培优专训(1) 二次根式的计算与化简求值&培优专训(2) 与二次根式有关的阅读理解题-【名师学案】2025-2026学年八年级下册数学分层进阶学习法（人教版·新教材）

跨单元整合 培优专训（一）二次根式的计算与化简求值 类型一利用二次根式的性质√a=|a化简 (4)(3-1)2-(1+√3)(2-√3)： 解题技巧 对于√a的化简，不要盲目地写成a,而应先 写成绝对值的形式，即|a,然后再根据a的符号 a(a0), 进行化简.即√a=|a -a(a≤0). 1.已知a=2-√3，则√a-2a十1的值为() )8-(》 -√-3)+(W5-1°. A.1-3 B.5-1 C.3-√3 D.√3-3 2.已知a,b,c在数轴上的位置如图所示，化 简：√(a-b)-√(b+c)+√(a-c) b a 0 c 类型三与二次根式有关的求值 4.先化简，再求值：(x+y)(x一y)+y(x+2y) -(x-y)2,其中x=2十√3，y=2-√3. 类型二二次根式的运算 3.计算： 1612-2w27+38-4√2： 5.已知：x=√7+√5，y=√7一√5.求下列各式 的值。 (1)x2-xy+y2; (2)x-y y x 1 (2)V24÷5√2×V1⑧+√32： (3)(3+√2)（√3-√2）+（√3-√2）； -B1 跨单元整合 培优专训（二）与二次根式有关的阅读理解题 1.阅读与思考： ②已知正整数a,b满足a一 b二2 ,√I<3<√4，即1<√3<2，.3的整数 √2-1√ 部分为1. -3√2，求a,b的值. 设√3的小数部分为x,则x=√3一1. 即√3的小数部分为√3一1. 解答下列问题： (1)√26的整数部分是，小数部分是 ； 3.阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一 (2)如果√6的小数部分为m,√40的整数部 些含根号的式子可以写成另一个式子的平 分为n,求m一√n+2的值. 方，如：3十2√2=(1十√2)2，善于思考的小 明进行了以下探索： 设a+b2=(m+n√2)2（其中a,b,m,n均 为整数)，则有a十b√2=m2十2n2十2mn√2. 2.阅读材料：像(5+√3)（√5一√3）=2；√a· ∴.a=m2十2n2,b=2mn,这样小明就找到了 √a=a(a≥0)；(6b+1)(Wb-1)=b-1(b≥ 种把部分a十b√2的式子化为平方式的方 法.请你仿照小明的方法探索并解决下列 0)…两个含有二次根式的代数式相乘，积不 问题： 含有二次根式，我们称这两个代数式互为有 (1)当a,b,m,n均为正整数时，若a+b√3= 理化因式，例如√3与√3，√2+1与√2一1，√3 (m+n√3)2，用含m,n的式子分别表示 +35与√3-3√5等都是互为有理化因式. a,b,得a= ,b= 在进行二次根式计算时，利用有理化因式， (2)7十4√3的算术平方根为 可以化去分母中的根号： (3)若a+6√3=(m十n√3)2，且a,m,n均为 例如： 3 √3.√2+1 23 2√3X3 6； √2-1 正整数，求a的值. (W2+1)2 =3十2√2.解答下列问题： (2-1)(W2+1) (1)2√3-5与 互为有理化因式， 将，3分母有理化得 25 (2)①比较大小：√2024-√2023 √2023-√2022（填“>”“<”“=”“≥” 或“≤”中的一种)； —B2明：：四边形ABCD是菱形，AD=CD,∴.∠DAE=∠DCF.:∠ADF=∠CDE. '.∠ADE=∠CDF...△ADE≌△CDF..AE=CF.12.证明：.菱形ABCD, OA=OC,OB=OD,AC⊥BD..BE=DF,∴.OB-BE=OD-DF,即OE=OF.又 OA=OC,∴.四边形AECF是平行四边形.又AC⊥EF,.□AECF是菱形.OA= OE,OA=)AC,OE=号EF,.AC=EF.∴菱形AECF是正方形.13.(1)解：四边 形OEFG是矩形.证明如下：在菱形ABCD中，DO=BO,,E是AD的中点，.AE= DE.∴.OE∥AB,即OE∥FG.又，OG∥EF,∴.四边形OEFG是平行四边形.EF⊥ AB,.∠EFG=90°.∴.平行四边形OEFG是矩形.(2)614.2√5+215.(1)证 明：，四边形ABCD是正方形，.∠B=90°，AB=BC.,FH⊥BH,∴.∠H=90° ∠B,∠EFH=90°-∠FEH..∠AEF=90°，.∠AEB=90°-∠FEH.∴.∠AEB= ∠EFH.,AE=EF,.△ABE≌△EHF(AAS),.EH=AB=BC,BE=FH, EH一EC=BC一EC,∴.BE=CH.(2)解：过点F作FP⊥CD于点P,.∠FPC 90°=∠H=∠DCH,.四边形PCHF是矩形.由(1)知BE=FH=CH,.四边形 PCHF是正方形，∴.PF=CP=CH=BE=5.四边形ABCD是正方形，.DC=AB =17,.DP=DC-CP=17-5=12.在Rt△DPF中，DF=/DP2+PF= /12+5=13. 进阶测评（六）[22.1~22.2] 1.B2.D3.D4.C5.A6.C7.x38.4πcm225πcm2半径面积 9.-4010.34811.-1或1或312.解：(1)-2-1012531-1 一3(2)图略13.解：(1)根据题意，得y=m-6x(0≤x≤11).(2)将x=7,y= 一26代入y=m一6x,得-26=m一42，.m=16,即地面的气温为16℃.14.解：(1) 图略，这5个点在同一条直线上.(2)水位高度y是进水用时x的函数，函数解析式 为y=x十1(0≤x5),函数图象略(3)415.y=4x十24,2x,y16.(1)离开 家的时间x(h)小明和家人驾车0.5h后到达离家20km处的美术馆(2)60km h(3)解：当小明和家人在离开美术馆前往姑妈家的途中时，2.5+(30-20)÷60= 号()，当小明和家人离开姑妈家后，7+(50-30)÷50-().答：当小明和家人离 开家号h或h时，他们离家的距离为30km 进阶测评（七）[23.123.4] 1.D2.C3.D4.D5.C6.B7.C8.-19.210.11.212.y=x+1 (答案不唯一)13.解：(1)图略(2)0(3)<114.解：(1)y= 5x+4(2)联 y=x, 立直线OC及直线AB所对应的函数解析式为方程组，得： y=- 5x十4，解得： 4 /x20 9 2aC的坐标为·98A成”0 、99 9 15.解：(1)y=0.1x+0.1(2)当y=0.1x+0.1=6.7时，x=66.答：该教室门窗关 闭后连续使用66min学生将会开始稍感不适.16.解：(1)：当x=m十1时，y=m +1一2=m一1，.点P(m+1,m一1)在函数y=x一2的图象上.(2)，函数y= 2x十3的图象与x轴、y轴分别交于点A,B,∴A(6,0),B(0,3).由(1)知，点P在 函数y=x一2的图象上，设函数y=x一2的图象与x轴的交点为C.与函数y +3的图象交点为DC2.0).D(号，专.又点P在△AOB的肉部2<m <91m<子 +1510 培优专训（一）二次根式的计算与化简求值 1.B2.解：由数轴可知：b<a<0<c,且|b>c.∴a-b>0,b+c<0,a-c<0.∴.原 式=a-b-|b+c+a-c=a-b+b+c十c-a=2c.3.(1)解：原式=6×23 2X3+号×2w2-4×号-12v5-65+vE-22=6v5-:(2)解：原式 2√2-3+4√2=6√2-3；(3)解：原式=（√3+√2十√3-√2）×(3-√2)=2√3× (W3-√2)=6-2w6;(4)解：原式=3-2W3+1-(2-√3十2√3-3)=3-2√3+1 -2+√3-2√3+3=5-3√5；(5)解：原式=3√2-√2-3+1=2√2-2.4.解：原 式=x2-y2+xy+2y2-x2+2xy-y=3xy,当x=2+√5，y=2-√3时，原式=3× (2+√3)(2-W3)=3.5.解：(1)x=√7+√5，y=√7-5，.x+y=(√7+√5)十 (W7-√5)=2W7,x-y=(7+√5)-(W7-√5)=2W5,xy=(W7+√5)(7-W5)=7 -5=2x2-xwy+y=(x+y)2-3xy=28-6=22;(2)-y=-y y x xy (x+y)(x-2-27×25=235. ty 2 25