专题4 二元一次方程组17种题型（期中复习讲义）新人教版数学 七年级下册（含解析）

专题4 二元一次方程组 一、核心概念 1. 二元一次方程 · 定义：含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的整式方程。 · 一般形式：ax+by=c（a、b、c为常数，a≠0，b≠0）。 · 判断三要素：①两个未知数；②未知数项次数=1；③整式（分母不含未知数）。 · 解：使方程左右两边相等的一对未知数的值，有无数个解。 2. 二元一次方程组 · 定义：由两个一次方程组成，且共含两个未知数的方程组（整式方程）。 · 标准形式：（a1、a2、b1、b2不全为0）。 · 判断：两个方程、两个未知数、次数均为1、整式。 3. 二元一次方程组的解 · 定义：方程组中两个方程的公共解（同时满足两个方程）。 · 书写：必须用大括号联立。 · 检验方法：将解代入两个方程，两边都相等才是解。 4. 解的三种情况 · 唯一解：（两直线相交）； · 无解：（两直线平行）； · 无数解：（两直线重合）。 二、核心解法：消元法（二元→一元） 1. 代入消元法（适用：有未知数系数为±1） 步骤： · 变形：选系数简单的方程，用一个未知数表示另一个（如：y=ax+b）； · 代入：将表达式代入另一个方程，消去一个未知数，得一元一次方程； · 求解：解一元一次方程，求出一个未知数的值； · 回代：把结果代入变形后的式子，求另一个未知数； · 写解：联立写出方程组的解。 2. 加减消元法（适用：同一未知数系数相等/互为相反数/成倍数） 步骤： · 变形：把两个方程中同一个未知数的系数化为相等或互为相反数（乘最小公倍数）； · 加减：两式相加 / 相减，消去一个未知数，得一元一次方程； · 求解：解一元一次方程，得一个未知数的值； · 回代：代入任一方程，求另一个未知数； · 写解：联立写出解。 3. 方法选择技巧 · 系数1或-1→优先代入法； · 同一未知数系数相等/相反→优先加减法； · 系数不成倍数→先统一系数，再用加减法。 三、实际应用（列二元一次方程组解应用题） 1. 一般步骤（审→设→列→解→验→答） · 审：找两个等量关系； · 设：设两个未知数（x、y）； · 列：根据等量关系列两个方程，组成方程组； · 解：用代入/加减法解方程组； · 验：检验解是否符合题意（实际意义、方程）； · 答：完整作答。 2. 常见题型 和差倍分、行程（相遇/追及）、工程、配套、利润、几何（周长/面积）、数字问题。 1.判断易错 · 含xy项、分母有未知数、只有一个未知数的，都不是二元一次方程。 · 方程组的解要同时满足两个方程，只满足一个不算。 2.计算易错 · 代入消元：漏括号、漏乘常数项。 · 加减消元：系数同号相减、异号相加，符号最容易错。 · 移项、去括号不变号。 3.书写易错 · 解必须写成大括号联立形式 · 应用题只解方程不检验、不写答。 4.审题易错 · 找错等量关系，列错方程。 · 忽略实际意义（如数量不能为负、不能为小数）。 1.代入消元法 · 优先用：有未知数系数为±1时。 · 口诀：变一代入，消元求解，回代写解。 2.加减消元法 · 优先用：同一未知数系数相等/相反/成倍数。 · 口诀：化同系数，加减消元，先求一个，再求另一个。 3，解题通用技巧 · 先看系数再选方法，系数简单用代入，系数整齐用加减。 · 解完一定回代检验，避免算错。 · 应用题：两个等量关系→列两个方程→组成方程组。 题型一 判断是否是二元一次方程 【例1】（25-26七年级下·山东聊城·月考）下列方程中，属于二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26七年级下·贵州毕节·期末）下列方程中，是二元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26七年级下·广东河源·月考）若方程是二元一次方程，则“”可以是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（25-26七年级下·湖北武汉·月考）下列方程：①；②；③；④．其中二元一次方程的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型二 二元一次方程的定义求参数 【例2】（25-26七年级下·河南南阳·月考）已知是关于，的二元一次方程，则______． 【变式2-1】（25-26七年级下·浙江舟山·期中）方程是关于，的二元一次方程，则__________． 【变式2-2】（25-26七年级下·湖南衡阳·月考）如果方程是表示关于x，y的二元一次方程，那么m的值是______． 【变式2-3】（25-26七年级下·福建福州·期中）关于，的方程是二元一次方程，则的值是（   ） A． B． C． D． 题型三 已知二元一次方程的解求参数 【例3】（25-26七年级下·江苏无锡·期中）方程的解是，则的值是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（25-26七年级下·河南鹤壁·月考）已知是关于，的二元一次方程的一组解，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（25-26七年级下·重庆·月考）若关于x、y的方程有一组解是，则a的值是（    ） A．29 B． C．1 D． 【变式3-3】（25-26七年级下·浙江金华·月考）若是关于x，y的方程的解，则的值为（   ） A．1 B．2 C． D． 题型四 判断是否是二元一次方程组 【例4】（25-26七年级下·全国·周测）下列方程组是二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（25-26七年级下·山东济南·期末）下列方程组中，是二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（25-26七年级下·河南南阳·月考）下列方程组中，是二元一次方程组的是（   ） ①②③④ A．①② B．①②④ C．③④ D．①②③ 【变式4-3】（24-25七年级下·全国·单元测试）在，，，中，是二元一次方程组的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型五 已知二元一次方程组的解求参数 【例5】（25-26七年级下·山西运城·期末）已知是关于x，y的方程组的解，则的值为（   ） A． B． C．2 D．4 【变式5-1】（25-26七年级下·河南周口·月考）若 是方程组的解，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式5-2】（2026七年级下·福建泉州·专题练习）若是关于x，y的方程组的解，则的值为（　 　） A．6 B．8 C．10 D．12 【变式5-3】（25-26七年级下·安徽宿州·期末）若是二元一次方程组的解，则的值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 题型六 代入消元法解二元一次方程组 【例6】（25-26七年级下·河南周口·月考）对于二元一次方程组，将①式代入②式，消去可以得到（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】（25-26七年级下·河南鹤壁·月考）在解方程组的过程中，将②代入①可得（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（2026七年级下·江苏·专题练习）用代入消元法解二元一次方程组，下列变形正确的是（） A．由①得 B．由①得 C．由②得 D．由②得 【变式6-3】（山东省烟台市开发区2024-2025学年度第二学期期中学业水平考试七年级数学试题）请用指定的方法解下列方程组． (1)（代入消元法） (2)（加减消元法） 题型七 加减消元法解二元一次方程组 【例7】（2023·山东泰安）已知二元一次方程组，方程①减去②，得（ ） A． B． C． D． 【变式7-1】（25-26七年级下·河南鹤壁·月考）解二元一次方程组时，通过下列步骤能消去未知数x的是（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（25-26七年级下·浙江舟山·期中）解方程组 (1) (2) 【变式7-3】（25-26七年级下·江苏南通·期中）解方程组： (1) (2) 题型八 二元一次方程组的特殊解法 【例8】（25-26七年级下·河南南阳·月考）阅读探索：解方程组 解：设，，原方程组可以化为解得 即【此种解方程组的方法叫做换元法】 (1)运用上述方法解方程组 (2)已知关于，的方程组的解为，求关于，的方程组的解． 【变式8-1】（25-26七年级下·河南鹤壁·月考）已知关于的二元一次方程组的解为，关于的二元一次方程组的解为_____． 【变式8-2】（25-26七年级下·福建莆田·期末）若关于，的二元一次方程组的解为，则关于，的方程组的解是_____． 【变式8-3】（25-26七年级下·河南南阳·月考）阅读下列解方程组的方法，然后解答问题： 解方程组时，由于、的系数及常数项的数值较大，如果用常规的代入消元法、加减消元法来解，那将会计算量大，且易出现运算错误，而采用下面的解法则比较简单： ②①，得，所以，③ ③14，得，④ ①④，得，从而得． 所以原方程组的解是 (1)运用上述方法解方程组 (2)直接写出方程组的解是___________； (3)猜测关于、的方程组的解是什么？请直接写出． 题型九 二元一次方程组中的看错解问题 【例9】（25-26七年级下·四川绵阳·月考）在解关于的方程组时，甲把方程组中的看成了，求得的解为；乙看错了方程组中的，求得的解为，则_________． 【变式9-1】（25-26七年级下·浙江金华·月考）已知方程组，由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为；乙看错了②中的b，得到方程组的解为．则乙把②中的b看成的数是（   ） A． B． C．6 D．3 【变式9-2】（25-26七年级下·湖南岳阳·期末）甲、乙两位同学在解方程组时，甲把字母看错了得到方程组的解为，乙把字母看错了得到方程组的解为，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式9-3】（25-26七年级下·山东青岛·期末）甲、乙两名同学在解方程组时，甲看错了方程①中的a，解得，乙看错了方程②中的b，解得，请你根据以上结果，求出a和b的值． 题型十 构造二元一次方程组求解 【例10】（25-26七年级下·河南鹤壁·月考）若单项式与是同类项，则_____． 【变式10-1】（25-26七年级下·广东梅州·期末）已知是关于y的一元一次方程，则的值为______． 【变式10-2】（2026七年级下·山西太原·专题练习）在关系式中，当时，，当时，，则a，b的值是（） A．， B．， C．， D．， 【变式10-3】（25-26七年级下·宁夏银川·期末）已知，当时，的值为7；当时，的值为，求： (1)的值； (2)当时，的值． 题型十一 已知二元一次方程组的解的情况求参数 【例11】（25-26七年级下·山东泰安·期中）若方程组无解（其中），则的值为___________． 【变式11-1】（25-26七年级下·河南鹤壁·月考）已知关于的方程组的解满足，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式11-2】（25-26七年级下·河南鹤壁·月考）已知关于x，y的二元一次方程组，若该方程组的解互为相反数，求的值． 【变式11-3】（25-26七年级下·重庆·月考）已知关于x、y的方程组的解为整数，则满足条件的整数m的值为______． 题型十二 二元一次方程组的同解问题数 【例12】（25-26七年级下·河南鹤壁·月考）已知关于的方程组与关于的方程组的解相同，求的值． 【变式12-1】（25-26七年级下·河南周口·月考）已知关于，的二元一次方程组与方程组有相同的解． (1)求这两个方程组的相同解； (2)求的值． 【变式12-2】（25-26七年级下·山东聊城·月考）已知方程组与有相同的解，求、的值及方程组的解． 【变式12-3】（25-26七年级下·重庆·月考）已知关于x，y的方程组与的解相同． (1)求这两个方程组的相同解； (2)求的值． 题型十三 根据实际问题列二元一次方程组 【例13】（2026·江苏无锡）明代数学家程大位的著作《算法统宗》中有一个问题：老头提篮去赶集，一共花去七十七；满满装了一菜篮，十斤大肉三斤鱼；买好未曾问单价，只因回家心里急；道旁行人告诉他，九斤肉五钱五斤鱼．问肉、鱼各价几何？若设肉x元/斤，鱼y元/斤，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【变式13-1】（25-26七年级下·浙江杭州·月考）为了增强学生的环保意识，培养他们的团队合作精神和动手能力，某学校组织学生植树节去植树若每人种植7棵树苗，还剩下4棵树苗；若每人种植8棵树苗，则缺少3棵树苗，设学生人数为x人，需要种植的树苗数为y棵，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【变式13-2】（2026·山西朔州）我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一道题：“今有绫三尺，绢四尺，共价四钱八分；又绫七尺，绢二尺，共价六钱八分．问：绫、绢各价若干？”其大意如下：三尺绫和四尺绢共值四钱八分，七尺绫和二尺绢共值六钱八分，则绫和绢每尺各值多少？设每尺绫值分，每尺绢值分，则可列方程组为（“钱”和“分”为古代货币单位，1钱=10分） A． B． C． D． 【变式13-3】（辽宁省鞍山市2026年质量调查数学试卷）《孙子算经》中有一道题，原文是：今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余尺．问木长多少尺﹖若设木长尺，绳长尺，依据题意可列方程组是（   ） A． B． C． D． 题型十四 根据几何图形列二元一次方程组 【例14】（25-26七年级下·山西太原·期末）用若干个形状、大小完全相同的长方形纸片拼图．如图，已知图中个长方形纸片围成的阴影部分正方形的面积为；图中个长方形纸片围成的阴影部分正方形的面积为．若设每张长方形纸片的长为，宽为，则下列方程组正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式14-1】（25-26七年级下·内蒙古巴彦淖尔·期末）如图，在大长方形中，放置6个形状、大小都相同的小长方形，设小长方形的长为，宽为，根据题意得到的二元一次方程组为_____． 【变式14-2】（25-26七年级下·山东潍坊·期末）在长方形中，不重叠地放入8个形状和大小相同的小长方形，位置和尺寸如图所示．求小长方形的长和宽． 【变式14-3】（25-26七年级下·河南平顶山·期末）如图，在大长方形中放置10个形状、大小都相同的小长方形，大长方形的周长为36，小长方形的长比宽多4．设小长方形的长为x，宽为y，则下列方程组正确的是（   ） A． B． C． D． 题型十五 二元一次方程组的实际应用 【例15】（25-26七年级下·吉林·月考）为响应国家“人工智能+教育”的号召，某中学计划采购A型助教机器人和B型智慧课堂系统．若购买1套A型助教机器人与3套B型智慧课堂系统，共需260万元；若购买3套A型助教机器人与2套B型智慧课堂系统，共需360万元．求A、B两种教学设备的单价． 【变式15-1】（25-26七年级下·山东淄博·月考）如图，在长为20，宽为15的长方形中，有形状、大小完全相同的5个小长方形． (1)求每一个小长方形的长与宽． (2)求阴影部分的面积． 