期中培优：利用平行线的性质求角度、利用平行线的性质研究角度关系专项训练-2025-2026学年人教版七年级数学下册

期中培优：利用平行线的性质求角度、利用平行线的性质研究角度关系专项训练 期中培优：利用平行线的性质求角度、利用平行线的性质研究角度关系专项训练 考点目录 利用平行线的性质求角度 利用平行线的性质研究角度关系 考点一 利用平行线的性质求角度 例1．（25-26七年级下·浙江舟山·期中）如图，已知，． (1)证明：； (2)若平分，于点，，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由，可得，可得，从而，即可得； （2）根据条件求得，，即可求得的度数． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， 由（1）可知， ∴， ∵，平分， ∴， 由（1）可知， ∴． 例2．（25-26七年级下·重庆垫江·月考）如图，已知直线． (1)若，求； (2)若，，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据，得，利用内错角的邻补角求解； （2）根据，，可得，则，利用同位角的邻补角的关系求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， （2）解：， ． ， ， ， ， ． 例3．（25-26七年级下·重庆·月考）如图，在中，点为延长线上一点，点分别为边上一点，连接，，的角平分线与延长线交于点，已知，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先证明，根据平行线的性质和角平分线的定义推出，即可得证； （2）作，根据，结合平行线的性质和角的和差关系进行求解即可． 【详解】（1）证明：如图， ∵， ∴， ∴， ∵的角平分线与延长线交于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， 由（1）知：， ∴， ∵， ∴， 作， 则，， ∴． 变式1．（25-26七年级下·四川绵阳·月考）如图，C、D是直线上两点，，平分，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据补角的性质可得出，然后根据“同位角相等，两直线平行”即可得证； （2）根据平行线的性质求出，根据角平分线的定义求出，最后根据平行线的性质求解即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 变式2．（25-26七年级下·河南商丘·月考）如图，已知，是内的一条线段，且，过点C作，交于点M． (1)求的度数； (2)过点O在内作射线，若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先结合，得出，然后把数值代入计算得，最后由两直线平行，内错角相等，得； （2）先理解题意，结合过点O在内作射线，补充图形，再结合角的和差关系列式计算，即可作答． 【详解】（1）解： ， ， ， ， ， ； （2）解：依题意，如图所示： ，， ． 变式3．（24-25七年级下·浙江温州·期中）如图，在中，已知，平分． (1)判断和的位置关系，并说明理由． (2)若，试说明． (3)在（2）的条件下，若，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据角平分线的定义求出，再结合题意可得，进而可得； （2）根据可得，，再结合，即可得到； （3）根据题意可得，由（2）得，再根据平行线的性质即可求解． 【详解】（1）解：平分， ， ， ， ； （2）解：， ，， ， ； （3）解：由题意得，， 由（2）得， ∵， ． 考点二 利用平行线的性质研究角度关系 例1．（25-26七年级下·江西上饶·期中）已知直线，和，分别交于点，，点在直线上，且不与点，重合，点，分别在直线，上．记，，． (1)当点在图1位置时，若，，求的度数； (2)当点在图2位置时，请写出 ，，之间的关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】（1）过点作，得到，结合题意可得，推出，即可求解； （2）过点作，得到，结合题意可得，推出，即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点作， ， ， ， ， ， ，， ； （2）解：，理由如下： 如图，过点作， ， ， ， ， ． 例2．（25-26七年级下·四川成都·月考）如图，，定点E，F分别在直线，上，在平行线，之间有一动点P，满足． (1)试问，，满足怎样的数量关系？ (2)如图3，，分别平分和，且点P在左侧． ①若，则______． ②猜想与的数量关系，并说明理由； ③如图4，若与的角平分线交于点，与的角平分线交于点，，与的角平分线交于点；以此类推，则与满足怎样的数量关系？（直接写出结果） 【答案】(1)或 (2)①；②；③ 【分析】（1）对于图1，过点P作，根据平行线的判定与性质，可得，，两式相加即可得到答案；对于图2，过点P作，根据平行线的判定与性质，可得，，两式相加，即可求得答案； （2）①根据（1）可得，逐步求出，，再根据（1）的结论，即可求得答案； ②根据（2）①可逐步推得，结合，可推得，再由（1）知，可得，即得答案； ③根据（1），可逐步求得，，以此类推，可得，再由②知，，可得，即得答案． 【详解】（1）解：如图①，当点在左侧（图1位置） 过点P作， ， ， ， ， ； 如图②，当点在右侧（图2位置） 过点P作， ， ， ， ， ， 即； （2）解：①当时，如图3， 由（1）可知， ， ， ，分别平分和， ，， ， 同（1）得，； ②由（2）①知，， ， 由（2）①知， ， 由（1）知， ， 整理得； ③由（1）知，， 与的角平分线交于点， ，， 同（1）， ， ，， 以此类推，可得， 由②知，， ， ， 当时，． 例3．（25-26七年级下·内蒙古兴安·月考）【探究结论】 (1)如图1，，E为形内一点，连接得到，则、、的关系是什么？（需要有证明过程） 【探究应用】利用（1）中结论解决下面问题： (2)如图2，已知，F为上一点，，，，则的度数为多少？ (3)如图3，，直线分别交于点E、F，和为内满足的两条线，分别与的平分线交于点和，求证：． 【答案】(1)，证明见解析 (2) (3)见解析 【分析】（1）过点E作，则，根据平行线的性质得，，进而可得； （2）利用（1）中结论可得，，结合即可求解； （3）利用（1）中结论可得，，结合，平分，，即可求解． 【详解】（1）解：， 证明：如图所示，过点E作， ， ， ，， ， ， ， ； （2）解：利用（1）中结论可得，， ， ， ， ， ； （3）解：利用（1）中结论可得，， ， ，平分， ， 又， ， 即． 变式1．（25-26七年级下·陕西咸阳·月考）综合实践： (1)【问题情境】如图，，，，求的度数．小明的思路是：过点作，通过平行线性质可得的度数是________； (2)【问题迁移】如图，，点在射线上运动，记，，当点在，两点之间运动时，与，之间有何数量关系？小颖根据小明的思路，过点作，即可求得与，之间的数量关系，请说明理由； (3)【联想拓展】在（）的条件下，当点在的延长线上时，如图．请求出与，之间的数量关系． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题主要考查了平行线的性质，平行公理推论，理解题意、作出适合的辅助线是解题的关键． （）过点作，则，然后根据平行线的性质进行计算，即可求解； （）过点作，则，然后根据平行线的性质进行计算，即可求解； （）过点作，则，然后根据平行线的性质进行计算，即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点作， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， 故答案为：； （2）解：，理由： 如图，过点作， ∴， ∴，， ∴； （3）解：如图，过点作， ∴， ∴，， ∴． 变式2．（24-25七年级下·山东济宁·期中）探索发现：如图是一种网红弹弓的实物图，在两头上系上皮筋，拉动皮筋可形成平面示意图如图1图2，弹弓的两边可看成是平行的，即．各活动小组探索与，之间的数量关系．已知，点不在直线和直线上，在图1中，智慧小组发现：．智慧小组是这样思考的：过点作，…… (1)补全证明过程（在对应序号位置补全）： 证明：过点作． ①（②） ，， （③）， ④（两直线平行，内错角相等）， 又， ． (2)在图2中，猜测与，之间的数量关系，并完成证明． (3)善思小组提出： ①如图3，已知，则角、、之间的数量关系为____________．（直接填空） ②如图4，，，分别平分，．则与之间的数量关系为__________．（直接填空） 【答案】(1)见解析 (2)；证明见解析 (3)①；② 【分析】（1）发现由平行线的性质得出，由，，推出，得出，推出，即可得出结论； （2）过点P作，由平行线的性质得出，由，，推出，得出，则； （3）①过点M作，由平行线的性质得出，由，推出，得出，即可得出结果； ②过点P作，过点F作，由平行线的性质得出，，由角平分线的性质得出，即，由，，推出，得出，，由角平分线的性质得出，即，推出，，即可得出结果． 【详解】（1）证明：过点P作． ∴（两直线平行，内错角相等）， ∵，， ∴ (平行于同一直线的两直线平行)， ∴（两直线平行，内错角相等）， 又， ∴． （2）； 证明：过点P作，如图2所示：    ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （3）①；理由如下： 过点M作，如图3所示：    ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ②； 证明：过点P作，过点F作，如图4所示：    ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ， ∴． 变式3．（25-26七年级下·河北唐山·月考）【问题情境】在综合实践课上，老师组织班上的同学开展了探究两角之间数量关系的数学活动，如图，已知射线，连接，点是射线上的一个动点（与点不重合），分别平分和，且分别交射线于点． (1)【探索发现】当时，求：的度数； (2)“快乐小组”经过探索后发现：不断改变的度数，与始终存在某种数量关系． ①当时，______； ②当时，______（用含的代数式表示）； (3)【操作探究】“智慧小组”利用量角器量出和的度数后，探究二者之间的数量关系．他们惊奇地发现，当点在射线上运动时，无论点在上的什么位置，与之间的数量关系都保持不变．请写出它们的关系，并说明理由． 【答案】(1)； (2)①；②； (3)结论：；理由见详解． 【分析】本题主要考查了平行线的性质、角平分线的定义，熟练掌握这些性质是解此题的关键． （1）由，得到，由分别平分和，可得，代入的度数即可求解； （2）①根据（1）的结论，代入，即可得到的度数； ②根据（1）的结论，代入，即可得到的度数； （3）由，得到，，由平分，可得，进而推出和的数量关系． 【详解】（1）解：， ， ， ， 分别平分和， ，， ； （2）解：① 当时： ， ， ， ， 分别平分和， ，， ； ② 当时： ， ， ， ， 分别平分和，， ，， ； 故答案为：①；②； （3）解：结论：； 理由如下： ， ， 平分， ， ， 又， ， ． 2 学科网（北京）股份有限公司 $期中培优：利用平行线的性质求角度、利用平行线的性质研究角度关系专项训练 期中培优：利用平行线的性质求角度、利用平行线的性质研究角度关系专项训练 考点目录 利用平行线的性质求角度 利用平行线的性质研究角度关系 考点一 利用平行线的性质求角度 例1．（25-26七年级下·浙江舟山·期中）如图，已知，． (1)证明：； (2)若平分，于点，，求的度数． 例2．（25-26七年级下·重庆垫江·月考）如图，已知直线． (1)若，求； (2)若，，求的度数． 例3．（25-26七年级下·重庆·月考）如图，在中，点为延长线上一点，点分别为边上一点，连接，，的角平分线与延长线交于点，已知，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 变式1．（25-26七年级下·四川绵阳·月考）如图，C、D是直线上两点，，平分，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 变式2．（25-26七年级下·河南商丘·月考）如图，已知，是内的一条线段，且，过点C作，交于点M． (1)求的度数； (2)过点O在内作射线，若，求的度数． 变式3．（24-25七年级下·浙江温州·期中）如图，在中，已知，平分． (1)判断和的位置关系，并说明理由． (2)若，试说明． (3)在（2）的条件下，若，求的度数． 考点二 利用平行线的性质研究角度关系 例1．（25-26七年级下·江西上饶·期中）已知直线，和，分别交于点，，点在直线上，且不与点，重合，点，分别在直线，上．记，，． (1)当点在图1位置时，若，，求的度数； (2)当点在图2位置时，请写出 ，，之间的关系，并说明理由． 例2．（25-26七年级下·四川成都·月考）如图，，定点E，F分别在直线，上，在平行线，之间有一动点P，满足． (1)试问，，满足怎样的数量关系？ (2)如图3，，分别平分和，且点P在左侧． ①若，则______． ②猜想与的数量关系，并说明理由； ③如图4，若与的角平分线交于点，与的角平分线交于点，，与的角平分线交于点；以此类推，则与满足怎样的数量关系？（直接写出结果） 例3．（25-26七年级下·内蒙古兴安·月考）【探究结论】 (1)如图1，，E为形内一点，连接得到，则、、的关系是什么？（需要有证明过程） 【探究应用】利用（1）中结论解决下面问题： (2)如图2，已知，F为上一点，，，，则的度数为多少？ (3)如图3，，直线分别交于点E、F，和为内满足的两条线，分别与的平分线交于点和，求证：． 变式1．（25-26七年级下·陕西咸阳·月考）综合实践： (1)【问题情境】如图，，，，求的度数．小明的思路是：过点作，通过平行线性质可得的度数是________； (2)【问题迁移】如图，，点在射线上运动，记，，当点在，两点之间运动时，与，之间有何数量关系？小颖根据小明的思路，过点作，即可求得与，之间的数量关系，请说明理由； (3)【联想拓展】在（）的条件下，当点在的延长线上时，如图．请求出与，之间的数量关系． 变式2．（24-25七年级下·山东济宁·期中）探索发现：如图是一种网红弹弓的实物图，在两头上系上皮筋，拉动皮筋可形成平面示意图如图1图2，弹弓的两边可看成是平行的，即．各活动小组探索与，之间的数量关系．已知，点不在直线和直线上，在图1中，智慧小组发现：．智慧小组是这样思考的：过点作，…… (1)补全证明过程（在对应序号位置补全）： 证明：过点作． ①（②） ，， （③）， ④（两直线平行，内错角相等）， 又， ． (2)在图2中，猜测与，之间的数量关系，并完成证明． (3)善思小组提出： ①如图3，已知，则角、、之间的数量关系为____________．（直接填空） ②如图4，，，分别平分，．则与之间的数量关系为__________．（直接填空） 变式3．（25-26七年级下·河北唐山·月考）【问题情境】在综合实践课上，老师组织班上的同学开展了探究两角之间数量关系的数学活动，如图，已知射线，连接，点是射线上的一个动点（与点不重合），分别平分和，且分别交射线于点． (1)【探索发现】当时，求：的度数； (2)“快乐小组”经过探索后发现：不断改变的度数，与始终存在某种数量关系． ①当时，______； ②当时，______（用含的代数式表示）； (3)【操作探究】“智慧小组”利用量角器量出和的度数后，探究二者之间的数量关系．他们惊奇地发现，当点在射线上运动时，无论点在上的什么位置，与之间的数量关系都保持不变．请写出它们的关系，并说明理由． 2 学科网（北京）股份有限公司 $