期中押题卷2025-2026学年新教材人教版八年级数学下册

期中押题卷2025-2026学年新教材人教版八年级数学下册 （时间：100分钟，总分：120分） 一、单选题（共30分） 1．（本题3分）下列各式中，一定是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是二次根式的定义，把形如的式子叫做二次根式．根据二次根式的定义判断即可． 【详解】解：A、当时，不是二次根式； B、∵，∴不是二次根式； C、当时，，不是二次根式； D、∵，∴一定是二次根式． 故选：D． 2．（本题3分）一个正六边形的内角和等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了多边形的内角和公式，掌握边形内角和为是解题的关键． 根据多边形的内角和公式直接计算即可． 【详解】解：由题意得：， 故选：C． 3．（本题3分）如图，以点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，则点表示的数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理，实数与数轴，正确利用勾股定理求出是解题的关键．先利用勾股定理求出，再根据题意得到，则点所表示的数为． 【详解】解：由题意得， ∵以点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点， ∴， ∴点表示的数为， 故选：C． 4．（本题3分）如图，矩形内有两个相邻的白色正方形，其面积分别为32和2，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C．6 D．8 【答案】C 【分析】根据图形可以求得图中阴影部分的面积=大长方形面积两个正方形面积，本题得以解决．本题考查二次根式混合运算的实际应用，解答本题的关键是明确题意，求出大小正方形的边长，利用数形结合的思想解答． 【详解】解：由题意可得，大正方形的边长为，小正方形的边长为， ∴题图中阴影部分的面积为． 故选：C． 5．（本题3分）如图，在中，，，是的中点，过点作的垂线，垂足为点，点为直线上的任意一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查中垂线的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质．在的延长线上取点，使，连接交直线于点，此时的最小值为的长，利用勾股定理结合等腰直角三角形的判定和性质，求解即可． 【详解】解：在的延长线上取点，使，连接交直线于点，此时的最小值为的长， ∴直线垂直平分， ∴， ∴， 作于点， ∵，， ∴，，， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为． 故选：C． 6．（本题3分）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴负半轴上，顶点在直线上，若点的横坐标是8，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点B作轴，垂足为点D，先求出，由勾股定理求得，再由菱形的性质得到轴，最后由平移即可求解． 【详解】解：过点B作轴，垂足为点D， ∵顶点在直线上，点的横坐标是8， ∴，即， ∴， ∵轴， ∴由勾股定理得：， ∵四边形是菱形， ∴轴， ∴将点B向左平移10个单位得到点C， ∴点， 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数的图像，勾股定理，菱形的性质，点的坐标平移，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 7．（本题3分）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查幂的运算、积的乘方、二次根式的加减法则．需逐一分析各选项的正确性． 【详解】解：A． 同底数幂相乘，底数不变，指数相加，故，但选项结果为，错误． B． 积的乘方需将每个因式分别乘方，且负数的奇数次方为负数，故，但选项结果为，错误． C． 二次根式相减不能直接合并为被开方数相减．例如，时，，而，错误． D． 同类二次根式相加，系数相加，根式部分不变，故，正确． 综上，正确答案为D． 故选：D． 8．（本题3分）如图，将长方形沿直线折叠，顶点恰好落在边上点处，已知，，则边的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题注意考查勾股定理与折叠问题．设边的长为，首先根据长方形的性质得出，，，进而求出的长度，然后根据折叠的性质得出，，然后根据勾股定理求解即可． 【详解】解：设边的长为， ∵四边形是长方形， ∴，，． ， ． 由折叠的性质可知，， ． 在中， ∵， ， 解得， ∴边的长为， 故选：C． 9．（本题3分）如图，正方形的边长为2，点E是边的中点，连接，将沿直线翻折到正方形所在的平面内，得，延长交于点G．和的平分线相交于点H，连接，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正方形与折叠问题，勾股定理，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，连接，证明，可得，设，则，根据勾股定理可得，再利用角平分线的性质得到点到的距离相等，利用面积之比即可解答，正确作出辅助线，利用勾股定理列方程解得是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ，四边形是正方形， ，， 点E是边的中点， , 将沿直线翻折得， ，, ， ， ， ， 设，则， 根据勾股定理可得, 即， 解得， ， 和的平分线相交于点H， 点到的距离相等， ， 故选：A． 10．（本题3分）已知在矩形中，对角线交于点O，，点E在边上，，点F在边上，将四边形沿翻折，点D恰好与点O重合，点C落在处，与交于点G，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了翻折变换、矩形的性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质等知识点，说明为等腰直角三角形是解题的关键． 如图：过点O作交于点M，交于点N，，根据翻折的性质证明是等腰直角三角形，然后利用勾股定理以及三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：如图：过点O作交于点M，交于点N，， 由翻折可知： ∵， ∴， ∵在矩形中，对角线交于点O， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴，则， 同理可得， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，根据勾股定理，得， ∴，解得：， ∴， ∴的面积为． 故选：B． 二、填空题（共15分） 11．（本题3分）若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围为__________． 【答案】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，掌握被开方数为非负数是解题关键．先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可． 【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义， ∴， 解得． 故答案为：． 12．（本题3分）直角三角形的两直角边长为5和12，则该三角形的斜边长为____________． 【答案】13 【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．由勾股定理得出斜边长，即可得解． 【详解】解：∵直角三角形的两直角边长为5和12， ∴该三角形的斜边长为． 故答案为：13． 13．（本题3分）如图，中，，点在的延长线上，，若平分，则______． 【答案】5 【分析】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，掌握平行四边形的性质是解题关键．由平行四边形的性质可知，，，进而得出，再由等角对等边的性质，得到，即可求出的长． 【详解】解：在中，， ，， ， 平分， ， ， ， ， 故答案为：5． 14．（本题3分）如图，在中，，，，D是边的中点，E是边上一点，连接．将沿翻折，点C落在上的点F处，则________． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理与折叠问题，勾股定理求出的长，折叠得到，，设，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：∵，，，D是边的中点， ∴， ∴， ∵将沿翻折，点C落在上的点F处， ∴，， ∴， 设，则：， 在中，由勾股定理，得：， 解得：； ∴； 故答案为：． 15．（本题3分）如图，正方形纸片中，E是上一点，将纸片沿过点E的直线折叠，使点A落在上的点G处，点B落在点H处，折痕交于点F．若，，则___________． 【答案】/ 【分析】由折叠性质可知，进而利用同角的余角相等证明，由此即可得出，进而确定．在中，根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：如图，连接交于点，过点作，垂足为， 则， ∵正方形， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴， 由折叠可知， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵ ∴， 设正方形边长为，则， ∵， ∴， 在中，，即 解得：或（不合题意舍去） ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的判定与性质，掌握折叠的性质，根据垂直模型证明是解题关键． 三、解答题（共75分） 16．（本题10分）计算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的混合运算，正确计算是解题的关键： （1）根据二次根式的性质化简，再进行加减运算即可； （2）根据平方差公式，完全平方公式展开，再进行加减运算即可 【详解】（1）原式； （2）原式． 17．（本题9分）某数学兴趣小组开展了笔记本电脑的张角大小的实践探究活动．如图，当张角为时，顶部边缘处离桌面的高度为，此时底部边缘A处与处间的距离为，求顶部边缘处到底部边缘A处的距离． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 在中，由勾股定理求出即可． 【详解】解：由题意可知，，，， 在中，由勾股定理得：， 故笔记本电脑的顶部边缘处到底部边缘A处的距离为． 18．（本题9分）学习了平行四边形后，小虹进行了拓展性研究．她发现，如果作平行四边形一条对角线的垂直平分线，那么这个平行四边形的一组对边截垂直平分线所得的线段被垂足平分． 她的解决思路是通过证明对应线段所在的两个三角形全等得出结论．请根据她的思路完成以下作图与填空： 用直尺和圆规，作的垂直平分线交于点E，交于点F，垂足为点O．（只保留作图痕迹）    已知：如图，四边形是平行四边形，是对角线，垂直平分，垂足为点O． 求证：． 证明：∵四边形是平行四边形， ∴． ∴ ① ． ∵垂直平分， ∴ ② ． 又___________③ ． ∴． ∴． 小虹再进一步研究发现，过平行四边形对角线中点的直线与平行四边形一组对边相交形成的线段均有此特征．请你依照题意完成下面命题： 过平行四边形对角线中点的直线 ④ ． 【答案】作图：见解析；；；；被平行四边形一组对边所截，截得的线段被对角线中点平分 【分析】根据线段垂直平分线的画法作图，再推理证明即可并得到结论． 【详解】解：如图，即为所求；    证明：∵四边形是平行四边形， ∴． ∴ ． ∵垂直平分， ∴． 又 ． ∴． ∴． 故答案为：；；； 由此得到命题：过平行四边形对角线中点的直线被平行四边形一组对边所截，截得的线段被对角线中点平分， 故答案为：被平行四边形一组对边所截，截得的线段被对角线中点平分． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质，作线段的垂直平分线，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的性质及线段垂直平分线的作图方法是解题的关键． 19．（本题9分）已知有两块面积均为108平方厘米的正方形纸板．现甲，乙两种操作方案．甲方案：在纸板上裁出一个面积为24平方厘米，且宽为厘米的长方形纸板①；乙方案：将纸板的一边减少厘米，另一边减少厘米，得到长方形纸板②； (1)求甲方案中裁出的长方形纸板①的长； (2)求乙方案中得到的长方形纸板②的面积； (3)小明准备在纸板①，②中选出一个，剪出长2厘米，宽厘米的纸条，请直接写出小明应该选择哪个，才能使剪出的纸条最多？ 【答案】(1)厘米 (2)18平方厘米 (3)小明应该选择长方形纸板①，才能使剪出的纸条最多 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，解题的关键是理解题意，熟练掌握二次根式运算法则． （1）根据长方形面积公式列式解答即可； （2）先求正方形的边长，然后求出乙方案中长方形的长和宽，然后求出结果即可； （3）分别画图，求出纸板①，②中可以剪出的纸条条数，然后进行判断即可． 【详解】（1）解：甲方案中裁出的长方形纸板①的长为： （厘米）； （2）解：∵正方形纸板的面积为108平方厘米， ∴正方形的边长为厘米， ∵将纸板的一边减少厘米，另一边减少厘米，得到长方形纸板②， ∴乙方案中得到的长方形纸板②的长为： （厘米）， 宽为：（厘米）， ∴乙方案中得到的长方形纸板②的面积为： （平方厘米）； （3）解：长方形纸板①的长为厘米，宽为厘米， 长方形纸板②的长为厘米，宽为厘米， ∵，，，， ∴长方形纸板①和长方形纸板②可以剪出长2厘米，宽厘米的纸条条数，如图所示： ∴长方形纸板①可以剪出6个长2厘米，宽厘米的纸条，长方形纸板②可以剪出4个长2厘米，宽厘米的纸条， ∴小明应该选择长方形纸板①，才能使剪出的纸条最多． 20．（本题9分）【问题背景】 著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为，大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为，，斜边长为，则. 【探索求证】 古今中外，勾股定理有很多证证明方法，如图②，与按如图所示位置放置，连接CD，其中，请你利用图②推导勾股定理. 【问题解决】 如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，其中，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（、、在同一条直线上），并新修一条路CH，且.测得千米，千米，求新路CH比原路CA少多少千米？ 【延伸扩展】 在第（2）向中若时，，，，，设，求的值. 【答案】探索求证：见解析；问题解决：千米；延伸扩展： 【分析】此题主要考查了勾股定理的证明与应用： （1）梯形的面积可以由梯形的面积公式求出，也可利用三个直角三角形面积求出，两次求出的面积相等列出关系式，化简即可得证； （2）设千米，则千米，根据勾股定理列方程，解得即可得到结果； （3）在和中，由勾股定理得求出，列出方程求解即可得到结果． 【详解】解：（1）， ， ∴， 即； （2）设千米，则千米， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， 即千米， ∴（千米）， ∴新路比原路少千米； （3）设，则， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∴， 即， 解得：． 21．（本题9分）【模型建立】 （1）如图1，已知和，，，，．用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由． 【模型应用】 （2）如图2，在正方形中，点E，F分别在对角线和边上，，．用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由． 【模型迁移】 （3）如图3，在正方形中，点E在对角线上，点F在边的延长线上，，．用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由． 【答案】（1），理由见详解，（2），理由见详解，（3），理由见详解 【分析】（1）直接证明，即可证明； （2）过E点作于点M，过E点作于点N，先证明，可得，结合等腰直角三角形的性质可得：， ，即有，，进而可得，即可证； （3）过A点作于点H，过F点作，交的延长线于点G，先证明，再结合等腰直角三角形的性质，即可证明． 【详解】（1），理由如下： ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； （2），理由如下： 过E点作于点M，过E点作于点N，如图， ∵四边形是正方形，是正方形的对角线， ∴，平分，， ∴， 即， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，，， ∴四边形是正方形， ∴是正方形对角线，， ∴， ， ∴，， ∴，即， ∵， ∴， 即有； （3），理由如下， 过A点作于点H，过F点作，交的延长线于点G，如图， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵在正方形中，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质等知识，题目难度中等，作出合理的辅助线，灵活证明三角形的全等，并准确表示出各个边之间的数量关系，是解答本题的关键． 22．（本题10分）综合与实践 如图1，在中，是的平分线，的延长线交外角的平分线于点． 【发现结论】 结论1：___________； 结论2：当图1中时，如图2所示，延长交于点，过点作的垂线交于点，交的延长线于点．则与的数量关系是___________． 【应用结论】 （1）求证：； （2）在图2中连接，，延长交于点，补全图形，求证：． 【答案】【发现结论】结论1：；结论2：相等（或）；【应用结论】（1）见解析；（2）见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的定义、三角形外角的性质、等边对等角、等角对等边、勾股定理等知识，熟练掌握知识点推理证明是解题的关键． [发现结论]结论1：根据角平分线的定义、三角形外角的性质，推出， ，即可得出； 结论2：根据已知，和结论1 ，得出，根据角平分线的定义得出，进一步推出，利用证明，即可得出； [应用结论]（1）根据过点作的垂线交于点，得出，推出，结合结论2： ，利用证明，即可证明； （2）连接，，延长交于点，根据垂线的定义得出，由结论2得：，由（1）过程得：，根据等边对等角、勾股定理、全等三角形的性质，推出，，，根据对顶角相等得出 ，推出，进一步得出，，根据等角对等边得出，，即可证明． 【详解】解：[发现结论]结论1： ∵是的平分线，的延长线交外角的平分线于点， ∴，， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：； 结论2： ∵，由结论1得， ∴， ∵是的平分线，过点作的垂线交于点， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：相等（或）； [应用结论]（1）证明：∵过点作的垂线交于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵由结论2得：， ∴在和中， ∴， ∴； （2）证明：如图，连接，，延长交于点， ∵过点作的垂线交于点， ∴， ∵由结论2得：，由（1）过程得：， ∴，，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴． 23．（本题10分）在中，，点是边上一动点（点不与点、重合），连接． (1)如图1，若，求的长； (2)如图2，将线段绕点顺时针旋转至位置，连接，过点作的垂线交于点，求证：； (3)如图3，以为直角顶点，在下方作直角，点为的中点，连接，点为的中点，连接，若，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了勾股定理，三角形全等的判定和性质 (1) 过点作，垂足为，勾股定理，分母有理化计算即可． (2) 过点作的平行线交于点，分别证明，即可． (3) 连接，取其中点G，连接并延长交于点H，利用三角形中位线定理，垂线段最短，斜边最长，勾股定理计算即可． 【详解】（1）过点作，垂足为，     设，则， ∴， ∴， ∴． （2）过点作的平行线交于点， ∵， ∴ 同理可得： 又， ∴， ∴ 在和中 ∴， ∴ 又∴ 在和中 ∴ ． （3）如图，连接，取其中点G，连接并延长交于点H， ∵ 点为的中点， ∴ 是的中位线， ∴， ∵  ， ∴， 过点D作，交的反向延长线于点O， 则四边形是矩形， ∴， ∵  ， ∴， ∴， ∴， ∵ ， ∴， 取的中点K，连接， 则是的中位线， ∴， ∵ ， ∴， 连接， ∵ ，， ∴，， ∵ ，， ∴三点共线， ∴， 取的中点P，连接， 则，， ∴， ∴的平行线间的距离为， 根据垂线段最短， 当时，取得最小值，且， 当与点A重合，点Q与点P重合时，取得最大值，且， 故的取值范围是． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 期中押题卷2025-2026学年新教材人教版八年级数学下册 （时间：100分钟，总分：120分） 一、单选题（共30分） 1．（本题3分）下列各式中，一定是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 2．（本题3分）一个正六边形的内角和等于（    ） A． B． C． D． 3．（本题3分）如图，以点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，则点表示的数为（　　） A． B． C． D． 4．（本题3分）如图，矩形内有两个相邻的白色正方形，其面积分别为32和2，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C．6 D．8 5．（本题3分）如图，在中，，，是的中点，过点作的垂线，垂足为点，点为直线上的任意一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 6．（本题3分）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴负半轴上，顶点在直线上，若点的横坐标是8，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 7．（本题3分）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 8．（本题3分）如图，将长方形沿直线折叠，顶点恰好落在边上点处，已知，，则边的长为（    ） A． B． C． D． 9．（本题3分）如图，正方形的边长为2，点E是边的中点，连接，将沿直线翻折到正方形所在的平面内，得，延长交于点G．和的平分线相交于点H，连接，则的面积为（   ） A． B． C． D． 10．（本题3分）已知在矩形中，对角线交于点O，，点E在边上，，点F在边上，将四边形沿翻折，点D恰好与点O重合，点C落在处，与交于点G，则的面积为（   ） A． B． C． D． 二、填空题（共15分） 11．（本题3分）若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围为__________． 12．（本题3分）直角三角形的两直角边长为5和12，则该三角形的斜边长为____________． 13．（本题3分）如图，中，，点在的延长线上，，若平分，则______． 14．（本题3分）如图，在中，，，，D是边的中点，E是边上一点，连接．将沿翻折，点C落在上的点F处，则________． 15．（本题3分）如图，正方形纸片中，E是上一点，将纸片沿过点E的直线折叠，使点A落在上的点G处，点B落在点H处，折痕交于点F．若，，则___________． 三、解答题（共75分） 16．（本题10分）计算 (1)； (2)． 17．（本题9分）某数学兴趣小组开展了笔记本电脑的张角大小的实践探究活动．如图，当张角为时，顶部边缘处离桌面的高度为，此时底部边缘A处与处间的距离为，求顶部边缘处到底部边缘A处的距离． 18．（本题9分）学习了平行四边形后，小虹进行了拓展性研究．她发现，如果作平行四边形一条对角线的垂直平分线，那么这个平行四边形的一组对边截垂直平分线所得的线段被垂足平分． 她的解决思路是通过证明对应线段所在的两个三角形全等得出结论．请根据她的思路完成以下作图与填空： 用直尺和圆规，作的垂直平分线交于点E，交于点F，垂足为点O．（只保留作图痕迹）    已知：如图，四边形是平行四边形，是对角线，垂直平分，垂足为点O． 求证：． 证明：∵四边形是平行四边形， ∴． ∴ ① ． ∵垂直平分， ∴ ② ． 又___________③ ． ∴． ∴． 小虹再进一步研究发现，过平行四边形对角线中点的直线与平行四边形一组对边相交形成的线段均有此特征．请你依照题意完成下面命题： 过平行四边形对角线中点的直线 ④ ． 19．（本题9分）已知有两块面积均为108平方厘米的正方形纸板．现甲，乙两种操作方案．甲方案：在纸板上裁出一个面积为24平方厘米，且宽为厘米的长方形纸板①；乙方案：将纸板的一边减少厘米，另一边减少厘米，得到长方形纸板②； (1)求甲方案中裁出的长方形纸板①的长； (2)求乙方案中得到的长方形纸板②的面积； (3)小明准备在纸板①，②中选出一个，剪出长2厘米，宽厘米的纸条，请直接写出小明应该选择哪个，才能使剪出的纸条最多？ 20．（本题9分）【问题背景】 著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为，大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为，，斜边长为，则. 【探索求证】 古今中外，勾股定理有很多证证明方法，如图②，与按如图所示位置放置，连接CD，其中，请你利用图②推导勾股定理. 【问题解决】 如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，其中，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（、、在同一条直线上），并新修一条路CH，且.测得千米，千米，求新路CH比原路CA少多少千米？ 【延伸扩展】 在第（2）向中若时，，，，，设，求的值. 21．（本题9分）【模型建立】 （1）如图1，已知和，，，，．用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由． 【模型应用】 （2）如图2，在正方形中，点E，F分别在对角线和边上，，．用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由． 【模型迁移】 （3）如图3，在正方形中，点E在对角线上，点F在边的延长线上，，．用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由． 22．（本题10分）综合与实践 如图1，在中，是的平分线，的延长线交外角的平分线于点． 【发现结论】 结论1：___________； 结论2：当图1中时，如图2所示，延长交于点，过点作的垂线交于点，交的延长线于点．则与的数量关系是___________． 【应用结论】 （1）求证：； （2）在图2中连接，，延长交于点，补全图形，求证：． 23．（本题10分）在中，，点是边上一动点（点不与点、重合），连接． (1)如图1，若，求的长； (2)如图2，将线段绕点顺时针旋转至位置，连接，过点作的垂线交于点，求证：； (3)如图3，以为直角顶点，在下方作直角，点为的中点，连接，点为的中点，连接，若，直接写出的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $