专题05立方根与实数期中复习讲义(11大题型+题型突破)2025-2026学年人教版七年级数学下册

专题05立方根与实数期中复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.理解立方根的概念，会用符号表示一个数的立方根，掌握立方根的性质。 2.了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应。 3.掌握实数的分类、大小比较及运算法则，理解实数运算和有理数运算的一致性。 4.明确平方根、算术平方根与立方根的区别与联系。 1.能熟练求一个数的立方根，会利用立方根的意义解简单方程。 2.能估算无理数的大小，确定无理数的整数部分与小数部分。 3.能进行实数的加、减、乘、除、乘方、开方混合运算。 4.能运用实数知识解决实际问题，提升数形结合与运算能力。 1.必拿分点： 立方根的概念辨析与计算、实数的分类与概念辨析（选择 / 填空）。 利用立方根解方程、实数与数轴的对应关系（填空 / 简答）。 2.提分关键： 无理数的估算、实数的混合运算（期中高频计算考点）。 平方根与立方根的综合应用、实数运算的实际问题（压轴小题）。 题型一 立方根的概念辨析 题型二 立方根的计算 题型三 立方根的规律探究 题型四 立方根的综合应用 题型五 无理数的概念与估算 题型六 实数的概念与分类 题型七 实数的核心性质 题型八 实数的混合运算 题型九 特殊定义下的实数运算 题型十 实数的实际应用 题型十一 实数运算的规律探究 解答题(8题) 知识点01:立方根的定义与性质 1. 定义 如果一个数 x 的立方等于 a（即 x3=a），那么这个数 x 叫做 a 的立方根（也叫三次方根）。 符号：记作 ，读作 “三次根号 a”。重点：根指数 3 绝对不能省略。 2. 性质 正数的立方根是正数； 负数的立方根是负数； 0 的立方根是 0（=0）； 任何实数都有唯一的立方根（与平方根不同，负数也有立方根）； 重要性质：=−（互为相反数的数的立方根也互为相反数） 知识点02:开立方 1.求一个数的立方根的运算叫作开立方。 2.开平方与开立方的区别 维度 开平方 (平方根) 开立方 (立方根) 根指数 2 (通常省略不写) 3 (绝对不能省) 被开方数 必须是非负数 (≥0) 可以是任意实数 (正、负、0) 结果个数 正数有 2 个 (互为相反数) 任何数只有 1 个 结果符号 一正一负 / 0 与原数同号 (正得正，负得负) 知识点03:立方根与平方根的区别 知识点04:无理数 定义：无限不循环小数叫做无理数。 常见类型： 1.开方开不尽的数：如 、、等； 2.含 π 的数：如 π、2π、π−1 等； 3.有规律但不循环的无限小数：如 0.1010010001⋯（相邻两个 1 之间 0 的个数依次加 1）。 知识点05:实数的定义与分类 定义：有理数和无理数统称为实数。 分类： 知识点06:实数与数轴 实数与数轴上的点是一一对应的：每一个实数都可以用数轴上唯一的点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示唯一的实数。 实数的大小比较： 数轴上右边的点表示的数总比左边的大； 正数 > 0 > 负数；两个负数比较，绝对值大的反而小。 知识点07:实数的相关概念 知识点08:实数的运算 1.运算种类：加、减、乘、除、乘方、开方。 2.运算顺序：先算乘方和开方，再算乘除，最后算加减；有括号的先算括号里面的；同级运算从左到右依次进行。 3.运算律： 加法交换律：a+b=b+a 加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c) 乘法交换律：ab=ba 乘法结合律：(ab)c=a(bc) 乘法分配律：a(b+c)=ab+ac 题型01:立方根的概念辨析 【典例】下列式子正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了立方根的定义，求一个数的平方根 ，求一个数的算术平方根． 逐一计算后判断即可． 【详解】A．，原式正确； B．，原式错误； C．，原式错误； D．，原式错误； 故选：A． 【跟踪专练1】我国著名数学家华罗庚在访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，希望求它的立方根．华罗庚脱口而出：39，其思考过程是：（1）由于59319大于10的立方，小于100的立方，所以它的立方根是一个两位数；（2）由于59319的个位上的数是9，从而它的立方根个位上的数是9；（3）如果划去59319后面的三位数319得到数59，而3的立方是27，4的立方是64，由此立方根的十位上的数是3，所以．请同学们根据以上思考过程，写出300763的立方根是________． 【答案】 【分析】本题考查了立方根的应用，理解题目中的思考过程是解题关键．仿照目中的思考过程推理即可． 【详解】解：（1）由于300763大于10的立方，小于100的立方，所以它的立方根是一个两位数； （2）由于300763的个位上的数是3，从而它的立方根个位上的数是7； （3）如果划去300763后面的三位数763得到数300，而6的立方是216，7的立方是343， 由此立方根的十位上的数是6，所以， 故答案为：． 【跟踪专练2】一个正数a的两个平方根是和，则的立方根为_______． 【答案】2 【分析】根据一个正数的平方根互为相反数，将和相加等于0，列出方程，解出b，再将b代入任意一个平方根中，进行平方运算求出这个正数a，将算出后，求立方根即可． 【详解】∵和是正数a的平方根， ∴， 解得 ， 将b代入， ∴正数 ， ∴， ∴的立方根为：， 故填：2． 【点睛】本题考查正数的平方根的性质，求一个数的立方根，解题关键是知道一个正数的两个平方根互为相反数． 【跟踪专练3】一般地，如果（n为正整数，且n＞1），那么x叫做a的n次方根，下列结论中正确的是（　　） A．16的4次方根是2 B．32的5次方根是±2 C．当n为奇数时，2的n次方根随n的增大而减小 D．当n为偶数时，2的n次方根有n个 【答案】C 【分析】根据新定义的意义计算判断即可． 【详解】解：∵16的4次方根是±2， ∴A选项的结论不正确； ∵32的5次方根是2， ∴B选项的结论不正确； ∵当n为奇数时，2的n次方根随n的增大而减小， ∴C选项的结论正确； ∵当n为偶数时，2的n次方根有2个， ∴D选项的结论不正确． 故选：C． 【点睛】本题考查了实数的新定义问题，正确理解新定义的意义是解题的关键． 题型02:立方根的计算 【典例】下列计算，错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查实数的混合运算，求一个数的立方根和算术平方根，根据立方根和算术平方根的定义，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，原计算错误，符合题意； B、，原计算正确，不符合题意； C、，原计算正确，不符合题意； D、，原计算正确，不符合题意； 故选：A． 【跟踪专练1】已知，则，则______． 【答案】 【分析】本题考查立方根的性质，根据被开方数的小数点每向左或向右移动3位，立方根的小数点向左或向右移动1位，进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴； 故答案为：． 【跟踪专练2】若，，则（   ） A．14.64 B．146.4 C．31.55 D．315.5 【答案】A 【分析】本题主要考查了求一个数的立方根， 通过观察已知数值与待求数值的关系，利用立方根的性质进行分解计算． 【详解】解： 因为，， 所以 故选：A． 【跟踪专练3】已知x没有平方根，且，则x的立方根为________． 【答案】 【分析】根据题意，去掉绝对值的值为27，在根据题意x没有平方根直接算出立方根即可． 【详解】解：∵去掉绝对值的值为27， ∴x=27， 又∵x没有平方根 ∴x=-27， ∴x的立方根为-3． 故答案为：-3． 【点睛】本题考查了绝对值的性质、平方根的性质和立方根的计算，解决此题的关键是不漏题目条件，掌握基本的计算即可． 题型03:立方根的规律探究 【典例】已知：，，，则__________. 【答案】 【分析】本题考查立方根的估算．抓住是整数是解题关键． 将原式化为，据此即可求解． 【详解】解：∵ ∴ 故答案为： 【跟踪专练1】已知，，则（   ） A．7.937 B．79.37 C．17.100 D．171.00 【答案】A 【分析】本题考查了与立方根有关的规律探索，结合，则，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， 故选：A 【跟踪专练2】已知，，依据立方根运算规律得：______． 【答案】 【分析】本题考查了实数的运算与立方根，根据被开方数的小数点向左或向右移动三位，立方根的小数点向左或向右移动一位，求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练3】据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：某正整数的立方是59319，求这个正整数．华罗庚脱口而出：39． 华罗庚迅速求出立方根的过程如下： ①由，可以确定是两位数； ②由可知，的十位上的数字是3； ③考虑到1至9的立方中，只有9的立方的个位上的数字是9，所以确定的个位上的数字是9，所以． 请你根据上述步骤求出74088的立方根是___． 【答案】42 【分析】本题考查立方根，理解题干中的解题方法是解题的关键．根据题干中求立方根的方法和步骤，推理出相应的结果即可． 【详解】解：设74088的立方根是， ， ∴可以确定是两位数， ， ∴的十位数字是4， ∵至9的立方中，个位数字为8的只有2的立方， ∴确定的个位数字是2，即． 故答案为：42 ． 题型04:立方根的综合应用 【典例】已知的立方根是2，的算术平方根是4，则的平方根是___________． 【答案】 【分析】本题考查了立方根、平方根和算术平方根，先根据题意得出，，求出a、b的值，再计算的值，最后求其平方根即可． 【详解】∵的立方根是2，的算术平方根是4， ∴，， 解得， ∴， ∴的平方根是， 故答案为：． 【跟踪专练1】如图所示，有一个正方体集装箱，体积为，现准备将其改造（形状仍为正方体），以便盛放更多的货物，为使其体积达到，棱长应变为原来的（    ） A．倍 B．倍 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查立方根的应用，先根据立方根分别求出体积为的正方体的棱长和体积为的正方体的棱长，然后作除法即可得出结论．掌握立方根的意义是解题的关键． 【详解】解：∵体积为的正方体的棱长为：， 体积为的正方体的棱长为：， 又∵， ∴棱长应变为原来的倍． 故选：A． 【跟踪专练2】某计算器上的三个按键、、的功能分别是：将屏幕显示的数变成它的算术平方根；将屏幕显示的数变成它的倒数；将屏幕显示的数变成它的平方．小明输入一个数x后，依次按照如下图所示的三步循环重复按键，若第2021次按键后，显示的结果是4，则输入的数x是______． 【答案】 【分析】根据题意分别计算出第1、2、3、4、5、6步显示结果，从而得出数字的循环规律，利用周期规律求解可得． 【详解】解：由题意知第1步结果为x2， 第2步结果为， 第3步结果为=， 第4步结果为， 第5步结果为x2， 第6步计算结果为x， 第7步计算结果为x2， …… ∴运算的结果以x2，，，，x2，x六个数为周期循环， ∵2021÷6=336……5， ∴第2021步之后显示的结果为4，即x2=4， ∴输入的数x是±2， 故答案为：±2． 【点睛】本题考查了计算器，通过列举发现：答案按照x2，，，，x2，x六个数循环，这是解题的关键． 【跟踪专练3】已知的算术平方根是，的立方根是，的平方根是，的立方根是，则和分别是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用算术平方根和平方根，立方根的性质，可得到的值，由此可得到与和与的关系 【详解】解：∵的算术平方根是，的立方根是，的平方根是，的立方根是， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了算术平方根和平方根，立方根的性质，得出与和与的关系是解题的关键． 题型05:无理数的概念与估算 【典例】在实数，，，，（相邻两个1之间依次多个0）中，无理数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】初中范围内常见的无理数有三类：①类；②开方开不尽的数，如，等；③虽有规律但却是无限不循环的小数，如（两个1之间依次增加1个0），（两个2之间依次增加1个1）等，据此可得答案． 【详解】解：， 由无理数的定义可知，在实数，，，，（相邻两个1之间依次多个0）中，无理数有，，（相邻两个1之间依次多个0），共3个． 【跟踪专练1】比较大小关系：______（填“”或“”或“”）． 【答案】 【分析】此题主要考查了实数大小的比较，无理数的大小估算，根据实数的大小的比较方法即可求解，掌握实数的大小的比较方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练2】请写出一个大于而小于的无理数______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了无理数的定义和实数的大小比较，能熟记无理数的定义的内容是解此题的关键．本题是一道开放型的题目，答案不唯一，根据无理数的定义和已知写出一个即可． 【详解】解：大于而小于，即 符合题意的有：， 故答案为：（答案不唯一）． 【跟踪专练3】对于实数，我们规定：用表示不小于的最小整数．例如：，．现在对72进行如下操作：，即对72只需进行3次操作就变为2．类比上述操作，若对正整数只需进行3次操作就变为2，则的最大值为______． 【答案】256 【分析】本题主要考查了新定义运算，数字规律探索，无理数的估算，从后往前逆推操作过程，根据定义 表示不小于的最小整数，结合不等式关系确定每步操作前数值的最大可能值，从而得到的最大值 【详解】解：设第三次操作前的数值为，由，得，平方得，取 时最大， 设第二次操作前的数值为，由，得，平方得，取 ， 设第一次操作前的数值为，由得，平方得，故 最大值为， 验证：对，第一次操作，第二次操作，第三次操作 ，恰好三次操作后变为2． 故答案为：256． 题型06:实数的概念与分类 【典例】有下列说法：①无理数是无限小数，无限小数是无理数；②无理数包括正无理数、和负无理数；③带根号的数都是无理数；④无理数是含有根号且被开方数不能被开尽的数；⑤是一个分数．其中正确的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】根据无理数、分数的概念判断． 【详解】解：无限不循环小数是无理数， 错误． 是有理数， 错误． 是有理数， 错误． 也是无理数，不含根号， 错误． 是一个无理数，不是分数， 错误． 故选：． 【点睛】本题考查实数的概念，掌握无理数是无限不循环小数是求解本题的关键． 【跟踪专练1】下列各数中：，，，0，，，，，，，0.1212212221…（相邻两个1之间2的个数逐次加1）．无理数的个数有__________个． 【答案】4 【分析】本题考查了无理数的概念，立方根与算术平方根，无限不循环小数是无理数，初中范围内涉及到的无理数有三种：开方开不尽的数，如；特定意义的数，如；特定结构的数，如．先化简，再根据无理数的概念逐一判断，即可得到答案．． 【详解】解：是分数，不是无理数，不符合题意； 是无理数，符合题意； ，是无理数，符合题意； 0是整数，不是无理数，不符合题意； 是整数，不是无理数，不符合题意； 是小数，不是无理数，不符合题意； 是小数，不是无理数，不符合题意； 是整数，不是无理数，不符合题意； 是整数，不是无理数，不符合题意； ，是无理数，符合题意； 0.1212212221…（相邻两个1之间2的个数逐次加1）是无理数，符合题意； 故无理数的个数有4个， 故答案为：4． 【跟踪专练2】有一个数值转换器，原理如下：若把实数a代入数值转换器，恰好经过4次代入数值的程序运算，最终输出的数值是，则______． 【答案】256 【分析】根据算术平方根的定义、有理数和无理数的定义，把第4次的程序运算输出的数值代入计算即可． 【详解】解：∵第4次的程序运算输出的数值是所代入的数值为2， 第3次的程序运算输出的数值是2所代入的数值为， 第2次的程序运算输出的数值是4所代入的数值为， 第1次的程序运算输出的数值是16所代入的数值为， ∴符合题意， 故答案为：256． 【点睛】本题考查算术平方根的定义、有理数和无理数的定义，熟练掌握算术平方根的定义、有理数和无理数的定义是解题的关键． 【跟踪专练3】下列说法正确的有（    ） ①分数都是有理数； ②无理数的平方一定是有理数； ③任何无理数都是无限小数； ④直线a，b，c中，若，，则； ⑤过一点有且只有一条直线与已知直线平行． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查有理数的分类，无理数，实数的运算，平行公理及其推论，根据相关知识点，逐一进行判断即可． 【详解】解：分数都是有理数；故①说法正确； 无理数的平方不一定是有理数；如，故②说法错误； 任何无理数都是无限小数；故③说法正确； 直线a，b，c中，若，，则；故④说法正确； 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；故⑤说法错误； 故选C． 题型07:实数的核心性质 【典例】实数的相反数是（   ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查实数的意义，相反数的意义，根据相反数的意义进行解答即可． 【详解】解：实数的相反数是， 故选：C． 【跟踪专练1】如图，正方形的面积为7，顶点在数轴上表示的数为1，若点在数轴上（点在点的左侧），且，则点所表示的数为 __________ 【答案】 【分析】本题考查了实数与数轴，根据正方形的面积求出正方形的边长为是解题的关键． 根据正方形的面积求出正方形的边长为，得到，即可得到点E表示的数为． 【详解】解：正方形的面积为7， 正方形的边长为， ， 点表示的数为． 故答案为：． 【跟踪专练2】比较大小：_____；_____；_____．（填“”、“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查了实数的大小比较，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据实数的大小比较方法解答即可． 【详解】解：， ； ∵， ， ； ∵， ， ； 故答案为：，，． 【跟踪专练3】实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查实数与数轴，绝对值，算术平方根． 先根据数轴推出，，再化简绝对值，求算术平方根，合并同类项即可． 【详解】解：由图可知，，， ∴，， ∴， ∴， ∴化简的结果为． 故选：C． 题型08:实数的混合运算 【典例】若与互为相反数，则____． 【答案】 【分析】本题考查了非负数的性质，熟练掌握几个非负数的和为，则这几个非负数分别等于，并正确得出未知数的值是解题的关键．根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再计算即可． 【详解】解：和互为相反数， ， ，， ，， ． 故答案为：． 【跟踪专练1】若有理数a，b满足，则的平方根是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了实数的混合运算． 由于a和b是有理数，而是无理数，则方程中无理部分与有理部分必须分别为零，从而求出a和b的值，再计算的平方根即可． 【详解】解：∵a、b为有理数，为无理数，且， ∴，， 解得，， ∴， ∴的平方根为． 故选：C． 【跟踪专练2】如果的整数部分是a，小数部分是b，那么=______． 【答案】8 【分析】本题考查无理数的估算，夹逼法求出的范围，进而得到的值，再进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，． ∴． 故答案为：8． 【跟踪专练3】如图，通过画边长为1的正方形，就能准确的把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，则点表示的实数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查实数与数轴，实数的运算，根据题意，得到表示的数为2，进而得到，得到表示的数为，进而得到表示的数为，得到，进行求出表示的数即可． 【详解】解：由题意，得：， ∵， ∴表示的数为2， ∴， ∴表示的数为：， ∵， ∴表示的数为：， ∴， ∴表示的数为：； 故选：D． 题型09:特殊定义下的实数运算 【典例】小明是一个电脑爱好者，设计了一个程序如图，当输入的值是有理数64时，输出的值是（   ） A．8 B． C． D．2 【答案】C 【分析】本题考查程序流程图与实数的计算、算术平方根、立方根等知识点，理解流程图是解题的关键． 根据流程图进行计算，直至结果为无理数，即可输出结果． 【详解】解：按照流程依次输出：是有理数，是有理数；再次求算术平方根得是无理数，输出． 故选C． 【跟踪专练1】用※定义一种新运算：对于任意实数m和n，规定，如：，___________． 【答案】 【分析】本题属于新定义运算，根据定义新运算法则列式，然后先算乘方，再算减法． 【详解】解：， 故答案为：． 【跟踪专练2】如图是一个数值转换机示意图，当输入x的值为，则输出y的值为 ________________． 【答案】 【分析】本题考查算术平方根，无理数的含义，程序流程图，关键是掌握算术平方根的定义． 如果一个正数x的平方等于a，即，那么这个正数x叫做a的算术平方根，再代入计算即可求解． 【详解】解：输入x的值为时，的算术平方根是， 是有理数，再输入可得： 的算术平方根是， ∵， 则输出y的值是． 故答案为：． 【跟踪专练3】a是不为2的有理数，我们把称为a的“伴随数”，如3的“伴随数”是，-2的“伴随数”是，已知，是的“伴随数”，是的“伴随数”，是的“伴随数”，…，以此类推，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了数字类的规律探究，实数的运算等知识点，解题的关键在于根据题意推导出一般性规律． 根据所给“伴随数”的定义，依次求出，，…，发现规律即可解决问题，能通过计算发现从开始，这列数按4，，，重复出现是解题的关键． 【详解】解：由题意知， ， ， ， ， ．．．， 由此可知，这列数按4，，，重复出现， ， ． 故选：D． 【跟踪专练4】对于实数、，定义的含义为：当时，；当时，，如：．已知，，且和为两个连续整数，则的立方根值为(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查新定义下的实数运算、无理数的估算，求一个数的立方根；根据新定义求出a，b的范围，进而求得a、b值，然后再代入求出的值，再求立方根即可． 【详解】解：∵， ∴ 又∵，即 ∵和为两个连续整数， ∴ ∴ ∴的立方根值为， 故选：D． 题型10:实数的实际应用 【典例】某高速公路规定汽车的行驶速度不得超过千米/时，当发生交通事故时，交通警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆的行驶速度，所用的经验公式是，其中v表示车速（单位：千米/时，d表示刹车后车轮滑过的距离（单位：米），f表示摩擦系数．在一次交通事故中，经测量米，，请你通过计算判断汽车此时的行驶速度v______100千米/时．（填“”、“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了实数运算的应用，根据题意代入计算即可得出答案． 【详解】解：千米/时， ∴ 故答案为：>． 【跟踪专练1】如图，在一条不完整的数轴上，从左到右的点A、B、C把数轴分成①②③④四部分，点A、B、C对应的实数分别是a、b、c，若原点在第③部分，则下列结论：（1），（2），（3）（4），其中，正确的是（    ） A．（1）和（2） B．（3）和（4） C．（2）和（3） D．（1）和（4） 【答案】C 【分析】由点A、B、C在数轴上点的位置判断a、b、c的符号，按照运算法则进行判断即可 【详解】解：若原点在第③部分，则a＜0，b＜0，c＞0，a＜b＜0＜c， （1）∵a＜0，b＜0， ∴ 故（1）错误； （2）∵a＜0，b＜0， ∴ 故（2）正确； （3）∵a＜0，c＞0， ∴ 故（3）正确； （4）∵a＜b＜0， ∴ 故（4）错误； 故选：C 【点睛】此题考查了数轴、数轴上的点表示的数的规律、相关运算法则等知识，解决本题的关键是数形结合思想的灵活应用． 【跟踪专练2】如图1的瓶子中盛满水，如果将这个瓶子中的水全部倒入图2的杯子中，一共需要____个图2这样的杯子．（单位：）（温馨提示：） 【答案】13 【分析】本题考查了整式的混合运算，利用圆柱的体积公式表示出瓶子中大圆柱与小圆柱的体积，以及杯子的体积，即可得到结果. 【详解】解：瓶子中大圆柱的容积为， 瓶子中小圆柱容积， 杯子的容积为， 则所需杯子个数为， 则一共需要13个这样的杯子. 【跟踪专练3】已知表示取三个数中最小的数．例如：，当时，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了实数的大小比较，算术平方根及其最值问题，解此类题关键要注意分类思想的运用． 比较、、的大小，最小的值为，再求出的值即可． 【详解】解：由题意可知的取值范围是； 当时，， 此时， 解得， 符合题意； 当时， 此时， 不符合题意舍去； 综上所述：； 故选：B 题型11:实数运算的规律探究 【典例】观察下列各式：，，…，请你根据以上式子的规律，写出第n个式子：___________． 【答案】 【分析】根据式子中的基本规律，解答即可． 本题考查了二次根式的规律型问题，熟练掌握规律的探索方法是解题的关键． 【详解】解：由， ，…， 故第n个式子为． 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，通过画边长为1的正方形，就能准确的把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，如此继续，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了实数与数轴、估算无理数的大小以及探索规律，通过估算无理数的大小，找到图形变化规律是解题的关键．利用表示的数，根据实数与数轴的关系，逐一计算各点所对应的数，在计算1、，得出规律即可解决． 【详解】解：由题意可得表示的数是， ∵右侧最近的整数点为， ∴表示的数是2， ∴， ∴表示的数是，表示的数是3， ∴， 同理可得表示的数是，表示的数是4，， 表示的数是，表示的数是5，， 可知以，两个数一环出现， ∵， ∴， 故选：A． 【跟踪专练2】观察下列等式： …… 则的值为________． 【答案】/ 【分析】本题考查了数字的规律的探究，算术平方根．通过前三个式子找出其中的规律即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【跟踪专练3】我们已经学习了利用“夹逼法”估算的值，现在用． 表示距离（为正整数）最近的正整数例如：表示距离最近的正整数，；表示距离最近的正整数，；表示距离最近的正整数，利用这些发现得到以下结论： ； 时，的值有个； ； ； 当时，的值为． 以上结论中正确的结论有个（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据定义通过估算无理数的值，找到数字变化的规律，再用规律去解答题． 【详解】解：表示距离最近的正整数， ，所以正确； 当时，为，，，，，一共有个， 所以错误； ，，，，，，，，，，，， ， 所以正确； 由，，，，，，，，，，，；可得个，个，个，个， 所以； 故正确； ， ， 所以正确； 故选：C． 【点睛】本题考查了无理数的知识和发现规律并运用规律解题的方法，难度较大． 【解答题】 1．求下列各式中的的值： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查利用平方根和立方根解方程： （1）利用平方根的定义，解方程即可； （2）利用立方根的定义，解方程即可． 【详解】（1）解：， ， ， 解得； （2）解：， ， ， ． 2．李三同学遇到这样一道题目：“已知的平方根是，6是的算术平方根，求的立方根．”他费了很大的精力才做了出来，你能很快解决这个问题吗？请试一试！ 【答案】的立方根为，过程见解析 【分析】本题考查了算术平方根，平方根和立方根的综合，熟练掌握算术平方根，平方根和立方根的性质是解题的关键． 根据平方根及算术平方根的定义求得a，b的值，然后将其代入中计算后根据立方根的定义即可求得答案． 【详解】解：∵的平方根是，6是的算术平方根， ∴，， 解得：，， ∴， ∴的立方根为． 3．（1）填表： a 0.000008 0.008 8 8000 （2）观察上表，表中数a的小数点的移动与它的立方根的小数点的移动之间有何规律？请用语言叙述这个规律：______； （3）根据你发现的规律解答： ①已知，，，则介于哪两个整数之间？ ②已知，则______； ③用铁皮制作一个封闭的正方体，它的体积是1.843立方米，问需要多大面积的铁皮？（结果精确到0.01平方米） 【答案】（1）0.02，0.2，2，20；（2）规律：数a的小数点每向右或向左移动三位，它的立方根的小数点就相应地向右或向左移动一位；（3）①12和13之间；②12.26；③需要大约9.02平方米的铁皮 【分析】本题主要考查立方根的估算与运用，理解表格信息，找出规律是解立方根估算的关键，掌握体积的计算公式，立方根的估算方法是解实际问题的关键． （1）利用立方根的定义填表即可； （2）根据表格信息中小数点的移动情况分析即可求解； （3）①结合表格信息，对进行变形分析即可；②结合表格信息，对进行变形分析即可；③设正方体的棱长为米，由体积公式，立方根的估算得到棱长，再根据表面积的计算方法即可求解． 【详解】解：（1）填表如下： a 0.000008 0.008 8 8000 0.02 0.2 2 20 （2）规律：数a的小数点每向右或向左移动三位，它的立方根的小数点就相应地向右或向左移动一位； （3）①， ， 介于整数12和13之间； ②， ； ③设正方体的棱长为a米，则， 由②知， ； ， （平方米）， 答：需要大约9.02平方米的铁皮． 4．计算 【答案】 5 【分析】先化简，再进行加减运算即可. 【详解】解：原式. 5．我们知道是无理数，其整数部分是1，于是可以用来表示的小数部分．请解答： (1)如果的小数部分为，的整数部分为，求的值； (2)已知，其中是整数，且，求的相反数． 【答案】(1) 1 (2) 【分析】（1）由，即可得出a的值．再根据，即可求出b的值，最后计算即可； （2）由，且，其中x是整数，且，即可求出x和y的值，再计算出，最后利用相反数的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵，的小数部分为a， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵的整数部分为b， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵，其中x是整数，， ∴，， ∴， ∴的相反数是． 6．将下列各数近似地表示在数轴上，并把它们按从小到大的顺序排列，用“”号连接． ，，， 【答案】图见解析， 【分析】本题考查实数与数轴，无理数的估算，先化简各数，确定无理数的范围，进而在数轴上表示出各数，根据数轴上的数右边的比左边的大，比较大小即可． 【详解】解：∵，，， ∴， 在数轴上表示各数如图： 由数轴可知：． 7．如图，长方形内两个相邻正方形的面积分别为6和9． (1)大正方形与小正方形的边长分别为 ； (2)求阴影部分的面积； (3)求长方形的周长． 【答案】(1)3， (2)阴影部分的面积为 (3)周长为 【分析】本题考查实数运算的实际应用，正确的识图，准确的列出算式，是解题的关键： （1）利用算术平方根进行求解即可； （2）用小长方形的面积减去小正方形的面积进行计算即可； （3）根据周长公式列式计算即可． 【详解】（1）解：由题意，大正方形的边长为；小正方形的边长为； （2）解：阴影部分的面积为； （3）解：长方形的周长为． 8．阅读材料： 材料一：定义表示不大于x的最大整数，例如，，； 材料二：定义新运算，如，对有序实数对． 若满足，则称该有序数对为“望一”数对： 若满足，则称该有序数对为“望音”数对． (1)计算的值； (2)下列数对是“望一”数对的有______，是“望音”数对的有______．（填序号） ①；②；③ (3)计算：______． 【答案】(1) (2)②，③ (3) 【分析】本题主要考查了新定义运算，无理数大小的估算，求不等式组的解集，解题的关键是理解题意，熟练掌握相关的定义． （1）根据题干中给出的信息进行计算即可； （2）根据“望一”数对和“望音”数对的定义进行求解即可； （3）根据题干中的信息找出规律，列出算式进行计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：①∵， ∴既不是“望一”数对，也不是“望音”数对； ②∵， ∴是“望一”数对； ③∵ ∴是“望音”数对； 综上分析可知：“望一”数对的有②，是“望音”数对的有③． （3）解：，，， ，，，，， ，，，，，，， …… ，， ， ， ∴中有3个1，5个2，7个3，……87个，89个44， ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05立方根与实数期中复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.理解立方根的概念，会用符号表示一个数的立方根，掌握立方根的性质。 2.了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应。 3.掌握实数的分类、大小比较及运算法则，理解实数运算和有理数运算的一致性。 4.明确平方根、算术平方根与立方根的区别与联系。 1.能熟练求一个数的立方根，会利用立方根的意义解简单方程。 2.能估算无理数的大小，确定无理数的整数部分与小数部分。 3.能进行实数的加、减、乘、除、乘方、开方混合运算。 4.能运用实数知识解决实际问题，提升数形结合与运算能力。 1.必拿分点： 立方根的概念辨析与计算、实数的分类与概念辨析（选择 / 填空）。 利用立方根解方程、实数与数轴的对应关系（填空 / 简答）。 2.提分关键： 无理数的估算、实数的混合运算（期中高频计算考点）。 平方根与立方根的综合应用、实数运算的实际问题（压轴小题）。 题型一 立方根的概念辨析 题型二 立方根的计算 题型三 立方根的规律探究 题型四 立方根的综合应用 题型五 无理数的概念与估算 题型六 实数的概念与分类 题型七 实数的核心性质 题型八 实数的混合运算 题型九 特殊定义下的实数运算 题型十 实数的实际应用 题型十一 实数运算的规律探究 解答题(8题) 知识点01:立方根的定义与性质 1. 定义 如果一个数 x 的立方等于 a（即 x3=a），那么这个数 x 叫做 a 的立方根（也叫三次方根）。 符号：记作 ，读作 “三次根号 a”。重点：根指数 3 绝对不能省略。 2. 性质 正数的立方根是正数； 负数的立方根是负数； 0 的立方根是 0（=0）； 任何实数都有唯一的立方根（与平方根不同，负数也有立方根）； 重要性质：=−（互为相反数的数的立方根也互为相反数） 知识点02:开立方 1.求一个数的立方根的运算叫作开立方。 2.开平方与开立方的区别 维度 开平方 (平方根) 开立方 (立方根) 根指数 2 (通常省略不写) 3 (绝对不能省) 被开方数 必须是非负数 (≥0) 可以是任意实数 (正、负、0) 结果个数 正数有 2 个 (互为相反数) 任何数只有 1 个 结果符号 一正一负 / 0 与原数同号 (正得正，负得负) 知识点03:立方根与平方根的区别 知识点04:无理数 定义：无限不循环小数叫做无理数。 常见类型： 1.开方开不尽的数：如 、、等； 2.含 π 的数：如 π、2π、π−1 等； 3.有规律但不循环的无限小数：如 0.1010010001⋯（相邻两个 1 之间 0 的个数依次加 1）。 知识点05:实数的定义与分类 定义：有理数和无理数统称为实数。 分类： 知识点06:实数与数轴 实数与数轴上的点是一一对应的：每一个实数都可以用数轴上唯一的点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示唯一的实数。 实数的大小比较： 数轴上右边的点表示的数总比左边的大； 正数 > 0 > 负数；两个负数比较，绝对值大的反而小。 知识点07:实数的相关概念 知识点08:实数的运算 1.运算种类：加、减、乘、除、乘方、开方。 2.运算顺序：先算乘方和开方，再算乘除，最后算加减；有括号的先算括号里面的；同级运算从左到右依次进行。 3.运算律： 加法交换律：a+b=b+a 加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c) 乘法交换律：ab=ba 乘法结合律：(ab)c=a(bc) 乘法分配律：a(b+c)=ab+ac 题型01:立方根的概念辨析 【典例】下列式子正确的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】我国著名数学家华罗庚在访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，希望求它的立方根．华罗庚脱口而出：39，其思考过程是：（1）由于59319大于10的立方，小于100的立方，所以它的立方根是一个两位数；（2）由于59319的个位上的数是9，从而它的立方根个位上的数是9；（3）如果划去59319后面的三位数319得到数59，而3的立方是27，4的立方是64，由此立方根的十位上的数是3，所以．请同学们根据以上思考过程，写出300763的立方根是________． 【跟踪专练2】一个正数a的两个平方根是和，则的立方根为_______． 【跟踪专练3】一般地，如果（n为正整数，且n＞1），那么x叫做a的n次方根，下列结论中正确的是（　　） A．16的4次方根是2 B．32的5次方根是±2 C．当n为奇数时，2的n次方根随n的增大而减小 D．当n为偶数时，2的n次方根有n个 题型02:立方根的计算 【典例】下列计算，错误的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】已知，则，则______． 【跟踪专练2】若，，则（   ） A．14.64 B．146.4 C．31.55 D．315.5 【跟踪专练3】已知x没有平方根，且，则x的立方根为________． 题型03:立方根的规律探究 【典例】已知：，，，则__________. 【跟踪专练1】已知，，则（   ） A．7.937 B．79.37 C．17.100 D．171.00 【跟踪专练2】已知，，依据立方根运算规律得：______． 【跟踪专练3】据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：某正整数的立方是59319，求这个正整数．华罗庚脱口而出：39． 华罗庚迅速求出立方根的过程如下： ①由，可以确定是两位数； ②由可知，的十位上的数字是3； ③考虑到1至9的立方中，只有9的立方的个位上的数字是9，所以确定的个位上的数字是9，所以． 请你根据上述步骤求出74088的立方根是___． 题型04:立方根的综合应用 【典例】已知的立方根是2，的算术平方根是4，则的平方根是___________． 【跟踪专练1】如图所示，有一个正方体集装箱，体积为，现准备将其改造（形状仍为正方体），以便盛放更多的货物，为使其体积达到，棱长应变为原来的（    ） A．倍 B．倍 C． D． 【跟踪专练2】某计算器上的三个按键、、的功能分别是：将屏幕显示的数变成它的算术平方根；将屏幕显示的数变成它的倒数；将屏幕显示的数变成它的平方．小明输入一个数x后，依次按照如下图所示的三步循环重复按键，若第2021次按键后，显示的结果是4，则输入的数x是______． 【跟踪专练3】已知的算术平方根是，的立方根是，的平方根是，的立方根是，则和分别是（   ） A． B． C． D． 题型05:无理数的概念与估算 【典例】在实数，，，，（相邻两个1之间依次多个0）中，无理数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【跟踪专练1】比较大小关系：______（填“”或“”或“”）． 【跟踪专练2】请写出一个大于而小于的无理数______． 【跟踪专练3】对于实数，我们规定：用表示不小于的最小整数．例如：，．现在对72进行如下操作：，即对72只需进行3次操作就变为2．类比上述操作，若对正整数只需进行3次操作就变为2，则的最大值为______． 题型06:实数的概念与分类 【典例】有下列说法：①无理数是无限小数，无限小数是无理数；②无理数包括正无理数、和负无理数；③带根号的数都是无理数；④无理数是含有根号且被开方数不能被开尽的数；⑤是一个分数．其中正确的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【跟踪专练1】下列各数中：，，，0，，，，，，，0.1212212221…（相邻两个1之间2的个数逐次加1）．无理数的个数有__________个． 【跟踪专练2】有一个数值转换器，原理如下：若把实数a代入数值转换器，恰好经过4次代入数值的程序运算，最终输出的数值是，则______． 【跟踪专练3】下列说法正确的有（    ） ①分数都是有理数； ②无理数的平方一定是有理数； ③任何无理数都是无限小数； ④直线a，b，c中，若，，则； ⑤过一点有且只有一条直线与已知直线平行． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型07:实数的核心性质 【典例】实数的相反数是（   ） A． B．2 C． D． 【跟踪专练1】如图，正方形的面积为7，顶点在数轴上表示的数为1，若点在数轴上（点在点的左侧），且，则点所表示的数为 __________ 【跟踪专练2】比较大小：_____；_____；_____．（填“”、“”或“”）． 【跟踪专练3】实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为（    ） A． B． C． D． 题型08:实数的混合运算 【典例】若与互为相反数，则____． 【跟踪专练1】若有理数a，b满足，则的平方根是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如果的整数部分是a，小数部分是b，那么=______． 【跟踪专练3】如图，通过画边长为1的正方形，就能准确的把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，则点表示的实数为（   ） A． B． C． D． 题型09:特殊定义下的实数运算 【典例】小明是一个电脑爱好者，设计了一个程序如图，当输入的值是有理数64时，输出的值是（   ） A．8 B． C． D．2 【跟踪专练1】用※定义一种新运算：对于任意实数m和n，规定，如：，___________． 【跟踪专练2】如图是一个数值转换机示意图，当输入x的值为，则输出y的值为 ________________． 【跟踪专练3】a是不为2的有理数，我们把称为a的“伴随数”，如3的“伴随数”是，-2的“伴随数”是，已知，是的“伴随数”，是的“伴随数”，是的“伴随数”，…，以此类推，则等于（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练4】对于实数、，定义的含义为：当时，；当时，，如：．已知，，且和为两个连续整数，则的立方根值为(　　) A． B． C． D． 题型10:实数的实际应用 【典例】某高速公路规定汽车的行驶速度不得超过千米/时，当发生交通事故时，交通警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆的行驶速度，所用的经验公式是，其中v表示车速（单位：千米/时，d表示刹车后车轮滑过的距离（单位：米），f表示摩擦系数．在一次交通事故中，经测量米，，请你通过计算判断汽车此时的行驶速度v______100千米/时．（填“”、“”或“”） 【跟踪专练1】如图，在一条不完整的数轴上，从左到右的点A、B、C把数轴分成①②③④四部分，点A、B、C对应的实数分别是a、b、c，若原点在第③部分，则下列结论：（1），（2），（3）（4），其中，正确的是（    ） A．（1）和（2） B．（3）和（4） C．（2）和（3） D．（1）和（4） 【跟踪专练2】如图1的瓶子中盛满水，如果将这个瓶子中的水全部倒入图2的杯子中，一共需要____个图2这样的杯子．（单位：）（温馨提示：） 【跟踪专练3】已知表示取三个数中最小的数．例如：，当时，则的值为（　　） A． B． C． D． 题型11:实数运算的规律探究 【典例】观察下列各式：，，…，请你根据以上式子的规律，写出第n个式子：___________． 【跟踪专练1】如图，通过画边长为1的正方形，就能准确的把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，如此继续，则的长为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】观察下列等式： …… 则的值为________． 【跟踪专练3】我们已经学习了利用“夹逼法”估算的值，现在用． 表示距离（为正整数）最近的正整数例如：表示距离最近的正整数，；表示距离最近的正整数，；表示距离最近的正整数，利用这些发现得到以下结论： ； 时，的值有个； ； ； 当时，的值为． 以上结论中正确的结论有个（    ） A． B． C． D． 【解答题】 1．求下列各式中的的值： (1) (2) 2．李三同学遇到这样一道题目：“已知的平方根是，6是的算术平方根，求的立方根．”他费了很大的精力才做了出来，你能很快解决这个问题吗？请试一试！ 3．（1）填表： a 0.000008 0.008 8 8000 （2）观察上表，表中数a的小数点的移动与它的立方根的小数点的移动之间有何规律？请用语言叙述这个规律：______； （3）根据你发现的规律解答： ①已知，，，则介于哪两个整数之间？ ②已知，则______； ③用铁皮制作一个封闭的正方体，它的体积是1.843立方米，问需要多大面积的铁皮？（结果精确到0.01平方米） a 0.000008 0.008 8 8000 0.02 0.2 2 20 4．计算 5．我们知道是无理数，其整数部分是1，于是可以用来表示的小数部分．请解答： (1)如果的小数部分为，的整数部分为，求的值； (2)已知，其中是整数，且，求的相反数． 6．将下列各数近似地表示在数轴上，并把它们按从小到大的顺序排列，用“”号连接． ，，， 7．如图，长方形内两个相邻正方形的面积分别为6和9． (1)大正方形与小正方形的边长分别为 ； (2)求阴影部分的面积； (3)求长方形的周长． 8．阅读材料： 材料一：定义表示不大于x的最大整数，例如，，； 材料二：定义新运算，如，对有序实数对． 若满足，则称该有序数对为“望一”数对： 若满足，则称该有序数对为“望音”数对． (1)计算的值； (2)下列数对是“望一”数对的有______，是“望音”数对的有______．（填序号） ①；②；③ (3)计算：______． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $