专题08 平行四边形及特殊平行四边形中的动点问题（高效培优期中专项训练）数学新教材人教版八年级下册

专题08 平行四边形及特殊平行四边形中的动点问题 考点01 动点问题中探究存在直角三角形 考点02 动点问题中探究存在等腰三角形 考点03 动点问题中探究三角形全等 考点04 动点问题中探究存在平行四边形 考点05 动点问题中探究存在特殊的平行四边形 考点06 动点问题中的其他关系 考点01 动点问题中探究存在直角三角形 1．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝40cm，∠A＝60°，点D从点C出发沿CA方向以2cm/s的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以1cm/s的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D，E运动的当游舞部由酒时间是ts．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF．当△DEF为直角三角形时，t的值为（　　） A．6或18 B．6或16 C．10或18 D．10或16 【答案】D 【解答】解：当t＝10或16时，△DEF为直角三角形；理由如下： ①∠EDF＝90°时，四边形EBFD为矩形． 在Rt△AED中，∠ADE＝∠C＝30°， ∴AD＝2AE．即40﹣2t＝2t， ∴t＝10； ②∠DEF＝90°时， ∵四边形AEFD是平行四边形， ∴EF∥AD， ∴∠ADE＝∠DEF＝90°． 在Rt△ADE中，∠A＝60°， ∴∠AED＝30°， ∴ADAE，即40﹣2tt， ∴t＝16； ③∠EFD＝90°时，此种情况不存在； 综上所述，当t＝10或16时，△DEF为直角三角形． 故选：D． 2．我们知道：“分类讨论”是一种分析问题的逻辑方法，可以将一个复杂问题按不同情况分成若干子问题，分别讨论每种情况，再将结果综合得出结论，请你用分类讨论的方法解决下列问题．如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA＝3，OC＝4，点M（2，0），在边AB上存在点P，使得△CMP为直角三角形，则点P的坐标可以为（　　） A．（3，1）或（3，3） B．或（3，3） C．或（3，1） D．或（3，1）或（3，3） 【答案】D 【解答】解：∵△CMP为直角三角形，∠CPM＝90°或∠CMP＝90°， ∴设P（3，a），则AP＝a，BP＝4﹣a； ①若∠CPM＝90°，在Rt△BCP中，由勾股定理得： CP2＝BP2+BC2＝（4﹣a）2+9， 在Rt△MPA中，由勾股定理得： MP2＝MA2+AP2＝1+a2， 在Rt△MPC中，由勾股定理得： CM2＝MP2+CP2＝1+a2+（4﹣a）2+9＝2a2﹣8a+26， 又∵CM2＝OM2+OC2＝4+16＝20， ∴2a2﹣8a+26＝20， ∴（a﹣3）（a﹣1）＝0， 解得：a＝3或a＝1， ∴P（3，3）或（3，1）； ②若∠CMP＝90°，在Rt△BCP中，由勾股定理得： CP2＝BP2+BC2＝（4﹣a）2+9， 在Rt△MPA中，由勾股定理得： MP2＝MA2+AP2＝1+a2， ∵CM2＝OM2+OC2＝20， 在Rt△MCP中，由勾股定理得： CM2+MP2＝CP2， ∴20+1+a2＝（4﹣a）2+9， 解得：a， ∴P（3，）． 综上，P（3，）或（3，1）或（3，3）． 故选：D． 3．已知矩形ABCD，AB＝4，E为BC上一点，BE＝10，点M是AD边上一动点（点M不与点A、D重合），当△BEM是直角三角形时，AM的值为　2或8或10　 ． 【答案】2或8或10． 【解答】解：①如图1，四边形ABCD是矩形，当∠BEM＝90°时， ∴∠A＝∠ABC＝90°， ∴∠A＝∠ABC＝∠BEM＝90°， ∴四边形ABEM是矩形， ∴AM＝BE＝10； ②如图2，当∠BM1E＝90°或∠BM2E＝90°时，过E作EF⊥AD于点F，则∠AFE＝90°， 同理可得：四边形ABEF是矩形， ∴AB＝EF＝4，AF＝BE＝10， 设AM1＝x，则FM1＝10﹣x， 由勾股定理得：，， ∴， 解得：x1＝2，x2＝8， ∴AM1＝2或AM1＝8， 同理：AM2＝2或AM2＝8， 综上所述，AM的值为2或8或10， 故答案为：2或8或10． 4．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠A＝90，AB＝12cm，AD＝4cm，CD＝15cm．点P是线段AB上一点，AP＝3cm，点Q从点C出发，以2cm/s的速度向点D运动，到达D点后运动立即停止，则t为 　6或　 秒时，△DPQ为直角三角形． 【答案】6或． 【解答】解：∵AB∥CD，∠A＝90， ∴∠ADC＝180°﹣∠A＝180°﹣90°＝90°， 分两种情况： ①如图1， 当∠DQP＝90°时， ∵∠ADQ＝∠A＝∠DQP＝90°， ∴四边形APQD为矩形， ∴DQ＝AP＝3cm， ∴CQ＝CD﹣DQ＝15﹣3＝12（cm）， ∴t＝12÷2＝6（秒）； ②如图2， 当∠DPQ＝90°时，过点P作PE⊥CD于点E， 则∠DEP＝90°， ∵∠ADE＝∠A＝∠DEP＝90°， ∴四边形APED为矩形， ∴DE＝AP＝3cm，PE＝AD＝4cm， 设EQ＝xcm，则DQ＝（3+x）cm， 在Rt△PDE中，由勾股定理得：， 在Rt△PQE中，由勾股定理得：PQ2＝PE2+EQ2， 在Rt△DPQ中，由勾股定理得：PQ2＝DQ2﹣DP2， ∴PE2+EQ2＝DQ2﹣DP2， 即42+x2＝（x+3）2﹣52， 解得：， ∴， ∴此时点Q运动的时间为：（秒）； 综上所述，t为6秒或秒时，△DPQ为直角三角形． 故答案为：6或． 5．如图，在矩形ABCD中，AB＝9，AD＝4．E为CD边上一点，CE＝6，连接AE．点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿着边BA向终点A运动，连接PE．设点P运动的时间为t秒，当t为 　或6　 时，△PAE为直角三角形． 【答案】或6． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，且AB＝9，AD＝4， ∴CD＝AB＝9，BC＝AD＝4，∠BAD＝∠B＝∠C＝∠D＝90°， ∵E为CD边上一点，CE＝6， ∴DE＝CD﹣CE＝3， 在Rt△ADE中，由勾股定理得：AE5， 依题意得：BP＝t， ∴PA＝AB﹣BP＝9﹣t， ∵∠PAE＜∠BAD＝90°， ∴当△PAE是直角三角形时，有以下两种情况： ①当∠PEA＝90°时，过点P作PF⊥CD于点F，如图1所示： ∴∠PFC＝∠PFE＝∠B＝∠C＝90°， ∴四边形PFCB是矩形， ∴PF＝BC＝4，CF＝BP＝t， ∴EF＝CE﹣CF＝6﹣t， 在Rt△PEF和△PAE中，由勾股定理得：PE2＝PF2+EF2＝PA2﹣AE2， ∴42+（6﹣t）2＝（9﹣t）2﹣52， 解得：t； ②当∠APE＝90°时，如图2所示： ∴∠APE＝∠BAD＝∠D＝90°， ∴四边形PEDA是矩形， ∴PA＝DE＝3， ∴9﹣t＝3， 解得：t＝6， 综上所述：当t为或6时，△PAE为直角三角形． 故答案为：或6． 6．如图，在矩形ABCD中，AB＝9，AD＝4．E为边CD上一点，CE＝6，连接AE．点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿着边BA向终点A运动，连接PE．设点P运动的时间为t秒，当t为何值时，△PAE为直角三角形？ 【答案】当t＝6或时，△PAE为直角三角形． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，AD＝4，AB＝9， ∴∠D＝90°，CD＝AB＝9， ∴DE＝3， ∴， 若∠EPA＝90°，t＝6； 若∠PEA＝90°，（6﹣t）2+42+52＝（9﹣t）2， 解得． 综上，当t＝6或时，△PAE为直角三角形． 考点02 动点问题中探究存在等腰三角形 7．如图，在菱形ABCD中，AB＝6cm，∠A＝60°，点P从点A出发，以1cm/s的速度沿AB向点B运动，同时，点Q从点C出发，以2cm/s的速度沿CB向点B运动，设点P的运动时间为ts，当△PDQ为等边三角形时，t的值为（　　） A．1 B．1.3 C．1.5 D．2 【答案】D 【解答】解：如图，延长AB至点M，使BM＝AP，连接QM． ∵四边形ABCD是菱形，∠A＝60°， ∴AB＝AD， ∴∠APD+∠ADP＝120°， ∵BM＝AP， ∴AD＝MP， ∵△PDQ为等边三角形， ∴DP＝PQ，∠DPQ＝60°， ∴∠MPQ+∠APD＝120°， ∴∠ADP＝∠MPQ． 在△ADP和△MPQ中， ， ∴△ADP≌△MPQ（SAS）， ∴AP＝MQ，∠M＝∠A＝60°． 又∵BM＝AP， ∴△BMQ是等边三角形， ∴BQ＝AP． ∵AP＝t cm，CQ＝2t cm， ∴BC＝CQ+BQ＝3t cm． ∵BC＝6cm． ∴3t＝6， ∴t＝2． 故选：D． 8．如图，在长方形ABCD中，AB＝3，AD＝5，动点P从点A出发，沿A→B→C→D运动，速度为1单位/秒，设运动时间为t秒，当△APD是以AD为腰的等腰三角形时，t的值为（　　） A．3或5或7 B．4或5.5 C．4或5.5或7 D．4或7 【答案】D 【解答】解：当点P的运动时间为t秒时，分两种情况讨论： 当点P在BC上时，DP＝AD＝5， ∵AB＝CD＝3， ∴； ∴AB+BP＝3+（5﹣4）＝t， ∴t＝4时，DP＝AD＝5， 当点P在BC上时，AP＝AD＝5，DE＝PE， ∴， ∴CP＝2， 同理可得：BP＝4， ∴AB+BP＝3+4＝t， ∴t＝7时，AP＝AD＝5，DE＝PE， ∴， ∴CP＝2， 故选：D． 9．如图，在长方形ABCD中，AB＝4，BC＝7．延长BC到点E，使CE＝3，连结DE．动点P从点B出发，沿BE以每秒1个单位的速度向终点E运动，当运动时间t为 　4或5或秒　 时，△PDE是等腰三角形． 【答案】4或5或秒． 【解答】解：∵四边形ABCD是长方形，且AB＝4，BC＝7， ∴CD＝AB＝1，AD＝BC＝7，∠DCB＝90°， ∴△DCP是直角三角形， ∵延长BC到点E，且CE＝3， ∴BE＝BC+CE＝7+3＝10，∠DCE＝90°， ∴△DCE是直角三角形， 由勾股定理得：DE5， 当△PDE是等腰三角形时，有以下三种情况： ①当DP＝DE＝5时，如图1所示： 在Rt△DCP中，由勾股定理得：PC3， ∴BP＝BC﹣PC＝7﹣3＝4， ∵点P从点B出发，沿BE以每秒1个单位的速度向终点E运动， ∴点P运动的时间t＝4÷1＝4（秒）； ②当PE＝DE＝5时，如图2所示： ∴PC＝PE﹣CE＝5﹣3＝2， ∴BP＝BC﹣PC＝7﹣2＝5， 此时点P运动的时间t＝5÷1＝5（秒）； ③当PD＝PE时，如图3所示： 设PC＝a，则PE＝PC+CE＝a+3， ∴PD＝PE＝a+3， 在Rt△PCD中，由勾股定理得：PD2＝PC2+CD2， ∴（a+3）2＝a2+42， 解得：a， ∴BP＝BC﹣PC， 此时点P运动的时间t（秒）， 综上所述：当运动时间t为4或5或秒时，△PDE是等腰三角形． 10．如图，在长方形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，现有一动点P从点A出发以1cm/s的速度，沿长方形的边AB→BC→CD→DA运动，点P返回到点A即停止．设点P的运动时间为ts，连接CP，DP，当△CDP是等腰三角形时，t的值为 　3秒或8秒或26秒　 ． 【答案】3秒或8秒或26秒． 【解答】解：在长方形ABCD中，AB＝CD＝6cm，AD＝BC＝8cm， ①当点P在AB上时，△CDP是等腰三角形， ∴PD＝CP， 由条件可知△DAP≌△CBP（HL）， ∴AP＝BP， ∴， ∴t＝3÷1＝3s， ②当点P在BC上时，△CDP是等腰三角形， 由条件可知CD＝CP＝6cm， ∴BP＝CB﹣CD＝2cm， ∴t＝（AB+BP）÷1＝（6+2）÷1＝8s， ③当点P在AD上时，△CDP是等腰三角形， 由条件可知DP＝CD＝6cm， ∴t＝（AB+BC+CD+DP）÷1＝（6+8+6+6）÷1＝26（秒）， 综上所述，t＝3秒或8秒或26秒时，△CDP是等腰三角形． 故答案为：3秒或8秒或26秒． 11．如图，矩形ABOC在平面直角坐标系中，点B，C分别在x轴，y轴上，A（8，4），点D为AB的中点，点P沿O→C→A运动，速度为每秒1个单位长度．若△ODP为等腰三角形，则点P的坐标为 　（0，4）或或　 ． 【答案】（0，4）或或． 【解答】解：在矩形ABOC中，A（8，4）， ∴B（8，0），C（0，4）， ∵D为AB的中点， ∴D（8，2）， ∴AC＝OB＝8，AD＝BD＝2， 设运动时间为t秒， 当DO＝DP时， 点P与点C重合，此时P（0，4）； 当PO＝PD时， PC＝t﹣4，AP＝8﹣（t﹣4）＝12﹣t， ∵OC2+PC2＝OP2＝PD2＝PA2+AD2， ∴42+（t﹣4）2＝（12﹣t）2+22， 解得：， ∴，即； 当OP＝OD时， 同理：PC＝t﹣4， ∵OC2+PC2＝OP2＝DD2＝BD2+OB2， ∴42+（t﹣4）2＝22+82， 解得：或（舍）， ∴，即； 综上：点P的坐标为（0，4）或或， 故答案为：（0，4）或或． 12．如图，在正方形ABCD中，AB＝4cm，点P是线段AB上一点，且AP＝3cm，点E是正方形边上一动点，运动路线为A→B→C→D→A，速度为每秒2cm，运动时间为t，△DPE是等腰三角形，则t的值为　或或　 ． 【答案】或或． 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝AD＝CD＝BC＝4cm， ∵AP＝3cm， ∴BP＝1cm， ①当DP＝DE时，如图， ∵AD＝CD，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°， ∴△ADP≌△CDE（HL）， ∴AP＝CE＝3cm， ∴BE＝PB＝1cm， 此时， ②当DE＝PE时，如图， 设DE＝PE＝xcm，则AE＝（4﹣x）cm， 则AE2+AP2＝PE2， 即（4﹣x）2+32＝x2， 解得， ∴， ③当DE＝PE时，如图， 设CE＝xcm，则BE＝（4﹣x）cm， 则CE2+DC2＝DE2，PB2+BE2＝PE2， ∴CE2+DC2＝PB2+BE2， 即x2+42＝12+（4﹣x）2， 解得， ∴， ∴， 综上可知，t的值为或或． 故答案为：或或． 考点03 动点问题中探究三角形全等 13．如图，已知长方形ABCD中，AD＝8cm，AB＝6cm，点E为AD的中点．若点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B运动．同时，点Q在线段BC上由点C向点B运动，若△AEP与△BPQ全等，则点Q的运动速度是（　　） A．2或 B．6或 C．2或6 D．1或 【答案】B 【解答】解：∵长方形ABCD， ∴∠A＝∠B＝90°， ∵点E为AD的中点，AD＝8cm， ∴AE＝4cm， 设点Q的运动速度为xcm/s， ①经过y秒后，△AEP≌△BQP，则AP＝BP，AE＝BQ， ， 解得，， 即点Q的运动速度cm/s时能使两三角形全等． ②经过y秒后，△AEP≌△BPQ，则AP＝BQ，AE＝BP， ， 解得：， 即点Q的运动速度6cm/s时能使两三角形全等． 综上所述，点Q的运动速度或6cm/s时能使两三角形全等． 故选：B． 14．如图，在长方形ABCD中，AB＝6，AD＝8．延长BC到点E，使CE＝4，连接DE，动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿BC→CD→DA向终点A运动．设点P的运动时间为t，当t的值为多少时，△ABP和△DCE全等？（　　） A．2或9 B．2或7 C．2 D．3或7 【答案】A 【解答】解：①当BP＝CE＝2时，△ABP和△DCE全等． 在△ABP和△DCE中， ， △ABP≌△DCE（SAS）， ∴BP＝2t＝4， 所以t＝2， ②当AP＝CE＝4，△ABP和△DCE全等． 与①同理，根据SAS证得： △BAP≌△DCE， ∴AP＝22﹣2t＝4， 解得t＝9． 所以，当t的值为2或9秒时．△ABP和△DCE全等． 故选：A． 15．如图，在正方形ABCD中，AB＝4cm，E是BC上的一点且CE＝3cm，连接DE，动点M从A点出发，沿着路径AB﹣BC﹣CD﹣DA以2cm/s的速度运动，运动到A点停止，设点M的运动时间为t秒，当△ABM和△DCE全等时，t的值是（　　） A．3.5s B．5.5s C．5.5s或6.5s D．3.5s或6.5s 【答案】D 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠C＝90°， 当△ABM和△DCE全等时，△ABM一定为直角三角形， 当点M在AB上时，不能构成三角形； 当点M在CD上时，如图1， 构成的不是直角三角形，此时△ABM和△DCE不全等； 当点M在BC上时，如图2， ∵△ABM≌△DCE， ∴BM＝CE＝3cm， 此时点M运动的路程为：AB+BM＝4+3＝7（cm）， 运动的时间为t＝7÷2＝3.5（s）； 当点M在AD上时，如图3， ∵△ABM≌△CDE， ∴AM＝CE＝3， 此时点M运动的路程为：AB+BC+CD+AD﹣AM＝4+4+4+4﹣3＝13（cm）， 运动的时间为：13÷2＝6.5（s）， 综上所述，当△ABM和△DCE全等时，t的值是3.5s或6.5s． 故选：D． 16．如图，已知长方形ABCD的边长AB＝10cm，BC＝8cm，点E在边AB上，AE＝4cm，如果点P从点B出发在线段BC上以2cm/s的速度向点C向运动，同时，点Q在线段CD上从点C以2cm/s的速度向点D运动，则能够使△BPE与△CQP全等的时间为（　　） A．1s B．2s C．3s D．4s 【答案】A 【解答】解：∵AB＝10cm，AE＝4cm， ∴BE＝AB﹣AE＝6cm， 设能够使△BPE与△CQP全等的时间为ts， 则BP＝2xcm，CP＝BC﹣BP＝（8﹣2x）cm，CQ＝2xcm， 分两种情况考虑： ①△BPE≌△CQP时， ∴CP＝BE， 即8﹣2x＝6， 整理得，2x＝2， 解得x＝1， 此时BP＝CQ＝2cm， ∴1s时能够使△BPE与△CQP全等； ②△BPE≌△CPQ， ∴CQ＝BE， 即2x＝6， 解得x＝3， 此时BP＝6cm，CP＝8﹣2x＝2， 即BP≠CP，与△BPE≌△CPQ矛盾（不符合题意，舍去）； 综上所述，能够使△BPE与△CQP全等的时间为1s． 所以只有选项A正确，符合题意， 故选：A． 17．如图，在长方形ABCD中，AB＝8cm，AD＝12cm，点P从点B出发，以2cm/s的速度沿BC边向点C运动，到达点C停止，同时，点Q从点C出发，以vcm/s的速度沿CD边向点D运动，到达点D停止，规定其中一个动点停止运动时，另一个动点也随之停止运动．在某一时刻，当v为　2或　 时，△ABP与△PCQ全等． 【答案】2或． 【解答】解：∵四边形ABCD是长方形， ∴∠B＝∠C＝90°，BC＝AD＝12cm， 当PC＝AB，CQ＝BP时，△ABP≌△PCQ（SAS）， ∵P、Q运动的路程和时间相同， ∴v＝2 当PC＝PB，CQ＝BA＝8cm时，△ABP≌△QCP（SAS）， ∵PBBC＝6（cm）， ∴P运动的时间是6÷2＝3（s）， ∴Q运动的速度是cm/s， ∴v， ∴当v为2或时，△ABP与△PCQ全等． 故答案为：2或． 18．如图，已知长方形ABCD的边长AB＝20cm，BC＝16cm，点E在边AB上，AE＝6cm，如果点P在线段BC上从点B向点C运动，同时，点Q在线段DC上从点D向点C运动，已知点P的运动速度是2cm/s．则点Q运动速度为　18或　 cm/s时，△BPE与△CQP全等． 【答案】18或． 【解答】解：分两种情况： ①当EB＝PC，BP＝QC时，△BPE≌△CQP， ∵AB＝20cm，AE＝6cm， ∴EB＝14cm， ∴PC＝14cm， ∵BC＝16cm， ∴BP＝2cm， ∵点P从点B出发在线段BC上以2cm/s的速度向点C运动， ∴t＝2÷2＝1（s）， ∴CQ＝BP＝2cm， ∴DQ＝20﹣2＝18（cm）， ∴Q点运动速度为18÷1＝18（cm/s）； ②当BP＝CP，BE＝QC时，△BEP≌△CQP， 由题意得：2t＝8， 解得：t＝4（s）， ∴BE＝CQ＝20﹣6＝20﹣4v， ∴Q点运动速度为6÷4（cm/s）； 故答案为：18或． 19．如图，在正方形ABCD中，AB＝3cm，延长BC到点E，使CE＝1cm，连接DE，动点P从点A出发，以每秒0.5cm的速度沿AB→BC→CD→DA向终点A运动．设点P的运动时间为t秒，当△PBC和△DCE全等时，t的值为 　4或14　 ． 【答案】4或14． 【解答】解：∵△DCE是直角三角形， ∴△PBC为直角三角形， ∴点P只能在AB上或者CD上， 当点P在AB上时，有BP＝CE， ∴BP＝CE＝1， ∴AP＝2， ∴t＝2÷0.5＝4， 当点P在CD上时，有CP＝CE＝1， ∴t＝（3+3+1）÷0.5＝14， 故答案为：4或14． 20．如图，在长方形ABCD中，AB＝6cm，BC＝10cm，点P以2cm/s的速度由点B向点C运动，同时点Q以acm/s的速度由点C向点D运动，且其中一点到达终点时，另一点也停止运动．若运动ts后，以A，B，P为顶点的三角形和以P，C，Q为顶点的三角形全等，则a的值为　2或　 ．（温馨提示：长方形的四个角都等于90°） 【答案】2或． 【解答】解：∵点P运动的时间为运动ts， ∴BP＝2tcm，CQ＝atcm， ∴PC＝（10﹣2t）cm． 根据题意得∠B＝∠C＝90°． ①若△ABP≌△PCQ，则BP＝CQ，AB＝PC， ∴6＝10﹣2t，2t＝at， ∴t＝2，a＝2； ②若△ABP≌△QCP，则BP＝CP，AB＝CQ， ∴2t＝10﹣2t，at＝6， ∴，． 综上所述，a的值为2或． 故答案为：2或． 考点04 动点问题中探究存在平行四边形 21．在等边三角形ABC中，BC＝6cm，射线AG∥BC，点E从点A出发，沿射线AG以1cm/s的速度运动，同时点F从点B出发，沿射线BC以2cm/s的速度运动，设运动时间为ts，当以A，F，C，E为顶点的四边形是平行四边形时，t的值为（　　） A．2 B．3 C．2或6 D．3或6 【答案】C 【解答】解：①点E从点A出发，沿射线AG以1cm/s的速度运动，同时点F从点B出发，沿射线BC以2cm/s的速度运动，设运动时间为ts， 当点F在C的左侧时， 根据题意得：AE＝tcm，BF＝2tcm，则CF＝BC﹣BF＝（6﹣2t）cm， ∵AG∥BC， ∴当AE＝CF时，四边形AECF是平行四边形， 即t＝6﹣2t， 解得：t＝2； ②当点F在C的右侧时， 根据题意得：AE＝tcm，BF＝2tcm，则CF＝BF﹣BC＝（2t﹣6）cm， ∵AG∥BC， ∴当AE＝CF时，四边形AEFC是平行四边形， 即t＝2t﹣6， 解得：t＝6； 综上可得：当t＝2s或6s时，以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形． 故选：C． 22．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，AD＝16，BC＝21，CD＝13，动点P从点B出发，沿射线BC以每秒3个单位的速度运动，动点Q同时从点A出发，在线段AD上以每秒1个单位的速度向终点D运动，当动点Q到达点D时，动点P也同时停止运动．设点P的运动时间为t（秒）．以点P、C、D、Q为顶点的四边形是平行四边形时t值为（　　）秒． A．2或 B． C．或 D． 【答案】C 【解答】解：∵四边形PQDC是平行四边形， ∴DQ＝CP， 当P从B运动到C时，且P在BC上， ∵DQ＝AD﹣AQ＝16﹣t，CP＝21﹣3t， ∴16﹣t＝21﹣3t， 解得t， ∴当t秒时，四边形PQDC是平行四边形； 当点P在BC延长线上时， ∴16﹣t＝3t﹣21， 解得t， ∴t秒或秒时，P、Q、D、C为顶点的四边形为平行四边形． 故选：C． 23．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝6cm，BC＝16cm，∠ABC的平分线交AD于点F，点E是BC的中点，点P以每秒1cm的速度从点A出发，沿AD向点F运动；点Q同时以每秒2cm的速度从点C出发，沿CB向点B运动，点P运动到F点时停止运动，点Q也同时停止运动，当以P、Q、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，运动的时间为（　　） A．2s B．5s C．2s或 D．5s或 【答案】C 【解答】解：∵平行四边形ABCD，BF是∠ABC的平分线， ∴∠AFB＝∠CBF＝∠ABF， ∴AF＝AB＝6， ∵点E是BC的中点， ∴， ∴点P运动到F时间为6÷1＝6s，点Q运动到E时间为8÷2＝4s， 当0≤t＜4时，AP＝t，CQ＝2t，则PF＝6﹣t，QE＝8﹣2t， 当以P、Q、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，PF＝QE， ∴6﹣t＝8﹣2t， 解得，t＝2， 当4≤t＜6时，AP＝t，CQ＝2t，则PF＝6﹣t，QE＝2t﹣8， 当以P、Q、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，PF＝QE， ∴6﹣t＝2t﹣8， 解得，， 综上所述，当以P、Q、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，运动的时间为2s或， 故选：C． 24．如图，在梯形ABCD中，AD＝8，BC＝12．点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿A→D运动，同时点Q从点C出发，以每秒4个单位长度的速度沿C→B→C→…往复运动，当点P到达端点D时，点Q随之停止运动．设点P，Q的运动时间为ts，在此运动过程中当四边形PQCD为平行四边形时，t的值为　或或　 ． 【答案】或或． 【解答】解：∵四边形ABCD是梯形， ∴AD∥BC， ∴当PD＝QC时，四边形PQCD是平行四边形， 当Q从C出发到B的运动过程中， ∵PD＝8﹣t，QC＝4t， ∴8﹣t＝4t， ∴t； 当Q从C出发到B后返回C的运动过程中， ∵PD＝8﹣t，QC＝12×2﹣4t， ∴8﹣t＝24﹣4t， ∴t； 当Q再次从C出发到B的过程中， ∵PD＝8﹣t，QC＝4t﹣12×2， ∴8﹣t＝4t﹣24， ∴t， 综上所述：在此运动过程中当四边形PQCD为平行四边形时，t的值为或或． 故答案为：或或． 25．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，AB＝8cm，DC＝10cm，E是DC上一点，且DE＝3，P从A点出发以1cm/s的速度向B点运动，同时Q从D点出发以2cm/s的速度向C点运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止，设运动时间为t（s），当以A、P、E、Q为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值． 【答案】当以A、P、E、Q为顶点的四边形是平行四边形时，t的值为1或3． 【解答】解：∵P从A点出发以1cm/s的速度向B点运动，同时Q从D点出发以2cm/s的速度向C点运动，设运动时间为t（s）， 当点Q在AE的左侧时，AP＝tcm，DQ＝2tcm， ∵DE＝3cm， ∴QE＝（3﹣2t）cm， ∵AB∥CD， ∴AP∥QE， 故当AP＝QE时，以 A、P、E、Q为顶点的四边形是平行四边形， ∴t＝3﹣2t， 解得t＝1（s）； 当点Q在AE的右侧时，AP＝tcm，DQ＝2tcm， ∵DE＝3cm， ∴QE＝（2t﹣3）cm， ∵AB∥CD， ∴AP∥QE， 故当AP＝QE时，以 A、P、E、Q为顶点的四边形是平行四边形， ∴t＝2t﹣3， 解得t＝3（s）． 则当以A、P、E、Q为顶点的四边形是平行四边形时，t的值为1或3． 考点05 动点问题中探究存在特殊的平行四边形 26．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝120cm，∠A＝60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/秒的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF．当四边形AEFD是菱形时，t的值为（　　） A．20秒 B．18秒 C．12秒 D．6秒 【答案】A 【解答】解：由题意CD＝4t，AE＝2t， ∵DF⊥BC于F， ∴∠DFC＝90° 在Rt△DFC中，∵∠C＝30°， ∴DFCD＝2t， ∴DF＝AE， ∵∠CFD＝∠B＝90°， ∴DF∥AE， ∴四边形DFEA是平行四边形， ∴当DF＝AD时，四边形DFEA是菱形． ∴120﹣4t＝2t， ∴t＝20s， ∴t＝20s时，四边形DFEA是菱形． 故选：A． 27．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝24cm，AB＝8cm，BC＝26cm．动点P从点A出发，沿边AD以1cm/s的速度向点D匀速运动，同时动点Q从点C出发，沿边CB以3cm/s的速度向点B匀速运动，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为ts，下列说法错误的是（　　） A．当t＝6.5时，四边形ABQP是矩形 B．当t＝6时，四边形PQCD是平行四边形 C． D．当t＝3时，四边形PQCD是菱形 【答案】D 【解答】解：动点P从点A出发，沿边AD以1cm/s的速度向点D匀速运动，同时动点Q从点C出发，沿边CB以3cm/s的速度向点B匀速运动，设运动的时间为ts， ∴AP＝tcm，CQ＝3tcm， ∵AB＝8cm，AD＝24cm，BC＝26cm， ∴DP＝AD﹣AP＝（24﹣t）cm，BQ＝（26﹣3t）cm， ∵在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°， A．当t＝6.5时，AP＝6.5，BQ＝26﹣3×6.5＝6.5， ∴AP＝BQ， ∴四边形ABQP是平行四边形， ∵∠B＝90°， ∴四边形ABQP是矩形， 故A正确，不符合题意； B．当t＝6时，PD＝24﹣6＝18，CQ＝18， ∴PD＝CQ， 又AD∥BC，则PD∥CQ， ∴四边形PQCD是平行四边形， 故B正确，不符合题意； C．如图，过点D作DE⊥BC于点E， ∵AD∥BC，∠B＝90°， ∴∠A＝∠B＝∠DEB＝90°， ∴四边形ABED是矩形， ∴DE＝AB＝8cm，BE＝AD＝24cm， ∴CE＝BC﹣BE＝2cm， 在Rt△CDE中，， 故C正确，不符合题意； D．当t＝3时，PD＝24﹣3＝21，CQ＝9， ∴PD≠CQ则四边形PQCD不是菱形， 故D选项错误，符合题意， 故选：D． 28．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8cm，AD＝15cm，BC＝21cm，点P从点A出发，以1cm/s的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以2cm/s的速度向点B运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设点P的运动时间为t（单位：s），下列结论正确的是（　　） A．当t＝4s时，四边形PQCD为平行四边形 B．当t＝5s时，四边形PQCD为菱形 C．当t＝6s时，四边形ABQP为矩形 D．当t＝8s时，四边形ABQP为正方形 【答案】B 【解答】解：A．∵AD∥BC， ∴当PD＝CQ时，四边形PQCD为平行四边形， ∴15﹣t＝2t， ∴t＝5，故A不符合题意； B．由A知，当t＝5时，四边形PQCD为平行四边形， ∴当PD＝CD时，四边形PQCD为菱形． 作DH⊥BC于点H，则四边形ABHD是矩形， ∴BH＝AD＝15，DH＝AB＝8， ∴CH＝21﹣15＝6， ∴， ∴15﹣t＝10， ∴t＝5，故B符合题意； C．∵∠B＝90°，AD∥BC， ∴当AP＝BQ时，四边形ABQP为矩形， ∴t＝21﹣2t， ∴t＝7，故C不符合题意； D．∵当t＝7时，四边形ABQP为矩形， ∴当AP＝AB时，四边形ABQP为正方形， ∴t＝8，故不符合题意． 故选：B． 29．如图，在矩形ABCD中，AB＝4cm，AD＝12cm．点P在边AD上以每秒1cm的速度从点A向点D运动，点Q在边BC上以每秒4cm的速度从点C出发，在CB间往返运动，两点同时出发，当点P到达点D时停止，求经过多长时间，四边形ABQP为矩形？ 【答案】秒或4秒或秒或12秒． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，AD＝12cm， ∴BC＝AD＝12cm，∠A＝∠B＝90°， ∴当AP＝BQ时，四边形ABQP是矩形，设运动的时间为t秒， ∵点P在边AD上以每秒1cm的速度从点A向点D运动，到达点D时停止， ∴点P的运动时间为：12÷1＝12（秒）， 又∵点Q在边BC上以每秒4cm的速度从点C出发，在CB间往返运动， ∴点Q从点C到点B的运动时间为：12÷4＝3（秒）， ∴有以下四种情况： ①当0＜t＜3时，此时点Q从点C向点B运动，AP＝t（cm），BQ＝（12﹣4t）cm， 又∵当AP＝BQ时，四边形ABQP是矩形， ∴t＝12﹣4t， 解得：t， ∴当t秒时，四边形ABQP是矩形； ②当3≤t＜6时，此时点Q从点B向点C运动，AP＝t（cm），BQ＝（4t﹣12）cm， 又∵当AP＝BQ时，四边形ABQP是矩形， ∴t＝4t﹣12， 解得：t＝4， ∴当t＝4秒时，四边形ABQP是矩形； ③当6≤t＜9时，此时点Q从点C向点B运动，AP＝t（cm），BQ＝（36﹣4t）cm， 又∵当AP＝BQ时，四边形ABQP是矩形， ∴t＝36﹣4t， 解得：t， ∴当t秒时，四边形ABQP是矩形； ④当9≤9≤12时，此时点Q从点B向点C运动，AP＝t（cm），BQ＝（4t﹣36）cm， 又∵当AP＝BQ时，四边形ABQP是矩形， ∴t＝4t﹣36， 解得：t＝12， ∴当t＝12秒时，四边形ABQP是矩形， 综上所述：当经过的时间为秒或4秒或秒或12秒时，四边形ABQP是矩形． 30．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝48cm，∠A＝60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/s的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/s的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D，E运动的时间是t秒（0＜t≤12）过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF． （1）求证：四边形AEFD为平行四边形； （2）当t为多少时，四边形AEFD为菱形？ （3）当t为多少时，四边形DEBF为矩形． 【答案】（1）见解答； （2）8； （3）6． 【解答】（1）证明：∵点D从点C出发沿CA方向以4cm/s的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/s的速度向点B匀速运动，运动的时间是t秒， ∴CD＝4t，AE＝2t， ∵DF⊥BC， ∴∠CFD＝90°， ∵∠C＝90°﹣60°＝30°， ∴， ∴AE＝DF； ∵DF⊥BC， ∴∠CFD＝∠B＝90°， ∴DF∥AE， ∴四边形AEFD是平行四边形； （2）解：∵DF⊥BC， ∴∠CFD＝90°， ∵∠B＝90°， ∴∠B＝∠CFD， ∴DF∥AB， 由（1）得：DF＝AE＝2t， ∴四边形AEFD是平行四边形， 当AD＝AE时，四边形AEFD是菱形， ∴48﹣4t＝2t， 解得：t＝8， ∴当t＝8时，四边形AEFD是菱形； （3）解：若四边形DEBF为矩形．则DE⊥AB， ∴DE∥BC， ∴∠ADE＝∠C＝30°， ∴AD＝2AE， ∵CD＝4t， ∴DF＝2t＝AE， ∴AD＝4t， ∴4t＝48﹣4t， 解得：t＝6． ∴当t＝6时，四边形DEBF为矩形． 31．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠A＝90°，AD＝2cm，AB＝10cm，CD＝12cm．点P从点A出发，以1cm/s的速度向点B运动；点Q从点C出发，以xcm/s的速度向点D运动．规定其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动，设点Q的运动时间为ts，P，Q两点同时出发． （1）若存在某一时刻，四边形APQD为正方形，求x的值； （2）当x＝2时，若PQ＝BC，求t的值． 【答案】（1）x＝2； （2）t的值为或． 【解答】解：（1）若四边形APQD是正方形， ∴AD＝AP＝DQ＝2cm， ∴t2s，CQ＝12﹣2＝10cm， ∴x5； （2）如图1所示，作QN⊥AB于点N，作BH⊥CD于点H，则四边形BHQN为矩形，四边形ADHB为矩形， ∴CH＝CD﹣DH＝CD﹣AB＝12﹣10＝2cm，QN＝BH，QH＝BN， 又∵PQ＝BC， ∴Rt△BCH≌Rt△QNP（HL）， ∴PN＝CH＝2cm， ∴AB﹣AP﹣BN＝AB﹣AP﹣QH＝AB﹣AP﹣（CQ﹣CH）＝2cm， ∴10﹣t﹣（2t﹣2）＝2， 解得：t； 如图2所示，作PE⊥CD于点E，作BF⊥CD于点F， 同理可证Rt△PEQ≌Rt△BFC， ∴QE＝CF＝2cm， ∴DE﹣QD＝AP﹣DQ＝AP﹣（CD﹣CQ）＝2cm， ∴t﹣（12﹣2t）＝2， 解得：t； 综上所述，t的值为或． 32．如图，在矩形ABCD中，AB＝8cm，BC＝4cm．点P从点A出发向点B运动，运动到点B即停止；同时，点Q从点C出发向点D运动，运动到点D即停止，点P，Q的运动速度都是1cm/s，连接PQ，PD，QB．设点P，Q的运动时间为ts． （1）当t为何值时，四边形PQCB是矩形？ （2）当t为何值时，四边形BPDQ是菱形？ 【答案】（1）t＝4； （2）t＝3． 【解答】解：（1）∵在矩形ABCD中，AB＝8cm，BC＝4cm， ∴AD＝BC＝4cm，AB＝DC＝8cm，AB∥CD，∠C＝90°， ∴BP∥CQ， 当BP＝CQ时，四边形PQCB是平行四边形， ∵∠C＝90°， ∴平行四边形PQCB是矩形， ∵点P从点A出发向点B运动，运动到点B即停止；同时，点Q从点C出发向点D运动，运动到点D即停止，点P，Q的运动速度都是1cm/s，设点P，Q的运动时间为ts， ∴此时t＝8﹣t， 解得：t＝4． 答：当t＝4时，四边形PQCB是矩形； （2）∵BP＝DQ＝8﹣t，BP∥DQ， ∴四边形BPDQ是平行四边形， 当DP＝BP时，四边形BPDQ为菱形． 设t秒后，DP＝BP＝（8﹣t）cm，四边形BPDQ为菱形， 根据勾股定理得：AD2+AP2＝DP2， 即42+t2＝（8﹣t）2， 解得：t＝3． 答：当t＝3时，四边形BPDQ是菱形． 考点06 动点问题中的其他关系 33．如图，矩形ABCD中，，动点E，F分别从点A，C同时出发，均以每秒1个单位长度的速度沿AB，CD向终点B，D运动，过点A作直线EF的垂线，垂足为G，则AG的最大值为（　　） A． B． C．2 D．1 【答案】D 【解答】解：连接AC，交EF于O， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB∥CD，∠B＝90°， ∵AB，BC＝1， ∴AC2， ∵动点E，F分别从点A，C同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB，CD向终点B，D运动， ∴CF＝AE， ∵AB∥CD， ∴∠ACD＝∠CAB， 又∵∠COF＝∠AOE， ∴△COF≌△AOE（AAS）， ∴AO＝OC＝1， ∵AG⊥EF， ∴点G在以AO为直径的圆上运动， ∴AG为直径时，AG有最大值为1． 故选：D． 34．如图，在长方形ABCD中，AB＝8cm，BC＝6cm，动点P、Q分别从点A、B同时出发，点P以3cm/s的速度沿AB、BC向点C运动，点Q以1cm/s的速度沿BC向点C运动，当P、Q其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设P、Q运动的时间是t秒．当点P与点Q重合时，t的值是（　　） A． B．4 C．5 D．6 【答案】B 【解答】解：根据题意，两点重合时可列方程为：3t﹣t＝8， 解得：t＝4， 答：当点P与点Q重合时，t的值是4． 故选：B． 35．如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠DAB＝120°，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿对角线AC向终点C运动．设点P的运动时间为t秒．在点P出发的同时，有一点Q从点C出发，以每秒6个单位长度的速度沿折线C﹣D﹣A﹣B运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，则当PQ与菱形ABCD的边垂直时，t的值是　或或　 ． 【答案】或或． 【解答】解：在菱形ABCD中，AB＝BC＝CD＝AD＝4，∠DAB＝120°， 则∠B＝∠D＝60°， ∴△ABC，△ADC均为等边三角形， ∴AC＝AB＝4，∠ACD＝∠DAC＝∠BAC＝60°， 当PQ⊥CD时，则∠CPQ＝30°， ∴CP＝2CQ， 此时AP＝2t，CQ＝6t，则CP＝4﹣2t， ∴4﹣2t＝2×6t，解得：； 当PQ⊥AD时，则∠APQ＝30°， ∴AP＝2AQ， 此时AP＝2t，CD+DQ＝6t，则AQ＝8﹣6t， ∴2t＝2×（8﹣6t），解得：； 当PQ⊥AB时，则∠APQ＝30°， ∴AP＝2AQ， 此时AP＝2t，CD+AD+AQ＝6t，则AQ＝6t﹣8， ∴2t＝2×（6t﹣8），解得：； 综上，当PQ与菱形ABCD的边垂直时，或或． 故答案为：或或． 36．如图，正方形ABCD的边长为，动点E、F分别从点A、C同时出发，都以相同的速度分别沿AB、CD向终点B、D移动，当点E到达点B时，运动停止，过点B作直线EF的垂线BG，垂足为点G，连接AG，则AG长的最小值为　（1）　 cm． 【答案】（1）． 【解答】解：连接AC、BD，交于点O， 由题意可知，EF经过点O，取OB中点M，连接MA，MG， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AC⊥BD，AO＝OB， ∵AB＝2cm， ∴OA＝OB＝2cm， ∴OM＝1cm， ∴AM（cm）， 在Rt△BOG中，M是OB的中点， ∴GMOB＝1cm， ∵AG≥AM﹣MG＝（1）cm， 当A，M，G三点共线时，AG最小＝（1）cm， 故答案为：（1）． 37．已知四边形ABCD是边长为8cm的正方形，P，Q是正方形边上的两个动点，点P从点A出发，以2cm/s的速度沿A→B→C方向运动，点Q同时从点D出发以1cm/s速度沿D→C方向运动．设点P运动的时间为t（0＜t＜8）．当点P在BC边上，AP、BQ相交于点H，当AP⊥BQ时，t的值为（　　） A． B． C．6 D．7 【答案】B 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，边长为8cm， ∴AB＝BC＝8cm，∠ABP＝∠BCQ＝90°， ∵AP⊥BQ， ∴∠BAP+∠ABH＝∠ABH+∠CBQ＝90°， ∴∠BAP＝∠CBQ， 在△ABP和△BCQ中， ， ∴△ABP≌△BCQ（ASA）， ∴BP＝CQ， ∵BP＝2t﹣AB＝2t﹣8，CQ＝8﹣t， ∴2t﹣8＝8﹣t， 解得， 即t的值为． 故选：B． 38．如图，在矩形ABCD中，AB＝20cm．动点P从点A开始沿AB边以1cm/s的速度向点B运动，动点H从点B开始沿BA边以2cm/s的速度向点A运动，动点Q从点C开始沿CD边以4cm/s的速度向点D运动．点P，点H和点Q同时出发，当其中一点到达终点时，另两点也随之停止运动．设动点的运动时间为ts，当QP＝QH时，t的值为（　　） A． B．4 C． D． 【答案】D 【解答】解：作QE⊥AB于点E，如图， ∵四边形ABCD是矩形， ∴四边形BCQE是矩形， ∴CQ＝BE， 由题意得AP＝t，BH＝2t，CQ＝4t， ∴PH＝20﹣AP﹣BH＝20﹣3t， ∵QP＝QH，QE⊥AB， ∴， ∵CQ＝BE， ∴， 解得， 故选：D． 39．如图，▱ABCD中，AB＝22cm，BC＝8cm，∠A＝45°，动点E从A出发，以2cm/s的速度沿AB向点B运动，动点F从点C出发，以1cm/s的速度沿着CD向D运动，当点E到达点B时，两个点同时停止．则EF的长为10cm时点E的运动时间是（　　） A．6s B．6s或10s C．8s D．8s或12s 【答案】C 【解答】解：在▱ABCD中，CD＝AB＝22cm，AD＝BC＝8cm， 如图，过点D作DG⊥AB于点G， ∵∠A＝45°， ∴△ADG是等腰直角三角形， ∴AG＝DGAD＝8， 过点F作FH⊥AB于点H， 得矩形DGHF， ∴DG＝FH＝8cm，DF＝GH， ∵EF＝10cm， ∴EH6cm， 由题意可知：AE＝2tcm，CF＝tcm， ∴GE＝AE﹣AG＝（2t﹣8）cm，DF＝CD﹣CF＝（22﹣t）cm， ∴GH＝GE+EH＝（2t﹣8）+6＝（2t﹣2）cm， ∴2t﹣2＝22﹣t， 解得t＝8， 当F点在E点左侧时， 由题意可知：AE＝2tcm，CF＝tcm， ∴GE＝AE﹣AG＝（2t﹣8）cm，DF＝CD﹣CF＝（22﹣t）cm， ∴GH＝GE﹣EH＝（2t﹣8）﹣6＝（2t﹣14）cm， ∴2t﹣14＝22﹣t， 解得t＝12， ∵点E到达点B时，两点同时停止运动， ∴2t≤22，解得t≤11． ∴t＝12不符合题意，舍去， ∴EF的长为10cm时点E的运动时间是8s， 故选：C． 40．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，点P从点D出发向点A运动，运动到A停止，同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是每秒1个单位，连接PQ、AQ、CP．设点P、Q运动的时间为t秒． （1）当t为何值时，四边形ABQP是矩形； （2）当t为何值时，PQ平分∠AQC，请说明理由． 【答案】（1）4； （2）3，理由见解答． 【解答】解：（1）∵在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8， ∴BC＝AD＝8，AB＝CD＝4， 由已知可得，BQ＝DP＝t，AP＝CQ＝8﹣t， 在矩形ABCD中，∠B＝90°，AD∥BC， 当BQ＝AP时，四边形ABQP为矩形， ∴t＝8﹣t， 解得：t＝4， ∴当t＝4s时，四边形ABQP为矩形； （2）当t＝3时，PQ平分∠AQC， 理由如下：∵t＝3， ∴BQ＝3，DP＝3， ∴CQ＝8﹣3＝5，AP＝8﹣3＝5， ∴AP＝CQ，AP∥CQ， ∴四边形AQCP为平行四边形， 在Rt△ABQ中，AQ5， ∴AQ＝CQ， ∴平行四边形AQCP为菱形， ∴PQ平分∠AQC， 即当t＝3时，PQ平分∠AQC． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 平行四边形及特殊平行四边形中的动点问题 考点01 动点问题中探究存在直角三角形 考点02 动点问题中探究存在等腰三角形 考点03 动点问题中探究三角形全等 考点04 动点问题中探究存在平行四边形 考点05 动点问题中探究存在特殊的平行四边形 考点06 动点问题中的其他关系 考点01 动点问题中探究存在直角三角形 1．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝40cm，∠A＝60°，点D从点C出发沿CA方向以2cm/s的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以1cm/s的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D，E运动的当游舞部由酒时间是ts．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF．当△DEF为直角三角形时，t的值为（　　） A．6或18 B．6或16 C．10或18 D．10或16 2．我们知道：“分类讨论”是一种分析问题的逻辑方法，可以将一个复杂问题按不同情况分成若干子问题，分别讨论每种情况，再将结果综合得出结论，请你用分类讨论的方法解决下列问题．如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA＝3，OC＝4，点M（2，0），在边AB上存在点P，使得△CMP为直角三角形，则点P的坐标可以为（　　） A．（3，1）或（3，3） B．或（3，3） C．或（3，1） D．或（3，1）或（3，3） 3．已知矩形ABCD，AB＝4，E为BC上一点，BE＝10，点M是AD边上一动点（点M不与点A、D重合），当△BEM是直角三角形时，AM的值为　 　 ． 4．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠A＝90，AB＝12cm，AD＝4cm，CD＝15cm．点P是线段AB上一点，AP＝3cm，点Q从点C出发，以2cm/s的速度向点D运动，到达D点后运动立即停止，则t为 　 　 秒时，△DPQ为直角三角形． 5．如图，在矩形ABCD中，AB＝9，AD＝4．E为CD边上一点，CE＝6，连接AE．点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿着边BA向终点A运动，连接PE．设点P运动的时间为t秒，当t为 　 　 时，△PAE为直角三角形． 6．如图，在矩形ABCD中，AB＝9，AD＝4．E为边CD上一点，CE＝6，连接AE．点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿着边BA向终点A运动，连接PE．设点P运动的时间为t秒，当t为何值时，△PAE为直角三角形？ 考点02 动点问题中探究存在等腰三角形 7．如图，在菱形ABCD中，AB＝6cm，∠A＝60°，点P从点A出发，以1cm/s的速度沿AB向点B运动，同时，点Q从点C出发，以2cm/s的速度沿CB向点B运动，设点P的运动时间为ts，当△PDQ为等边三角形时，t的值为（　　） A．1 B．1.3 C．1.5 D．2 8．如图，在长方形ABCD中，AB＝3，AD＝5，动点P从点A出发，沿A→B→C→D运动，速度为1单位/秒，设运动时间为t秒，当△APD是以AD为腰的等腰三角形时，t的值为（　　） A．3或5或7 B．4或5.5 C．4或5.5或7 D．4或7 9．如图，在长方形ABCD中，AB＝4，BC＝7．延长BC到点E，使CE＝3，连结DE．动点P从点B出发，沿BE以每秒1个单位的速度向终点E运动，当运动时间t为 　 　 时，△PDE是等腰三角形． 10．如图，在长方形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，现有一动点P从点A出发以1cm/s的速度，沿长方形的边AB→BC→CD→DA运动，点P返回到点A即停止．设点P的运动时间为ts，连接CP，DP，当△CDP是等腰三角形时，t的值为 　 　 ． 11．如图，矩形ABOC在平面直角坐标系中，点B，C分别在x轴，y轴上，A（8，4），点D为AB的中点，点P沿O→C→A运动，速度为每秒1个单位长度．若△ODP为等腰三角形，则点P的坐标为 　 　 ． 12．如图，在正方形ABCD中，AB＝4cm，点P是线段AB上一点，且AP＝3cm，点E是正方形边上一动点，运动路线为A→B→C→D→A，速度为每秒2cm，运动时间为t，△DPE是等腰三角形，则t的值为　 　 ． 考点03 动点问题中探究三角形全等 13．如图，已知长方形ABCD中，AD＝8cm，AB＝6cm，点E为AD的中点．若点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B运动．同时，点Q在线段BC上由点C向点B运动，若△AEP与△BPQ全等，则点Q的运动速度是（　　） A．2或 B．6或 C．2或6 D．1或 14．如图，在长方形ABCD中，AB＝6，AD＝8．延长BC到点E，使CE＝4，连接DE，动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿BC→CD→DA向终点A运动．设点P的运动时间为t，当t的值为多少时，△ABP和△DCE全等？（　　） A．2或9 B．2或7 C．2 D．3或7 15．如图，在正方形ABCD中，AB＝4cm，E是BC上的一点且CE＝3cm，连接DE，动点M从A点出发，沿着路径AB﹣BC﹣CD﹣DA以2cm/s的速度运动，运动到A点停止，设点M的运动时间为t秒，当△ABM和△DCE全等时，t的值是（　　） A．3.5s B．5.5s C．5.5s或6.5s D．3.5s或6.5s 16．如图，已知长方形ABCD的边长AB＝10cm，BC＝8cm，点E在边AB上，AE＝4cm，如果点P从点B出发在线段BC上以2cm/s的速度向点C向运动，同时，点Q在线段CD上从点C以2cm/s的速度向点D运动，则能够使△BPE与△CQP全等的时间为（　　） A．1s B．2s C．3s D．4s 17．如图，在长方形ABCD中，AB＝8cm，AD＝12cm，点P从点B出发，以2cm/s的速度沿BC边向点C运动，到达点C停止，同时，点Q从点C出发，以vcm/s的速度沿CD边向点D运动，到达点D停止，规定其中一个动点停止运动时，另一个动点也随之停止运动．在某一时刻，当v为　 　 时，△ABP与△PCQ全等． 18．如图，已知长方形ABCD的边长AB＝20cm，BC＝16cm，点E在边AB上，AE＝6cm，如果点P在线段BC上从点B向点C运动，同时，点Q在线段DC上从点D向点C运动，已知点P的运动速度是2cm/s．则点Q运动速度为　 　 cm/s时，△BPE与△CQP全等． 19．如图，在正方形ABCD中，AB＝3cm，延长BC到点E，使CE＝1cm，连接DE，动点P从点A出发，以每秒0.5cm的速度沿AB→BC→CD→DA向终点A运动．设点P的运动时间为t秒，当△PBC和△DCE全等时，t的值为 　 　 ． 20．如图，在长方形ABCD中，AB＝6cm，BC＝10cm，点P以2cm/s的速度由点B向点C运动，同时点Q以acm/s的速度由点C向点D运动，且其中一点到达终点时，另一点也停止运动．若运动ts后，以A，B，P为顶点的三角形和以P，C，Q为顶点的三角形全等，则a的值为　 　 ．（温馨提示：长方形的四个角都等于90°） 考点04 动点问题中探究存在平行四边形 21．在等边三角形ABC中，BC＝6cm，射线AG∥BC，点E从点A出发，沿射线AG以1cm/s的速度运动，同时点F从点B出发，沿射线BC以2cm/s的速度运动，设运动时间为ts，当以A，F，C，E为顶点的四边形是平行四边形时，t的值为（　　） A．2 B．3 C．2或6 D．3或6 22．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，AD＝16，BC＝21，CD＝13，动点P从点B出发，沿射线BC以每秒3个单位的速度运动，动点Q同时从点A出发，在线段AD上以每秒1个单位的速度向终点D运动，当动点Q到达点D时，动点P也同时停止运动．设点P的运动时间为t（秒）．以点P、C、D、Q为顶点的四边形是平行四边形时t值为（　　）秒． A．2或 B． C．或 D． 23．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝6cm，BC＝16cm，∠ABC的平分线交AD于点F，点E是BC的中点，点P以每秒1cm的速度从点A出发，沿AD向点F运动；点Q同时以每秒2cm的速度从点C出发，沿CB向点B运动，点P运动到F点时停止运动，点Q也同时停止运动，当以P、Q、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，运动的时间为（　　） A．2s B．5s C．2s或 D．5s或 24．如图，在梯形ABCD中，AD＝8，BC＝12．点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿A→D运动，同时点Q从点C出发，以每秒4个单位长度的速度沿C→B→C→…往复运动，当点P到达端点D时，点Q随之停止运动．设点P，Q的运动时间为ts，在此运动过程中当四边形PQCD为平行四边形时，t的值为　 　 ． 25．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，AB＝8cm，DC＝10cm，E是DC上一点，且DE＝3，P从A点出发以1cm/s的速度向B点运动，同时Q从D点出发以2cm/s的速度向C点运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止，设运动时间为t（s），当以A、P、E、Q为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值． 考点05 动点问题中探究存在特殊的平行四边形 26．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝120cm，∠A＝60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/秒的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF．当四边形AEFD是菱形时，t的值为（　　） A．20秒 B．18秒 C．12秒 D．6秒 27．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝24cm，AB＝8cm，BC＝26cm．动点P从点A出发，沿边AD以1cm/s的速度向点D匀速运动，同时动点Q从点C出发，沿边CB以3cm/s的速度向点B匀速运动，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为ts，下列说法错误的是（　　） A．当t＝6.5时，四边形ABQP是矩形 B．当t＝6时，四边形PQCD是平行四边形 C． D．当t＝3时，四边形PQCD是菱形 28．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8cm，AD＝15cm，BC＝21cm，点P从点A出发，以1cm/s的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以2cm/s的速度向点B运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设点P的运动时间为t（单位：s），下列结论正确的是（　　） A．当t＝4s时，四边形PQCD为平行四边形 B．当t＝5s时，四边形PQCD为菱形 C．当t＝6s时，四边形ABQP为矩形 D．当t＝8s时，四边形ABQP为正方形 29．如图，在矩形ABCD中，AB＝4cm，AD＝12cm．点P在边AD上以每秒1cm的速度从点A向点D运动，点Q在边BC上以每秒4cm的速度从点C出发，在CB间往返运动，两点同时出发，当点P到达点D时停止，求经过多长时间，四边形ABQP为矩形？ 30．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝48cm，∠A＝60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/s的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/s的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D，E运动的时间是t秒（0＜t≤12）过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF． （1）求证：四边形AEFD为平行四边形； （2）当t为多少时，四边形AEFD为菱形？ （3）当t为多少时，四边形DEBF为矩形． 31．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠A＝90°，AD＝2cm，AB＝10cm，CD＝12cm．点P从点A出发，以1cm/s的速度向点B运动；点Q从点C出发，以xcm/s的速度向点D运动．规定其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动，设点Q的运动时间为ts，P，Q两点同时出发． （1）若存在某一时刻，四边形APQD为正方形，求x的值； （2）当x＝2时，若PQ＝BC，求t的值． 32．如图，在矩形ABCD中，AB＝8cm，BC＝4cm．点P从点A出发向点B运动，运动到点B即停止；同时，点Q从点C出发向点D运动，运动到点D即停止，点P，Q的运动速度都是1cm/s，连接PQ，PD，QB．设点P，Q的运动时间为ts． （1）当t为何值时，四边形PQCB是矩形？ （2）当t为何值时，四边形BPDQ是菱形？ 考点06 动点问题中的其他关系 33．如图，矩形ABCD中，，动点E，F分别从点A，C同时出发，均以每秒1个单位长度的速度沿AB，CD向终点B，D运动，过点A作直线EF的垂线，垂足为G，则AG的最大值为（　　） A． B． C．2 D．1 34．如图，在长方形ABCD中，AB＝8cm，BC＝6cm，动点P、Q分别从点A、B同时出发，点P以3cm/s的速度沿AB、BC向点C运动，点Q以1cm/s的速度沿BC向点C运动，当P、Q其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设P、Q运动的时间是t秒．当点P与点Q重合时，t的值是（　　） A． B．4 C．5 D．6 35．如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠DAB＝120°，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿对角线AC向终点C运动．设点P的运动时间为t秒．在点P出发的同时，有一点Q从点C出发，以每秒6个单位长度的速度沿折线C﹣D﹣A﹣B运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，则当PQ与菱形ABCD的边垂直时，t的值是　 　 ． 36．如图，正方形ABCD的边长为，动点E、F分别从点A、C同时出发，都以相同的速度分别沿AB、CD向终点B、D移动，当点E到达点B时，运动停止，过点B作直线EF的垂线BG，垂足为点G，连接AG，则AG长的最小值为　 　 cm． 37．已知四边形ABCD是边长为8cm的正方形，P，Q是正方形边上的两个动点，点P从点A出发，以2cm/s的速度沿A→B→C方向运动，点Q同时从点D出发以1cm/s速度沿D→C方向运动．设点P运动的时间为t（0＜t＜8）．当点P在BC边上，AP、BQ相交于点H，当AP⊥BQ时，t的值为（　　） A． B． C．6 D．7 38．如图，在矩形ABCD中，AB＝20cm．动点P从点A开始沿AB边以1cm/s的速度向点B运动，动点H从点B开始沿BA边以2cm/s的速度向点A运动，动点Q从点C开始沿CD边以4cm/s的速度向点D运动．点P，点H和点Q同时出发，当其中一点到达终点时，另两点也随之停止运动．设动点的运动时间为ts，当QP＝QH时，t的值为（　　） A． B．4 C． D． 39．如图，▱ABCD中，AB＝22cm，BC＝8cm，∠A＝45°，动点E从A出发，以2cm/s的速度沿AB向点B运动，动点F从点C出发，以1cm/s的速度沿着CD向D运动，当点E到达点B时，两个点同时停止．则EF的长为10cm时点E的运动时间是（　　） A．6s B．6s或10s C．8s D．8s或12s 40．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，点P从点D出发向点A运动，运动到A停止，同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是每秒1个单位，连接PQ、AQ、CP．设点P、Q运动的时间为t秒． （1）当t为何值时，四边形ABQP是矩形； （2）当t为何值时，PQ平分∠AQC，请说明理由． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $