专题02 平行线的性质的基础应用（高效培优期中专项训练）数学新教材人教版七年级下册

专题02 平行线的性质的基础应用 考点01 平行线的性质 考点02 平行线的性质在直角三角板中的应用 考点03 平行线的性质在折叠问题中的应用 考点04 平行线的性质在光线的反射折射中应用 考点05 平行线的性质在其他实际问题中的应用 考点01 平行线的性质 1．如图，AB∥EF，BD∥CF，点D在EF上，若∠F＝100°，则∠B的度数为（　　） A．100° B．90° C．80° D．60° 【答案】C 【解答】解：∵BD∥CF，∠F＝100°， ∴∠BDF＝180°﹣∠F＝180°﹣100°＝80°， ∵AB∥EF， ∴∠B＝∠BDF＝80°（两直线平行，内错角相等）， 故选：C． 2．如图，AE是∠BAC内部的一条射线，已知CD∥BE，则∠ACD+∠BAC+∠ABE的度数为（　　） A．180° B．160° C．150° D．140° 【答案】A 【解答】解：∵CD∥BE， ∴∠AEB＝∠CDE（两直线平行，内错角相等）， ∵∠CDE＝∠ACD+∠CAE， ∴∠AEB＝∠ACD+∠CAE， ∴∠ACD+∠BAC+∠ABE＝（∠ACD+∠CAE）+∠BAE+∠ABE＝∠AEB+∠BAE+∠ABE＝180° ＝∠ACD+∠CAE+∠BAE+∠ABE ＝（∠ACD+∠CAE）+∠BAE+∠ABE ＝∠AEB+∠BAE+∠ABE ＝180°， 则∠ACD+∠BAC+∠ABE的度数为180°， 故选：A． 3．如图，AB∥CD，A，B，CD被EF所截，EG平分∠AEF，则下列结论正确的有（　　） 结论I：若FG平分∠EFC，则EG⊥FG； 结论Ⅱ：若EG⊥ED，则ED平分∠FEB； 结论Ⅲ：若FG∥ED，∠EFC＝n∠EFG，则∠BEF＝n∠BED． A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 【答案】B 【解答】解：∵EG平分∠AEF， ∴（角平分线的定义）， 若FG平分∠EFC， 则（角平分线的定义）， ∵AB∥CD， ∴∠AEF+∠EFC＝180°（两直线平行，同旁内角互补）， ∴， ∴∠EGF＝180°﹣（∠FEG+∠GFE）＝180°﹣90°＝90°， ∴EG⊥FG，故结论①正确； 若EG⊥ED， 则∠GEF+∠FED＝90°， ∴∠AEG+∠BED＝90°， 又∵∠GEF＝∠AEG， ∴∠FED＝∠BED， ∴ED平分∠FEB，故结论②正确； ∵AB∥CD， ∴∠FEB＝∠CFE， 若FG∥ED， ∴∠EFG＝∠FED， 又∵∠EFC＝n∠EFG， ∴∠BEF＝n∠FED，不一定满足∠BEF＝n∠BED，故结论③错误； 综上所述，正确的结论为①②，共2个， 故选：B． 4．如图，已知直线a∥b，∠1＝75°，∠3＝40°，则∠2的度数是（　　） A．35° B．40° C．45° D．50° 【答案】A 【解答】解：如图， ∵a∥b，∠1＝75°， ∴∠4＝∠1＝75°（两直线平行，内错角相等）， ∵∠4＝∠2+∠3， ∴∠2＝∠4﹣∠3＝75°﹣40°＝35°， 故选：A． 5．如图，AB∥CD，CD与AE交于点E，若∠1＝75°，则∠2＝（　　） A．75° B．95° C．100° D．105° 【答案】D 【解答】解：∵∠1＝75°， ∴∠AEC＝180°﹣∠1＝180°﹣75°＝105°， ∵AB∥CD， ∴∠2＝∠AEC＝105°（两直线平行，内错角相等）， 故选：D． 6．如图，已知AB∥DE，点C在DE上，点A在CF上，若∠ECF＝65°，则∠BAF的度数为（　　） A．115° B．110° C．105° D．100° 【答案】A 【解答】解：∵∠ECF＝65°， ∴∠ACD＝180°﹣∠ECF＝180°﹣65°＝115°， ∵AB∥DE， ∴∠BAF＝∠ACD＝115°（两直线平行，同位角相等）， 故选：A． 7．如图，已知AB∥CD，P为CD上一点，QF⊥PE交于点P，若∠2＝40°，求∠1，∠3与∠4的度数． 【答案】∠1＝140°，∠3＝40°，∠4＝50°． 【解答】解：∵CD与QF相交于点P，∠2＝40°， ∴∠3＝∠2＝40°， ∵∠1+∠2＝180°， ∴∠1＝180°﹣∠2＝180°﹣40°＝140°， ∵PF⊥PE， ∴∠EPF＝90°， ∴∠EPC＝180°﹣∠EPF﹣∠2＝180°﹣90°﹣40°＝50°， ∵AB∥CD， ∴∠4＝∠EPC＝50°． 8．如图，已知∠1＝∠2，∠C＝∠D． （1）求证：BD∥CE； （2）如果∠DEC＝115°，求∠C的度数． 【答案】（1）证明见解析； （2）65°． 【解答】（1）证明：∵∠1＝∠2，∠2＝∠4， ∴∠1＝∠4， ∴BD∥CE； （2）∵BD∥CE， ∴∠ABD＝∠D， 又∵∠C＝∠D， ∴∠ABD＝∠D， ∴AC∥DF， ∴∠DEC+∠C＝180°， ∵∠DEC＝115°， ∴∠C＝180°﹣115°＝65°． 9．如图所示，已知BA平分∠EBC，CD平分∠ACF，且AB∥CD． （1）试判断AC与BE的位置关系，并说明理由； （2）若DC⊥EC于C，猜想∠E与∠FCD之间的数量关系，并推理判断你的猜想． 【答案】（1）AC∥BE，理由见解答； （2）∠E与∠FCD互余，理由见解析． 【解答】解：（1）AC∥BE．理由如下： ∵AB∥CD， ∴∠ABC＝∠DCF（两直线平行，同位角相等）， ∵BA平分∠EBC，CD平分∠ACF， ∴∠EBC＝2∠ABC，∠ACF＝2∠DCF， ∴∠EBC＝∠ACF， ∴AC∥BE（同位角相等，两直线平行）； （2）∠E与∠FCD互余， ∵AC∥BE，所以∠E＝∠ACE， ∵CD平分∠ACF，所以∠ACD＝∠FCD， 又∵DC⊥EC，所以∠ACE+∠ACD＝90°， ∴∠E+∠FCD＝90°， 即∠E与∠FCD互余． 10．老师提出问题：已知一个角的两边与另一个角的两边分别平行，请探究这两个角的关系．下面是嘉嘉和淇淇的探究思路． 【猜想与证明】 （1）完成嘉嘉的证明过程； 【发现与探究】 （2）根据淇淇的反例，探索∠B与∠E之间的数量关系，并证明； 【思考与结论】 （3）综上所述，如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角　相等或互补　 ． 【答案】（1）（2）见解答； （3）相等或互补． 【解答】（1）证明：∵AB∥DE， ∴∠B＝∠DGC（两直线平行，同位角相等）， ∵BC∥EF， ∴∠DGC＝∠E（两直线平行，同位角相等）， ∴∠B＝∠E（等量代换）； （2）解：∠B+∠E＝180°，证明如下： ∵AB∥DE， ∴∠B＝∠BGE（两直线平行，内错角相等）， ∵BC∥EF， ∴∠BGE+∠E＝180°（两直线平行，同旁内角互补）， ∴∠B+∠E＝180°； （3）解：结合（1）（2），可知：如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补， 故答案为：相等或互补． 考点02 平行线的性质在直角三角板中的应用 11．数学活动课上，小明将一副三角板如图放置，点A落在DE上，DE∥BC，则∠ACE的度数为（　　） A．15° B．20° C．30° D．35° 【答案】A 【解答】解：∵DE∥BC，∠E＝30°， ∴∠BCE＝∠E＝30°（两直线平行，内错角相等）， ∴∠ACE＝∠ACB﹣∠BCE＝45°﹣30°＝15°， 故选：A． 12．将一把直尺和一块含30°角的直角三角板ABC按如图所示的位置放置，如果∠CDE＝45°，那么∠BAF的大小为（　　） A．15° B．10° C．20° D．25° 【答案】A 【解答】解：由题知， ∵∠C＝90°，∠CDE＝45°， ∴∠CED＝90°﹣45°＝45°． ∵DE∥AF， ∴∠CAF＝∠CDE＝45°． ∵∠B＝30°，∠C＝90°， ∴∠BAC＝90°﹣30°＝60°， ∴∠BAF＝∠BAC﹣∠CAF＝60°﹣45°＝15°． 故选：A． 13．如图，将一块三角板的直角顶点放在直尺的一边上，当∠1＝50°时，则∠2的度数为（　　） A．130° B．100° C．50° D．40° 【答案】D 【解答】解：∵直尺的两边互相平行，∠1＝50°， ∴∠3＝∠1＝50°（两直线平行，同位角相等）， ∴∠2＝180°﹣90°﹣50°＝40°， 故选：D． 14．如图，EF∥GH，将一直角三角板的直角顶点A放在直线GH上，点B放在直线EF上．已知∠C＝30°，∠CBF＝15°，则∠BAG的度数为（　　） A．45° B．55° C．65° D．75° 【答案】D 【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C＝30°， ∴∠ABC＝60°． ∵∠CBF＝15°， ∴∠ABF＝60°+15°＝75°， ∵EF∥GH， ∴∠BAG＝∠ABF＝75°（两直线平行，内错角相等）， 则∠BAG的度数为75°， 故选：D． 15．将一副三角板按如图所示的方式摆放，点B在EF上，且DE∥AB，则∠GBF 的度数为（　　） A．10° B．15° C．20° D．25° 【答案】B 【解答】解：由题意，∠ABC＝30°，∠E＝45°， ∵DE∥AB， ∴∠ABF＝∠E＝45°（两直线平行，同位角相等）， ∴∠GBF＝∠ABF﹣∠ABC＝45°﹣30°＝15°， 则∠GBF 的度数为15°， 故选：B． 16．一副三角板按如图所示位置放置（其中∠ABC＝60°，∠E＝45°，若AF∥BE，则∠1的度数为（　　） A．60° B．55° C．45° D．40° 【答案】C 【解答】解：根据题意，∠DBE＝45°，∠ABD＝60°，∠BAC＝30°， ∴∠ABE＝∠ABC+∠DBE＝105°， ∵AF∥BE， ∴∠FAB+∠ABE＝180°， 即∠FAB+105°＝180°， 解得∠FAB＝75°， ∴∠BAC+∠1＝75°， 即30°+∠1＝75°， 解得∠1＝45°， 故选：C． 17．一副直角三角板按如图所示的方式摆放，其中∠ABC＝∠DEF＝90°，∠A＝45°，∠F＝30°，AB，BC分别与DF交于点G，H，且∠DGB＝135°． （1）求证：AC∥DF； （2）求∠ABE的度数． 【答案】（1）见解析； （2）75°． 【解答】（1）证明：∵∠DGB＝135°， ∴∠AGF＝135°， ∵∠A+∠AGF＝180°， ∴AC∥DF； （2）解：如图，过点B作BP∥AC，且点P在点B的左侧． ∵BP∥AC，∠A＝45°， ∴∠ABP＝∠A＝45°， ∵AC∥DF，BP∥AC， ∴DF∥BP， ∴∠PBE＝∠F＝30°， ∴∠ABE＝∠ABP+∠PBE＝45°+30°＝75°． 18．如图，在一副三角板中，∠B＝∠D＝90°，∠A＝45°，∠E＝30°，解答下列问题： （1）当三角板按如图①的方式摆放时，若∠ACE＝105°，求证：AB∥DC； （2）当三角板按如图②的方式摆放时，若AB∥EC，求∠ACD的度数． 【答案】（1）证明见解答； （2）15°． 【解答】（1）证明：∵∠D＝90°，∠E＝30°， ∴∠DCE＝60°， 又∵∠ACE＝105°， ∴∠ACD＝105°﹣60°＝45°， 又∵∠A＝45°， ∴∠A＝∠ACD， ∴AB∥DC； （2）解：∵AB∥EC， ∴∠A＝∠ACE＝45°， 又∵∠D＝90°，∠E＝30°， ∴∠DCE＝60°， ∴∠ACD＝∠DCE﹣∠ACE＝60°﹣45°＝15°． 19．综合与实践． 问题情境：如图1，已知直线MN∥PQ，将直角三角板ABC（其中∠ABC＝90°，∠BAC＝60°）的顶点A，C分别放在直线MN，PQ上，点B在直线AC左侧，且在MN，PQ之间． 初步探究： （1）请用等式表示∠BAM和∠BCP之间的数量关系，并说明理由； 深入探究： （2）如图2，在（1）的基础上，分别作∠MAC和∠BCP的平分线，两线交于点H，则∠AHC的度数为　75　 °． 【答案】（1）∠BAM+∠BCP＝90°，证明见解答； （2）75． 【解答】解：（1）∠BAM+∠BCP＝90°，理由， 如图，过B作BG∥MN， ∵MN∥PQ， ∴MN∥PQ∥BG（平行于同一直线的两直线相互平行）， ∴∠BAM＝∠ABG，∠PCB＝∠CBG（两直线平行，内错角相等）， ∵∠ABG+∠CBG＝90°， ∴∠BAM+∠BCP＝90°； （2）如图2，过H作HE∥MN， ∵MN∥PQ， ∴MN∥PQ∥HE（平行于同一直线的两直线相互平行）， ∴∠MAH＝∠AHE，∠PCH＝∠CHE（两直线平行，内错角相等）， ∴∠AHC＝∠MAH+∠PCH， ∵HA平分∠MAC，CH平分∠BCP， ∴，（角平分线的定义）， ∵MN∥PQ， ∴∠MAC+∠PCA＝180°（两直线平行，同旁内角互补）， ∵∠ACB＝30°， ∴∠MAC+∠PCB＝150°， ∴， ∴∠AHC＝75°， 故答案为：75． 20．【问题背景】 在学习平行线相关知识时，某兴趣小组同学看到手边的三角板，想探究平行线与三角板相结合的数学问题： 【实践操作】 （1）小力将一副三角板按如图1所示的方式放置，使三角板ADE的直角顶点E落在BC上，且AD∥BC，已知∠DAE＝60°，∠B＝45°，则∠BAE的度数为　15　 °； （2）如图2，小旺将一个三角板ABC放在一组直线MN与PQ之间（其中∠B＝∠ACB＝45°），并使直角顶点A在直线MN上，顶点C在直线PQ上，现测得∠MAB＝32°，∠PCB＝13°，请判断直线MN与PQ是否平行，并说明理由； （3）现将三角板ABC按图3方式摆放（其中∠B＝∠ACB＝45°），使顶点C在直线MN上，直角顶点A在直线PQ上，若MN∥PQ，请直接写出∠BAQ与∠BCN之间的关系：　∠BCN﹣∠BAQ＝45°　 ． 【答案】（1）15°； （2）MN∥PQ，理由如下见解答； （3）∠BCN﹣∠BAQ＝45°． 【解答】解：（1）∵AD∥BC， ∴∠DAB＝∠ABC＝45°， ∴∠BAE＝∠DAE﹣∠DAB＝60°﹣45°＝15°， 故答案为：15°； （2）MN∥PQ； 理由如下： ∵∠MAB＝32°，∠BAC＝90°， ∴∠MAC＝32°+90°＝122°， ∵∠PCB＝13°，∠ACB＝45°， ∴∠ACP＝13°+45°＝58°， ∴∠MAC+∠ACP＝122°+58°＝180°， ∴MN∥PQ； （3）如图，PQ与BC交于点M， ∵MN∥PQ， ∴∠BCN＝∠CMP， ∴∠CMP＝∠BAQ+∠B， ∴∠BCN＝∠BAQ+∠B， ∴∠BCN﹣∠BAQ＝45°， 故答案为：∠BCN﹣∠BAQ＝45°． 考点03 平行线的性质在折叠问题中的应用 21．如图，把矩形ABCD沿EF折叠，若∠1＝50°，则∠AEF的度数是（　　） A．110° B．115° C．120° D．130° 【答案】B 【解答】解：根据折叠的性质有：∠BFE＝∠GFE，即∠BFE∠BFG， ∵∠1＝50°， ∴∠BFE∠BFG（180°﹣∠1）＝65°， ∵四边形ABCD是长方形， ∴AD∥BC， ∴∠AEF+∠BFE＝180°（两直线平行，同旁内角互补）， ∴∠AEF＝180°﹣∠BFE＝180°﹣65°＝115°． 则∠AEF的度数是115°． 故选：B． 22．如图，ABCD为一长条形纸带，AB∥CD，将ABCD沿EF折叠，A，D两点分别与A′，D′对应，若∠CFE＝2∠CFD′，则∠AEF的度数是（　　） A．72° B．45° C．36° D．54° 【答案】A 【解答】解：设∠AEF＝x， ∵AB∥CD， ∴∠DFE＝180°﹣∠AEF＝180°﹣x（两直线平行，同旁内角互补），∠CFE＝∠AEF＝x（两直线平行，内错角相等）， ∵∠CFE＝2∠CFD′， ∴， ∴， 由折叠的性质得：∠D′FE＝∠DFE， ∴， 解得x＝72°， 即∠AEF＝72°， 故选：A． 23．如图，将长方形纸片ABCD沿EF折叠后，点D、C分别落在点D'、C'的位置，ED'的延长线交BC于点G，若∠BGE＝α，则∠EFC＝（　　）（用α的代数式表示） A．180°﹣α B． C． D． 【答案】D 【解答】解：∵AD∥BC， ∴∠DEG＝∠BGE＝α． 由折叠可知， ∠DEF∠DEG． ∵AD∥BC， ∴∠DEF+∠EFC＝180°， ∴∠EFC＝180°． 故选：D． 24．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝50°，点D为线段AB上一点，将△BCD沿直线CD折叠后，点B落在点E处，且CE∥AB，则∠ACD的度数是（　　） A．15° B．20° C．25° D．30° 【答案】C 【解答】解：∵∠B＝50°，CE∥AB， ∴∠BCE＝180°﹣∠B＝180°﹣50°＝130°， 由折叠可知，∠BCD＝∠ECD65°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠ACD＝∠ACB﹣∠BCD＝25°． 故选：C． 25．如图，将长方形ABCD沿EF折叠后，EM与BF交于G点，若∠EFG＝50°，则∠AEG的度数为（　　） A．100° B．80° C．90° D．110° 【答案】B 【解答】解：∵长方形ABCD沿EF折叠后，∠EFG＝50°（折叠的性质）， ∴AC∥BD， ∴∠CEF＝∠EFG＝50°（两直线平行，内错角相等）， 由折叠可知，∠GEF＝∠CEF＝50°， ∴∠AEG＝180°﹣∠GEF﹣∠CEF＝180°﹣50°﹣50°＝80°， 则∠AEG的度数为80°， 故选：B． 26．如图，长方形纸片ABCD，点E，F分别在边AB，AD上．将长方形纸片沿着EF折叠，点A落在点G处，EG交CD于点H．若∠BEH是∠AEF的4倍，则∠CHG＝　120°　 ． 【答案】120°． 【解答】解：由折叠的性质，可知：∠AEF＝∠FEH． ∵∠BEH＝4∠AEF，∠AEF+∠FEH+∠BEH＝180°， ∴∠AEF+∠AEF+4∠AEF＝180°， ∴6∠AEF＝180° 解得：∠AEF＝30°， ∴∠BEH＝4∠AEF＝4×30°＝120°． ∵AB∥CD， ∴∠CHG＝∠BEH＝120°（两直线平行，同位角相等）． 故答案为：120°． 27．如图1，有一张四边形ABCD纸片，AD∥BC，点E，F分别在AD，BC上，把纸片沿EF折叠，点D，C分别与点G，H重合，FH交线段AD于点P． （1）求证：∠GEA＝∠HFB； （2）如图2，∠D＝70°，猜想当∠EFC多少度时，GH∥AD，并说明理由． 【答案】（1）证明见解析； （2）当∠EFC＝35°时，GH∥AD，证明见解析． 【解答】（1）证明：∵AD∥BC， ∴GE∥HF，∠HPA＝∠HFB， ∴∠GEA＝∠HPA， ∴∠GEA＝∠HFB； （2）解：当∠EFC＝35°时，GH∥AD． 理由如下： ∵AD∥BC， ∴∠EFC＝∠AEF， ∵∠EFC＝35°， ∴∠AEF＝35°， 根据折叠的性质可知，∠GEF＝∠DEF， ∴∠GEF＝∠DEF＝180°﹣35°＝145°， ∴∠AEG＝145°﹣35°＝110°， ∵∠G＝∠D＝70°， ∴∠G+∠AEG＝180°， ∴GH∥AD． ∴当∠EFC＝35°时，GH∥AD． 28．已知M，N分别是长方形纸条ABCD边AB，CD上两点（其中AB∥CD且AM＞DN），如图1所示沿M，N所在直线进行第一次折叠，点A，D的对应点分别为点E，F，EM交CD于点P． （1）若∠NMA＝30°，则∠FNP的度数为 　120°　 ． （2）如图2，继续沿PM进行第二次折叠，点B，C的对应点分别为点G，H． ①若∠CPM＝70°，则∠AMG的度数为 　40°　 ． ②若∠AMG＝4∠CNM，请求出∠CPM的度数． 【答案】（1）120°． （2）①40°．②45°． 【解答】解：（1）如图1，由翻折的性质得：∠NMA＝∠NME＝30°， ∴∠AME＝∠NMA+∠NME＝60°， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB∥CD，FN∥EM， ∴∠EPD＝∠AME＝60°，∠FNP+∠EPD＝180°， ∴∠FNP＝120°． 故答案为：120°； （2）①如图2，∠CPM＝70°， ∵AB∥CD， ∴∠AME＝∠CPM＝70°， ∴∠BMP＝180°﹣∠AME＝110°， 由翻折的性质得：∠NMA＝∠NME∠AME＝35°， ∵AB∥CD， ∴∠CNM＝∠NMA＝35°， ∵继续沿PM进行第二次折叠， ∴∠PMG＝∠BMP＝110°， ∴∠AMG＝∠PMG﹣∠AME＝110°﹣70°＝40°． 故答案为：40°； ②∵AB∥CD， ∴∠AMN＝∠CNM， 由翻折得∠EMN＝∠AMN＝∠CNM， ∴∠AME＝2∠CNM， ∴∠BMP＝180°﹣∠AME＝180°﹣2∠CNM， ∵继续沿PM进行第二次折叠， ∴∠PMG＝∠BMP＝180°﹣2∠CNM， ∴∠AMG＝∠PMG﹣∠AME＝180°﹣2∠CNM﹣2∠AMN＝180°﹣4∠CNM， ∵∠AMG＝4∠CNM， ∴180°﹣4∠CNM＝4∠CNM， ∴∠CNM＝22.5°， ∴∠AME＝2∠CNM＝45°， ∵AB∥CD， ∴∠CPM＝∠AME＝45°． 考点04 平行线的性质在光线的反射折射中应用 29．如图，现有一平面镜PQ．入射光线AO经平面镜反射后，反射光线为OB，ON为法线，其中ON⊥PQ．若CD∥OA，∠CDO＝121°，则入射角∠AON的度数为（　　） A．21° B．31° C．35° D．121° 【答案】B 【解答】解：由题知， ∵CD∥OA，∠CDO＝121°， ∴∠DOA＝∠CDO＝121°． ∵ON⊥PQ， ∴∠DON＝90°， ∴∠AON＝121°﹣90°＝31°． 故选：B． 30．如图，一束平行于主光轴的光线a经凸透镜后，光线传播的方向发生改变，其与一束经过光心O的光线b（此光线的方向不发生改变）相交于点E，与主光轴相交于点F．若∠2＝43°，∠3＝70°，则∠1的度数为（　　） A．153° B．157° C．163° D．167° 【答案】A 【解答】解：∵∠2＝43°， ∴∠EOF＝∠2＝43°（对顶角相等）， ∴∠EFO＝∠3﹣∠EOF＝70°﹣43°＝27°， ∵a∥OF， ∴∠1+∠EFO＝180°（两直线平行，同旁内角互补）， ∴∠1＝180°﹣∠EFO＝180°﹣27°＝153°， 则∠1的度数为153°， 故选：A． 31．当光波从一种介质传播到另一种具有不同折射率的介质时，会发生折射现象．如图，光线EF从液体中射向空气发生折射，光线变成FH，点G在射线EF上，烧杯内液体表面AB与烧杯下底部CD平行．已知∠GFH＝42°，∠CEF＝120°，则∠HFB的度数为（　　） A．42° B．28° C．18° D．20° 【答案】C 【解答】解：由题知， ∵AB∥CD，∠AEF＝120°， ∴∠AFG＝∠AEF＝120°． 又∵∠GFH＝42°， ∴∠HFB＝180°﹣120°﹣42°＝18°． 故选：C． 32．如图，一束光线PO从空气中斜射入长方体玻璃砖发生折射，已知AD∥BC，延长PO交BC于点P'，若∠POA＝50°，∠P'OQ＝25°，则∠OQB的度数为（　　） A．45° B．55° C．65° D．75° 【答案】D 【解答】解：∵∠POA＝∠DOP′， ∠POA＝50°， ∴∠DOP′＝50°， ∵∠DOQ＝∠DOP'+∠P'OQ， ∠P′OQ＝25°， ∴∠DOQ＝50°+25°＝75°， ∵AD∥BC， ∴∠OQB＝∠DOQ＝75°， ∴∠OQB的度数为75°． 故选：D． 33．光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从空气射向水中时，要发生折射，由于折射率相同，所以在水中是平行的光线，在空气中也是平行的，如图，水面和杯底互相平行，∠1+∠2＝130°，∠3＝100°，则∠1的度数为（　　） A．55° B．50° C．45° D．40° 【答案】B 【解答】解：如图： ∵AB∥CD， ∴∠4＝180°﹣∠3＝80°， ∵AC∥BD， ∴∠2＝∠4＝80°， ∵∠1+∠2＝130°， ∴∠1＝130°﹣∠2＝50°， 故选：B． 34．通过实验发现凸透镜能使与主光轴平行的光线聚在主光轴上一点．如图，箭头所画的是光线的方向，点F是凸透镜的焦点，AC∥BD∥OF，若∠ACF＝151°，∠BDF＝160°，求∠CFD的度数． 【答案】9°． 【解答】解：∵AC∥BD∥OF， ∴∠CFO＝180°﹣∠ACF＝180°﹣151°＝29°，∠DFO＝180°﹣∠BDF＝180°﹣160°＝20°（两直线平行，同旁内角互补）， ∴∠CFD＝29°﹣20°＝9°． 则∠CFD的度数为9°． 35．【学科融合】物理学光的反射现象中，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的角相等．如图1，一束平行光线AB与DE射向一个水平镜面后被反射，此时∠1＝∠2，∠3＝∠4． 【问题解决】 （1）判断BC与EF是否平行． 答：平行． 理由：∵AB∥DE（已知）， ∴∠1＝∠3，依据是 　两直线平行，同位角相等　 ； ∵∠1＝∠2，∠3＝∠4（已知）， ∴∠2＝∠4，依据是 　等量代换　 ； ∴反射光线BC与EF平行，依据是 　同位角相等，两直线平行　 ． 【尝试探究】 （2）利用这个规律人们制作了潜望镜，图2是潜望镜工作原理示意图，AB、CD是平行放置的两面平面镜．已知光线经过平面镜反射时，有∠1＝∠2，∠3＝∠4，请证明进入潜望镜的光线EF和离开潜望镜的光线GH平行． 【拓展应用】 （3）如图3，改变两平面镜AB、CD之间的位置，若镜子AB与BC的夹角∠ABC＝α，经过两次反射后，∠1＝∠2，∠3＝∠4，仍可以使入射光线EF与反射光线GH平行但方向相反．求α的度数． 【答案】见试题解答内容 【解答】（1）解：平行， 理由：∵AB∥DE（已知）， ∴∠1＝∠3，依据是两直线平行，同位角相等； ∵∠1＝∠2，∠3＝∠4（已知）， ∴∠2＝∠4，依据是等量代换； ∴反射光线BC与EF平行，依据是同位角相等，两直线平行； 故答案为：两直线平行，同位角相等；等量代换；同位角相等，两直线平行； （2）证明：∵AB∥CD， ∴∠2＝∠3， ∵∠1＝∠2，∠3＝∠4， ∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4， ∴180°﹣∠1﹣∠2＝180°﹣∠3﹣∠4， 即∠EFG＝∠FGH， ∴EF∥GH； （3）∵EF∥GH， ∴∠FEG+∠EGH＝180°， ∵∠1+∠2+∠FEG+∠3+∠4+∠EGH＝360°， ∴∠1+∠2+∠3+∠4＝180°， ∵∠1＝∠2，∠3＝∠4， ∴， ∴α＝180°﹣（∠2+∠3）＝180°﹣90°＝90°． 36．【学科融合】：如图，光的反射遵循反射定律，入射光线经过反射后形成反射光线，ON是法线，垂直于反射面，其中入射角等于反射角． 【问题初探】： （1）如图1，当两面镜于AB，BC的夹角∠ABC＝90°时，若∠1＝35°，则∠3＝　55　 °，DE与FG的位置关系是DE∥FG ； （2）如图2，当两面镜子AB，BC的夹角∠ABC＝100°，且0°＜∠1＜90°时，入射光线DE经两次射后形成反射光线FG，设入射光线DE所在直线与反射光线FG所在直线交于点H，求∠EHF的度数； （3）当两面镜子AB，BC的夹角∠ABC＝30°时，在两面镜子中间点P处有一点光源，如图3，若从点P发射一束光射向AB，入射光线与镜面的夹角∠1＝13°，反射后的光线为MK，再从点P发射一束光射向BC，若使反射后的光线NH∥MK，求PN与BC的夹角∠2的度数． 【答案】（1）55，DE∥FG； （2）∠EHF＝20°； （3）∠2＝17°． 【解答】解：（1）∵入射角等于反射角， ∴∠1＝∠2＝35°，∠3＝∠4， ∴∠ABC＝90°， ∴∠2+∠3＝180°﹣90°＝90°， ∴∠3＝90°﹣35°＝55°， 则∠3＝∠4＝55°， ∴∠EFG＝180°﹣∠3﹣∠4＝70°， ∵∠1＝∠2＝35°， ∴∠FED＝180°﹣∠1﹣∠2＝110°， ∵∠EFG+∠FED＝180°， ∴DE∥FG， 故答案为：55，DE∥FG； （2）∵入射角等于反射角， ∴∠1＝∠2，∠3＝∠4， ∵对顶角相等， ∴∠1＝∠HEB，∠HBF＝∠4， ∵∠ABC＝100°， ∴∠2+∠3＝180°﹣100°＝80°， ∴∠HEF+∠HFE＝2∠2+2∠3＝2（∠2+∠3）＝160°， ∴∠EHF＝∠HEF+∠HFE＝180°﹣160°＝20°； （3）如图所示： ∵入射角等于反射角， ∴∠1＝∠7，∠2＝∠8， ∵NH∥MK， ∴∠5+∠6＝180°， ∵∠ABC＝30°， ∴∠1+∠3+∠4+∠2＝180°﹣30°＝150°， ∵∠1+∠3+∠5+∠7＝180°，∠2+∠4+∠6+∠8＝180°， ∴2∠1+∠3+∠5＝180°，2∠2+∠4+∠6＝180°， ∴上式相加得2∠1+∠3+∠5+2∠2+∠4+∠6＝360°， ∵∠1＝13°， ∴13°+∠1+∠3+∠2+∠2+∠4+∠5+∠6＝360°， ∵∠5+∠6＝180°，∠1+∠3+∠4+∠2＝150°， ∴13°+∠2+150°+180°＝360°， ∴∠2＝17°． 考点05 平行线的性质在其他实际问题中的应用 37．深圳市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图②是其示意图，其中AB，CD都与地面l平行，∠BCD＝60°，∠BAC＝45°，当∠MAC为（　　）度时，AM∥BE． A．45 B．60 C．75 D．105 【答案】C 【解答】解：∵AB，CD都与地面l平行， ∴AB∥CD， ∴∠ABC＝∠BCD＝60°（两直线平行，内错角相等）， ∴∠ACB＝180°﹣∠ABC﹣∠BAC＝180°﹣60°﹣45°＝75°， ∵AM∥BE， ∴∠MAC＝∠ACB＝75°， 故选：C． 38．如图1，这是某校的电动伸缩门，图2是该校电动伸缩门抽象出来的几何平面示意图，已知EB∥DC，AD∥BC，BF平分∠EBC交AD于点G，若∠2＝34°，则∠1的度数为（　　） A．68° B．70° C．72° D．74° 【答案】A 【解答】解：∵AD∥BC，∠2＝34°， ∴∠CBF＝∠2＝34°（两直线平行，同位角相等）， ∵BF平分∠EBC， ∴∠CBE＝2∠CBF＝2×34°＝68°， ∵EB∥DC， ∴∠1＝∠CBE＝68°， 故选：A． 39．转角式布局的玻璃浴室隔断是浴室常见的干湿分离设施，具有适配性强，通透感好，可以有效阻挡淋浴水花外溅等特点．小明观察玻璃浴室的地面布局，从中抽象出一道数学问题：如图，AB∥CD，∠BAE＝∠AEC＝105°，则∠ECD的度数为（　　） A．155° B．150° C．135° D．75° 【答案】B 【解答】解：如图，过点E作EF∥AB， ∵AB∥CD， ∴EF∥CD（平行于同一直线的两直线相互平行）． ∵AB∥EF， ∴∠BAE+∠AEF＝180°（两直线平行，同旁内角互补）． ∵∠BAE＝105°， ∴∠AEF＝180°﹣105°＝75°． ∵∠AEC＝105°， ∴∠CEF＝∠AEC﹣∠AEF＝105°﹣75°＝30°． ∵EF∥CD， ∴∠ECD+∠CEF＝180°（两直线平行，同旁内角互补）， ∴∠ECD＝180°﹣30°＝150°； 故选：B． 40．如图1是一个由齿轮、轴承、托架等元件构成的手动变速箱托架，其主要作用是动力传输．如图2是手动变速箱托架工作时某一时刻的示意图，已知AB∥CD，CG∥EF，∠BAG＝150°，∠AGC＝80°，则∠DEF的度数为（　　） A．150° B．155° C．130° D．80° 【答案】C 【解答】解：延长EF与直线AB交于点M， ∵CG∥EF，∠AGC＝80°， ∴∠AFE＝∠AGC＝80°， ∴∠AFM＝180°﹣∠AFE＝100°． ∵∠BAG＝150°， ∴∠AMF＝150°﹣100°＝50°． ∵AB∥CD， ∴∠DEF+∠AMF＝180°， ∴∠DEF＝180°﹣50°＝130°． 故选：C． 41．机器人教育在中国青少年中悄然兴起，越来越多的城市开始举办机器人大赛，如图1是某次机器人大赛中的一个机械臂，可抽象出如图2的数学模型，AB∥CD，AB⊥BE，∠BEF＝130°，∠DCF＝120°，则∠EFC的度数为（　　） A．100° B．110° C．120° D．135° 【答案】A 【解答】解：过点F作AB的平行线，交BE的延长线于点M， ∵AB∥FM，AB∥CD， ∴∠B+∠BMF＝180°，MF∥CD． ∵AB⊥BE， ∴∠B＝90°， ∴∠BMF＝180°﹣90°＝90°． ∵∠BEF＝130°， ∴∠MFE＝130°﹣90°＝40°． ∵MF∥CD， ∴∠MFC+∠DCF＝180°． ∵∠DCF＝120°， ∴∠MFC＝180°﹣120°＝60°， ∴∠EFC＝∠MFE+∠MFC＝40°+60°＝100°． 故选：A． 42．如图是一种躺椅及其简化结构示意图，扶手AB与底座CD都平行于地面EF，前支架OE与后支架OF分别与CD交于点G和点D，∠AOE＝∠BNM． （1）求证：OE∥DM； （2）若OE平分∠AOF，∠ODC＝30°，求扶手AB与靠背DM的夹角∠ANM的度数． 【答案】（1）∵∠BNM＝∠AND，∠AOE＝∠BNM， ∴∠AOE＝∠AND（等量代换）， ∴OE∥DM（同位角相等，两直线平行）； （2）105°． 【解答】（1）证明见解答； （2）解：∵扶手AB与底座CD都平行于地面EF， ∴AB∥CD，∠ODC＝30°， ∴∠BOD＝∠ODC＝30°， ∵∠AOF+∠BOD＝180°， ∴∠AOF＝150°， ∵OE平分∠AOF， ∴． ∴∠BOE＝∠BOD+∠EOF＝105°． ∵OE∥DM， ∴∠ANM＝∠BOE＝105°． 43．如图是健身器材划船机的使用及其简化结构示意图，人体上半身GD与拉绳AB构成的∠GBA为110°，上半身GD与滑轨CH构成的∠GDH为70°． （1）证明：AB∥CD； （2）若拉绳与地面平行，即AB∥EF，∠ACE＝90°，∠CEF＝50°，求∠A的度数． 【答案】（1）见解答； （2）40°． 【解答】（1）证明：∵∠GDH+∠GDC＝180°，∠GDH为70°， ∴∠GDC＝110°， ∵∠GBA为110°， ∴∠GBA＝∠GDC， ∴AB∥CD； （2）解：如图， ∵AB∥CD，AB∥EF， ∴AB∥CD∥EF， ∴∠A＝∠ACM，∠ECM＝∠CEF＝50°， ∵∠ACE＝∠ACM+∠ECM＝90°， ∴∠ACM＝40°， ∴∠A＝40°． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 平行线的性质的基础应用 考点01 平行线的性质 考点02 平行线的性质在直角三角板中的应用 考点03 平行线的性质在折叠问题中的应用 考点04 平行线的性质在光线的反射折射中应用 考点05 平行线的性质在其他实际问题中的应用 考点01 平行线的性质 1．如图，AB∥EF，BD∥CF，点D在EF上，若∠F＝100°，则∠B的度数为（　　） A．100° B．90° C．80° D．60° 2．如图，AE是∠BAC内部的一条射线，已知CD∥BE，则∠ACD+∠BAC+∠ABE的度数为（　　） A．180° B．160° C．150° D．140° 3．如图，AB∥CD，A，B，CD被EF所截，EG平分∠AEF，则下列结论正确的有（　　） 结论I：若FG平分∠EFC，则EG⊥FG； 结论Ⅱ：若EG⊥ED，则ED平分∠FEB； 结论Ⅲ：若FG∥ED，∠EFC＝n∠EFG，则∠BEF＝n∠BED． A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 4．如图，已知直线a∥b，∠1＝75°，∠3＝40°，则∠2的度数是（　　） A．35° B．40° C．45° D．50° 5．如图，AB∥CD，CD与AE交于点E，若∠1＝75°，则∠2＝（　　） A．75° B．95° C．100° D．105° 6．如图，已知AB∥DE，点C在DE上，点A在CF上，若∠ECF＝65°，则∠BAF的度数为（　　） A．115° B．110° C．105° D．100° 7．如图，已知AB∥CD，P为CD上一点，QF⊥PE交于点P，若∠2＝40°，求∠1，∠3与∠4的度数． 8．如图，已知∠1＝∠2，∠C＝∠D． （1）求证：BD∥CE； （2）如果∠DEC＝115°，求∠C的度数． 9．如图所示，已知BA平分∠EBC，CD平分∠ACF，且AB∥CD． （1）试判断AC与BE的位置关系，并说明理由； （2）若DC⊥EC于C，猜想∠E与∠FCD之间的数量关系，并推理判断你的猜想． 10．老师提出问题：已知一个角的两边与另一个角的两边分别平行，请探究这两个角的关系．下面是嘉嘉和淇淇的探究思路． 【猜想与证明】 （1）完成嘉嘉的证明过程； 【发现与探究】 （2）根据淇淇的反例，探索∠B与∠E之间的数量关系，并证明； 【思考与结论】 （3）综上所述，如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角　 　 ． 考点02 平行线的性质在直角三角板中的应用 11．数学活动课上，小明将一副三角板如图放置，点A落在DE上，DE∥BC，则∠ACE的度数为（　　） A．15° B．20° C．30° D．35° 12．将一把直尺和一块含30°角的直角三角板ABC按如图所示的位置放置，如果∠CDE＝45°，那么∠BAF的大小为（　　） A．15° B．10° C．20° D．25° 13．如图，将一块三角板的直角顶点放在直尺的一边上，当∠1＝50°时，则∠2的度数为（　　） A．130° B．100° C．50° D．40° 14．如图，EF∥GH，将一直角三角板的直角顶点A放在直线GH上，点B放在直线EF上．已知∠C＝30°，∠CBF＝15°，则∠BAG的度数为（　　） A．45° B．55° C．65° D．75° 15．将一副三角板按如图所示的方式摆放，点B在EF上，且DE∥AB，则∠GBF 的度数为（　　） A．10° B．15° C．20° D．25° 16．一副三角板按如图所示位置放置（其中∠ABC＝60°，∠E＝45°，若AF∥BE，则∠1的度数为（　　） A．60° B．55° C．45° D．40° 17．一副直角三角板按如图所示的方式摆放，其中∠ABC＝∠DEF＝90°，∠A＝45°，∠F＝30°，AB，BC分别与DF交于点G，H，且∠DGB＝135°． （1）求证：AC∥DF； （2）求∠ABE的度数． 18．如图，在一副三角板中，∠B＝∠D＝90°，∠A＝45°，∠E＝30°，解答下列问题： （1）当三角板按如图①的方式摆放时，若∠ACE＝105°，求证：AB∥DC； （2）当三角板按如图②的方式摆放时，若AB∥EC，求∠ACD的度数． 19．综合与实践． 问题情境：如图1，已知直线MN∥PQ，将直角三角板ABC（其中∠ABC＝90°，∠BAC＝60°）的顶点A，C分别放在直线MN，PQ上，点B在直线AC左侧，且在MN，PQ之间． 初步探究： （1）请用等式表示∠BAM和∠BCP之间的数量关系，并说明理由； 深入探究： （2）如图2，在（1）的基础上，分别作∠MAC和∠BCP的平分线，两线交于点H，则∠AHC的度数为　 　 °． 20．【问题背景】 在学习平行线相关知识时，某兴趣小组同学看到手边的三角板，想探究平行线与三角板相结合的数学问题： 【实践操作】 （1）小力将一副三角板按如图1所示的方式放置，使三角板ADE的直角顶点E落在BC上，且AD∥BC，已知∠DAE＝60°，∠B＝45°，则∠BAE的度数为　 　 °； （2）如图2，小旺将一个三角板ABC放在一组直线MN与PQ之间（其中∠B＝∠ACB＝45°），并使直角顶点A在直线MN上，顶点C在直线PQ上，现测得∠MAB＝32°，∠PCB＝13°，请判断直线MN与PQ是否平行，并说明理由； （3）现将三角板ABC按图3方式摆放（其中∠B＝∠ACB＝45°），使顶点C在直线MN上，直角顶点A在直线PQ上，若MN∥PQ，请直接写出∠BAQ与∠BCN之间的关系：　 　 ． 考点03 平行线的性质在折叠问题中的应用 21．如图，把矩形ABCD沿EF折叠，若∠1＝50°，则∠AEF的度数是（　　） A．110° B．115° C．120° D．130° 22．如图，ABCD为一长条形纸带，AB∥CD，将ABCD沿EF折叠，A，D两点分别与A′，D′对应，若∠CFE＝2∠CFD′，则∠AEF的度数是（　　） A．72° B．45° C．36° D．54° 23．如图，将长方形纸片ABCD沿EF折叠后，点D、C分别落在点D'、C'的位置，ED'的延长线交BC于点G，若∠BGE＝α，则∠EFC＝（　　）（用α的代数式表示） A．180°﹣α B． C． D． 24．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝50°，点D为线段AB上一点，将△BCD沿直线CD折叠后，点B落在点E处，且CE∥AB，则∠ACD的度数是（　　） A．15° B．20° C．25° D．30° 25．如图，将长方形ABCD沿EF折叠后，EM与BF交于G点，若∠EFG＝50°，则∠AEG的度数为（　　） A．100° B．80° C．90° D．110° 26．如图，长方形纸片ABCD，点E，F分别在边AB，AD上．将长方形纸片沿着EF折叠，点A落在点G处，EG交CD于点H．若∠BEH是∠AEF的4倍，则∠CHG＝　 　 ． 27．如图1，有一张四边形ABCD纸片，AD∥BC，点E，F分别在AD，BC上，把纸片沿EF折叠，点D，C分别与点G，H重合，FH交线段AD于点P． （1）求证：∠GEA＝∠HFB； （2）如图2，∠D＝70°，猜想当∠EFC多少度时，GH∥AD，并说明理由． 28．已知M，N分别是长方形纸条ABCD边AB，CD上两点（其中AB∥CD且AM＞DN），如图1所示沿M，N所在直线进行第一次折叠，点A，D的对应点分别为点E，F，EM交CD于点P． （1）若∠NMA＝30°，则∠FNP的度数为 　 　 ． （2）如图2，继续沿PM进行第二次折叠，点B，C的对应点分别为点G，H． ①若∠CPM＝70°，则∠AMG的度数为 　 　 ． ②若∠AMG＝4∠CNM，请求出∠CPM的度数． 考点04 平行线的性质在光线的反射折射中应用 29．如图，现有一平面镜PQ．入射光线AO经平面镜反射后，反射光线为OB，ON为法线，其中ON⊥PQ．若CD∥OA，∠CDO＝121°，则入射角∠AON的度数为（　　） A．21° B．31° C．35° D．121° 30．如图，一束平行于主光轴的光线a经凸透镜后，光线传播的方向发生改变，其与一束经过光心O的光线b（此光线的方向不发生改变）相交于点E，与主光轴相交于点F．若∠2＝43°，∠3＝70°，则∠1的度数为（　　） A．153° B．157° C．163° D．167° 31．当光波从一种介质传播到另一种具有不同折射率的介质时，会发生折射现象．如图，光线EF从液体中射向空气发生折射，光线变成FH，点G在射线EF上，烧杯内液体表面AB与烧杯下底部CD平行．已知∠GFH＝42°，∠CEF＝120°，则∠HFB的度数为（　　） A．42° B．28° C．18° D．20° 32．如图，一束光线PO从空气中斜射入长方体玻璃砖发生折射，已知AD∥BC，延长PO交BC于点P'，若∠POA＝50°，∠P'OQ＝25°，则∠OQB的度数为（　　） A．45° B．55° C．65° D．75° 33．光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从空气射向水中时，要发生折射，由于折射率相同，所以在水中是平行的光线，在空气中也是平行的，如图，水面和杯底互相平行，∠1+∠2＝130°，∠3＝100°，则∠1的度数为（　　） A．55° B．50° C．45° D．40° 34．通过实验发现凸透镜能使与主光轴平行的光线聚在主光轴上一点．如图，箭头所画的是光线的方向，点F是凸透镜的焦点，AC∥BD∥OF，若∠ACF＝151°，∠BDF＝160°，求∠CFD的度数． 35．【学科融合】物理学光的反射现象中，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的角相等．如图1，一束平行光线AB与DE射向一个水平镜面后被反射，此时∠1＝∠2，∠3＝∠4． 【问题解决】 （1）判断BC与EF是否平行． 答：平行． 理由：∵AB∥DE（已知）， ∴∠1＝∠3，依据是 　 　 ； ∵∠1＝∠2，∠3＝∠4（已知）， ∴∠2＝∠4，依据是 　 　 ； ∴反射光线BC与EF平行，依据是 　 　 ． 【尝试探究】 （2）利用这个规律人们制作了潜望镜，图2是潜望镜工作原理示意图，AB、CD是平行放置的两面平面镜．已知光线经过平面镜反射时，有∠1＝∠2，∠3＝∠4，请证明进入潜望镜的光线EF和离开潜望镜的光线GH平行． 【拓展应用】 （3）如图3，改变两平面镜AB、CD之间的位置，若镜子AB与BC的夹角∠ABC＝α，经过两次反射后，∠1＝∠2，∠3＝∠4，仍可以使入射光线EF与反射光线GH平行但方向相反．求α的度数． 36．【学科融合】：如图，光的反射遵循反射定律，入射光线经过反射后形成反射光线，ON是法线，垂直于反射面，其中入射角等于反射角． 【问题初探】： （1）如图1，当两面镜于AB，BC的夹角∠ABC＝90°时，若∠1＝35°，则∠3＝　 　 °，DE与FG的位置关系是　 　 ； （2）如图2，当两面镜子AB，BC的夹角∠ABC＝100°，且0°＜∠1＜90°时，入射光线DE经两次射后形成反射光线FG，设入射光线DE所在直线与反射光线FG所在直线交于点H，求∠EHF的度数； （3）当两面镜子AB，BC的夹角∠ABC＝30°时，在两面镜子中间点P处有一点光源，如图3，若从点P发射一束光射向AB，入射光线与镜面的夹角∠1＝13°，反射后的光线为MK，再从点P发射一束光射向BC，若使反射后的光线NH∥MK，求PN与BC的夹角∠2的度数． 考点05 平行线的性质在其他实际问题中的应用 37．深圳市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图②是其示意图，其中AB，CD都与地面l平行，∠BCD＝60°，∠BAC＝45°，当∠MAC为（　　）度时，AM∥BE． A．45 B．60 C．75 D．105 38．如图1，这是某校的电动伸缩门，图2是该校电动伸缩门抽象出来的几何平面示意图，已知EB∥DC，AD∥BC，BF平分∠EBC交AD于点G，若∠2＝34°，则∠1的度数为（　　） A．68° B．70° C．72° D．74° 39．转角式布局的玻璃浴室隔断是浴室常见的干湿分离设施，具有适配性强，通透感好，可以有效阻挡淋浴水花外溅等特点．小明观察玻璃浴室的地面布局，从中抽象出一道数学问题：如图，AB∥CD，∠BAE＝∠AEC＝105°，则∠ECD的度数为（　　） A．155° B．150° C．135° D．75° 40．如图1是一个由齿轮、轴承、托架等元件构成的手动变速箱托架，其主要作用是动力传输．如图2是手动变速箱托架工作时某一时刻的示意图，已知AB∥CD，CG∥EF，∠BAG＝150°，∠AGC＝80°，则∠DEF的度数为（　　） A．150° B．155° C．130° D．80° 41．机器人教育在中国青少年中悄然兴起，越来越多的城市开始举办机器人大赛，如图1是某次机器人大赛中的一个机械臂，可抽象出如图2的数学模型，AB∥CD，AB⊥BE，∠BEF＝130°，∠DCF＝120°，则∠EFC的度数为（　　） A．100° B．110° C．120° D．135° 42．如图是一种躺椅及其简化结构示意图，扶手AB与底座CD都平行于地面EF，前支架OE与后支架OF分别与CD交于点G和点D，∠AOE＝∠BNM． （1）求证：OE∥DM； （2）若OE平分∠AOF，∠ODC＝30°，求扶手AB与靠背DM的夹角∠ANM的度数． 43．如图是健身器材划船机的使用及其简化结构示意图，人体上半身GD与拉绳AB构成的∠GBA为110°，上半身GD与滑轨CH构成的∠GDH为70°． （1）证明：AB∥CD； （2）若拉绳与地面平行，即AB∥EF，∠ACE＝90°，∠CEF＝50°，求∠A的度数． 1 学科网（北京）股份有限公司 $