【变式15-2】（25-26七年级下·山东泰安·期中）2026年城市“绿色通勤”计划落地，某新能源汽车体验中心引入“晨光”和“清风”两款通勤型新能源车，据了解：4辆“晨光”型汽车与3辆“清风”型汽车的进货总成本为160万元；3辆“清风”型汽车比4辆“晨光”型汽车的进价少40万元． (1)求“晨光”型汽车和“清风”型汽车的进货单价； (2)该体验中心计划用400万购进这两款汽车，两种汽车均要购买且预算必须全部用完．请列出所有可能的购买方案． 【变式15-3】（2026·海南省直辖县级单位）某商店销售、两种水果．水果标价14元/千克，水果标价18元/千克． (1)小明陪妈妈在这家商店按标价买了、两种水果共3千克，合计付款46元．这两种水果各买了多少千克？ (2)妈妈让小明再到这家商店买、两种水果，要求水果比水果多买1千克．小明到这家商店后，发现、两种水果正在进行优惠活动：水果打七五折：一次购买水果不超过1千克不优惠，超过1千克后，超过1千克的部分打七五折．（注：“打七五折”指按标价的75%出售．）若小明合计付款48元，求小明买水果多少千克？ 题型十六 三元一次方程组的定义及解 【例16-1】（25-26七年级下·全国·课后作业）下列是三元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【例16-2】（25-26七年级下·四川内江·月考）三元一次方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【变式16-1】（24-25七年级下·全国·随堂练习）下列是三元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【变式16-2】（25-26七年级下·全国·课后作业）三元一次方程组消去未知数z后，得到的二元一次方程组是（    ） A． B． C． D． 【变式16-3】（2026七年级下·江苏·专题练习）解方程组：． 题型十七 三元一次方程组的实际应用 【例17】（25-26七年级下·广东广州·期末）某市在国庆节前夕举办了庆国庆足球联赛活动，这次足球联赛共11轮，胜一场记3分，平一场记1分，负一场记0分．某校队所负场数是胜的场数的，结果共得20分，则该校队胜______场、平______场、负______场． 【变式17-1】（2026七年级下·江苏·专题练习）一种饮料有大、中、小3种包装，1瓶大包装比一瓶中包装加一瓶小包装贵0.4元，2瓶小包装比1瓶中包装贵0.2元，大、中、小包装各买1瓶，需9.6元，问3种包装的饮料每瓶各多少元？ 【变式17-2】（2026七年级下·黑龙江齐齐哈尔·专题练习）逸夫中学初三（一）班参观龙河东北抗联烈士纪念馆，学校计划用100元为20名学生购买饮料、矿泉水和奶茶，饮料每瓶4元，矿泉水每瓶3元，奶茶每瓶6元（每种都要买），在钱全部用完的情况下，有购买方案（   ） A．3种 B．4种 C．5种 D．6种 【变式17-3】（25-26七年级下·重庆渝北·开学考试）为迎国庆，沙乡街道办摆放花盆，有塑料花盆、陶瓷花盆、木制花盆三种．其中塑料花盆由15朵红花、24朵黄花、25朵粉花组合而成，陶瓷花盆由10朵红花、12朵黄花组合而成，木制花盆由10朵红花、18朵黄花、25朵粉花组合而成．这些花盆一共用了2900朵红花，3750朵粉花，则黄花一共用了____朵． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4 二元一次方程组 一、核心概念 1. 二元一次方程 · 定义：含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的整式方程。 · 一般形式：ax+by=c（a、b、c为常数，a≠0，b≠0）。 · 判断三要素：①两个未知数；②未知数项次数=1；③整式（分母不含未知数）。 · 解：使方程左右两边相等的一对未知数的值，有无数个解。 2. 二元一次方程组 · 定义：由两个一次方程组成，且共含两个未知数的方程组（整式方程）。 · 标准形式：（a1、a2、b1、b2不全为0）。 · 判断：两个方程、两个未知数、次数均为1、整式。 3. 二元一次方程组的解 · 定义：方程组中两个方程的公共解（同时满足两个方程）。 · 书写：必须用大括号联立。 · 检验方法：将解代入两个方程，两边都相等才是解。 4. 解的三种情况 · 唯一解：（两直线相交）； · 无解：（两直线平行）； · 无数解：（两直线重合）。 二、核心解法：消元法（二元→一元） 1. 代入消元法（适用：有未知数系数为±1） 步骤： · 变形：选系数简单的方程，用一个未知数表示另一个（如：y=ax+b）； · 代入：将表达式代入另一个方程，消去一个未知数，得一元一次方程； · 求解：解一元一次方程，求出一个未知数的值； · 回代：把结果代入变形后的式子，求另一个未知数； · 写解：联立写出方程组的解。 2. 加减消元法（适用：同一未知数系数相等/互为相反数/成倍数） 步骤： · 变形：把两个方程中同一个未知数的系数化为相等或互为相反数（乘最小公倍数）； · 加减：两式相加 / 相减，消去一个未知数，得一元一次方程； · 求解：解一元一次方程，得一个未知数的值； · 回代：代入任一方程，求另一个未知数； · 写解：联立写出解。 3. 方法选择技巧 · 系数1或-1→优先代入法； · 同一未知数系数相等/相反→优先加减法； · 系数不成倍数→先统一系数，再用加减法。 三、实际应用（列二元一次方程组解应用题） 1. 一般步骤（审→设→列→解→验→答） · 审：找两个等量关系； · 设：设两个未知数（x、y）； · 列：根据等量关系列两个方程，组成方程组； · 解：用代入/加减法解方程组； · 验：检验解是否符合题意（实际意义、方程）； · 答：完整作答。 2. 常见题型 和差倍分、行程（相遇/追及）、工程、配套、利润、几何（周长/面积）、数字问题。 1.判断易错 · 含xy项、分母有未知数、只有一个未知数的，都不是二元一次方程。 · 方程组的解要同时满足两个方程，只满足一个不算。 2.计算易错 · 代入消元：漏括号、漏乘常数项。 · 加减消元：系数同号相减、异号相加，符号最容易错。 · 移项、去括号不变号。 3.书写易错 · 解必须写成大括号联立形式 · 应用题只解方程不检验、不写答。 4.审题易错 · 找错等量关系，列错方程。 · 忽略实际意义（如数量不能为负、不能为小数）。 1.代入消元法 · 优先用：有未知数系数为±1时。 · 口诀：变一代入，消元求解，回代写解。 2.加减消元法 · 优先用：同一未知数系数相等/相反/成倍数。 · 口诀：化同系数，加减消元，先求一个，再求另一个。 3，解题通用技巧 · 先看系数再选方法，系数简单用代入，系数整齐用加减。 · 解完一定回代检验，避免算错。 · 应用题：两个等量关系→列两个方程→组成方程组。 题型一 判断是否是二元一次方程 【例1】（25-26七年级下·山东聊城·月考）下列方程中，属于二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二元一次方程的识别，解题关键是掌握二元一次方程的定义：含有两个未知数，且所含未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程，根据定义逐一判断选项即可． 【详解】解：A、方程含有两个未知数，且所含未知数的项的次数都是1，是二元一次方程，故选项符合题意； B、方程中的次数是2，不满足所有含未知数的项的次数都是1，不是二元一次方程，故选项不符合题意； C、方程中项的次数是2，不是二元一次方程，故选项不符合题意； D、方程含有三个未知数，不是二元一次方程，故选项不符合题意； 故选：A． 【变式1-1】（25-26七年级下·贵州毕节·期末）下列方程中，是二元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】二元一次方程需同时满足三个核心条件：①方程中含有两个不同的未知数；②每个含有未知数的项的次数均为1；③方程是整式方程(分母不含未知数)． 【详解】解：A：方程中，含未知数的项是，其次数为2，不满足“含未知数的项的次数都是1”的条件，不是二元一次方程； B：方程含有两个未知数和，含未知数的项、的次数均为1，且方程是整式方程，完全符合二元一次方程的定义，是二元一次方程； C：方程中，含未知数的项是，其次数为，不满足次数为1的条件，不是二元一次方程； D：方程的分母中含有未知数，属于分式方程，不满足“整式方程”的条件，不是二元一次方程． 【变式1-2】（25-26七年级下·广东河源·月考）若方程是二元一次方程，则“”可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二元一次方程的定义判断，二元一次方程需满足含有两个未知数，且所有含未知数的项的次数均为，据此分析即可． 【详解】解：方程是二元一次方程，方程中已有未知数， “”应为次数为的含另一个未知数的项， A、是常数，若，则方程为，仅含一个未知数，不符合二元一次方程的定义，不符合题意； B、含未知数，的次数为，满足二元一次方程的定义，符合题意； C、的次数为，不符合题意； D、是常数，若，则方程为，仅含一个未知数，不符合二元一次方程的定义，不符合题意． 【变式1-3】（25-26七年级下·湖北武汉·月考）下列方程：①；②；③；④．其中二元一次方程的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据二元一次方程的定义判断，含有两个未知数，且所含未知数的次数均为1次的整式方程叫做二元一次方程，逐个判断方程即可得到结果． 【详解】解：①只含有1个未知数，是一元一次方程，不符合二元一次方程定义； ②含有两个未知数，且所有未知数次数都是1，是整式方程，符合二元一次方程定义； ③只含有1个未知数，是一元一次方程，不符合定义； ④中项的次数是2，不符合要求，不是二元一次方程； 故符合条件的二元一次方程只有1个． 题型二 二元一次方程的定义求参数 【例2】（25-26七年级下·河南南阳·月考）已知是关于，的二元一次方程，则______． 【答案】4 【分析】根据二元一次方程未知数的次数是1求解即可． 【详解】解：是关于，的二元一次方程， ， 解得． 【变式2-1】（25-26七年级下·浙江舟山·期中）方程是关于，的二元一次方程，则__________． 【答案】5 【分析】根据二元一次方程的定义，可得y的次数为1，x的系数不为0，据此列出方程与不等式，求解得到m的值． 【详解】解：∵方程是关于x，y的二元一次方程， ， 解得或， 解得， ． 【变式2-2】（25-26七年级下·湖南衡阳·月考）如果方程是表示关于x，y的二元一次方程，那么m的值是______． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，根据二元一次方程的定义：含有两个未知数，且未知数最高次为1的整式方程是二元一次方程，即可解答． 【详解】解：∵是表示关于x，y的二元一次方程， ∴， 解得：． 【变式2-3】（25-26七年级下·福建福州·期中）关于，的方程是二元一次方程，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二元一次方程的定义可知且，解方程即可得解． 【详解】解：关于，的方程是二元一次方程， ，， ，， ． 题型三 已知二元一次方程的解求参数 【例3】（25-26七年级下·江苏无锡·期中）方程的解是，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将代入，解方程求出的值即可． 【详解】解：∵是方程的解， ∴， 解得：． 【变式3-1】（25-26七年级下·河南鹤壁·月考）已知是关于，的二元一次方程的一组解，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二元一次方程解的定义，将已知的方程解代入原方程，得到关于的一元一次方程，求解即可得到的值． 【详解】解：是关于，的二元一次方程的一组解， ， ． 【变式3-2】（25-26七年级下·重庆·月考）若关于x、y的方程有一组解是，则a的值是（    ） A．29 B． C．1 D． 【答案】D 【分析】根据方程解的定义，将已知解代入原方程，得到关于a的一元一次方程，求解即可得到a的值． 【详解】解：∵是方程的解， ∴把，代入原方程得： ， 整理得 ， 移项计算得 ， 解得 ． 【变式3-3】（25-26七年级下·浙江金华·月考）若是关于x，y的方程的解，则的值为（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】将方程的解代入原方程，变形即可得到所求代数式的值． 【详解】解：∵是关于，的方程的解， ∴将代入，得：， 等式两边同乘，得：． 题型四 判断是否是二元一次方程组 【例4】（25-26七年级下·全国·周测）下列方程组是二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的定义，掌握二元一次方程组需满足：两个整式一次方程，且只含两个未知数是解题的关键． 根据二元一次方程组的定义，需满足两个条件：①方程组由两个一次方程组成；②共含有两个未知数，且每个方程均为整式方程，逐项判断即可． 【详解】解：A、第二个方程是二次方程，不符合一次方程要求，不符合题意； B、两个方程均为一次方程，且共含两个未知数和，符合定义，符合题意； C、第二个方程含有分式，不是整式方程，不符合题意； D、方程组涉及三个未知数，不是二元方程组，不符合题意． 故选：B． 【变式4-1】（25-26七年级下·山东济南·期末）下列方程组中，是二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的定义，组成二元一次方程组的两个方程应共含有两个未知数，且含未知数的项最高次数都是一次，方程的两边都是整式，那么这样的方程组叫做二元一次方程组． 根据二元一次方程组的定义逐一判断即可． 【详解】解：选项A：中为二次项，不符合二元一次方程组的定义； 选项B：含分式，不是整式方程，不符合二元一次方程组的定义； 选项C：符合二元一次方程组的定义； 选项D：含x、y、z三个未知数，不符合二元一次方程组的定义； 故选：C． 【变式4-2】（25-26七年级下·河南南阳·月考）下列方程组中，是二元一次方程组的是（   ） ①②③④ A．①② B．①②④ C．③④ D．①②③ 【答案】B 【分析】根据二元一次方程组的定义：共含有两个未知数，所有方程均为一次整式方程的方程组，依次判断各方程组即可． 【详解】解：①是二元一次方程组，符合题意； ②是二元一次方程组，符合题意； ③不是整式方程，故不是二元一次方程组，不符合题意； ④是二元一次方程组，符合题意； 其中是二元一次方程组的是①②④． 【变式4-3】（24-25七年级下·全国·单元测试）在，，，中，是二元一次方程组的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的判断，根据二元一次方程组的定义（含有两个未知数，且每个方程都是整式方程，未知数的最高次数为1）进行判断即可． 【详解】解：方程组 中，两个方程均为一次方程，是二元一次方程组； 方程组 中，第二个方程中的次数为2，不是一次方程，故不是二元一次方程组； 方程组 中，含有3个未知数，故不是二元一次方程组； 方程组 中，两个方程均为一次方程，是二元一次方程组； ∴ 是二元一次方程组的有2个． 故选：B． 题型五 已知二元一次方程组的解求参数 【例5】（25-26七年级下·山西运城·期末）已知是关于x，y的方程组的解，则的值为（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】C 【分析】根据方程组解的定义，将已知解代入方程组，即可求出a和b的值，进而计算得到的值． 【详解】解：∵是方程组的解， ∴将代入方程组，得， 解得， ∴． 【变式5-1】（25-26七年级下·河南周口·月考）若 是方程组的解，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】将代入，得：，解方程组即可． 【详解】解：将代入， 得：， 解得， ∴， 【变式5-2】（2026七年级下·福建泉州·专题练习）若是关于x，y的方程组的解，则的值为（　 　） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】B 【分析】根据方程组解的定义，将已知解代入方程组，即可求出a和b的值，进而计算得到的值． 【详解】解：∵是方程组的解， ∴将代入方程组，得， 解得， ∴． 【变式5-3】（25-26七年级下·安徽宿州·期末）若是二元一次方程组的解，则的值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的解以及解二元一次方程组，掌握知识点是解题的关键． 根据二元一次方程组的解的定义得出关于a，b的方程组，求出a，b的值，即可求出的值． 【详解】解：∵是二元一次方程组， ∴， 解得， ∴． 故选B． 题型六 代入消元法解二元一次方程组 【例6】（25-26七年级下·河南周口·月考）对于二元一次方程组，将①式代入②式，消去可以得到（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将①中的表达式代入②式，去括号整理即可得到结果． 【详解】解：，将其代入②式， 得， 去括号得． 【变式6-1】（25-26七年级下·河南鹤壁·月考）在解方程组的过程中，将②代入①可得（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二元一次方程组的代入消元法，解题思路是将②中y的表达式代入①，再去括号化简即可得到结果． 【详解】解：对于方程组， 将②代入①，得 ， 去括号，得 ． 【变式6-2】（2026七年级下·江苏·专题练习）用代入消元法解二元一次方程组，下列变形正确的是（） A．由①得 B．由①得 C．由②得 D．由②得 【答案】B 【分析】根据代入消元法解二元一次方程组的变形，利用等式的基本性质对两个方程分别移项变形，对比选项即可得到答案． 【详解】对①移项，得，故A错误，B正确； 对②移项，得，故C，D错误． 【变式6-3】（山东省烟台市开发区2024-2025学年度第二学期期中学业水平考试七年级数学试题）请用指定的方法解下列方程组． (1)（代入消元法） (2)（加减消元法） 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：, 由②得，， 将③代入①得，, , 解得， 将 代入③得，， ∴原方程组的解为； （2）解：方程, ，得 ， 由得， 解得， 将代入①得，, 解得， ∴原方程组的解为． 题型七 加减消元法解二元一次方程组 【例7】（2023·山东泰安）已知二元一次方程组，方程①减去②，得（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】按照题目要求对两个方程做减法运算，化简后即可得到结果． 【详解】解：方程①减去②，得， 去括号，得， 合并，得． 【变式7-1】（25-26七年级下·河南鹤壁·月考）解二元一次方程组时，通过下列步骤能消去未知数x的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】要消去未知数，需使两个方程中的系数相等或互为相反数，再通过加减运算消去． 【详解】解：∵方程①中的系数为，方程②中的系数为， ∴将②后，②中的系数变为，与①中的系数相等， ∴用①减去②，即可消去未知数，对应操作就是． 观察四个选项，选项D符合题意． 【变式7-2】（25-26七年级下·浙江舟山·期中）解方程组 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用加减消元法求解即可； （2）先将原方程变形，再利用加减消元法求解即可； 【详解】（1）解： 得， 解得， 将代入②得， 解得    ， 所以方程组的解为； （2）解： ①式去分母得， 得， 得 得， 解得， 将代入得， 解得， 所以方程组的解为． 【变式7-3】（25-26七年级下·江苏南通·期中）解方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】解：（1）由得，解得． 把代入得 解得． 原方程组的解为. （2）整理得 得，解得． 将代入得， 解得． 故原方程组的解为. 题型八 二元一次方程组的特殊解法 【例8】（25-26七年级下·河南南阳·月考）阅读探索：解方程组 解：设，，原方程组可以化为解得 即【此种解方程组的方法叫做换元法】 (1)运用上述方法解方程组 (2)已知关于，的方程组的解为，求关于，的方程组的解． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）仿照题干方法，利用换元法解方程组即可； （2）根据题意易得方程组的解满足，进行求解即可． 【详解】（1）解：设，原方程组可化为， 解得，即， ∴； （2）解：∵关于，的方程组的解为， ∴关于，的方程组的解满足， 解得. 【变式8-1】（25-26七年级下·河南鹤壁·月考）已知关于的二元一次方程组的解为，关于的二元一次方程组的解为_____． 【答案】 【分析】根据题意易得关于的二元一次方程组的解满足，进行求解即可. 【详解】解：由题意，关于的二元一次方程组的解满足， 解得. 【变式8-2】（25-26七年级下·福建莆田·期末）若关于，的二元一次方程组的解为，则关于，的方程组的解是_____． 【答案】 【分析】利用整体换元思想，将所求方程组变形后结合已知原方程组的解求解． 【详解】解：将方程组整理变形得：， ∵关于，的二元一次方程组的解为， ∴， ∴． 【变式8-3】（25-26七年级下·河南南阳·月考）阅读下列解方程组的方法，然后解答问题： 解方程组时，由于、的系数及常数项的数值较大，如果用常规的代入消元法、加减消元法来解，那将会计算量大，且易出现运算错误，而采用下面的解法则比较简单： ②①，得，所以，③ ③14，得，④ ①④，得，从而得． 所以原方程组的解是 (1)运用上述方法解方程组 (2)直接写出方程组的解是___________； (3)猜测关于、的方程组的解是什么？请直接写出． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题干给定的方法求解即可； （2）根据题干给定的方法求解即可； （3）根据已有方程组进行猜想即可，将解代入两个方程进行验证即可． 【详解】（1）解： 得：，所以③ ③得：④ 得：， 把代入③得：， 解得： 原方程组的解是：； （2）解：， 得：③ ③得：④ 得：，解得： 把代入③得：， 解得：， 原方程组的解是：； （3）解：猜测：， 当时，第一个方程：左边右边， 第二个方程：左边右边， 是原方程组的解． 题型九 二元一次方程组中的看错解问题 【例9】（25-26七年级下·四川绵阳·月考）在解关于的方程组时，甲把方程组中的看成了，求得的解为；乙看错了方程组中的，求得的解为，则_________． 【答案】 【分析】甲看错方程组中的，其得到的解满足方程组，代入求解可求出，乙看错方程组中的，其得到的解满足原方程，据此求出，最后计算的值即可． 【详解】解：∵甲求得的解是方程组的解， ∴将代入方程组得：， 解得； ∵乙看错了方程组中的，求得的解满足原方程， ∴将，代入得：， 解得：， ∴． 【变式9-1】（25-26七年级下·浙江金华·月考）已知方程组，由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为；乙看错了②中的b，得到方程组的解为．则乙把②中的b看成的数是（   ） A． B． C．6 D．3 【答案】C 【分析】甲看错方程①中的，因此甲得到的解满足正确的方程②；乙看错方程②中的，因此乙得到的解满足正确的方程①，先联立求出正确的的值，再设乙看错的为，代入乙的解即可求出的值. 【详解】∵ 甲看错方程①中的a，甲得到的解满足正确的方程②， ∴ 代入②得 ③， ∵ 乙看错方程②中的b，乙得到的解满足正确的方程①， ∴ 代入①得 ④， 联立③④，③+④得 ， 设乙把②中的b看成了，将，代入看错的方程② ， 得 ， 整理得 ， 解得 ， 则乙把②中的b看成的数是． 【变式9-2】（25-26七年级下·湖南岳阳·期末）甲、乙两位同学在解方程组时，甲把字母看错了得到方程组的解为，乙把字母看错了得到方程组的解为，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解，根据甲看错a，其解满足不含a的方程，乙看错b，其解满足不含b的方程，分别代入求出的值后计算即可． 【详解】解：∵甲把字母a看错，得到的解，适合方程， ，解得， ∵乙把字母b看错，得到的解，适合方程， ∴，解得， ∴． 故选：A． 【变式9-3】（25-26七年级下·山东青岛·期末）甲、乙两名同学在解方程组时，甲看错了方程①中的a，解得，乙看错了方程②中的b，解得，请你根据以上结果，求出a和b的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解的定义以及二元一次方程组的解法，熟练掌握看错系数但未看错的方程仍然成立这一逻辑，并能根据题意列出正确的方程组求解是解题的关键．先根据看错系数但未看错的方程仍然成立的原则，将甲、乙的解分别代入未看错的方程，得到关于、的二元一次方程组，再解方程组求出和的值． 【详解】解：∵甲看错了方程①中的，解得， ∴是方程②的解， ∴，即③． ∵乙看错了方程②中的，解得， ∴是方程①的解， ∴，即④． 由，得， 解得， 把代入③，得， 解得， ∴，． 题型十 构造二元一次方程组求解 【例10】（25-26七年级下·河南鹤壁·月考）若单项式与是同类项，则_____． 【答案】 【分析】根据同类项中的字母相同，相同字母的指数也相同，列出方程组进行求解即可. 【详解】解：由题意，得，解得， ∴. 【变式10-1】（25-26七年级下·广东梅州·期末）已知是关于y的一元一次方程，则的值为______． 【答案】 【分析】此题主要考查了一元一次方程的定义，明确其定义：只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程是解题的关键． 根据一元一次方程的定义，的系数必须为零，且y的指数必须为1，由此列出方程组求解． 【详解】由一元一次方程的定义，得， 解得， 所以． 故答案为：． 【变式10-2】（2026七年级下·山西太原·专题练习）在关系式中，当时，，当时，，则a，b的值是（） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】利用代入法得到关于的二元一次方程组，用消元法解方程组即可得到结果． 【详解】解：∵当时，，当时，， 将两组值代入，可得方程组， 用②①得：， 化简得， 将代入①得：， 解得， ∴，． 【变式10-3】（25-26七年级下·宁夏银川·期末）已知，当时，的值为7；当时，的值为，求： (1)的值； (2)当时，的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）把x与y的值代入中，求出的值； （2）将x的值代入（1）所求的关系式计算即可求出的值． 【详解】（1）解：由题意得：， 解得：； （2）解：由（1）知， 当时，． 题型十一 已知二元一次方程组的解的情况求参数 【例11】（25-26七年级下·山东泰安·期中）若方程组无解（其中），则的值为___________． 【答案】/0.5 【分析】先将二元一次方程组化为关于x的一元一次方程，由二元一次方程组无解，得到，求出k的值即可． 【详解】解：由方程组，得 ， ， ∵原方程组无解，且， ∴， 解得． 【变式11-1】（25-26七年级下·河南鹤壁·月考）已知关于的方程组的解满足，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】将求出x，y的值，再代入计算即可． 【详解】解：由题意得 由②，得， 将③代入①，得， 解得， ∴， ∴． 【变式11-2】（25-26七年级下·河南鹤壁·月考）已知关于x，y的二元一次方程组，若该方程组的解互为相反数，求的值． 【答案】 【分析】因为方程组的解互为相反数，所以可得，再把二元一次方程组的两个方程相加得到，两式结合得到关于a的方程，解出即可得到的值． 【详解】解：∵方程组的解互为相反数， ∴ ， 设原方程组为 ， 将①+②得：， 两边同除以2化简得：． ∴ ， 解得． 【变式11-3】（25-26七年级下·重庆·月考）已知关于x、y的方程组的解为整数，则满足条件的整数m的值为______． 【答案】 【分析】先用加减消元法消去y，将x表示为含m的分式，再根据x为整数得出分母是22的因数．逐一验证确定m的值，若m的值是整数，则代入检验y是否为整数． 【详解】解： 将②得，③ ①+③，得， ， 为整数， 是22的因数， 22的因数为， 当时，代入②得解得为整数，符合； 当时（舍去）； 当时，（舍去）； 当时，（舍去）； 当时，（舍去）； 当时，（舍去）； 当时，，代入②得不是整数，舍去； 当时，（舍去）． 故答案为：． 题型十二 二元一次方程组的同解问题数 【例12】（25-26七年级下·河南鹤壁·月考）已知关于的方程组与关于的方程组的解相同，求的值． 【答案】， 【分析】根据已知的两个方程组的解相同得到关于x、y的方程组，求出x、y的值，再将x、y的值代入含a、b的两个方程中，得到关于a、b的二元一次方程组，进而求出a、b的值即可． 【详解】解:∵两个方程组的解相同， ∴先解方程组， 由得， 将代入得， 解得， 将代入，得； ∴两个方程组的公共解为， 将代入含有的方程组，即， ∴， 由得， 解得， 将代入得， 解得． 【变式12-1】（25-26七年级下·河南周口·月考）已知关于，的二元一次方程组与方程组有相同的解． (1)求这两个方程组的相同解； (2)求的值． 【答案】(1) (2)1 【分析】（1）解即可求解； （2）将（1）中求得的解代入求出后即可求解． 【详解】（1）解：关于x，y的二元一次方程组与方程组有相同的解． ∴二元一次方程组①与方程组②有相同的解． 由①得：， ∴这两个方程组的相同解为； （2）将代入②得 解得： ∴． 【变式12-2】（25-26七年级下·山东聊城·月考）已知方程组与有相同的解，求、的值及方程组的解． 【答案】，，方程组的解为 【分析】根据两个方程组解相同，将不含、的方程联立求出、的值，再将、的值代入其余两个方程即可求出、的值． 【详解】解：根据题意，得， 由得，， 将代入得，， 解得， 将代入得，， 方程组的解为， 把代入方程组， 可得， 得，， 得，， 解得， 将代入得，， 解得， ，，方程组的解为． 【变式12-3】（25-26七年级下·重庆·月考）已知关于x，y的方程组与的解相同． (1)求这两个方程组的相同解； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）联立和，组成方程组即可解答； （2）利用方程组的解求出和，计算代数式的值即可． 【详解】（1）解：∵方程组与的解相同， ∴， 由得：， ， 将代入①中得：， 解得：， ∴． （2）解：∵由（1）得， ∴将代入，得， 由得：， ， 将代入①中得：，解得：， ∴． 题型十三 根据实际问题列二元一次方程组 【例13】（2026·江苏无锡）明代数学家程大位的著作《算法统宗》中有一个问题：老头提篮去赶集，一共花去七十七；满满装了一菜篮，十斤大肉三斤鱼；买好未曾问单价，只因回家心里急；道旁行人告诉他，九斤肉五钱五斤鱼．问肉、鱼各价几何？若设肉x元/斤，鱼y元/斤，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】从题干中提取两个等量关系，依次列方程即可得到结果． 【详解】解：设肉元/斤，鱼元/斤，根据题意得， ． 【变式13-1】（25-26七年级下·浙江杭州·月考）为了增强学生的环保意识，培养他们的团队合作精神和动手能力，某学校组织学生植树节去植树若每人种植7棵树苗，还剩下4棵树苗；若每人种植8棵树苗，则缺少3棵树苗，设学生人数为x人，需要种植的树苗数为y棵，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据两种种树情况，分别找到总树苗数的等量关系即可列方程． 【详解】解：设学生人数为，总树苗数为． ∵每人种植7棵树苗，还剩余4棵，总树苗数等于已种的树苗数加剩余的树苗数， ∴，整理得． ∵每人种植8棵树苗，缺少3棵，总树苗数比所有人种8棵需要的树苗数少3， ∴，整理得． 因此可列方程组， 观察四个选项，选项D符合题意． 【变式13-2】（2026·山西朔州）我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一道题：“今有绫三尺，绢四尺，共价四钱八分；又绫七尺，绢二尺，共价六钱八分．问：绫、绢各价若干？”其大意如下：三尺绫和四尺绢共值四钱八分，七尺绫和二尺绢共值六钱八分，则绫和绢每尺各值多少？设每尺绫值分，每尺绢值分，则可列方程组为（“钱”和“分”为古代货币单位，1钱=10分） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查根据题意列二元一次方程组，解题关键是找准等量关系，完成正确单位换算，和的单位为分，需将总价换算为分后列等式． 【详解】解：∵设每尺绫值分，每尺绢值分，且钱分 ∴ 由“三尺绫和四尺绢共值四钱八分”可得，四钱八分分，列等式得 ； 由“七尺绫和二尺绢共值六钱八分”可得，六钱八分分，列等式得 ． 因此可得方程组 ． 【变式13-3】（辽宁省鞍山市2026年质量调查数学试卷）《孙子算经》中有一道题，原文是：今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余尺．问木长多少尺﹖若设木长尺，绳长尺，依据题意可列方程组是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查根据实际问题列二元一次方程组，只需根据题意找出两个等量关系，即可列出方程组得到答案． 【详解】解：设木长尺，绳长尺． ∵用绳子量长木，绳子还剩余尺， ∴绳长减去木长等于，即 ， ∵将绳子对折再量长木，长木还剩余尺，即对折后的绳长比木长短尺， ∴对折后的绳长等于木长减去，即 ， 因此可得方程组． 题型十四 根据几何图形列二元一次方程组 【例14】（25-26七年级下·山西太原·期末）用若干个形状、大小完全相同的长方形纸片拼图．如图，已知图中个长方形纸片围成的阴影部分正方形的面积为；图中个长方形纸片围成的阴影部分正方形的面积为．若设每张长方形纸片的长为，宽为，则下列方程组正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设每张长方形纸片的长为，宽为，根据题意列出方程组即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程组是解题的关键． 【详解】解：由图中个长方形纸片围成的阴影部分正方形的面积为；图中个长方形纸片围成的阴影部分正方形的面积为． 得图1正方形阴影部分边长为，图2正方形阴影部分边长为， 设每张长方形纸片的长为，宽为， 根据题意得，， 故选：． 【变式14-1】（25-26七年级下·内蒙古巴彦淖尔·期末）如图，在大长方形中，放置6个形状、大小都相同的小长方形，设小长方形的长为，宽为，根据题意得到的二元一次方程组为_____． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据图形，找到合适的等量关系列出方程组是解题的关键． 设小长方形的长为，宽为，根据各边之间的关系，可得出关于x，y的二元一次方程组． 【详解】解：小长方形的长为，宽为， 根据题意得：． 故答案为：． 【变式14-2】（25-26七年级下·山东潍坊·期末）在长方形中，不重叠地放入8个形状和大小相同的小长方形，位置和尺寸如图所示．求小长方形的长和宽． 【答案】小长方形的长为，宽为 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，关键是通过观察图形，找出大长方形的长和宽与小长方形的长、宽之间的等量关系． 【详解】解：设小长方形的长为，宽为． 根据图形中的等量关系，得， 解得 答：小长方形的长为8，宽为2． 【变式14-3】（25-26七年级下·河南平顶山·期末）如图，在大长方形中放置10个形状、大小都相同的小长方形，大长方形的周长为36，小长方形的长比宽多4．设小长方形的长为x，宽为y，则下列方程组正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查根据实际问题列二元一次方程组，关键是从图中提取大长方形的长和宽与小长方形长、宽的等量关系，结合周长公式和长、宽的差列出方程组．首先，由“小长方形的长比宽多4”可直接得到；其次，大长方形周长为，根据长方形周长公式可知长与宽的和为，从图中可分析出大长方形的长与宽之和为，从而得到，进而确定正确方程组． 【详解】解：根据题意，小长方形的长比宽多4，故有； 大长方形的周长为，可得长与宽的和为； 从图中可分析出大长方形的长与宽之和为，因此； 综上，可列方程组为． 故选：D． 题型十五 二元一次方程组的实际应用 【例15】（25-26七年级下·吉林·月考）为响应国家“人工智能+教育”的号召，某中学计划采购A型助教机器人和B型智慧课堂系统．若购买1套A型助教机器人与3套B型智慧课堂系统，共需260万元；若购买3套A型助教机器人与2套B型智慧课堂系统，共需360万元．求A、B两种教学设备的单价． 【答案】A型助教机器人单价为80万元，B型智慧课堂系统单价为60万元． 【分析】设A型助教机器人单价为万元，B型智慧课堂系统单价为万元．根据购买1套A型助教机器人与3套B型智慧课堂系统，共需260万元；若购买3套A型助教机器人与2套B型智慧课堂系统，共需360万元，进行列方程组，再解方程，即可作答． 【详解】解：设A型助教机器人单价为万元，B型智慧课堂系统单价为万元． 依题意，得， 解得， ∴A型助教机器人单价为80万元，B型智慧课堂系统单价为60万元． 【变式15-1】（25-26七年级下·山东淄博·月考）如图，在长为20，宽为15的长方形中，有形状、大小完全相同的5个小长方形． (1)求每一个小长方形的长与宽． (2)求阴影部分的面积． 【答案】(1)小长方形的长为12，宽为4 (2)60 【分析】（1）设小长方形的长为x，宽为y，根据图形找到等量关系，列出二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，即可得出答案； （2）由大长方形面积减去5个小长方形面积即可得出结论． 【详解】（1）解：设小长方形的长为x，宽为y，由题意得： ， 解得：， 答：小长方形的长为12，宽为4； （2）解：阴影部分的面积为：． 【变式15-2】（25-26七年级下·山东泰安·期中）2026年城市“绿色通勤”计划落地，某新能源汽车体验中心引入“晨光”和“清风”两款通勤型新能源车，据了解：4辆“晨光”型汽车与3辆“清风”型汽车的进货总成本为160万元；3辆“清风”型汽车比4辆“晨光”型汽车的进价少40万元． (1)求“晨光”型汽车和“清风”型汽车的进货单价； (2)该体验中心计划用400万购进这两款汽车，两种汽车均要购买且预算必须全部用完．请列出所有可能的购买方案． 【答案】(1)“晨光”型汽车的进货单价是25万元，“清风”型汽车的进货单价是20万元. (2)方案1：购买“晨光”型汽车12辆，“清风”型汽车5辆；方案2：购买“晨光”型汽车8辆，“清风”型汽车10辆；方案3：购买“晨光”型汽车4辆，“清风”型汽车15辆 【分析】（1）设“晨光”型汽车的进货单价是万元，“清风”型汽车的进货单价是万元，根据辆“晨光”型汽车与辆“清风”型汽车的进货总成本为万元；辆“清风”型汽车的进价比辆“晨光”型汽车少万元，列二元一次方程组求解即可； （2）设购买“晨光”型汽车m辆，“清风”型汽车n辆，根据两款汽车总花费为400万，列出二元一次方程，求出二元一次方程的整数解即可． 【详解】（1）解：设“晨光”型汽车的进货单价是万元，“清风”型汽车的进货单价是万元， 根据题意得：， 解得：， 答：“晨光”型汽车的进货单价是万元，“清风”型汽车的进货单价是万元． （2）解：设购买“晨光”型汽车m辆，“清风”型汽车n辆，根据题意得： ， ∵m、n为正整数， ∴或或， 答：共有3种购买方案，方案1：购买“晨光”型汽车12辆，“清风”型汽车5辆；方案2：购买“晨光”型汽车8辆，“清风”型汽车10辆；方案3：购买“晨光”型汽车4辆，“清风”型汽车15辆 【变式15-3】（2026·海南省直辖县级单位）某商店销售、两种水果．水果标价14元/千克，水果标价18元/千克． (1)小明陪妈妈在这家商店按标价买了、两种水果共3千克，合计付款46元．这两种水果各买了多少千克？ (2)妈妈让小明再到这家商店买、两种水果，要求水果比水果多买1千克．小明到这家商店后，发现、两种水果正在进行优惠活动：水果打七五折：一次购买水果不超过1千克不优惠，超过1千克后，超过1千克的部分打七五折．（注：“打七五折”指按标价的75%出售．）若小明合计付款48元，求小明买水果多少千克？ 【答案】(1)A种水果买了2千克，B种水果买了1千克 (2)小明买水果1.25千克 【分析】（1）设购买A种水果x千克，B种水果y千克，根据在这家商店按标价买了A，B两种水果共3千克，合计付款46元．再建立方程组解题即可； （2）设小明买A水果千克，则B种水果购买了千克，根据不同的优惠方式可得，再解方程即可． 【详解】（1）解：设A种水果买了千克，B种水果买了千克， 由题意得：， 解得：， 答：A种水果买了2千克，B种水果买了1千克； （2）设小明买A水果千克，则小明买B水果千克， 由题意得：， 解得：， 答：小明买A水果1.25千克． 题型十六 三元一次方程组的定义及解 【例16-1】（25-26七年级下·全国·课后作业）下列是三元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三元一次方程组的相关知识点，掌握三元一次方程组的定义是解题的关键． 本题对每个选项中的方程组从未知数的个数有个、含未知数的项的次数是次以及是否为整式方程这几个方面去分析，即可解决问题． 【详解】解：A、方程中，未知数的次数是次，不满足“含有未知数的项的次数是”的条件，不符合题意； B、方程中含有，不是整式方程，不符合题意； C、方程中，的次数是2次，不满足“含有未知数的项的次数是”的条件，不符合题意； D、方程组满足 “含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是的整式方程”，符合题意． 故选：D． 【例16-2】（25-26七年级下·四川内江·月考）三元一次方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】运用加减消元法，将三元一次方程组逐步降元，先消去一个未知数转化为二元一次方程组，再逐步求解即可得到结果． 【详解】解：， ∵得， 得，解得， 将代入①得，解得， 将代入②得，解得， ∴原方程组的解为． 【变式16-1】（24-25七年级下·全国·随堂练习）下列是三元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三元一次方程组的定义．根据三元一次方程组必须满足“三元”和“一次”两个要素来求解． 【详解】解：A、方程组中含有三个未知数，但含未知数的项的最高次数是3，不是三元一次方程组，本选项不符合题意； B、方程组中只含有两个未知数，不是三元一次方程组，本选项不符合题意； C、方程组中只含有两个未知数，不是三元一次方程组，本选项不符合题意； D、方程组中含有三个未知数，且含未知数的项的次数都是一次，是三元一次方程组，本选项符合题意； 故选：D． 【变式16-2】（25-26七年级下·全国·课后作业）三元一次方程组消去未知数z后，得到的二元一次方程组是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过加减消元消去未知数，得到二元一次方程组，再对比选项得出正确结果． 【详解】解： ∵，得， 即，可排除C、D选项； 再将，得， 即， ∴ 消去后得到的二元一次方程组为，符合选项A． 若选择消去，可得，选项B中常数项为，因此B错误． 【变式16-3】（2026七年级下·江苏·专题练习）解方程组：． 【答案】 【详解】解：， 得：， ， ， ③-②得：， ， ， 得：， 解得：， 把代入④得：， 解得：， 把，代入②得：， 解得：， ∴． 题型十七 三元一次方程组的实际应用 【例17】（25-26七年级下·广东广州·期末）某市在国庆节前夕举办了庆国庆足球联赛活动，这次足球联赛共11轮，胜一场记3分，平一场记1分，负一场记0分．某校队所负场数是胜的场数的，结果共得20分，则该校队胜______场、平______场、负______场． 【答案】 6 2 3 【分析】本题主要考查了三元一次方程组的应用．设胜场数为x，平场数为y，负场数为z，根据总场数、总得分和负场与胜场的关系列出方程组，即可求解． 【详解】解：设胜x场、平y场、负z场，根据题意得： ， 解得：， 答：胜6场、平2场、负3场． 故答案为：6，2，3 【变式17-1】（2026七年级下·江苏·专题练习）一种饮料有大、中、小3种包装，1瓶大包装比一瓶中包装加一瓶小包装贵0.4元，2瓶小包装比1瓶中包装贵0.2元，大、中、小包装各买1瓶，需9.6元，问3种包装的饮料每瓶各多少元？ 【答案】1瓶小包1.6元，1瓶中包3元，1瓶大包5元 【分析】设1瓶小包x元，1瓶中包y元，1瓶大包z元，根据“1瓶大包装比一瓶中包装加一瓶小包装贵0.4元，2瓶小包装比1瓶中包装贵0.2元，大、中、小包装各买1瓶，需9.6元”得出方程组，求出方程组的解即可． 【详解】解：设1瓶小包x元，1瓶中包y元，1瓶大包z元， 根据题意得：， 解得：， 答：1瓶小包1.6元，1瓶中包3元，1瓶大包5元． 【变式17-2】（2026七年级下·黑龙江齐齐哈尔·专题练习）逸夫中学初三（一）班参观龙河东北抗联烈士纪念馆，学校计划用100元为20名学生购买饮料、矿泉水和奶茶，饮料每瓶4元，矿泉水每瓶3元，奶茶每瓶6元（每种都要买），在钱全部用完的情况下，有购买方案（   ） A．3种 B．4种 C．5种 D．6种 【答案】A 【分析】本题考查了三元一次不定方程的整数解，掌握根据实际问题列方程组，消元得到不定方程，结合正整数约束枚举求解是解题的关键. 设三种饮品的购买数量，根据总人数和总费用列出方程组，消元后得到不定关系，结合每种都要买的正整数条件，统计方案个数即可. 【详解】设购买饮料瓶，矿泉水瓶，奶茶瓶，均为正整数. ∵总共有名学生，总费用为元. ∴可得方程组 由第一个方程得 ， 代入第二个方程得： 整理得 . 将代入得 . ∵均为正整数. ∴ 解得 . ∵为正整数， ∴可取，共对应种不同的购买方案 故选：A. 【变式17-3】（25-26七年级下·重庆渝北·开学考试）为迎国庆，沙乡街道办摆放花盆，有塑料花盆、陶瓷花盆、木制花盆三种．其中塑料花盆由15朵红花、24朵黄花、25朵粉花组合而成，陶瓷花盆由10朵红花、12朵黄花组合而成，木制花盆由10朵红花、18朵黄花、25朵粉花组合而成．这些花盆一共用了2900朵红花，3750朵粉花，则黄花一共用了____朵． 【答案】4380 【分析】设塑料花盆、陶瓷花盆、木制花盆的数量分别为、、个，根据“这些花盆一共用了2900朵红花，3750朵粉花”列方程化简得出，，再根据黄花总数代入求解即可． 【详解】解：设塑料花盆、陶瓷花盆、木制花盆的数量分别为、、个， 根据题意可得红花总数量：，化简得：①， 粉花总数量：，化简得：②， 把②代入①：， 整理得：， 则黄花总数（朵）． 学科网（北京）股份有限公司 $