精品解析：黑龙江绥化市望奎县火箭乡中学等校2025-2026学年度第二学期二模九年级 数学试题

2025-2026学年度第二学期二模 初四年级数学试题 考生注意： 1．考试时间120分钟 2．全卷共三道大题，总分120分 一、单项选择题（本题共12个小题，每小题3分，共36分） 1. 下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，熟知二者的定义是解题的关键； 根据中心对称图形的定义和轴对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A、是中心对称图形但不是轴对称图形，不符合题意，故此选项错误； B、既是轴对称图形也是中心对称图形，不符合题意，故此选项错误； C、既是轴对称图形也是中心对称图形，不符合题意，故此选项错误； D、是轴对称图形但不是中心对称图形，符合题意，故此选项正确； 故选：D． 2. 长江是我国第一大河，它的全长约为630万米，将630万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：630万． 3. 由一些完全相同的小正方体组成的几何体的主视图、左视图和俯视图如图所示，则组成这个几何体的小正方体的个数是（ ） A. 11个 B. 10个 C. 9个 D. 8个 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了由三视图还原几何体，由主视图可得，该几何体分为三层，由左视图可知该几何体分为三列，由俯视图可知最下面一层有6个小正方体，由左视图和主视图可知第二层有2个小正方体，第三次有1个小正方体，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，根据三视图可以确定每个位置的小正方体数量， ∴组成这个几何体的小正方体的个数是个， 故选：C． 4. 如图，直线，矩形的顶点A在直线b上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，平行线的判定和性质，过点 作，得到，推出，进行求解即可． 【详解】解：∵矩形， ∴， 过点 作， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 故选C． 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】A、，故选项A错误； B、二次根式要求被开方数为非负数，，而、无意义，故选项B错误； C、与不是同类项，不能合并，故选项C错误； D、根据积的乘方法则，积的乘方等于各因式分别乘方，， 故选项D正确． 6. 如图，在中，，，若的周长为，则的周长是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用，证△ADE∽△ABC，得，由求得即可． 【详解】在中，， ∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C， ∴△ADE∽△ABC ， ∴， ∵， ∴， 故选择：C． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定定理，会利用相似三角形的性质解决问题是关键． 7. 如果将一组数据中每个数都减去6，那么所得的一组新数据（ ） A. 众数改变，方差改变 B. 众数不变，平均数改变 C. 中位数改变，方差不变 D. 中位数不变，平均数不变 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平均数、众数、中位数、方差，根据平均数、众数、中位数、方差的定义判断即可得出答案． 【详解】解：如果将一组数据中每个数都减去6，那么所得的一组新数据的众数、中位数、平均数都减少6，方差不变， 故选：C． 8. 如图，在中，，，，则 与 间的距离为（ ） A. 5 B. 10 C. D. 26 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质可得，与互相平分，推得，根据勾股定理求得，推得，即可求解． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴，与互相平分， 又∵， ∴， 在中，， ∴， 故 与 间的距离为10； 故选：B． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，平行线间的距离，勾股定理，熟练掌握以上性质是解题的关键． 9. 如图，在半径为6的中，弦于点 ，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接，，先求出，再求出，然后根据得出答案． 【详解】连接，， 在中，， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，弧长公式，掌握弧长公式是解题的关键．即． 10. 某校组织八年级108名学生去综合实践基地参加“两天一晚”的社会实践活动．工作人员在安排宿舍时每间比原计划多住1名学生，结果比原计划少用了9间宿舍．设原计划每间宿舍住名学生，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分式方程，根据“工作人员在安排宿舍时每间比原计划多住1名学生，结果比原计划少用了9间宿舍”列方程即可． 【详解】解：由原计划每间宿舍住名学生，原来所用房间数为，实际所用房间数为． ∴所列方程为． 故选：C． 11. 如图，在平面直角坐标系中，四边形的边与轴的正半轴重合，，轴，对角线交于点．已知的面积为4.若反比例函数的图象恰好经过点，则 的值为（ ） A. B. C. D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】过点M作ME⊥x轴于点E，则有ME∥BD，，进而可得、，然后根据相似三角形的面积比与相似比的关系可进行求解． 【详解】解：过点M作ME⊥x轴于点E，如图所示： ∵轴， ∴ME∥BD， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵的面积为4， ∴， ∵， ∴， 由题可知△OMB、△OBD的高是相同的，则有， ∴， ∵ME∥BD， ∴， ∴， ∴， 由反比例函数k的几何意义可得：， ∵， ∴； 故选B． 【点睛】本题主要考查反比例函数k的几何意义及相似三角形的性质与判定，熟练掌握反比例函数k的几何意义及相似三角形的性质与判定是解题的关键． 12. 如图，已知开口向上的抛物线与轴交于点，对称轴为直线．下列结论：①；②；③若关于的方程一定有两个不相等的实数根；④.其中正确的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】利用二次函数图象与性质逐项判断即可． 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴， ∵抛物线与y轴交点在负半轴， ∴， ∵对称轴为， ∴， ∴， 故①正确； ∵抛物线的对称轴为， ∴， ∴， 故②正确； ∵函数与直线有两个交点． ∴关于的方程一定有两个不相等的实数根， 故③正确； ∵时，即， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， 故④正确， 故选：D 【点睛】此题考查的是二次函数的图象与系数的关系，由开口，对称轴，与y轴交点分别判断出系数的正负，这些内容都是解决问题的关键． 二、填空题（本题共10个小题，每小题3分，共30分） 13. 计算：________． 【答案】 【解析】 【分析】根据有理数乘方法则、绝对值的性质、有理数混合运算法则计算即可． 【详解】解： ． 14. 式子在实数范围内有意义，则的取值范围是___________． 【答案】且 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件进行求解即可． 【详解】解：∵式子在实数范围内有意义， ∴， ∴且， 故答案为：且． 【点睛】本题主要考查了分式有意义的条件，二次根式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是分母不为0，二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0是解题的关键． 15. 分解因式： _______________ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题关键．先提取公因式，再利用平方差公式进行分解． 【详解】解： ， 故答案为： 16. 若是方程的两根，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，代数式求值，解题关键是掌握若方程的两个实数根分别为、，则，．根据一元二次方程根与系数的关系，得到，，再根据多项式乘多项式法则将代数式展开，代入计算求值即可． 【详解】解：是方程的两根， ，， ， 故答案为：． 17. 如图，已知与位似，位似中心为O，且与的周长之比是，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了位似变换，相似三角形的判定与性质，根据位似图形的定义可得，，从而可得，再证明，得出，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵与位似，位似中心为O， ∴，， ∵与的周长之比是， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 18. 计算：_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式的混合运算法则，先计算括号内的加法，对多项式因式分解后，将除法转化为乘法，约分即可得到结果． 【详解】 ． 19. 从一栋二层楼的楼顶点A处看对面的教学楼，探测器显示，看到教学楼底部点B处的俯角为45°，看到楼顶顶部点C处的仰角为60°，已知两栋楼之间的水平距离为6米，那么教学楼的高________米．（结果保留根号） 【答案】 【解析】 【分析】过点A作于点D．则米，在Rt△ACD中， ，解得，在中， ，解得，由可得出答案． 【详解】解：过点A作于点D． 则米，，， 在中，， 解得， 在中，， 解得， ∴米． 故答案为：． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握特殊角的三角函数值是解答本题的关键． 20. 如图，在边长为6的正方形中，点为对角线上一动点，于于，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，证出四边形为矩形，由矩形的性质得出，当时，取得最小值，此时是等腰直角三角形，得出，即可得出结果．本题考查了正方形的性质、矩形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质以及垂线段最短问题；熟练掌握矩形的对角线相等是解决问题的关键． 【详解】解：连接，如图所示： ∵四边形是正方形， ∴，，， ∵于E，于F， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， 当时，取得最小值， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故答案为： 21. 如图所示，将形状、大小完全相同的“●”和线段按照一定规律摆成下列图形，第1幅图中“●”的个数为3个，第2幅图中“●”的个数为8个，第3幅图中“●”的个数为15个……以此类推，则第11幅图中“●”的个数为_______个． 【答案】143 【解析】 【分析】根据题意得到即可得到答案． 【详解】解：由题意可知，第1幅图中“●”的个数为， 第2幅图中“●”的个数为， 第3幅图中“●”的个数为， ， 则第11幅图中“●”的个数为． 22. 如图，是矩形的对角线，，垂足为 ，点，分别在线段， 上，．若是以为腰的等腰三角形，，，则的长是______． 【答案】或 【解析】 【分析】作，，分别交 于点、，根据题意可设，则，再根据矩形的性质，勾股定理，含角的直角三角形的性质，用含有的式子表示出、、，然后根据是以为腰的等腰三角形，分为和两种情况讨论即可求解． 【详解】解：作，，分别交 于点、， 四边形是矩形， ，，， 设，则， 在中，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， 当，则， 即， 解得：，， 或； 在中，， ， ， 在中，， 当时，则， 即， 解得：， ， ， 不符合题意，舍去； 综上所述，或， 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，含角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，解题的关键是灵活运用这些性质，分类讨论． 三、解答题（本题共6个小题，共54分） 23. 如图，中，． （1）在图中用无刻度的直尺和圆规作的外接圆O；（保留作图痕迹） （2）若，，求的内切圆半径． 【答案】（1） 如图所示即为的外接圆， （2） 【解析】 【分析】本题主要考查三角形外接圆，内切圆，勾股定理，垂径定理，掌握勾股定理及垂径定理是解题的关键． （1）用尺规作边和的垂直平分线，两线相交于点O进而作出的外接圆； （2）根据勾股定理和等面积法即可求出内切圆的半径． 【小问1详解】 解：如图所示即为的外接圆， 【小问2详解】 解：连接、，设交 于点， ∵， ， 根据垂径定理，得，， ， 设内切圆半径为， ， 内切圆半径． 24. 我校新一学年社团课即将开启，为了解初中部1200名学生对学校设置的篮球、羽毛球、乒乓球、踢毽子、跳绳共5项体育活动的喜爱情况，在全校范围内随机抽查部分学生，对他们喜爱的体育项目（每人只选一项）进行了问卷调查，将统计数据绘制成如图两幅不完整统计图，请根据图中提供的信息解答下列各题． （1）___________，这次共抽取了___________名学生进行调查；并补全条形图； （2）请你估计该校约有___________名学生喜爱打篮球； （3）现学校准备从喜欢跳绳活动的4人（三女一男）中随机选取2人进行体能测试，请利用列表或画树状图的方法，求抽到一男一女学生的概率是多少？ 【答案】（1），， 补全图形如图所示； （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率以及扇形统计图、条形统计图的知识．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． （1）首先由条形图与扇形图可求得；由打篮球的人数有人，占的百分比为，可得总人数；计算出喜欢乒乓球的人数，然后补全条形统计图； （2）用乘以样本中喜欢篮球的百分比可估计出该校最喜爱打篮球的人数； （3）首先根据题意画出表格，然后由表格即可求得所有等可能的结果与抽到一男一女学生的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【小问1详解】 解：， 抽查的总人数为：； 喜欢乒乓球的人数为：(人)． 故答案为：，． 【小问2详解】 解：∵ ∴该校约有名学生喜爱打篮球． 故答案为：． 【小问3详解】 列表如下： 女1 女2 女3 男 女1 女2，女1 女3，女1 男，女1 女2 女1，女2 女3，女2 男，女2 女3 女1，女3 女2，女3 男，女3 男 女1，男 女2，男 女3，男 ∵所有可能出现的结果共12种情况，并且每种情况出现的可能性相等．其中一男一女的情况有6种． ∴抽到一男一女学生的概率是． 25. 端午节是我国的传统节日，人们素有吃粽子的习俗．端午节前夕，某超市打算购进甲、乙两种畅销的粽子，已知购进2箱甲种粽子和1箱乙种粽子需用128元；购进1箱甲种粽子和4箱乙种粽子需用176元． （1）求甲种粽子每箱的进价和乙种粽子每箱的进价各是多少元； （2）超市计划用不超过7680元的资金购进甲、乙两种粽子共200箱，其中甲种粽子的数量不低于乙种粽子数量的，则超市共有几种购进方案？当购进两种粽子各多少箱时，所需资金最少？最少资金是多少元？ （3）该超市租用大、小两辆货车运输粽子，两车同时出发，途经休息区时大货车休息1小时后加速行驶，而小货车没有休息继续原速行驶，结果大货车比小货车早到达超市0.5小时，大、小两车离出发地的路程（单位：千米）与小货车出发的时间（单位：小时）的函数图象如图所示，请结合图象解答下列问题： ①大货车休息前的速度为__________千米∕时；小货车的速度为__________千米∕时； ②请直接写出小货车出发多少小时两车相距30千米． 【答案】（1）甲种粽子每箱进价元，乙种粽子每箱进价元 （2）共6种方案，购进甲种粽子75箱，乙种粽子125箱时，所需资金最少为元 （3）①75，60；②出发，3，小时 【解析】 【分析】（1）设甲种粽子每箱的进价是x元，则乙种粽子每箱的进价是y元，根据题意可得二次方程，解方程即可； （2）设购进甲种粽子m箱，则购进乙种粽子箱，根据题意可得关于m的一元一次不等式组，解不等式组可得m的取值范围，m取整数即可得购进方案；设所需资金为W，根据题意得：，根据一次函数的性质求最小值即可； （3）①根据甲车出发2小时，甲车的路程为150千米，乙车出发2.5小时，乙车的路程为150千米，利用路程除以时间，即可得解； ②先根据图象求出大货车休息后的速度，再分三种情况：大货车休息前；大货车休息后再次出发前；大货车再次出发后；分别列方程求解． 【小问1详解】 解：设甲种粽子每箱的进价是x元，则乙种粽子每箱的进价是y元． ， 解得， 答：甲种粽子每箱的进价是48元，乙种粽子每箱的进价是32元； 【小问2详解】 解：设购进甲种粽子m箱，则购进乙种粽子箱， ， 解得， 又∵m为正整数， ∴m可以取75，76，77，78，79，80， ∴该商店有6种进货方案； 设所需资金为W元，根据题意得： ， ∵， ∴时，所需资金W最小， 此时，， 答：购进甲种粽子75箱，乙种粽子125箱时，所需资金最少为元； 【小问3详解】 解：①根据题意，得： 大货车休息前的速度为千米/时； 小货车的速度为千米/时； ②当时，大货车开始休息； 当时，大货车休息后再次出发； 小货车到达超市时间，大货车到达超市时间， ∴大货车休息后的速度为千米/时； 大货车休息前： ∵两车相距30千米， ∴， 解得：； 大货车休息后再次出发前： ， 解得：； 大货车再次出发后，大货车行驶与起点的距离 ∴， 解得：或； 即出发2小时或3小时或小时两车相距30千米． 26. 如图，在中，，点为 上一点，且，过三点作是的直径，连接． （1）求证：是的切线； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∵是直径， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2） 【解析】 【分析】本题考查的是切线的判定定理、相似三角形的判定和性质以及圆周角定理，掌握相似三角形的判定定理和性质定理、切线的判定定理是解题的关键． （1）根据等腰三角形的性质、圆周角定理证明，根据切线的判定定理证明； （2）过点D作于点，根据等腰三角形的三线合一得到，根据勾股定理求出，根据相似三角形的判定和性质计算. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：过点D作于点， ∵，， ∴， 又∵，， ∴， 又∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 27. 已知正方形与正方形，点是的中点，连接，． （1）如图1，点 在 上，点 在 的延长线上，请判断，的数量关系与位置关系，并直接写出结论； （2）如图2，点 在 的延长线上，点 在 上，请判断，的数量关系与位置关系，并直接写出结论： （3）将图1中的正方形绕点旋转，使， ，三点在一条直线上，若，，请直接写出的长______． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）结论：．延长，交 于点，先证出，根据全等三角形的性质可得，，再证出是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质即可得； （2）结论：．延长，交延长线于点，先证出，根据全等三角形的性质可得，，再证出是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质即可得； （3）分两种情况：①当点 在线段上时，连接，过点作于点，延长至点，使得，连接，先证出，，根据全等三角形的性质可得 ，再证出是等腰直角三角形，然后利用勾股定理可得，则可得，，最后在中，利用勾股定理求解即可得；②当点在线段上时，过点作于点，同样的方法可得，，，在中，利用勾股定理求解即可得． 【小问1详解】 解：． 如图，延长，交 于点， ∵四边形与四边形都是正方形， ∴，，，， ∴， ∵点是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴，即， ∴是等腰直角三角形， 又∵， ∴． 【小问2详解】 解：． 如图，延长，交延长线于点， 同理可证：， ∴，， ∴，即， ∴是等腰直角三角形， 又∵， ∴． 【小问3详解】 解：①当点 在线段上时， 如图，连接，过点作于点，延长至点，使得，连接， ∵四边形与四边形都是正方形，，， ∴，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， 又∵， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴在中，； ②当点在线段上时， 如图，过点作于点， 同理可得：，， ∴， ∴在中，； 综上，的长为或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了正方形的性质、三角形全等的判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、二次根式的化简等知识，较难的是题（3），正确分两种情况讨论是解题关键． 28. 如图，抛物线与直线交轴、轴于 、两点，与轴的另一个交点为，是直线 上方抛物线上的一动点，轴于点，交 于点 ． （1）求抛物线的解析式； （2）若，求点的坐标； （3）连接、，求四边形面积最大值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（）求出点的坐标，再利用待定系数法解答即可； （）设点，点，则点，可得，，列出方程解答即可求解； （）设，则，即得，再根据可得，再根据二次函数的性质解答即可求解； 本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的最值和几何应用，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【小问1详解】 解：当时，， ∴， 当时，， ∴， ∴， 将代入得， ， 解得， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：设点，点，则点， ∴，， 当时，， 解得，（不合题意，舍去）， ∴； 【小问3详解】 解：设，则， ∴， ∴ ， ∵，， ∴当时，取最大值，最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第二学期二模 初四年级数学试题 考生注意： 1．考试时间120分钟 2．全卷共三道大题，总分120分 一、单项选择题（本题共12个小题，每小题3分，共36分） 1. 下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 长江是我国第一大河，它的全长约为630万米，将630万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 由一些完全相同的小正方体组成的几何体的主视图、左视图和俯视图如图所示，则组成这个几何体的小正方体的个数是（ ） A. 11个 B. 10个 C. 9个 D. 8个 4. 如图，直线，矩形的顶点A在直线b上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，，若的周长为，则的周长是（ ） A. B. C. D. 7. 如果将一组数据中每个数都减去6，那么所得的一组新数据（ ） A. 众数改变，方差改变 B. 众数不变，平均数改变 C. 中位数改变，方差不变 D. 中位数不变，平均数不变 8. 如图，在中，，，，则与间的距离为（ ） A. 5 B. 10 C. D. 26 9. 如图，在半径为6的中，弦于点，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 10. 某校组织八年级108名学生去综合实践基地参加“两天一晚”的社会实践活动．工作人员在安排宿舍时每间比原计划多住1名学生，结果比原计划少用了9间宿舍．设原计划每间宿舍住 名学生，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在平面直角坐标系中，四边形的边 与 轴的正半轴重合，，轴，对角线交于点．已知的面积为4.若反比例函数的图象恰好经过点，则 的值为（ ） A. B. C. D. 12 12. 如图，已知开口向上的抛物线与 轴交于点，对称轴为直线．下列结论：①；②；③若关于 的方程一定有两个不相等的实数根；④.其中正确的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本题共10个小题，每小题3分，共30分） 13. 计算：________． 14. 式子在实数范围内有意义，则 的取值范围是___________． 15. 分解因式： _______________ ． 16. 若是方程的两根，则的值是______． 17. 如图，已知 与位似，位似中心为O，且 与的周长之比是，则的值为___________． 18. 计算：_______． 19. 从一栋二层楼的楼顶点A处看对面的教学楼，探测器显示，看到教学楼底部点B处的俯角为45°，看到楼顶顶部点C处的仰角为60°，已知两栋楼之间的水平距离为6米，那么教学楼的高________米．（结果保留根号） 20. 如图，在边长为6的正方形中，点为对角线上一动点，于于，则的最小值为________． 21. 如图所示，将形状、大小完全相同的“●”和线段按照一定规律摆成下列图形，第1幅图中“●”的个数为3个，第2幅图中“●”的个数为8个，第3幅图中“●”的个数为15个……以此类推，则第11幅图中“●”的个数为_______个． 22. 如图，是矩形的对角线，，垂足为，点，分别在线段，上，．若是以为腰的等腰三角形，，，则的长是______． 三、解答题（本题共6个小题，共54分） 23. 如图， 中，． （1）在图中用无刻度的直尺和圆规作 的外接圆O；（保留作图痕迹） （2）若，，求 的内切圆半径． 24. 我校新一学年社团课即将开启，为了解初中部1200名学生对学校设置的篮球、羽毛球、乒乓球、踢毽子、跳绳共5项体育活动的喜爱情况，在全校范围内随机抽查部分学生，对他们喜爱的体育项目（每人只选一项）进行了问卷调查，将统计数据绘制成如图两幅不完整统计图，请根据图中提供的信息解答下列各题． （1）___________，这次共抽取了___________名学生进行调查；并补全条形图； （2）请你估计该校约有___________名学生喜爱打篮球； （3）现学校准备从喜欢跳绳活动的4人（三女一男）中随机选取2人进行体能测试，请利用列表或画树状图的方法，求抽到一男一女学生的概率是多少？ 25. 端午节是我国的传统节日，人们素有吃粽子的习俗．端午节前夕，某超市打算购进甲、乙两种畅销的粽子，已知购进2箱甲种粽子和1箱乙种粽子需用128元；购进1箱甲种粽子和4箱乙种粽子需用176元． （1）求甲种粽子每箱的进价和乙种粽子每箱的进价各是多少元； （2）超市计划用不超过7680元的资金购进甲、乙两种粽子共200箱，其中甲种粽子的数量不低于乙种粽子数量的，则超市共有几种购进方案？当购进两种粽子各多少箱时，所需资金最少？最少资金是多少元？ （3）该超市租用大、小两辆货车运输粽子，两车同时出发，途经休息区时大货车休息1小时后加速行驶，而小货车没有休息继续原速行驶，结果大货车比小货车早到达超市0.5小时，大、小两车离出发地的路程（单位：千米）与小货车出发的时间 （单位：小时）的函数图象如图所示，请结合图象解答下列问题： ①大货车休息前的速度为__________千米∕时；小货车的速度为__________千米∕时； ②请直接写出小货车出发多少小时两车相距30千米． 26. 如图，在 中，，点为上一点，且，过三点作是的直径，连接． （1）求证：是的切线； （2）若，求的长． 27. 已知正方形与正方形，点是的中点，连接，． （1）如图1，点在上，点在的延长线上，请判断，的数量关系与位置关系，并直接写出结论； （2）如图2，点在的延长线上，点在上，请判断，的数量关系与位置关系，并直接写出结论： （3）将图1中的正方形绕点旋转，使，，三点在一条直线上，若，，请直接写出的长______． 28. 如图，抛物线与直线交 轴、轴于、两点，与 轴的另一个交点为，是直线上方抛物线上的一动点，轴于点，交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）若，求点的坐标； （3）连接、，求四边形面积最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $