期中培优：平行四边形的性质与全等三角形综合、坐标系中的平行四边形问题专项训练-2025-2026学年人教版八年级数学下册

期中培优：平行四边形的性质与全等三角形综合、坐标系中的平行四边形问题专项训练 期中培优：平行四边形的性质与全等三角形综合、坐标系中的平行四边形问题 专项训练 考点目录 平行四边形的性质与全等三角形综合 坐标系中的平行四边形问题 考点一 平行四边形的性质与全等三角形综合 例1．（25-26八年级下·上海徐汇·月考）如图，在中，，于点E，点P是上的动点，连接． (1)若，，，求的长； (2)过点P作交于点F，过点B作于点H，交于点N，若，，求证：． 【答案】(1)的长为1 (2)证明见解析 【分析】（1）设，则，在中，，在中，，建立方程即可求解； （2）连接，证明，可得，，有，再证明，可得，则，则由即可得结论． 【详解】（1）解：∵在中，， ∴， 设，则， ∵， ∴， 在中，， 在中，， ∴， 解得， ∴的长为1． （2）证明：连接， ∵， ， ∴， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，，， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴． 例2．（25-26八年级下·湖北武汉·月考）在平行四边形中，点是对角线的中点，点在边上，的延长线与边交于点，连接，如图1． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，过点作的垂线，与分别交于点，如图． ①求证：；②已知，直接写出的长_________． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；② 【分析】（1）通过证明，得，又，即可证明四边形是平行四边形； （2）①根据，，得，，则有，再证，得出，然后证明，得，进而根据等腰直角三角形的性质即可解决问题； ②根据题意设，勾股定理求得，得出，进而得出的长，再根据等面积法，即可求解． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，点是对角线的中点， ，， ． 在和中， ， ， ． ， 四边形是平行四边形； （2）①证明：如图2，过点作于点，过点作于点， ，， ，， ， ，， ， ， ，， ， ， 又，， ， ， ，， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 又， ． ②∵ 设 ∵ ∴ ∴ 又∵ ∴是等腰直角三角形， ∴， 在中， ∴ ∴ ∵， ∴ 例3．（25-26八年级下·浙江金华·月考）如图1，在中，O是对角线的中点，过点O的直线分别与，交于点E，F，将四边形沿折叠得到四边形，点M在上方，交线段于点T，交线段于点H，交线段于点G，连接． (1)求证：； (2)求证：； (3)如图2，若，求、的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)4； 【分析】（1）根据平行四边形的性质，证明，得到．根据折叠性质，得到．等量代换即可得证． （2）根据平行四边形的性质，折叠的性质，证明，，继而证明，延长交的延长线于点K，延长交的延长线于点L，证明，得到，，根据等腰三角形的三线合一性质即可证明． （3）过点H作交的延长线于点Q，过点O作于点R，连接，过点C作于点K，得到，根据折叠的性质，勾股定理等证明是等腰直角三角形，再利用勾股定理解答即可． 【详解】（1）证明：， ∴，， ∴．， 在和中， ∵， ∴， ∴． ∵四边形沿折叠得到四边形， ∴． ∴． （2）证明：∵四边形沿折叠得到四边形， ∴，，，， ， ∴，， ∴，，， ∴，， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 延长交的延长线于点K，延长交的延长线于点L， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴，， ∴． （3）解：过点H作交的延长线于点Q，过点O作于点R，连接， ，， ， ， ， ， ， ， ， 过点C作于点K， ，， ， ， 根据折叠的性质，得， ； ，， ， ， ，， ， ， 是等腰直角三角形， ，， ， ， ， 根据（2）证明，得， ， ， ． 变式1．（25-26九年级下·陕西西安·月考）如图，在中，，，点E为上一动点，与相交于点G，，垂足为H，的延长线与相交于点F． (1)若，求的长； (2)当时，求的度数； (3)当点E在线段上运动时，试探究三者之间的数量关系． 【答案】(1) (2) (3)，理由见解析 【分析】本题主要考查等腰直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质以及角度计算，熟练掌握性质定理是解题的关键． （1）根据勾股定理求出，得到是等腰直角三角形，求出，即可得到答案； （2）利用等腰直角三角形以及平行四边形的性质求出，根据求出，再根据算出，最后由算出答案即可； （3）延长交的延长线于点P，根据得到，证明，根据全等三角形的性质证明，证明，得到，再根据即可得到结论； 【详解】（1）解：， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， 四边形是平行四边形， ； （2）解：， 是等腰直角三角形， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：，理由如下： 如图，延长交的延长线于点P， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， 又， ， ， ， ． 变式2．（25-26八年级上·福建泉州·期末）如图，在中，点是的中点，连接．将沿翻折至，点的对应点，落在内．射线交于，与射线相交于．延长交于． (1)求证：； (2)连接，若，平分． ①求证：； ②若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；②见解析 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质，勾股定理，解决本题的关键是根据平行四边形的性质与全等三角形的性质找边、角之间的关系． （1）因为四边形是平行四边形，所以，可得内错角相等；由折叠的性质得，得到，推出，因为点E是中点，所以，又由翻折知，所以；利用全等三角形的判定定理即可证明； （2）①因为，所以是等腰三角形，由翻折可得；因为平分，所以；再结合平行四边形的性质，可得角的关系，进而推出；②由（1）的全等可得相关线段相等，结合平行四边形的性质得到线段间的关系；再结合①中，利用勾股定理建立线段的等式，通过等量代换推导得出结论． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 由折叠的性质得， ∴， ∴， ∴，即， ∵点E是中点， ∴， 由翻折知， ∴； ∵， ∴； （2）①证明：如图， ∵， ∴是等腰三角形， ∴， 由翻折可得，，即， ∵平分， ∴； ∵在中，， ∴，， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， 由（1）知， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②由①知， ∴， ∴， ∴， ∵点E是中点， ∴，， ∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形，即， ∵，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 由折叠的性质得， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， 过点作于点， 则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 考点二 坐标系中的平行四边形问题 例1．（24-25七年级下·云南昆明·期中）法国数学家、哲学家笛卡尔发明了平面直角坐标系平面直角坐标系的意义在于它提供了一种统一、精确的方法把几何与代数紧密的结合在一起来分析和解决问题，同时为实际问题的解决提供了强大的工具，推动了数学和相关学科的发展． 如图，点的坐标为，点在轴上，将三角形沿轴正方向平移，平移后的图形为三角形，且平移后点的对应点的坐标为． (1)点的坐标为______，点的坐标为______； (2)在四边形中，点从点出发，沿“”运动若点的运动速度为每秒个单位长度，运动时间为秒，回答下列问题： 当时，设，，，试问三个结论：，，，你认为哪个正确？请说明理由； 当时，存在点运动到某一位置时，直线将把四边形的面积分成：的两部分，请求出此时点的坐标． 【答案】(1)， (2)正确，理由见解析 或 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用以及平移的坐标变化，通过割补法来求解不规则图形的面积是本题解题的关键； （1）根据平移的性质可知，对应点横纵坐标变化量相同，根据点坐标可以求出点坐标，从而得到平移量，根据，坐标可以求出，坐标； （2）①过作，根据平行线的性质求解即可；②假设点坐标，用点坐标表示出两部分的面积，根据两部分的面积比求解点坐标即可． 【详解】（1）解：由图可知，从平移到，纵坐标没有变化， ， ， 向右平移了个单位长度， ，， ，； 故答案为：，； （2）解：①正确，理由如下： ，， ， 当时，， 在上， 过作，如图： ，， ， ， ，， ， 即； ②当时，在上， 设， ，， ， ， ：：或：， 解得：或， 或． 例2．（2025·河南周口·模拟预测）（1）如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，已知点，，如何求顶点C的坐标呢?下面是小明和小颖的求解思路：    小明：如图，分别过点B，C向x轴作垂线，垂足为D和E，   在平行四边形中，有，，则 ，又，故（ ），所以，…… 小颖：在平行四边形中，有，且，因为点O水平向右平移3个单位长度得到点，所以点水平向右平移3个单位长度得到点C，于是点C的坐标为 ． 请将填空处的内容依次填在横线上： ， ， ． （2）如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，已知点，，求顶点R的坐标．    【答案】（1），，（2） 【分析】本题考查了平行四边形的性质、点坐标的规律、由平移方式确定点的坐标、全等的判定及性质： （1）根据平行四边形的性质得到两直线平行，同位角相等，证得两个三角形全等，得到对应边相等；根据平移的规律可得到点的坐标； （2）方法一是根据证明两个三角形全等得到结果；方法二是根据平移的规律得到结果； 正确理解平行四边形的性质是解题的关键． 【详解】解：（1）小明：由平行四边形的性质得到， ∴， 再根据两个三角形的两个角及一条边对应相等可得到两个直角三角形相等， ∴得到的条件是； 小颖：根据平移的方式，点水平向右平移3个单位长度得到点C，横坐标加3， 即； 故答案为：，，； （2）方法1：如图，作轴于点M，过点P作x轴的平行线，过点R作y轴的平行线，两者交于点N， 则，延长交x轴于点S，    ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又点，故点R的坐标为， 方法2：在平行四边形中，有， ∵原点O先水平向右平移4个单位长度，再竖直向上平移1个单位长度，得到点， ∴点，经过同样的平移方式可得到点R，则点R的坐标为． 例3．（25-26八年级上·广东广州·开学考试）如图，平面直角坐标系中有三点，，，其中满足．平移线段得到线段，点的对应点为点，连接． (1)填空：____________，____________； (2)轴上是否存在点，使得三角形的面积是平行四边形的面积的2倍，若存在这样的点，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，3 (2)存在，或 【分析】此题是四边形综合题，主要考查了平移的性质，非负性，三角形的面积和平行四边形的面积． （1）利用非负数的性质建立方程求解即可得出结论； （2）先求出平行四边形的面积，进而求出的面积，再利用的面积求出，再用的面积求出，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵满足， ∴，， ∴，， 故答案为：，3； （2）解：存在，理由： 由（1）知，，， ∴，， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， 如图，连接交于E，连接， ， 由平移得，， ∴， ∴， ∴， ∵三角形的面积是平行四边形的面积的2倍， ∴， ∴， ∴， 设， ∴， ∴或， ∴或． 变式1．（25-26八年级下·江苏无锡·月考）如图，在直角坐标系中，点是坐标原点，四边形是平行四边形，点的坐标为，点的坐标为，． (1)求点的坐标和的对称中心的坐标； (2)动点从点出发，沿方向以每秒个单位的速度向点匀速运动，同时动点从点出发，沿方向以每秒个单位的速度向点匀速运动．当其中一点到达终点时，另一点也停止运动．设点运动的时间为秒，则当为何值时，的面积是面积的一半？ (3)当的面积是面积的一半时，在平面直角坐标系中找到一点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)点C的坐标为，平行四边形的对称中心的点的坐标为； (2)当点P运动4秒时，的面积是平行四边形的一半； (3)点M的坐标为或或 【分析】（1）根据平行四边形与直角坐标系中坐标的性质，可直接写出点的坐标；平行四边形的对称中心即是对角线的中点； （2），根据三角形的面积公式列出方程，继而求出此时的值即可， （3）根据（2）中得出的值，找出此时点和的位置，然后根据平行四边形的性质直接写出点的坐标即可， 本题考查了平行四边形的判定与性质，三角形的面积及一元二次方程的应用，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形， ， 点A的坐标为，点B的坐标为，； ∴点C的坐标为，平行四边形的对称中心的点的坐标为， （2）解：根据题意得：， ∴， 即：， ，解得：， 故答案为：当点P运动4秒时，的面积是平行四边形的一半， （3）解时，由（2）知，此时点与点重合，画出图形如下所示，    此时轴，轴，，，，， 根据平行四边形的性质，可知，， ∴，即，，即：，，即：， 故答案为：点M的坐标为或或． 变式2．（24-25八年级下·江苏南京·期末）对于平面直角坐标系中的图形M、N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，称P、Q两点间距离的最小值为图形M、N间的“最近距离”，记作在中，点，，，． (1)点O，______． (2)若点P在y轴正半轴上，点P，，求点P的坐标； (3)若已知点，，，，顺次连接点E、F、H、G，将得到的四边形记为图形 ①当时，直接写出的值； ②若，直接写出a的取值范围． 【答案】(1) (2)点P坐标为或 (3)①的值为； ②或或 【分析】（1）由A，B，C，D的点坐标可知O为对角线的交点，可知点O到的距离相等且为6；点O到的距离相等；如图1，记与y轴的交点为M，，在中，由勾股定理得，设O到的距离为h，根据，求出h的值，然后与6比较取最小值即可； 作于Q，分为点P在点M的上方和下方，两种情况讨论，由点P，，可知，且，在中，由勾股定理得，求出的值，进而可得P点坐标； ①由，可得、、、，在坐标系中描点，依次连接，即为图形W，过点H作，垂足为K，延长，交于N，由E、F、G、H点坐标可知，进而得到，可知，根据勾股定理求出，即可求解； ②过点E，G作直线，分别交于点P，L，由E，F，H，G的点坐标可知，，四边形是一个大小不变的平行四边形，且E点沿着直线运动，分情况求解：当在x轴下方和上方，即当和，两种情况讨论即可． 【详解】（1）解：由A，B，C，D的点坐标可知O为对角线的交点， 点O到的距离相等且为6；点O到的距离相等； 如图1，记与y轴的交点为M， ， ， ， 在中，由勾股定理得， 设O到的距离为h， ， ， 解得， ， 点O,的值为， 故答案为：； （2）解：作于Q， 如图1，当点P在点M的上方时， 点P,， ， ， ， 在中，由勾股定理得， ， ∴点P坐标为； 如图2，当点P在点M的下方时， 同理可得：， ， 点P坐标为； 综上，点P坐标为或； （3）解：①， ， 在坐标系中描点，依次连接如图3所示，即为图形W，过点H作，垂足为K，延长，交于N， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， （负值舍去）， ， ， ， 的值为； ②如图，将向左向右各平移1个单位距离，向上或向下各移动个单位距离，如图： 当在内或外时，符合题意， 点， 直线：，直线：，直线：，直线：， 直线，直线，直线，直线， 直线，直线，直线，直线， 点， 、G在直线上，F、H在直线上， ， 或或， 解得：或或 变式3．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）如图1，在平面直角坐标系平行四边形中，点C坐标为，点A在x轴上，，．动点P从点O出发，沿射线以每秒2个单位的速度运动，同时，动点Q从点A出发沿边向点O以每秒1个单位的速度运动．当点Q到达点O时，点P也随之停止运动，设运动时间为t秒． (1)的长为 ，的长为 ； (2)当t为何值时，线段恰好被平分？ (3)如图2，若在y轴上有一点D，使得以P，Q，C，D为顶点的四边形是平行四边形，则点D的坐标为 （直接写出答案）． 【答案】(1)4，8 (2)4秒 (3)或 【分析】本题考查了坐标与图形，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，合理作出辅助线，构造直角三角形，注意理解运动情况，分类讨论思想是解题的关键． （1）过C作于E，根据直角三角形的性质，结合点C坐标求出，从而求出和； （2）过Q作交于N，设与交于M，根据平行四边形的性质证明得到，从而求出t值； （3）分为平行四边形对角线，为平行四边形对角线两种情况，结合平行四边形的性质求解． 【详解】（1）解：过C作于E，如图1， ∴， ， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， （2）解： 运动时间为t（）， 由题意，得，， 如图，过Q作交于N，设与交于M，如图2， 线段被平分， ， 四边形为平行四边形， ， 又， 四边形是平行四边形， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ，， ∴当t为4秒时，线段恰好被平分； （3）解：在中，， ， ， ，， ， ， 过P作于F，则，如图1， ， ， ， ， ， D在y轴上， ， 当为平行四边形对角线时，如图所示， 平行四边形中，，， ， ， ， ， ； 当为平行四边形对角线时，如图所示， 平行四边形中，，， ， ， ， ， ； 综上，点D的坐标为或 2 学科网（北京）股份有限公司 $期中培优：平行四边形的性质与全等三角形综合、坐标系中的平行四边形问题专项训练 期中培优：平行四边形的性质与全等三角形综合、坐标系中的平行四边形问题 专项训练 考点目录 平行四边形的性质与全等三角形综合 坐标系中的平行四边形问题 考点一 平行四边形的性质与全等三角形综合 例1．（25-26八年级下·上海徐汇·月考）如图，在中，，于点E，点P是上的动点，连接． (1)若，，，求的长； (2)过点P作交于点F，过点B作于点H，交于点N，若，，求证：． 例2．（25-26八年级下·湖北武汉·月考）在平行四边形中，点是对角线的中点，点在边上，的延长线与边交于点，连接，如图1． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，过点作的垂线，与分别交于点，如图． ①求证：；②已知，直接写出的长_________． 例3．（25-26八年级下·浙江金华·月考）如图1，在中，O是对角线的中点，过点O的直线分别与，交于点E，F，将四边形沿折叠得到四边形，点M在上方，交线段于点T，交线段于点H，交线段于点G，连接． (1)求证：； (2)求证：； (3)如图2，若，求、的长． 变式1．（25-26九年级下·陕西西安·月考）如图，在中，，，点E为上一动点，与相交于点G，，垂足为H，的延长线与相交于点F． (1)若，求的长； (2)当时，求的度数； (3)当点E在线段上运动时，试探究三者之间的数量关系． 变式2．（25-26八年级上·福建泉州·期末）如图，在中，点是的中点，连接．将沿翻折至，点的对应点，落在内．射线交于，与射线相交于．延长交于． (1)求证：； (2)连接，若，平分． ①求证：； ②若，求证：． 考点二 坐标系中的平行四边形问题 例1．（24-25七年级下·云南昆明·期中）法国数学家、哲学家笛卡尔发明了平面直角坐标系平面直角坐标系的意义在于它提供了一种统一、精确的方法把几何与代数紧密的结合在一起来分析和解决问题，同时为实际问题的解决提供了强大的工具，推动了数学和相关学科的发展． 如图，点的坐标为，点在轴上，将三角形沿轴正方向平移，平移后的图形为三角形，且平移后点的对应点的坐标为． (1)点的坐标为______，点的坐标为______； (2)在四边形中，点从点出发，沿“”运动若点的运动速度为每秒个单位长度，运动时间为秒，回答下列问题： 当时，设，，，试问三个结论：，，，你认为哪个正确？请说明理由； 当时，存在点运动到某一位置时，直线将把四边形的面积分成：的两部分，请求出此时点的坐标． 例2．（2025·河南周口·模拟预测）（1）如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，已知点，，如何求顶点C的坐标呢?下面是小明和小颖的求解思路：    小明：如图，分别过点B，C向x轴作垂线，垂足为D和E，   在平行四边形中，有，，则 ，又，故（ ），所以，…… 小颖：在平行四边形中，有，且，因为点O水平向右平移3个单位长度得到点，所以点水平向右平移3个单位长度得到点C，于是点C的坐标为 ． 请将填空处的内容依次填在横线上： ， ， ． （2）如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，已知点，，求顶点R的坐标．    例3．（25-26八年级上·广东广州·开学考试）如图，平面直角坐标系中有三点，，，其中满足．平移线段得到线段，点的对应点为点，连接． (1)填空：____________，____________； (2)轴上是否存在点，使得三角形的面积是平行四边形的面积的2倍，若存在这样的点，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 变式1．（25-26八年级下·江苏无锡·月考）如图，在直角坐标系中，点是坐标原点，四边形是平行四边形，点的坐标为，点的坐标为，． (1)求点的坐标和的对称中心的坐标； (2)动点从点出发，沿方向以每秒个单位的速度向点匀速运动，同时动点从点出发，沿方向以每秒个单位的速度向点匀速运动．当其中一点到达终点时，另一点也停止运动．设点运动的时间为秒，则当为何值时，的面积是面积的一半？ (3)当的面积是面积的一半时，在平面直角坐标系中找到一点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标． 变式2．（24-25八年级下·江苏南京·期末）对于平面直角坐标系中的图形M、N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，称P、Q两点间距离的最小值为图形M、N间的“最近距离”，记作在中，点，，，． (1)点O，______． (2)若点P在y轴正半轴上，点P，，求点P的坐标； (3)若已知点，，，，顺次连接点E、F、H、G，将得到的四边形记为图形 ①当时，直接写出的值； ②若，直接写出a的取值范围． 变式3．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）如图1，在平面直角坐标系平行四边形中，点C坐标为，点A在x轴上，，．动点P从点O出发，沿射线以每秒2个单位的速度运动，同时，动点Q从点A出发沿边向点O以每秒1个单位的速度运动．当点Q到达点O时，点P也随之停止运动，设运动时间为t秒． (1)的长为 ，的长为 ； (2)当t为何值时，线段恰好被平分？ (3)如图2，若在y轴上有一点D，使得以P，Q，C，D为顶点的四边形是平行四边形，则点D的坐标为 （直接写出答案）． 2 学科网（北京）股份有限公司 $