期中培优：二次根式的混合运算、以二次根式为背景的材料阅读类问题专项训练-2025-2026学年人教版八年级数学下册

期中培优：二次根式的混合运算、以二次根式为背景的材料阅读类问题专项训练 期中培优：二次根式的混合运算、以二次根式为背景的材料阅读类问题专项训练 考点目录 二次根式的混合运算 以二次根式为背景的材料阅读类问题 考点一 二次根式的混合运算 例1．（25-26八年级下·宁夏吴忠·期中）计算： (1)； (2) ； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：， ， ， ； （3）解：， ， ， ． 例2．（25-26八年级下·辽宁营口·月考）计算 (1) (2) (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先计算二次根式的乘、除，再化为最简二次根式，然后加减即可； （2）先分母有理化，再化为最简二次根式，然后计算乘法即可； （3）运用平方差和完全平方公式进行计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 例3．（25-26八年级下·湖北襄阳·月考）计算： (1)； (2)； (3)． (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）先化简二次根式，然后进行二次根式的加减运算即可； （2）先计算负整数指数幂、零指数幂，化简二次根式和绝对值，再进行加减运算即可； （3）先计算括号内的减法，再计算二次根式的乘除法，最后进行加减运算即可； （4）先运用平方差公式和完全平方公式进行运算，再进行加减运算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 变式1．（25-26八年级下·甘肃武威·月考）计算 (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（）先分别计算二次根式乘法与二次根式的化简，再进行减法运算，得到结果； （）运用乘法分配律和完全平方公式展开，最后合并同类项得到结果； （）先将所有二次根式化为最简形式，再根据绝对值的代数意义去掉绝对值符号，最后合并同类二次根式得到结果； （）先分母有理化，并用平方差公式计算乘法，最后化简计算得到结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． （3）解： ； （4）解： ． 变式2．（25-26八年级下·甘肃武威·月考）计算： (1)． (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（）先将化为最简二次根式，再合并同类二次根式，得到结果； （）先化简、对分母有理化，计算乘法后合并同类二次根式，得到； （）先化简，再分别计算二次根式的除法和乘法，最后做减法，得到结果． 【详解】（1） （2） ； （3） ． 变式3．（25-26八年级下·四川南充·月考）计算： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先计算二次根式的乘法与除法、化简二次根式，再计算加减法即可； （2）先计算平方差公式与完全平方公式、分母有理化，再计算加减法即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 考点二 以二次根式为背景的材料阅读类问题 例1．（25-26八年级下·山东泰安·期中）阅读与思考： 数学上有一些被开方数带根号的数能通过完全平方公式及二次根式的性质化简．例如： ． 解决下列问题： (1)化简：； (2)化简并求出：的值． 【方法应用】 (3)如图，已知一正方形花圃（如图所示阴影部分）边长为4米，现增种鲜花面积为平方米，形成新正方形花圃ABCD，求出新正方形花圃ABCD的边长． 【答案】(1) (2)9 (3) 【分析】（1）将被开方数凑成的形式，再利用二次根式的性质化简即可； （2）分别将两个被开方数凑成完全平方式，再分别利用二次根式的性质化简，最后合并同类二次根式即可解答； （3）先求出新正方形花圃ABCD的面积为，则边长为，再仿照范例解答即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解：由题意可得：， 所以新正方形花圃的边长为， ． 例2．（25-26七年级下·江西上饶·期中）对于实数a，我们规定：用符号表示不大于 的最大整数，称为a 的根整数，例如： (1)计算： ； ； (2)若则满足题意的x 的所有整数值为 ； (3)如图，数轴上表示1 和 的对应点分别为点 A，B，点A 是 BC 的中点，点O 为原点，设点 C 表示的数为x，试求的值． 【答案】(1)，； (2)； (3) 【分析】（1）先估算和的大小，再由新定义可得结果； （2）根据定义可知，可得满足题意的的正整数值； （3）根据数轴上两点的距离得到点表示的数，代入求出的值，再根据题中新定义得到结果． 【详解】（1）解：， 根据根整数的定义得，； （2）解：， ， ， 则满足题意的x 的所有整数值为； （3）解：根据题意得，， ． 例3．（24-25八年级上·黑龙江大庆·月考）请阅读下列解题过程： ， ． 解答下列问题： (1) ； (2)化简：． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用平方差公式，将含根式的分式转化为两个根式的差，归纳出通项公式； （2）先利用（1）的结论，将每一项裂成两个根式的差，抵消中间项后，最后计算首尾两项的差得到结果． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 例4．（25-26八年级下·广东云浮·月考）新定义：若无理数的被开方数（为正整数）满足（其中n为正整数），则称无理数的“整数区间”为；同理规定无理数的“整数区间”为．例如：因为，所以，所以的“整数区间”为，的“整数区间”为．请解答下列问题： (1)的“整数区间”是_____；的“整数区间”是____． (2)若无理数（为正整数）的“整数区间”为，的“整数区间”为，求的值； (3)实数，，满足关系式：，求的“整数区间”． 【答案】(1)； (2)或3 (3) 【分析】（1）根据“整数区间”的定义求解即可； （2）先根据无理数和的“整数区间”求出a的取值范围，再根据a为正整数求出a的值，然后代入求解即可； （3）由题意可得、，得出，进而得出、，两式相减可得，再根据“整数区间”的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∴的“整数区间”是，的“整数区间”是； （2）解：∵无理数的“整数区间”为， ∴， ∴，即， ∵的“整数区间”为， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵a为正整数， ∴或， 当时，； 当时，． 综上所述，的值为或3． （3）解：∵， ∴、， ∴， ∴， ∵ ∴、， 两式相减，得，即， ∴， ∵， ∴， ∴的“整数区间”是． 变式1．（25-26八年级下·河南信阳·月考）阅读材料：像；；…两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如与，与，与等都是互为有理化因式． 在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．例如：，． 解答下列问题： (1)与________互为有理化因式，将分母有理化得________； (2)计算以下式子的值：； (3)已知整数满足，求的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）由阅读材料中的定义、方法直接求解即可； （2）先对括号里各项分母有理化，再化简括号里的，最后由平方差公式计算即可； （3）将题中等式左边式子分母有理化，再由等式列出方程组求解即可． 【详解】（1）解：由阅读材料方法，可知， 则与互为有理化因式； ， 则将分母有理化得； （2）解： ； （3）解： ， ， 解得． 变式2．（25-26八年级下·江苏扬州·月考） 阅读并回答问题：为了化简，我们尝试找到两个数、，使且，则可将化为，即，从而使得化简． 例如，， 所以． 请仿照上例化简下列根式． (1)______； (2)_______； (3)计算：． (4)比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3) (4)． 【分析】（1）先将被开方数化为完全平方数，再利用二次根式的性质化简； （2）先将被开方数化为完全平方数，再利用二次根式的性质化简； （3）先将被开方数化为完全平方数，然后利用二次根式的性质化简，再分母有理化计算即可； （4）利用分子有理化，即可比较大小． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解： ； （4）解：．理由如下， ， ， ∵， ∴． 变式3．（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）定义：若二次根式可以写成的形式（其中a、b、m、n为非负常数），则称为完整根式，是的完整平方根，例如：∵，∴是完整根式，是的完整平方根． (1)若完整根式的完整平方根为，a、b、m、n为非负有理数，请用含m、n的代数式表示a和b； (2)若，且a、n为正整数，则______； (3)试判断是否是完整根式的完整平方根，并说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)是，理由见解析 【分析】本题考查完整根式，完整平方根的理解； （1）利用完整根式，完整平方根的定义计算，即可解答； （2）利用完全平方公式求解即可； （3）利用完整根式，完整平方根的定义计算，即可解答； 【详解】（1）解：∵的完整平方根是， ∴． ∴． ∵，，，都是有理数， ∴，； （2）解：∵， ∴， ∵a、n为正整数， ∴，， 解得，， 故答案为：10； （3）解：是完整根式的完整平方根， 理由：∵，即， ∴是完整根式， ∴是完整根式的完整平方根． 变式4．（25-26八年级上·江西·期末）问题情境：在学习了《勾股定理》和《实数》后，某班同学们以“已知三角形三边的长度，求三角形面积为主题开展了数学活动，同学们想到借助曾经阅读的数学资料进行探究： 材料1．古希腊的几何学家海伦（Heron，约公元50年），在他的著作《度量》一书中，给出了求其面积的海伦公式（其中a、b、c为三角形的三边长，，S为三角形的面积）． 材料2．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边长求面积的秦九韶公式：，其中三角形边长分别为a、b、c，三角形的面积为S． (1)利用材料1解决下面的问题： 当时，求这个三角形的面积： (2)利用材料2解决下面的问题： 已知三条边的长度分别是，记的周长为． ①当时，请直接写出中最长边的长度________； ②若x是满足的整数，当取得最大值时，请用秦九韶公式求出的面积． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）求出，把 、、、的值代入海伦公式计算即可求解； （2）①把代入计算即可求解；②根据二次根式有意义的条件求出的取值范围，进而化简，根据取最大值且为整数，确定出 、、的值，进而求出的值，代入秦九韶公式计算即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴． （2）解：①当时， ，，， ∴中最长边的长度为． ②∵， ∴，， ∴ ， ∵，，为整数， ∴当时，三边为，，， ∵， ∴不合题意，舍去， 当时，三边为，，，符合题意，此时取最大值， ∴， ∴ ． 2 学科网（北京）股份有限公司 $期中培优：二次根式的混合运算、以二次根式为背景的材料阅读类问题专项训练 期中培优：二次根式的混合运算、以二次根式为背景的材料阅读类问题专项训练 考点目录 二次根式的混合运算 以二次根式为背景的材料阅读类问题 考点一 二次根式的混合运算 例1．（25-26八年级下·宁夏吴忠·期中）计算： (1)； (2) ； (3)． 例2．（25-26八年级下·辽宁营口·月考）计算 (1) (2) (3)． 例3．（25-26八年级下·湖北襄阳·月考）计算： (1)； (2)； (3)． (4) 变式1．（25-26八年级下·甘肃武威·月考）计算 (1)． (2)． (3)． (4)． 变式2．（25-26八年级下·甘肃武威·月考）计算： (1)． (2)； (3)． 变式3．（25-26八年级下·四川南充·月考）计算： (1) (2)． 考点二 以二次根式为背景的材料阅读类问题 例1．（25-26八年级下·山东泰安·期中）阅读与思考： 数学上有一些被开方数带根号的数能通过完全平方公式及二次根式的性质化简．例如： ． 解决下列问题： (1)化简：； (2)化简并求出：的值． 【方法应用】 (3)如图，已知一正方形花圃（如图所示阴影部分）边长为4米，现增种鲜花面积为平方米，形成新正方形花圃ABCD，求出新正方形花圃ABCD的边长． 例2．（25-26七年级下·江西上饶·期中）对于实数a，我们规定：用符号表示不大于 的最大整数，称为a 的根整数，例如： (1)计算： ； ； (2)若则满足题意的x 的所有整数值为 ； (3)如图，数轴上表示1 和 的对应点分别为点 A，B，点A 是 BC 的中点，点O 为原点，设点 C 表示的数为x，试求的值． 例3．（24-25八年级上·黑龙江大庆·月考）请阅读下列解题过程： ， ． 解答下列问题： (1) ； (2)化简：． 例4．（25-26八年级下·广东云浮·月考）新定义：若无理数的被开方数（为正整数）满足（其中n为正整数），则称无理数的“整数区间”为；同理规定无理数的“整数区间”为．例如：因为，所以，所以的“整数区间”为，的“整数区间”为．请解答下列问题： (1)的“整数区间”是_____；的“整数区间”是____． (2)若无理数（为正整数）的“整数区间”为，的“整数区间”为，求的值； (3)实数，，满足关系式：，求的“整数区间”． 变式1．（25-26八年级下·河南信阳·月考）阅读材料：像；；…两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如与，与，与等都是互为有理化因式． 在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．例如：，． 解答下列问题： (1)与________互为有理化因式，将分母有理化得________； (2)计算以下式子的值：； (3)已知整数满足，求的值． 变式2．（25-26八年级下·江苏扬州·月考） 阅读并回答问题：为了化简，我们尝试找到两个数、，使且，则可将化为，即，从而使得化简． 例如，， 所以． 请仿照上例化简下列根式． (1)______； (2)_______； (3)计算：． (4)比较与的大小，并说明理由． 变式3．（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）定义：若二次根式可以写成的形式（其中a、b、m、n为非负常数），则称为完整根式，是的完整平方根，例如：∵，∴是完整根式，是的完整平方根． (1)若完整根式的完整平方根为，a、b、m、n为非负有理数，请用含m、n的代数式表示a和b； (2)若，且a、n为正整数，则______； (3)试判断是否是完整根式的完整平方根，并说明理由． 变式4．（25-26八年级上·江西·期末）问题情境：在学习了《勾股定理》和《实数》后，某班同学们以“已知三角形三边的长度，求三角形面积为主题开展了数学活动，同学们想到借助曾经阅读的数学资料进行探究： 材料1．古希腊的几何学家海伦（Heron，约公元50年），在他的著作《度量》一书中，给出了求其面积的海伦公式（其中a、b、c为三角形的三边长，，S为三角形的面积）． 材料2．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边长求面积的秦九韶公式：，其中三角形边长分别为a、b、c，三角形的面积为S． (1)利用材料1解决下面的问题： 当时，求这个三角形的面积： (2)利用材料2解决下面的问题： 已知三条边的长度分别是，记的周长为． ①当时，请直接写出中最长边的长度________； ②若x是满足的整数，当取得最大值时，请用秦九韶公式求出的面积． 2 学科网（北京）股份有限公司 $