇到一个几何问题：如图①，在正方形中，点E、F分别在边上，且，试探究线段长度的最小值． 【问题分析】小明通过证明三角形全等，将动线段交点问题转化为单动点绕定点旋转问题，再通过定角或定长发现这个动点的运动路径，进而解决上述几何问题． 【问题解决】请结合图①，在【问题呈现】的条件下，完成下列问题： （1）证明： ①； ②直接写出的大小为________度． （2）如图②，取的中点O，连结，线段长度为________，线段长度的最小值为________． （3）【方法应用】如图③，在正方形中，对角线，点E在边上，点F在边上，且始终保持，连结，过点C作交直线于点Q，线段的最小值为________． 【答案】（1）①见解析；② 90 （2）4， （3） 【解析】 【分析】（1）①利用证明，即可得出结论；②根据，，可得，进而可得； （2）斜边上的中线求出的长，勾股定理求出的长，根据进行求解即可； （3）设和交于点O，取的中点P，连接，过点P作，证明，得到，根据斜边上的中线得出，勾股定理得出的长，根据即可求解． 【小问1详解】 ①证明：四边形是正方形， ，， ， ， 在和中， ， ， ； ②解：，， ， ； 【小问2详解】 解：由（1）知， O为的中点， ， 在中，， ， ，当O，C，P三点共线时等号成立， 线段长度的最小值为； 【小问3详解】 解：设和交于点O，取的中点P，连接，过点P作， 四边形是正方形， ，， ， ， ， 又，， ， ， ，P为的中点， ， ，， ， ， ， ， ，当D，Q，P三点共线时等号成立， 线段长度的最小值为． 23. 如图，为的直径，，点是上且位于上方一点，，点是上一动点，且不与、、重合，过点作的平行线． （1）求的长度； （2）当点在上方且直线与相切时，求的长；（结果保留） （3）当时，求扇形的面积；（结果保留） （4）当直线与相交时，设另一个交点为，连接、，当时，直接写出线段的长． 【答案】（1） （2） （3）或 （4）或 【解析】 【分析】（1）根据为的直径得出，根据圆周角定理得出，利用的三角函数即可得答案； （2）根据切线的性质得出，根据垂径定理得出，利用弧长公式求解即可； （3）根据可得直线是的垂直平分线，分点在上方和下方两种情况，利用平行线的性质及扇形面积公式分别求解即可； （4）分点在上方和下方两种情况，连接、，作过点作的垂线，利用勾股定理求出，根据含角的直角三角形的性质得出，利用的三角函数分别求解即可； 【小问1详解】 解：如图，连接， ∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 【小问2详解】 解：如图，连接， ∵， ∴， ∵点在上方且直线与相切， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：如图，连接， ∵，， ∴是的垂直平分线，即直线是的垂直平分线， ①当点在上方时， ∵，， ∴， ∴， ∴； ②当点在下方时， ∵，， ∴， ∴； 综上所述：扇形的面积为或． 【小问4详解】 解：如图，当点在上方时，连接、，过点作，交延长线于， ∵为的直径，， ∴，， ∵和都是所对的圆周角， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴，即， ∴， ∴； 如图，当点在下方时，连接、，过点作于， 同理可得，，，，， ∴， ∴，即， 解得：， ∴； 综上所述：的长为或． 24. 在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线经过、．已知点在抛物线上，横坐标为，将向右平移两个单位得到点，点坐标为，作点关于点对称点为点，点关于点对称点为点，当点、、不在同一条直线上，以、为边作． （1）求该抛物线对应的函数表达式； （2）求证：； （3）若线段被轴分成两部分，求的值； （4）点坐标为，连结、，当，直接写出的取值范围．（这里、、均是大于且小于的角） 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）或 （4）或 【解析】 【分析】（1）使用待定系数法求解即可； （2）由平移可知，，由中心对称的性质可得，结合平行四边形的性质可得； （3）设线段与轴的交点为点，根据题意可得点，点，分两类讨论，当时，作轴于点，作轴于点，容易证明，则，从而得到，解方程可得（同侧舍去）；当时，同理可得，解得； （4）连接，将向右平移至处，由平移的性质可得，，，则，结合可得，因此射线在内部，即点、在直线的同一侧，且点、在直线的同一侧．根据题意可得点，，，，使用待定系数法求出直线的函数解析式为，分别将和代入解析式求出和．根据点、在直线的同一侧可得，，整理得，解得或．同理，求出直线的解析式，根据点、在直线的同一侧．可得或，选取公共部分即为的取值范围． 【小问1详解】 解：将点，代入，得， ， 解得， ∴抛物线的函数表达式为； 【小问2详解】 证明：∵点由点向右平移两个单位得到， ∴， ∵点与点关于点对称，点与点关于点对称， ∴线段与线段关于点对称， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴； 【小问3详解】 解：设线段与轴的交点为点， ①当时，如图，作轴于点，作轴于点， ∵点在抛物线上，横坐标为， ∴点的坐标为， ∵点与点关于点对称， ∴点的坐标为， ∵轴，轴， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，解得或， ∵点与点在轴两侧， ∴， ∴或， ∴； ②当时，如图，作轴于点，作轴于点， 同理①可得，， ∴， ∴， 解得或， ∵或， ∴， 综上所述，或； 【小问4详解】 解：如图，连接，将向右平移至处， 由平移的性质可得，，，，， ∴， ∵， ∴， ∴射线在内部， ∴点、在直线的同一侧，且点、在直线的同一侧， 由（2）可得，点，点， ∵点由点向右平移两个单位得到， ∴点， ∵点与点关于点对称， ∴点， ∴轴， ∵，且， 又∵点， ∴点， 当或时，、、三点共线，与题意不符；当时，、、三点共线，与题意不符， ∴，，， 设直线的函数解析式为， 将点，代入，得， ， 解得， ∴直线的函数解析式为， 将代入，得； 将代入，得； ∵点、在直线的同一侧， ∴ 整理，得， 两边同乘以，得， 当时，，，， ∴，符合题意； 当时，，，， ∴，不符合题意； 当时，，，， ∴，符合题意； 当时，，，， ∴，不符合题意； 综上，或， 设直线的函数解析式为， 将点，代入，得， ， 解得， ∴直线的函数解析式为， 将代入，得； 将代入，得； ∵点、在直线的同一侧， ∴ 整理，得， 解得或， 综上所述，的取值范围为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学大练习 一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分） 1. 若使算式的运算结果最小，则□表示的运算符号是（　　） A. + B. － C. × D. ÷ 2. 如图，央视2026马年春晚主标识是由四马拾级而上构成，象征国人齐头并进、步步登高．从数学角度观察，四马之间存在的图形变换关系为（ ） A. 平移 B. 旋转 C. 轴对称 D. 中心对称 3. 近似数表示精确到（ ） A. 千位 B. 万位 C. 十分位 D. 百分位 4. 不等式组的解集在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在点F处，看建筑物顶端D的仰角为32°，向前走了15米到达点E即米，在点E处看点D的仰角为64°，则的长用三角函数表示为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，．仅用直尺和圆规在上确定点，使．则下列作图痕迹中，一定符合要求的是（ ） A. B. C. D. 7. 有一张三角形纸片，已知，按如下两种方案用剪刀沿着箭头方向剪开，若方案中两个阴影部分的三角形一定全等打“√”，若不一定全等打“×”．则下列判断正确的是（ ） A. 方案一：√、方案二：√ B. 方案一：×、方案二：× C. 方案一：×、方案二：√ D. 方案一：√、方案二：× 8. 如图所示为某新款茶吧机，开机加热时每分钟上升，加热到，停止加热，水温开始下降，此时水温与通电时间成反比例关系．当水温降至时，饮水机再自动加热，若水温在时接通电源，水温与通电时间之间的关系如图所示，则下列说法中错误的是（ ） A. 水温从加热到，需要 B. 水温下降过程中，与的函数关系式是 C. 上午点接通电源，可以保证当天水温为 D. 在一个加热周期内水温不低于的时间为 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 9. 若，则__________． 10. 单项式的次数是 _____． 11. 若抛物线与轴无交点，则的值是________．（写出一个即可） 12. 若正多边形的半径与边心距的夹角为，则该正多边形的边数为______． 13. 如图，函数和的图象相交于点，则关于x的不等式的解集为__________． 14. 如图，在四边形 ABCD 中，AD ∥ BC ，∠BCD=90° ，∠ABC=45° ，AD=CD ，CE 平分 ∠ ACB 交 AB 于点 E ，在 BC 上截取 BF=AE ，连接 AF 交 CE 于点 G ，连接 DG 交 AC 于点 H ，过点 A 作 AN ⊥ BC ，垂足为 N ， AN 交 CE 于点 M ．则下列结论：① CM=AF ； ② CE ⊥ AF ； ③△ ABF ∽△ DAH ；④ GD 平分 ∠ AGC ，其中正确的序号是 ________ ． 三、解答题（共10道题，共78分） 15. 先化简，再求值：，其中． 16. 2026年央视春晚推出了三个极具科技感的热门节目：武术《武》、歌曲《智造未来》、歌咏创意秀《贺花神》（分别记为：A、B、C）．若小丽从三个节目中随机选择两个节目回看，请用列表法或画树状图的方法，求她选择《智造未来》和《贺花神》的概率， 17. 用计算机处理数据，为了防止数据输入出错，某研究室安排两位程序操作员各输入一遍，比较两人的输入是否一致，两人各输入2640个数据，已知甲的输入速度是乙的2倍，结果甲比乙少用2小时输完，这两个操作员每分钟各能输入多少个数据？ 18. 如图，的对角线相交于点O，且，，，求证：是菱形． 19. 如图，在每个小正方形的边长为的网格中，的顶点，，均为格点，仅用无刻度的直尺在给定网格图中按要求完成作图，保留作图痕迹，不写作法． （1）在图1上，利用网格图，作出该圆的直径； （2）在图2上，过点作该圆的切线； （3）在图3的圆上作一点，使得． 20. 某校举办“学生讲堂”，八年级为了选出一位同学代表年级参赛，先后进行了笔试和面试，在笔试中，甲、乙、丙三位同学脱颖而出，他们的笔试成绩（满分分）分别是分，分，分在面试中，十位评委对甲、乙、丙三位同学的表现进行打分，每位评委最高打分，面试成绩等于十位评委打分之和对甲、乙、丙三位同学的面试数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息． 信息三：乙、丙三位同学而试情况统计表 同学 面试成绩 评委打分的中位数 评委打分的众数 甲 乙 丙 根据以上信息，回答下列问题： （1）填空：______分，______分，______分； （2）在面试中，如果评委给某位同学的打分的方差越小，则认为评委对该同学面试的评价越一致根据已知信息判断：乙、丙两位同学中，评委对______的评价更一致（填“乙”或“丙”）； （3）按笔试成绩占，面试成绩占确定甲、乙、丙三位同学的综合成绩，综合成绩最高者将代表年级参赛，请你通过计算确定参赛同学． 21. 如图是小明做“探究拉力与斜面高度的关系”的实验装置，一个高度可自动调节的斜面上，斜面的初始高度为，实验时他用弹簧测力计拉着同一物块沿粗糙程度相同的斜面向上做匀速直线运动．实验的部分数据如下： 实验次数 斜面的倾斜程度 物块重量/ 斜面高度 沿斜面拉力 较缓 较陡 最陡 （1）根据上面数据分析，在弹性范围内，拉力与高度的变化规律是_______函数，斜坡越陡，越_______（选填“省力”或“费力”）． （2）求拉力与高度之间的函数解析式； （3）若弹簧测力计的最大量程是，求装置高度的取值范围． 22. 【问题呈现】小明在数学兴趣小组活动时遇到一个几何问题：如图①，在正方形中，点E、F分别在边上，且，试探究线段长度的最小值． 【问题分析】小明通过证明三角形全等，将动线段交点问题转化为单动点绕定点旋转问题，再通过定角或定长发现这个动点的运动路径，进而解决上述几何问题． 【问题解决】请结合图①，在【问题呈现】的条件下，完成下列问题： （1）证明： ①； ②直接写出的大小为________度． （2）如图②，取的中点O，连结，线段长度为________，线段长度的最小值为________． （3）【方法应用】如图③，在正方形中，对角线，点E在边上，点F在边上，且始终保持，连结，过点C作交直线于点Q，线段的最小值为________． 23. 如图，为的直径，，点是上且位于上方一点，，点是上一动点，且不与、、重合，过点作的平行线． （1）求的长度； （2）当点在上方且直线与相切时，求的长；（结果保留） （3）当时，求扇形的面积；（结果保留） （4）当直线与相交时，设另一个交点为，连接、，当时，直接写出线段的长． 24. 在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线经过、．已知点在抛物线上，横坐标为，将向右平移两个单位得到点，点坐标为，作点关于点对称点为点，点关于点对称点为点，当点、、不在同一条直线上，以、为边作． （1）求该抛物线对应的函数表达式； （2）求证：； （3）若线段被轴分成两部分，求的值； （4）点坐标为，连结、，当，直接写出的取值范围．（这里、、均是大于且小于的角） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $