专题07 平行四边形及特殊平行四边形中的折叠问题（高效培优期中专项训练）数学新教材人教版八年级下册

专题07 平行四边形及特殊平行四边形中的折叠问题 考点01 折叠问题中求线段长度 考点02 折叠问题中求角的度数 考点03 折叠问题中求周长与面积 考点04 折叠问题中点的坐标 考点01 折叠问题中求线段长度 1．如图，在长方形ABCD中，CD＝6，AD＝8．将长方形ABCD沿CE折叠后，使点D恰好落在对角线AC上的点F处，则EF的长为（　　） A．2.5 B．3 C．3.5 D．4 2．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边AB在x轴上，点B的坐标为（1，0），点E在边CD上．将△ADE沿AE折叠，点D落在点F处．若点F的坐标为（0，3），则EF的长为（　　） A． B． C． D． 3．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E是边BC上一点，将△ABE沿AE折叠，点B落在矩形内的点F处，连接CF，若△CEF是直角三角形，则BE的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 4．如图，平行四边形ABCD的面积为28，AE⊥BC于点E，AE＝4，将△ABE沿AE折叠到△AFE处，连接DF．若∠ABC＝45°，则DF的长为（　　） A．5 B． C．6 D． 5．如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝5，AD＝3，点E为AD边上一点，将△ABE沿BE翻折，点A恰好落在CD边上点F处，则EF长为（　　） A． B． C． D． 6．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝10，将矩形ABCD沿BE折叠，点A落在A′处，若EA'的延长线恰好过点C，则AE的长为（　　） A．8 B．6 C．5 D．4 7．如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，点M是AD边的中点，点N是AB边上一点，△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A′MN，使点A的对应点A′落在对角线AC上，则A′C的长度是（　　） A． B． C． D． 8．如图，在Rt△ABC中，点D是AB边上的中点，连接CD，将△CDB沿CD翻折得到同一平面内的△CDE，AC与DE交于点F，若S△CDF＝5，S△CEF＝8，，则点E到AB的距离为（　　） A．6 B． C． D． 9．如图，在长方形ABCD中，BD＝5，CD＝3，将△ABE沿BE折叠，使点A恰好落在对角线BD上的点F处，则DE的长是（　　） A． B． C． D． 10．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，点E是CD边上一点，连接AE，将△ADE沿直线AE折叠得到△AD′E，连接DD'交AE于点F，连接CF，则线段CF的最小值为（　　） A． B． C． D． 考点02 折叠问题中求角的度数 11．如图，将长方形纸片分别沿EB，CF折叠，使AB，CD在同一直线上．若∠CEB＝37°，则∠ACF的度数为（　　） A．74° B．106° C．143° D．148° 12．如图，长方形纸片ABCD沿EF折叠，A，D两点分别与A'，D'对应，若∠EFC＝2∠BEA'，则∠AEF的度数为（　　） A．60° B．65° C．72° D．75° 13．如图，将长方形ABCD翻折，使点A，B分别与点A′，B′重合，折痕为EF；再沿ED翻折，使点A′，B′分别与点A″，B″重合．若∠FEA″＝3∠AEA″，则∠CFE的度数为（　　） A．145° B．150° C．155° D．160° 14．如图，将一张长方形纸片ABCD沿对角线BD折叠后，点C落在点E处，BE交AD于点F，再将△DEF沿DF折叠后，点E落在点G处，若DG刚好平分∠ADB，则∠EDF的度数为（　　） A．15° B．18° C．20° D．24° 15．如图，将▱ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在B′处，若∠1＝∠2＝44°，则∠B为（　　） A．66° B．104° C．114° D．124° 16．如图，在菱形纸片ABCD中，∠A＝60°，点E在BC边上，将菱形纸片ABCD沿DE折叠，点C对应点为点C′，且DC′是AB的垂直平分线，则∠DEC的大小为（　　） A．30° B．45° C．60° D．75° 17．如图，在正方形ABCD中，E为边BC上一点，将△ABE沿AE折叠至△AB'E处，BE与AC交于点F，若∠EFC＝69°，则∠CAE的大小为（　　） A．10° B．12° C．14° D．15° 18．有一长方形纸片ABCD，如图，点P在线段BC上，点E在线段AB上，将长方形纸片沿着EP翻折，使点B落在点B'处，如果∠BPE与∠B′PC之差的绝对值等于60°，即|∠BPE﹣∠B'PC|＝60°，那么∠BPE＝　 　 ． 19．如图，在正方形ABCD中，AB＝12，E是AD边上的一点，将正方形沿CE折叠，点D的对应点为点F，点G为AB的中点，当点F恰好落在线段EG上时． 求证： （1）∠ECG＝45°； （2）AF∥CG． 20．如图，将矩形ABCD沿对角线AC折叠，点B的对应点为点E，AE与CD交于点F，过点C作CG∥AF交AB于点G． （1）小明和小白为四边形AFCG是什么特殊四边形发生了争议，小明说四边形AFCG是菱形，小白说四边形AFCG不是菱形，只是平行四边形．请你评判谁的说法是正确的，并说明理由； （2）若∠FCE＝40°，求∠ACB的度数． 考点03 折叠问题中求周长与面积 21．如图，将▱ABCD沿对角线BD折叠，使点C落在点F处，BF交AD于点E．若▱ABCD的周长为12，则△ABE的周长是（　　） A．3 B．6 C．8 D．12 22．如图，在长方形ABCD中，AB＝3cm，AD＝9cm，将此长方形折叠，使点D与点B重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（　　） A．3cm2 B．4cm2 C．6cm2 D．12cm2 23．如图，在长方形ABCD中，点E，F分别在边AB，CD上，将长方形ABCD沿EF折叠，使点A，D分别落在长方形ABCD外部的点A1，D1处．若AB＝8，BC＝4，则整个阴影部分图形的周长为（　　） A．14 B．24 C．28 D．56 24．如图，将上下两边互相平行的纸片折叠后得到阴影部分及折痕EF．若∠1＝60°，EF＝2，则阴影部分的面积为（　　） A．2 B． C． D． 25．如图，一张矩形纸片ABCD，AB＝6，AD＝8，将纸片折叠，使得边AB落在AD边上，折痕为AE，再将△AEB沿BE向右翻折，AE与边DC的交点为F，则△CEF的面积为　 　 ． 26．如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝6，P是BC上一点，将△ABP沿着AP翻折到△AB′P，连接DB′，若P、B′、D恰好在一条直线上，则△AB′D的面积为 　 　 ． 27．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，E为BC的中点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内点F处，连接CF，△CEF的面积是　 　 ． 28．如图，将一矩形纸片ABCD折叠，使两个顶点A，C重合，折痕为FG．若AB＝5，BC＝10，则△ACF的面积为　 　 ． 29．如图，在长方形纸片ABCD中，AB＝8，BC＝6，E是AD的中点，F是AB上一动点．将△AEF沿直线EF折叠，点A落在点A′处．在EF上任取一点G，连接GC，GA′，CA′，则△CGA′周长的最小值为　 　 ． 30．2025年10月贵阳市举行了第一届数智文化节，在某校的校内选拔赛中，小星所在的数学小组用边长为8的正方形纸片进行折纸问题的探究． 【初步感知】 （1）如图①，沿过点B的直线折叠正方形纸片，使得点C的对应点点E落在正方形的对角线BD上，且折痕与边DC交于点F，则DE＝ 　 　 ；（结果保留根号） 【迁移运用】 （2）如图②，点G，F分别在AB，CD边上，沿直线GF折叠正方形纸片，点B的对应点为点I，点C的对应点点E落在线段AD上（不与A，D重合），EI交AB于点H； ①当点E为AD中点时，求△DEF的面积； ②当点E为AD上任意一点时（如图③）探究△AEH的周长是否发生变化，若不变，请求出△AEH的周长；若改变，请说明理由． 考点04 折叠问题中点的坐标 31．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边AB在x轴上，点A的坐标为（﹣2，0），点E在边CD上．将△BCE沿BE折叠，点C落在点F处．若点F的坐标为（0，6），则点E的坐标为（　　） A．（2，8） B．（3，10） C．（4，6） D．（3，8） 32．如图，在平面直角坐标系中，长方形OABC的顶点O（0，0）、A（4，0）、B（4，3），将长方形沿对角线AC折叠，点B落在点D处，CD与x轴交于点E，则点E的坐标为（　　） A． B．（3，0） C．（2，0） D． 33．如图，平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A，C分别在x轴、y轴上，顶点B的坐标为（8，6），点P为边BC上一个动点，将△OPC沿OP折叠得到△OPQ，点C的对应点为点Q，连接BQ，当线段BQ有最小值时，点P的坐标为（　　） A．（2，6） B．（3，6） C．（4，6） D．（5，6） 34．如图，将AB＝10，AD＝6的矩形纸片ABCD放在以BC所在直线为x轴，BC边上一点O为坐标原点的直角坐标系中，连接OD将纸片ABCD沿OD折叠，使点C落在AB边上的点C′处，则C点的坐标为（　　） A．（2，0） B．（，0） C．（3，0） D．（，0） 35．如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的点A的坐标为，E是线段BC上一点，且∠AEB＝67.5°，沿AE折叠后B点落在点F处，那么点F的坐标为　 　 ． 36．如图，在平面直角坐标系中，长方形OABC的顶点坐标分别为点O（0，0），点A（4，0），点B（4，3），点C（0，3），点P是AB上的点，将△POA沿OP所在的直线折叠，若点A的对应点A′刚好落在OB上，则点P的坐标为　 　 ． 37．如图，矩形ABCD中，点A（﹣2，0），B（4，0），C（4，5），点P为x轴上一个动点，以CP为对称轴将△CPB折叠得到△CPQ，点B的对应点为点Q，当点Q落在y轴上时，点P的坐标为　 　 ． 38．如图，长方形AOCD在平面直角坐标系中的位置如图：A（0，a）、C（b，0）满足|b﹣5|＝0，将长方形AOCD沿直线AE折叠（点E在边DC上），折叠后点D恰好落在边OC上的点F处．则点F的坐标为　 　 ． 39．如图，将一张长方形纸片ABCD放在平面直角坐标系中，点A与原点O重合，顶点B、D分别在x轴、y轴上，AB＝4，AD＝3，P为边CD上一动点，连接BP，将△BCP沿BP折叠，点C落在点C′处． （1）如图1，连接BD，当点C在线段BD上时，线段DC′的长度是　 　 ； （2）如图2，若点P使得点C′到矩形的两条较长边的距离之比为1：2，则点C′的坐标为　 　 ． 40．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边AB在x轴上，点B的坐标为（1，0），边CD与y轴交于点G，点E在边CD上．将△ADE沿AE折叠，点D落在点F处．若点F的坐标为（0，3），求点E的坐标． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 平行四边形及特殊平行四边形中的折叠问题 考点01 折叠问题中求线段长度 考点02 折叠问题中求角的度数 考点03 折叠问题中求周长与面积 考点04 折叠问题中点的坐标 考点01 折叠问题中求线段长度 1．如图，在长方形ABCD中，CD＝6，AD＝8．将长方形ABCD沿CE折叠后，使点D恰好落在对角线AC上的点F处，则EF的长为（　　） A．2.5 B．3 C．3.5 D．4 【答案】B 【解答】解：∵四边形ABCD是长方形， ∴∠D＝90°， 在直角三角形ACD中，CD＝6，AD＝8， 由勾股定理得：， ∵将长方形ABCD沿CE折叠后，使点D恰好落在对角线AC上的点F处， ∴CF＝CD＝6，EF＝DE，∠CFE＝∠D＝90°， ∴AF＝AC﹣CF＝4，∠AFE＝90°， 设EF＝DE＝x，则AE＝8﹣x， 在Rt△AEF中，由勾股定理得：AE2＝AF2+EF2， ∴（8﹣x）2＝42+x2， 解得：x＝3， ∴EF＝3， 故选：B． 2．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边AB在x轴上，点B的坐标为（1，0），点E在边CD上．将△ADE沿AE折叠，点D落在点F处．若点F的坐标为（0，3），则EF的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边AB在x轴上，如图，设CD与y轴交于点G，AB＝x， ∴∠AOG＝90°， ∴四边形OADG是矩形， ∴AD＝AB＝CD＝BC＝OG＝x， ∵点B坐标为（1，0）， ∴OA＝x﹣1， ∵将△ADE沿AE折叠，点D落在点F处．若点F的坐标为（0，3）， ∴DE＝EF，OF＝3，AF＝AD＝x， 在Rt△AOF中，AF2＝OA2+OF2， ∴x2＝32+（x﹣1）2， 9+1﹣2x＝0， 解得：x＝5， ∴DG＝OA＝x﹣1＝4， 设EG＝a，则DE＝EF＝4﹣a，FG＝OG﹣OF＝5﹣3＝2， 在Rt△EFG中，由勾股定理得：EF2＝EG2+GF2， ∴（4﹣a）2＝a2+22， 解得：，则． 故选：D． 3．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E是边BC上一点，将△ABE沿AE折叠，点B落在矩形内的点F处，连接CF，若△CEF是直角三角形，则BE的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【解答】解：若∠CEF＝90°，则∠BEF＝90°， 由翻折可知∠BAE＝∠FAE，∠B＝∠AFE＝90°，， ∵∠B＝90°， ∴∠BAE＝∠FAE＝45°， ∴∠BAF＝∠BAE+∠FAE＝90°， ∴四边形ABEF是矩形，此时点F在AD上，则不满足点B落在矩形内； 若∠ECF＝90°，则点F在CD上， ∵AF＝AB＝6＜8＝BC＝AD， ∴点F不可能在CD上，即此情况不存在； ∴只有当∠CFE＝90°时满足△CEF是直角三角形， 由翻折可知∠AFE＝90°， ∴此时A，F，C三点共线， 设BE长为x，则CE＝8﹣x， 由翻折可得EF＝BE＝x，AF＝AB＝6， ∴， ∴CF＝AC﹣AF＝4， ∵∠CFE＝90°， ∴EF2+FC2＝EC2， 即x2+42＝（8﹣x）2， 解得x＝3， ∴BE＝3， 故选：A． 4．如图，平行四边形ABCD的面积为28，AE⊥BC于点E，AE＝4，将△ABE沿AE折叠到△AFE处，连接DF．若∠ABC＝45°，则DF的长为（　　） A．5 B． C．6 D． 【答案】A 【解答】解：如图，平行四边形ABCD的面积为28，作FG⊥AD于点G， ∴AD∥BC，AD＝BC， ∵AE⊥BC，AE＝4， ∴FG＝AE＝4， 由题意得：平行四边形ABCD的面积＝BC•AE＝28， ∴BC＝7， ∵将△ABE沿AE折叠到△AFE处， ∴∠AFE＝∠ABC＝45°， ∵AD∥BC， ∴∠DAF＝∠AFB＝45°， ∴△AFG为等腰直角三角形， ∴AG＝FG＝4， ∴DG＝AD﹣AG＝3， 在直角三角形DFG中，由勾股定理得：， 故选：A． 5．如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝5，AD＝3，点E为AD边上一点，将△ABE沿BE翻折，点A恰好落在CD边上点F处，则EF长为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：∵矩形纸片ABCD中，AB＝5，AD＝3，将△ABE沿BE翻折， ∴CB＝3，BF＝DC＝AB＝5，AE＝EF， ∠C＝∠D＝90°， 在Rt△BCF中，， ∴DF＝DC﹣FC＝5﹣4＝1， 设AE＝EF＝x，DE＝3﹣x， 在Rt△DEF中，EF2＝DF2+DE2， ∴12+（3﹣x）2＝x2， 解得：， ∴， 故选：B． 6．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝10，将矩形ABCD沿BE折叠，点A落在A′处，若EA'的延长线恰好过点C，则AE的长为（　　） A．8 B．6 C．5 D．4 【答案】D 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD＝8，AD＝BC＝10，AD∥BC， ∴∠DEC＝∠ECB，将长方形ABCD沿BE折叠， ∴AE＝A′E＝CD，∠A＝∠EA'B＝90°， ∴∠BA'C＝∠D＝90°，且∠DEC＝∠BCA'，AB＝CD， ∴△A′BC≌△DCE（AAS）， ∴BC＝EC＝10， ∴ED6， ∴AE＝AD﹣DE＝10﹣6＝4， 故选：D． 7．如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，点M是AD边的中点，点N是AB边上一点，△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A′MN，使点A的对应点A′落在对角线AC上，则A′C的长度是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：连接BD，AC，BD相交于点O，设AA′与MN相交于点E， ∵△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A′MN，使点A的对应点A′落在对角线AC上， ∴， ∵四边形ABCD是菱形， ∴，，， ∵点M是AD边的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵∠BAD＝60°， ∴△ABD是等边三角形， ∴BD＝AD＝AB＝2， ∴， ∴， ∴A′与O重合， ∴， 故选：D． 8．如图，在Rt△ABC中，点D是AB边上的中点，连接CD，将△CDB沿CD翻折得到同一平面内的△CDE，AC与DE交于点F，若S△CDF＝5，S△CEF＝8，，则点E到AB的距离为（　　） A．6 B． C． D． 【答案】B 【解答】解：过点E作EG⊥AB，连接AE，BE，如图， ∵将△CDB沿CD翻折得到同一平面内的△CDE， ∴△CDB≌△CDE， ∴S△CDB＝S△CDE，DB＝DE，DC为BE的垂直平分线， ∵点D是AB边上的中点， ∴DA＝DBAB， ∵S△CDF＝5，S△CEF＝8， ∴S△CDE＝5+8＝13，， ∴S△CDB＝13， ∴DB13， ∴DB＝2， ∴AD＝DB＝2， ∵DA＝DB， ∴S△CDA＝S△CDB＝13， ∴S△ADF＝S△CDA﹣S△CEF＝8， ∵， ∴， ∴S△ADE＝S△AEF+S△ADF， ∵， ∴， ∴EG． ∴点E到AB的距离为． 故选：B． 9．如图，在长方形ABCD中，BD＝5，CD＝3，将△ABE沿BE折叠，使点A恰好落在对角线BD上的点F处，则DE的长是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：∵四边形ABCD是长方形，且CD＝3， ∴AB＝CD＝3，∠A＝90°， ∴△ABD是直角三角形， 在Rt△ABD中，BD＝5， 由勾股定理得：AD4， 设AE＝a，则DE＝AD﹣AE＝4﹣a， 由折叠性质得：FE＝AE＝a，FB＝AB＝3，∠BFE＝∠A＝90°， ∵点A恰好落在对角线BD上的点F处， ∴∠EFD＝180°﹣∠BFE＝90°，DF＝BD﹣FB＝5﹣3＝2， ∴△EFD是直角三角形， 由勾股定理得：DE2＝EF2+DF2， ∴（4﹣a）2＝a2+22， 解得：a， ∴DE＝4﹣a． 故选：D． 10．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，点E是CD边上一点，连接AE，将△ADE沿直线AE折叠得到△AD′E，连接DD'交AE于点F，连接CF，则线段CF的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：如图，取AD的中点O，连接OF，OC． ∵△AD′E由△ADE折叠得到， ∴AE⊥DD′， ∴∠AFD＝90°， ∴点F在以AD为直径的半圆上运动， ∴当点O，C，F在一条直线上时，取AD中点O，CF的长度最小， ∴CF＝OC﹣CF， ∵ODAD＝2，CD＝AB＝6，∠ADC＝90°， ∴OC2， ∵OF＝OD＝2（均是半径）， ∴CF≥OC﹣OF＝22， 故选：A． 考点02 折叠问题中求角的度数 11．如图，将长方形纸片分别沿EB，CF折叠，使AB，CD在同一直线上．若∠CEB＝37°，则∠ACF的度数为（　　） A．74° B．106° C．143° D．148° 【答案】C 【解答】解：如图，设长方形左下角顶点为G， ∵长方形纸片分别沿EB，CF折叠，CE∥GB， ∴∠MCF＝∠BCF＝∠CFB，∠CBE＝∠EBG＝∠CEB＝37°， ∴∠ECB＝106°， ∴∠CBF＝106°， ∴∠BCF＝∠CFB＝∠MCF＝37°， ∴∠ACF＝∠CFB+∠CBF＝143°． 故选：C． 12．如图，长方形纸片ABCD沿EF折叠，A，D两点分别与A'，D'对应，若∠EFC＝2∠BEA'，则∠AEF的度数为（　　） A．60° B．65° C．72° D．75° 【答案】C 【解答】解：∵四边形ABCD是长方形， ∴AB∥CD， ∴∠AEF＝∠EFC， 由折叠得：∠AEF＝∠A′EF， ∴∠AEF＝∠A′EF＝∠EFC， ∵∠EFC＝2∠BEA'， ∴∠AEF＝∠A′EF＝2∠BEA'， ∵∠AEF+∠A′EF+∠BEA'＝180°， ∴5∠BEA'＝180°， 解得：∠BEA'＝36°， ∴∠AEF＝2∠BEA'＝72°， 故选：C． 13．如图，将长方形ABCD翻折，使点A，B分别与点A′，B′重合，折痕为EF；再沿ED翻折，使点A′，B′分别与点A″，B″重合．若∠FEA″＝3∠AEA″，则∠CFE的度数为（　　） A．145° B．150° C．155° D．160° 【答案】D 【解答】解：设∠AEA″＝x，则∠FEA″＝3∠AEA″＝3x， ∴∠AEF＝∠AEA″+∠FEA″＝4x， ∵将长方形ABCD翻折，使点A，B分别与点A′，B′重合，折痕为EF；再沿ED翻折，使点A′，B′分别与点A″，B″重合， ∴∠AEA′＝∠AEA″＝x，∠A′EF＝∠AEF＝4x， ∵∠AEA′+∠AEF+∠A′EF＝360°， ∴x+4x+4x＝360°， 解得：x＝40°， ∴∠AEF＝4x＝160°， ∵AD∥BC， ∴∠CFE＝∠AEF＝160°． 故选：D． 14．如图，将一张长方形纸片ABCD沿对角线BD折叠后，点C落在点E处，BE交AD于点F，再将△DEF沿DF折叠后，点E落在点G处，若DG刚好平分∠ADB，则∠EDF的度数为（　　） A．15° B．18° C．20° D．24° 【答案】B 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝∠C＝90°，AD∥BC， ∴∠ADB＝∠CBD ∵将矩形ABCD沿对角线BD折叠后，点C落在点E处，BE交AD于点F， ∴∠E＝∠C＝90°，∠EBD＝∠CBD， ∴∠EBD＝∠ADB， ∵∠EFD＝∠AFB， ∴∠EDF＝90°﹣∠EFD＝90°﹣∠AFB＝∠ABF， ∵将△DEF沿DF折叠后，点E落在点G处，且DG平分∠ADB， ∴∠EDF＝∠GDF∠ADB， ∴∠EBD＝∠ADB＝2∠EDF， ∴∠ABD＝∠ABF+∠EBD＝∠EDF+2∠EDF＝3∠EDF， ∵∠ADB+∠ABD＝90°， ∴2∠EDF+3∠EDF＝90°， ∴∠EDF＝18°， 故选：B． 15．如图，将▱ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在B′处，若∠1＝∠2＝44°，则∠B为（　　） A．66° B．104° C．114° D．124° 【答案】C 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠ACD＝∠BAC， 由折叠的性质得：∠BAC＝∠B′AC， ∴∠BAC＝∠ACD＝∠B′AC∠1＝22°， ∴∠B＝180°﹣∠2﹣∠BAC＝180°﹣44°﹣22°＝114°； 故选：C． 16．如图，在菱形纸片ABCD中，∠A＝60°，点E在BC边上，将菱形纸片ABCD沿DE折叠，点C对应点为点C′，且DC′是AB的垂直平分线，则∠DEC的大小为（　　） A．30° B．45° C．60° D．75° 【答案】D 【解答】解：连接BD，如图所示： ∵四边形ABCD为菱形， ∴AB＝AD， ∵∠A＝60°， ∴△ABD为等边三角形，∠ADC＝120°，∠C＝60°， ∵DC′是AB的垂直平分线， ∴P为AB的中点， ∴DP为∠ADB的平分线，即∠ADP＝∠BDP＝30°， ∴∠PDC＝90°， ∴由折叠的性质得到∠CDE＝∠PDE＝45°， 在△DEC中，∠DEC＝180°﹣（∠CDE+∠C）＝75°． 故选：D． 17．如图，在正方形ABCD中，E为边BC上一点，将△ABE沿AE折叠至△AB'E处，BE与AC交于点F，若∠EFC＝69°，则∠CAE的大小为（　　） A．10° B．12° C．14° D．15° 【答案】B 【解答】解：∵∠EFC＝69°，∠ACE＝45°， ∴∠BEF＝69+45＝114°， 由折叠的性质可知：∠BEA∠BEF＝57°， ∴∠BAE＝90﹣57＝33°， ∴∠EAC＝45﹣33＝12°． 故选：B． 18．有一长方形纸片ABCD，如图，点P在线段BC上，点E在线段AB上，将长方形纸片沿着EP翻折，使点B落在点B'处，如果∠BPE与∠B′PC之差的绝对值等于60°，即|∠BPE﹣∠B'PC|＝60°，那么∠BPE＝　40°或80°　 ． 【答案】40°或80°． 【解答】解：如图1，当∠BPE＜∠B′PC时， ∵|∠BPE﹣∠B′PC|＝60°， ∴∠B′PC﹣∠BPE＝60°， 即∠B′PC＝∠BPE+60°， ∵三角形BPE翻折得到三角形B′PE， ∴∠BPE＝∠B'PE， ∵∠BPE+∠B′PE+∠B′PC＝180°， ∴∠BPE+∠BPE+（∠BPE+60°）＝180°， ∴∠BPE＝40°； 如图2，当∠BPE＞∠B′PC时， ∵|∠BPE﹣∠B′PC|＝60°， ∴∠BPE﹣∠B′PC＝60°， 即∠B′PC＝∠BPE﹣60°， ∵∠BPE＝∠B'PE， ∵∠BPE+∠B′PE+∠B′PC＝180°， ∴∠BPE+∠BPE+（∠BPE﹣60°）＝180°， ∴∠BPE＝80°； 故答案为：40°或80°． 19．如图，在正方形ABCD中，AB＝12，E是AD边上的一点，将正方形沿CE折叠，点D的对应点为点F，点G为AB的中点，当点F恰好落在线段EG上时． 求证： （1）∠ECG＝45°； （2）AF∥CG． 【答案】（1）证明见解答过程； （2）证明见解答过程． 【解答】证明：（1）由折叠知，CD＝CF， ∵四边形ABCD是正方形， ∴CB＝CD＝CF， 在Rt△BCG和Rt△FCG中， ， ∴Rt△BCG≌Rt△FCG（HL）， ∴∠BCG＝∠FCG， 又∵∠FCE＝∠DCE， ∴∠ECG＝∠FCG+∠FCE∠BCD＝45°， 即∠ECG＝45°； （2）由（1）知Rt△BCG≌Rt△FCG， 即GF＝BG＝AG，∠CGF＝∠CGB， ∴∠GAF＝∠GFA， ∵∠BGF＝∠CGF+∠CGB＝∠GAF+∠GFA， ∴∠CGF＝∠CGB＝∠GAF＝∠GFA， ∴AF∥CG． 20．如图，将矩形ABCD沿对角线AC折叠，点B的对应点为点E，AE与CD交于点F，过点C作CG∥AF交AB于点G． （1）小明和小白为四边形AFCG是什么特殊四边形发生了争议，小明说四边形AFCG是菱形，小白说四边形AFCG不是菱形，只是平行四边形．请你评判谁的说法是正确的，并说明理由； （2）若∠FCE＝40°，求∠ACB的度数． 【答案】（1）小明说得对，理由见解析； （2）65°． 【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形， ∴AB∥CD， 又∵CG∥AF ∴四边形AGCF是平行四边形 ∵AB∥CD， ∴∠FCA＝∠GAC， 由折叠得，∠GAC＝∠FAC， ∴∠FCA＝∠FAC， ∴FC＝FA， ∴四边形AFCG是菱形， ∴小明说得对， （2）∵四边形AFCG是菱形， ∴∠FCA＝∠GCA， 由折叠得，∠ACB＝∠ACE， ∴∠GCB＝∠FCE＝40°， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠DCB＝90°， ∴∠DCG＝50°， ∴， ∴∠ACB＝∠ACG+∠GCB＝25°+40°＝65°． 考点03 折叠问题中求周长与面积 21．如图，将▱ABCD沿对角线BD折叠，使点C落在点F处，BF交AD于点E．若▱ABCD的周长为12，则△ABE的周长是（　　） A．3 B．6 C．8 D．12 【答案】B 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AD＝CB， ∵▱ABCD的周长为12， ∴AB+CB+CD+AD＝2AB+2AD＝12， ∴AB+AD＝6， ∵AD∥CB， ∴∠ADB＝∠CBD， ∵将▱ABCD沿对角线BD折叠，使点C落在点F处，BF交AD于点E， ∴∠FBD＝∠CBD， ∴∠ADB＝∠FBD， ∴BE＝DE， ∴AE+BE＝AE+DE＝AD， ∴AB+AE+BE＝AB+AD＝6， ∴△ABE的周长是6， 故选：B． 22．如图，在长方形ABCD中，AB＝3cm，AD＝9cm，将此长方形折叠，使点D与点B重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（　　） A．3cm2 B．4cm2 C．6cm2 D．12cm2 【答案】C 【解答】解：∵将此长方形折叠，使点D与点B重合，折痕为EF， ∴DE＝BE， 设AE＝xcm，则BE＝DE＝（9﹣x）cm， 由长方形的性质可得∠A＝90°， 在Rt△ABE中，由勾股定理得：AB2+AE2＝BE2， ∴x2+32＝（9﹣x）2， 解得：x＝4， ∴AE＝4cm， ∴S△ABEAB•AE3×4＝6（cm2）， 故选：C． 23．如图，在长方形ABCD中，点E，F分别在边AB，CD上，将长方形ABCD沿EF折叠，使点A，D分别落在长方形ABCD外部的点A1，D1处．若AB＝8，BC＝4，则整个阴影部分图形的周长为（　　） A．14 B．24 C．28 D．56 【答案】B 【解答】解：∵将长方形ABCD沿EF折叠，使点A，D分别落在长方形ABCD外部的点A1，D1处，AB＝8，BC＝4， ∴A1E＝AE，A1D1＝AD，D1F＝DF， ∴阴影部分图形的周长＝A1D1+A1E+EB+D1F+FC+BC ＝AD+（AE+EB）+（DF+FC）+BC， ＝AD+AB+DC+BC， ＝2BC+2AB， ＝2（4+8）， ＝24， 故选：B． 24．如图，将上下两边互相平行的纸片折叠后得到阴影部分及折痕EF．若∠1＝60°，EF＝2，则阴影部分的面积为（　　） A．2 B． C． D． 【答案】C 【解答】解：过点E作EH⊥CD于点H，如图所示： ∵AB∥CD，∠1＝60°， ∴∠AEP＝∠1＝60°， ∴∠BEP＝180°﹣∠AEP＝120°， 由折叠性质得：∠PEF＝∠BEF， ∵∠PEF+∠BEF＝∠BEP＝180°， ∴∠PEF＝∠BEF＝60°， 又∵∠EPF＝∠1＝60°， ∴∠EPF＝∠PEF＝60°， ∴△EPF为等边三角形， ∵EF＝2， ∴PF＝PE＝EF＝2， 在等边△EPF中，EH⊥CD于点H， ∴PH＝FHPF＝1， 在Rt△PEH中，由勾股定理得：EH， ∴S△PEFPF•EH， ∴阴影部分的面积为． 故选：C． 25．如图，一张矩形纸片ABCD，AB＝6，AD＝8，将纸片折叠，使得边AB落在AD边上，折痕为AE，再将△AEB沿BE向右翻折，AE与边DC的交点为F，则△CEF的面积为　2　 ． 【答案】2． 【解答】解：如图1，∵四边形ABCD是矩形，AB＝6，AD＝8， ∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，BC∥AD， 如图2，由折叠得点B在AD上，且AB＝6，∠A90°＝45°，∠ABE＝90°， ∴BD＝AD﹣AB＝8﹣6＝2，∠ABE＝∠D， ∵BE∥CD，EC⊥CD，BD⊥CD， ∴CE＝BD＝2， 如图3，由折叠得∠A＝45°，且AB经过点D， ∵EC∥BD， ∴∠CEF＝∠A＝45°， ∴∠CFE＝∠CEF＝45°， ∴CF＝CE＝2， ∴S△CEFCE•CF2×2＝2， 故答案为：2． 26．如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝6，P是BC上一点，将△ABP沿着AP翻折到△AB′P，连接DB′，若P、B′、D恰好在一条直线上，则△AB′D的面积为 　　 ． 【答案】． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，且AB＝3，BC＝6， ∴AD＝BC＝6，CD＝AB＝3，∠B＝90°， 由翻折性质得：AB'＝AB＝3，∠AB'P＝∠B＝90°， ∵点P、B′、D恰好在一条直线上， ∴∠AB'D＝180°﹣∠AB'P＝90°， ∴△AB'D是直角三角形， 在Rt△AB'D中，由勾股定理得：B'D， ∴S△AB'DAB'•B'D， ∴△AB′D的面积为． 故答案为：． 27．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，E为BC的中点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内点F处，连接CF，△CEF的面积是　　 ． 【答案】． 【解答】解：如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，连接BF交AE于点H，作FG⊥BC于点G， ∴∠ABC＝90°， ∵BC＝6，E为BC的中点， ∴， 在直角三角形ABE中，AB＝4， 由勾股定理得：， ∵将△ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内点F处，连接CF， ∴BF⊥AE，EF＝BE＝3，S△ABE＝S△AFE， ∴EF＝EC＝BE＝3， ∵，S四边形ABEF＝S△ABE+S△AFE＝2S△ABE， ∴， 解得：， ∵EF＝EC＝BE＝3， ∴∠EBF＝∠EFB，∠ECF＝∠EFC， ∵∠EBF+∠EFB+∠ECF+∠EFC＝180°， ∴2∠EFB+2∠EFC＝180°， ∴∠EFB+∠EFC＝90°， ∴∠BFC＝90°， 在直角三角形BCF中，由勾股定理得：， ∵FG⊥BC， ∴， ∴， ∴△CEF的面积， 故答案为：． 28．如图，将一矩形纸片ABCD折叠，使两个顶点A，C重合，折痕为FG．若AB＝5，BC＝10，则△ACF的面积为　　 ． 【答案】． 【解答】解：∵将一矩形纸片ABCD折叠，使两个顶点A，C重合，折痕为FG， ∴FG是AC的垂直平分线， ∴AF＝CF， 设AF＝FC＝x， 在Rt△ABF中，有勾股定理得：AB2+BF2＝AF2， 52+（10﹣x）2＝x2， 解得：x， 即CF＝5， ∴△ACF的面积为5， 故答案为：． 29．如图，在长方形纸片ABCD中，AB＝8，BC＝6，E是AD的中点，F是AB上一动点．将△AEF沿直线EF折叠，点A落在点A′处．在EF上任取一点G，连接GC，GA′，CA′，则△CGA′周长的最小值为　　 ． 【答案】． 【解答】解：C△CGA′＝GA′+GC+CA′． 由折叠性质知，EF是AA′的垂直平分线， 故GA′＝GA， ∴C△CGA′＝GA+GC+CA′， ∵四边形ABCD是长方形， ∴∠D＝90°，AD＝BC＝6，CD＝AB＝8， 根据勾股定理，， 当G在AC与EF的交点时，GA+GC取得最小值AC， 即GA+GC的最小值为10， ∵点E是AD中点， ∴， 由折叠性质，EA′＝EA＝3， 在Rt△DEC中，DE＝3，CD＝8， ∴， 根据三角形三边关系，CA′≥CE﹣EA′， ∴CA′的最小值为， ∴△CGA′周长的最小值为， 故答案为：． 30．2025年10月贵阳市举行了第一届数智文化节，在某校的校内选拔赛中，小星所在的数学小组用边长为8的正方形纸片进行折纸问题的探究． 【初步感知】 （1）如图①，沿过点B的直线折叠正方形纸片，使得点C的对应点点E落在正方形的对角线BD上，且折痕与边DC交于点F，则DE＝ 　　 ；（结果保留根号） 【迁移运用】 （2）如图②，点G，F分别在AB，CD边上，沿直线GF折叠正方形纸片，点B的对应点为点I，点C的对应点点E落在线段AD上（不与A，D重合），EI交AB于点H； ①当点E为AD中点时，求△DEF的面积； ②当点E为AD上任意一点时（如图③）探究△AEH的周长是否发生变化，若不变，请求出△AEH的周长；若改变，请说明理由． 【答案】（1）； （2）①6； ②△AEH的周长不发生变化，始终等于16，理由如下见解答：． 【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，且边长为8， ∴BC＝DC＝8，∠C＝90°， 在Rt△BCD中，由勾股定理得：BD， 由折叠性质得：BE＝BC＝8， ∴DE＝BD﹣BE， 故答案为：； （2）①∵四边形ABCD是正方形，且边长为8， ∴AD＝DC＝8，∠D＝90°， ∵点E是AD的中点， ∴DEAD＝4， 设DF＝a， ∴CF＝DC﹣DF＝8﹣a， 由折叠性质得：EF＝CF＝8﹣a， 在Rt△DEF中，由勾股定理得：EF2＝DE2+DF2， ∴（8﹣a）2＝42+a2， 解得：a＝3， ∵DF＝a＝3， ∴△DEF的面积为：DE•DF4×3＝6； ②△AEH的周长不发生变化，始终等于16，理由如下： 连接CE，CH，过点C作CM⊥EH于点M，如图3所示： ∴∠CME＝∠CMH＝90°， ∵四边形ABCD是正方形，且边长为8， ∴AB＝CB＝CD＝AD＝9，∠B＝∠BCD＝∠D＝∠A＝90°， ∴∠CME＝∠D＝90°，∠CME＝∠B＝90°， 由折叠性质得：EF＝CF，∠FEH＝∠BCD＝90°， ∴∠CMH＝∠FEH＝90°，∠FHC＝∠DCE， ∴CM∥EF， ∴∠MCE＝∠FHC＝∠DCE， 在△CME和△CDE中， ， ∴△CME≌△CDE（AAS）， ∴ME＝DE，CM＝CD＝CB， ∴ME+AE＝DE+AE＝AD＝8， ∵∠CME＝∠B＝90°， ∴△CMH和△CBH都是直角三角形， 在Rt△CMH和Rt△CBH中， ， ∴Rt△CMH≌Rt△CBH（HL）， ∴MH＝BH， ∴AH+MH＝AH+BH＝AB＝8， ∴△AEH的周长为：AB+HE+AE＝AB+MH+ME+AE＝16． 考点04 折叠问题中点的坐标 31．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边AB在x轴上，点A的坐标为（﹣2，0），点E在边CD上．将△BCE沿BE折叠，点C落在点F处．若点F的坐标为（0，6），则点E的坐标为（　　） A．（2，8） B．（3，10） C．（4，6） D．（3，8） 【答案】B 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，边AB在x轴上， ∴AD＝AB＝CD＝CB，AD⊥x轴，CD⊥y轴， 由折叠得FB＝CB，FE＝CE， 设CD交y轴于点G，AD＝AB＝CB＝CD＝m，则BF＝OG＝m， ∵A（﹣2，0），F（0，6）， ∴OA＝GD＝2，OF＝6， ∴OB＝m﹣2， ∵∠BOF＝∠EGF＝90°， ∴OB2+OF2＝BF2， ∴（m﹣2）2+62＝m2， 解得m＝10， ∴AD＝OG＝CD＝10， ∴FG＝10﹣6＝4，FE＝CE＝10﹣2﹣GE＝8﹣GE， ∵GE2+FG2＝FE2， ∴GE2+42＝（8﹣GE）2， 解得GE＝3， ∴E（3，10）， 故选：B． 32．如图，在平面直角坐标系中，长方形OABC的顶点O（0，0）、A（4，0）、B（4，3），将长方形沿对角线AC折叠，点B落在点D处，CD与x轴交于点E，则点E的坐标为（　　） A． B．（3，0） C．（2，0） D． 【答案】A 【解答】解：∵长方形OABC的顶点O（0，0）、A（4，0）、B（4，3）， ∴OC＝AB＝3，OA＝4， 由折叠得，∠BCA＝∠DCA， ∵BC∥OA， ∴∠BCA＝∠OAC， ∴∠DCA＝∠OAC， ∴CE＝AE， ∴设OE＝x，则CE＝AE＝OA﹣OE＝4﹣x， ∵∠COA＝90°， ∴OC2+OE2＝CE2， ∴32+x2＝（4﹣x）2， ∴， ∴， ∴点E的坐标为． 故选：A． 33．如图，平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A，C分别在x轴、y轴上，顶点B的坐标为（8，6），点P为边BC上一个动点，将△OPC沿OP折叠得到△OPQ，点C的对应点为点Q，连接BQ，当线段BQ有最小值时，点P的坐标为（　　） A．（2，6） B．（3，6） C．（4，6） D．（5，6） 【答案】B 【解答】解：连接OB，平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A，C分别在x轴、y轴上，顶点B的坐标为（8，6）， ∵点B的坐标为（8，6），由题意可知：CB＝8，OC＝6，∠BCO＝90°， ∴， ∵OQ＝OC＝6，CP＝PQ，OQ+QB≥OB，即BQ≥OB﹣OQ＝10﹣6＝4， ∴当Q在OB上时，线段BQ长的最小值为4， 如图： 将△OCP沿OP折叠，使点C恰好落在对角线OB上Q处， 设CP＝x，则PQ＝x，BP＝8﹣x， BP2＝PQ2+BQ2， ∴x2+42＝（8﹣x）2， ∴x＝3， ∴P点的坐标为（3，6）， 故选：B． 34．如图，将AB＝10，AD＝6的矩形纸片ABCD放在以BC所在直线为x轴，BC边上一点O为坐标原点的直角坐标系中，连接OD将纸片ABCD沿OD折叠，使点C落在AB边上的点C′处，则C点的坐标为（　　） A．（2，0） B．（，0） C．（3，0） D．（，0） 【答案】B 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形 ∴AB＝CD＝10，AD＝BC＝6， ∵折叠 ∴C'D＝CD＝10，CO＝C'O 在Rt△AC'D中，AC'8 ∴C'B＝AB﹣AC'＝2 在Rt△BOC'中，C'O2＝BO2+C'B2， ∴CO2＝（6﹣CO）2+4 ∴CO ∴点C坐标（，0） 故选：B． 35．如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的点A的坐标为，E是线段BC上一点，且∠AEB＝67.5°，沿AE折叠后B点落在点F处，那么点F的坐标为　　 ． 【答案】． 【解答】解：在平面直角坐标系中，正方形OABC的点A的坐标为，则： 过点F作FG⊥y轴于点G，作FD⊥x轴于点D， 由题意可得：， ∴， ∵∠AEB＝67.5°， ∴∠BAE＝22.5°， 由折叠的性质可知，∠BAF＝2∠BAE＝45°， ∴∠FAG＝45°， ∵FG⊥y轴， ∴∠AFG＝45°， ∴AG＝FG， ∵AG2+FG2＝AF2， 即 ∴AG＝FG＝2， ∴， ∵∠FGO＝∠FDO＝∠DOG＝90°， ∴， ∴点F的坐标为； 36．如图，在平面直角坐标系中，长方形OABC的顶点坐标分别为点O（0，0），点A（4，0），点B（4，3），点C（0，3），点P是AB上的点，将△POA沿OP所在的直线折叠，若点A的对应点A′刚好落在OB上，则点P的坐标为　　 ． 【答案】． 【解答】解：因为A（4，0），B（4，3）， 所以OA＝4，AB＝3， 在Rt△OAB中，， 因为A′点恰好落在OB上，所以OA′＝OA＝4， 所以A′B＝OB﹣OA′＝5﹣4＝1， 设PA′＝PA＝x，则PB＝AB﹣AP＝3﹣x， 在Rt△PA′B中，PB2＝A′P2+A′B2， 所以（3﹣x）2＝x2+12， 9+x2﹣6x＝ x2+1， 解得， 所以点P的坐标为． 故答案为：． 37．如图，矩形ABCD中，点A（﹣2，0），B（4，0），C（4，5），点P为x轴上一个动点，以CP为对称轴将△CPB折叠得到△CPQ，点B的对应点为点Q，当点Q落在y轴上时，点P的坐标为　（﹣6，0）或　 ． 【答案】（﹣6，0）或． 【解答】解：∵以CP为对称轴将△CPB折叠得到△CPQ，点B的对应点为点Q，B（4，0），C（4，5）， ∴CQ＝CB＝5，PQ＝PB， 设P（p，0），Q（0，q）， ∴， 解得：q＝2或q＝8， ∴Q（0，2）或Q（0，8）， 当Q（0，2）时，由PQ＝PB得， p2+22＝（p﹣4）2， 解得：， 当Q（0，8）时，由PQ＝PB得， p2+82＝（p﹣4）2， 解得：p＝﹣6， 综上，点P的坐标为（﹣6，0）或， 故答案为：（﹣6，0）或． 38．如图，长方形AOCD在平面直角坐标系中的位置如图：A（0，a）、C（b，0）满足|b﹣5|＝0，将长方形AOCD沿直线AE折叠（点E在边DC上），折叠后点D恰好落在边OC上的点F处．则点F的坐标为　（4，0）　 ． 【答案】（4，0）． 【解答】解：A（0，a）、C（b，0）满足|b﹣5|＝0， 依题意得：a﹣3＝0，b﹣5＝0， 解得：a＝3，b＝5， ∴A（0，3）、C（5，0）， ∵四边形AOCD是长方形， ∴AD＝OC＝5，AO＝DC＝3， 由翻折的性质可知：AF＝AD＝5， 在Rt△AOF中，由勾股定理得：． ∴点F的坐标为（4，0）． 故答案为：（4，0）． 39．如图，将一张长方形纸片ABCD放在平面直角坐标系中，点A与原点O重合，顶点B、D分别在x轴、y轴上，AB＝4，AD＝3，P为边CD上一动点，连接BP，将△BCP沿BP折叠，点C落在点C′处． （1）如图1，连接BD，当点C在线段BD上时，线段DC′的长度是　2　 ； （2）如图2，若点P使得点C′到矩形的两条较长边的距离之比为1：2，则点C′的坐标为　或　 ． 【答案】（1）2； （2）或． 【解答】（1）解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BAD＝90°，BC＝AD＝3， ∴由勾股定理得， ， ∴BC′＝BC＝3， ∴DC′＝BD﹣BC′＝5﹣3＝2， 故答案为：2； （2）如图所示，过点C′作EF⊥CD交CD于点E，交AB于点F， ∴∠CEF＝90°， ∵∠C＝∠ABC＝90°， ∴四边形BCEF为矩形， ∴EF＝BC＝3， 当C′E：C′F＝1：2时， C′E＝1，C′F＝2， ∴BC′＝BC＝3， 由勾股定理得， ， ∴， ∴点C′的坐标为； 当C′E：C′F＝2：1时，C′E＝2，C′F＝1， 由折叠得：BC′＝BC＝3， 由勾股定理，得 ， ∴， ∴点C′的坐标为； ∴点C′的坐标为或． 故答案为：或． 40．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边AB在x轴上，点B的坐标为（1，0），边CD与y轴交于点G，点E在边CD上．将△ADE沿AE折叠，点D落在点F处．若点F的坐标为（0，3），求点E的坐标． 【答案】． 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠DAB＝AOG＝90°，AD＝AB＝CD＝BC，AB∥CD， ∴DA⊥AO，GO⊥AO， ∴AD＝OG，同理可得DG＝OA， 设AB＝x， ∴AD＝AB＝CD＝BC＝OG＝x， ∵点B的坐标为（1，0）， ∴OA＝x﹣1， ∵将△ADE沿AE折叠，点D落在点F处．点F的坐标为（0，3）， ∴OF＝3，AF＝AD＝x，DE＝EF， 在Rt△AOF中，由勾股定理得：AF2＝OA2+OF2， ∴x2＝32+（x﹣1）2， 解得：x＝5， ∴DG＝OA＝5﹣1＝4， 设EG＝a，则DE＝EF＝4﹣a，FG＝OG﹣OF＝5﹣3＝2， 在Rt△EFG中，由勾股定理得：EF2＝EG2+GF2， ∴（4﹣a）2＝a2+22， 解得：， ∴点E的坐标为． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $