平面直角坐标系中面积探究问题讲义-2025-2026学年 人教版七年级数学下册

该初中数学讲义以“坐标代数运算”为核心，通过“三步法”框架系统构建平面直角坐标系中面积探究的知识体系，梳理核心原理、解题思路及铅垂高法、动点参数化等技巧要点，清晰呈现割补法、底高公式等重难点的内在联系。 讲义亮点在于分层设计的例题与变式训练，如动点面积探究、动态四边形面积定值问题等题型，结合几何直观与运算能力培养，通过铅垂高法简化计算、参数化处理动点问题，助力基础薄弱学生掌握方法，优秀学生深化思维，为教师精准教学提供系统支持。

平面直角坐标系中面积探究问题讲义 平面直角坐标系中面积探究问题讲义 知识点解析 一、核心原理 将平面几何图形的面积转化为坐标代数运算，依托坐标公式（割补法、底高公式），结合动点坐标的参数表示，实现面积的计算、最值探究与定值证明，核心是坐标表顶点，公式算面积，结合条件求结论。 二、通用解题思路（三步法） 1. 定顶点坐标：明确图形各顶点坐标，动点用单参数（如、）表示坐标，无参数直接标定点坐标； 1. 选面积公式，列面积表达式：根据图形形状（三角形、四边形、不规则图形）选最优公式，将面积表示为坐标/参数的代数式： · 三角形：优先用割补法（铅垂高法）（行列式公式），或水平/铅垂底乘高； · 四边形/不规则图形：割补为三角形/矩形，分别算面积再求和/差； 1. 结合条件求结论：根据题意（求面积值、最值、定值、参数范围）化简表达式： · 求定值：化简消去所有参数，验证结果为常数； · 求参数：面积为定值/最值时列方程，解出参数并验证。 核心技巧&避坑要点 1. 铅垂高法是核心：三角形面积首选水平宽铅垂高，计算比行列式更简洁，适配所有坐标系三角形； 1. 动点参数化：所有动点用一个参数表示坐标，避免多变量复杂计算，参数范围结合图形确定； 1. 绝对值去符号：面积公式中的绝对值保证结果非负，化简时需结合坐标位置判断符号，或直接保留绝对值求解； 1. 割补法巧拆图形：不规则图形优先拆为坐标轴平行的长方形或三角形，减少坐标运算量，避免漏算/多算。 例题分析 例1．（25-26七年级下·广西南宁·期中）如图1，在平面直角坐标系中，已知、，过点作轴，垂足为点．点，分别在原点两侧，且，两点间的距离等于个单位长度．      (1)填空：___________，点的坐标为___________； (2)在轴上是否存在一点，使三角形的面积是三角形的面积的，若存在，求符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)如图2，过点作轴，垂足为点，线段上有一点，且、满足，点到轴的距离为，点在轴负半轴上，连接交轴于点．当三角形面积与三角形的面积相等时，求点的坐标． 【答案】(1)； (2)或 (3) 【分析】（1）根据轴与，写出点和点的坐标即可； （2）设点的坐标为，则，先计算出的面积为，根据和面积之间的关系构造方程，解出，写出点的坐标即可； （3）作轴于点，根据题意可得，，结合解得（负值舍去），则．由点可得，，由可得，利用面积相等计算出，从而确定点的坐标． 【详解】（1）解：由题意可知，， ∵轴，且点的坐标为， ∴点的坐标为，， ∵，且点在原点的左侧， ∴点的坐标为，即； （2）解：设点的坐标为， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 整理，得， 解得， ∴点的坐标为或； （3）解：如图，作轴于点， ∵点在线段上，且点到轴的距离为， ∴， ∵， ∴， 解得或（负值，舍去）， ∴点的坐标为， ∵轴于点， ∴， ∵点的坐标为， 又∵轴，轴， ∴点的坐标为，点的坐标为， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点在轴负半轴上， ∴点的坐标为． 例2．（25-26七年级下·云南昆明·月考）如图，在平面直角坐标系中，已知，将线段平移至处，其中点O的对应点，且．连接，． (1)点C的坐标为______，点B的坐标为______； (2)若点D是x轴正半轴上一动点，当三角形的面积是三角形的面积的3倍时，求点D的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）本题利用算术平方根和绝对值的非负性求出a，b的值，再根据平移规律求点B坐标。 （2）利用三角形面积公式，根据面积关系列方程求解，注意分类讨论 【详解】（1）解： 又， 解得： 点C的坐标为 线段平移至处 平移规律为：向右平移2个单位，向上平移3个单位 点B的坐标为 （2）解：设点D的坐标为，其中 由题意： 化简得：· 当时：， 解得 当时：， 解得． 例3．（24-25七年级下·山东日照·期中）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知点，，． (1)把A、B、C三点的坐标，在坐标系中描出来，画出三角形； (2)把三角形向左平移2个单位，再向上平移1个单位得到三角形；写出平移后，，三点的坐标，画出三角形； (3)求出三角形的面积，在x轴上是否存在点Q，使三角形的面积与三角形的面积相等？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，，，作图见解析 (3)存在，或 【分析】（1）依题意在坐标系中找到点，顺次连接即可； （2）按照平移规律进行平移，找到对应点并顺次连接即可； （3）先求出的面积，再由面积相等得到，求出，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，即为所求； ，，； （3）解：存在，理由如下： ∵点Q在x轴上，， ∴点C到轴的距离为4， 即是以为底，高为4的三角形， ， ，， 即， 解得或， 或． 例4．（25-26七年级下·福建·期中）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点在第一象限，过点A向x轴作垂线，垂足为点B，连接，，点M从O出发，沿y轴的正半轴以每秒2个单位长度的速度运动，点N从点B出发以每秒3个单位长度的速度向x轴负方向运动，点M与点N同时出发，设点M的运动时间为t秒，连接，，． (1)求a的值； (2)当时，试判断四边形的面积是否变化？若不变化，请求出其值；若变化，请说明理由； (3)当时，请求出t的值及三角形的面积． 【答案】(1) (2)四边形的面积不变，见解析 (3)①当时，；②当时， 【分析】（1）先求出，，再根据三角形面积计算公式建立方程求解即可； （2）如图2，由（1）得，，；由题意得，，，，再根据进行求解即可； （3）分两种情况讨论：当时，此时点N在上，，，求出的值，进而求出，再根据，即可求出的面积；当时，此时点N在的延长线上，，，求出的值，进而求出、、，再根据，即可求出的面积． 【详解】（1）解：∵，轴， ∴，， ∵， ∴，即， 解得或（舍去）； （2）解：如图2，由（1）得，，， ∴，， ∴，； 由题意得，，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形的面积不变，； （3）解：当时，如下图，此时点N在上，，， ， ， ， ， ， ； 当时，如下图，此时点N在的延长线上，，， ， ， ， ， ，， ， ， 综上可知，当时，；当时，． 变式训练 变式1．（25-26七年级下·湖北恩施·月考）如图1，在平面直角坐标系中，已知，，，且，，D为的中点． (1)直接写出a，b，c的值； (2)若点在线段的延长线上，请探究m，n的数量关系式； (3)如图2，把点D向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度至点E，连接，，若的面积为23，求d的值； (4)如图3，点F在经过点D，且平行于x轴的直线上，设其横坐标为t，连接，，记的面积为S，当时，直接写出t的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) (4)或 【分析】（1）由二次根式有意义的条件可得，再结合算术平方根的含义可得； （2）过点作轴于点，作轴于点，连接，根据题意得到，表示出，列等式即可解答； （3）求出，，过作轴的垂线，过、作轴的垂线，交点为，再利用面积建立方程求解即可； （4）分情况讨论：当在的右边时，过作轴的垂线，过作轴的垂线，交点为与过且平行于轴的直线交于，；当在的左边时，过作轴的垂线与过且平行于轴的直线交于，，再建立不等式组解答即可． 【详解】（1）∵， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）如图，过点作轴于点，作轴于点，连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）∵为的中点， ， ∵把点向右平移d（）个单位长度，再向下平移个单位长度至点， ， 即， 如图，过B作轴的垂线，过作轴的垂线，交点为． ∴，， ∵， ∴，，，， ∴，， ∴， ∴的面积为23， ∴， 解得； （4）如图，当在的右边时，过作轴的垂线，过作轴的垂线，交点为，与过且平行于轴的直线交于， 由题意可得， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 解得； 如图，当在的左边时，过作轴的垂线与过点且平行于轴的直线交于， 由题意可得， 同理可得，，， ∴， ∴， ∴， 解得； 综上，或． 变式2．（24-25七年级下·广西柳州·月考）如图，在平面直角坐标系中，坐标分别为，且满足：，现同时将点分别向下平移3个单位，再向左平移1个单位，分别得到点的对应点，连接，． (1)_____，_____，四边形的面积_____； (2)点是线段上的一个动点，连接，当点在上移动时（不与重合），的值是否发生变化，并说明理由； (3)已知点在轴上，连接、，若的面积与四边形的面积相等，直接写出点的坐标． 【答案】(1)3；5；15； (2)不发生变化；理由见详解； (3)或 【分析】（1）由，根据非负数的性质得，，则，，由平移得，，且四边形是平行四边形，即可求得四边形的面积为15； （2）由及三角形内角和定理可推导出，所以，可知的值不发生变化； （3）设点M的坐标为，分三种情况，一是点M在直线的上方，则；二是点M在x轴的下方，且点D在的外部，则；三是点M在x轴的下方，且点D在的内部，则，分别列方程求出符合题意的m的值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， 点分别向下平移3个单位，再向左平移1个单位，分别得到点的对应点， ∴，， ∴； （2）解：不发生变化， 理由：如图1， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的值不发生变化； （3）解：设点M的坐标为， 由（1）得，， ∴， 如图2，点M在直线的上方， ∵， ∴， 解得； 如图3，点M在x轴的下方，且点D在的外部， ∵， ∴， ∴解得，不符合题意，舍去， 如图4，点M在x轴的下方，且点D在的内部， ∵， ∴， 解得， 综上所述，点M的坐标为或． 变式3．（25-26七年级下·湖南·月考）如图，在平面直角坐标系中，点，点并且点在轴上． (1)求、两点坐标． (2)若点以每秒2个单位长度从点出发向点运动，（点到达点时运动停止），，运动时间为，连接．设三角形的面积为，试用含的代数式表示． (3)在（2）的条件下，在平面直角坐标系中，是与轴的交点，过点作轴，垂足是点，且，坐标系中有一点，它的横、纵坐标相等，满足，当时，求出的值．并直接写出点的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)；或 【分析】（1）在y轴上的点的横坐标为0，据此求出a的值即可得到答案； （2）过点作于点，根据等面积法求出的长，再根据可    得答案； （3）根据（2）可求出的面积，则可求出的长，根据点C的坐标得到点B的坐标和的长，则可求出的面积，进而求出和的面积，根据（2）所求可得t的值，再根据三角形的面积公式求出点M的横坐标即可得到答案． 【详解】（1）解：点在轴上， ， 解得， ，，， ，； （2）解：如图，过点作于点， ， ， ∵，，， ， 解得， 由题意得， ∴， ； （3）解：如图所示， 由（2）可得， ∵， ∴， ∴， ∴； ∵轴于点B，且， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 由（2）可知， ∴， 解得； ∵， ∴， ∴或， ∵点M的横、纵坐标相等， ∴点M的坐标为或． 变式4．（25-26七年级下·重庆·月考）在平面直角坐标系中，线段两个端点的坐标分别为，，端点在端点右边，点是平面内一点． (1)若点在第三象限且点到轴的距离为，到轴的距离为，则的值为______； (2)将线段沿轴正方向平移个单位长度得到线段，线段扫过的面积为．连接，得到的面积是，求的值． 【答案】(1) (2) 或 【分析】（1）根据第三象限点的坐标特征，以及点到坐标轴的距离定义，求出和的值，再计算即可； （2）先根据线段平移后扫过的平行四边形面积求出的值，再利用割补法计算的面积，根据已知面积列方程求解即可． 【详解】（1）解：点在第三象限，且点到轴的距离为，到轴的距离为， ， ， ； （2）解：将线段沿轴正方向平移个单位后，，， ，， 线段扫过的图形是平行四边形，其面积为，端点在端点右边， ， ， 若，则有： ， 令，解得， 若，则有： ， 令，解得，不合题意，故舍去， 若，则有： ， 令，解得， 综上，的值为或． 实战演练 1．（24-25七年级下·辽宁葫芦岛·期中）如图，在平面直角坐标系中，，连接． (1)过点作交轴于点，平分平分，求的度数； (2)在轴上是否存在点，使得和的面积相等？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，或（） 【分析】（1）过作，依据平行公理的推理可得到，依据平行线的性质可知，，，依据角平分线的性质可得到，，最后，依据求解即可； （2）分两种情况，当点在轴正半轴时和点在轴负半轴时，根据三角形面积相等进行计算即可． 【详解】（1）解：过作，如图所示： 分别平分， ， 由题知： ． （2）或． ①当在轴正半轴上时，如图所示： 设，过作轴，轴，轴， ， 解得：； ②当在轴负半轴上时，如图所示： 设，过作轴，轴，轴， ， ， 解得：； 或． 2．（24-25七年级下·辽宁大连·月考）操作与探究 【问题情景】 数学课上，数学老师以平面直角坐标系中的运动问题作为研究方向，提出如下问题： 如图，点在第二象限，轴交轴于点，点在轴负半轴上，，连，点为线段上的一个动点，点为线段上的一个动点． 【问题初探】 （）①点的坐标为 ； ②若，则四边形的面积为 ； 【深入研究】 （）如图，动点从点出发向点移动，速度为每秒个单位长度，同时动点从点出发向点移动，速度为每秒个单位长度． 运动要求：当其中一个动点到达终点时，另一个动点也同时停止运动． 设运动时间为秒，连接．在运动的过程中，当线段恰好把四边形的面积分成相等的两部分时，求时间的值； 【拓展提升】 （）如图，连接交于点，若（）中的动点和动点速度保持不变，，求点的横坐标． 【答案】（）①；②；（）；（） 【分析】（）①由题意可得，即得，即可求解；②由题意得，即得，再根据四边形的面积解答即可求解； （）由题意得，，，，即得，即得到，解方程即可求解； （）连接，设点到轴的距离为，可得，即得，进而得到，解方程即可求解； 本题考查了坐标与图形，一元一次方程的应用，正确识图是解题的关键． 【详解】解：（）①∵点在第二象限，轴交轴于点， ∴， ∵， ∴， 解得， ∵点在轴负半轴上， ∴， 故答案为：； ②∵， ∴， ∴， ∴四边形的面积， 故答案为：； （）由题意得，，，，， ∴， ∵恰好平分四边形的面积， ∴， 解得； （）连接，设点到轴的距离为， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， 即点的横坐标是． 2 学科网（北京）股份有限公司 $平面直角坐标系中面积探究问题讲义 平面直角坐标系中面积探究问题讲义 知识点解析 一、核心原理 将平面几何图形的面积转化为坐标代数运算，依托坐标公式（割补法、底高公式），结合动点坐标的参数表示，实现面积的计算、最值探究与定值证明，核心是坐标表顶点，公式算面积，结合条件求结论。 二、通用解题思路（三步法） 1. 定顶点坐标：明确图形各顶点坐标，动点用单参数（如、）表示坐标，无参数直接标定点坐标； 1. 选面积公式，列面积表达式：根据图形形状（三角形、四边形、不规则图形）选最优公式，将面积表示为坐标/参数的代数式： · 三角形：优先用割补法（铅垂高法）（行列式公式），或水平/铅垂底乘高； · 四边形/不规则图形：割补为三角形/矩形，分别算面积再求和/差； 1. 结合条件求结论：根据题意（求面积值、最值、定值、参数范围）化简表达式： · 求定值：化简消去所有参数，验证结果为常数； · 求参数：面积为定值/最值时列方程，解出参数并验证。 核心技巧&避坑要点 1. 铅垂高法是核心：三角形面积首选水平宽铅垂高，计算比行列式更简洁，适配所有坐标系三角形； 1. 动点参数化：所有动点用一个参数表示坐标，避免多变量复杂计算，参数范围结合图形确定； 1. 绝对值去符号：面积公式中的绝对值保证结果非负，化简时需结合坐标位置判断符号，或直接保留绝对值求解； 1. 割补法巧拆图形：不规则图形优先拆为坐标轴平行的长方形或三角形，减少坐标运算量，避免漏算/多算。 例题分析 例1．（25-26七年级下·广西南宁·期中）如图1，在平面直角坐标系中，已知、，过点作轴，垂足为点．点，分别在原点两侧，且，两点间的距离等于个单位长度．      (1)填空：___________，点的坐标为___________； (2)在轴上是否存在一点，使三角形的面积是三角形的面积的，若存在，求符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)如图2，过点作轴，垂足为点，线段上有一点，且、满足，点到轴的距离为，点在轴负半轴上，连接交轴于点．当三角形面积与三角形的面积相等时，求点的坐标． 例2．（25-26七年级下·云南昆明·月考）如图，在平面直角坐标系中，已知，将线段平移至处，其中点O的对应点，且．连接，． (1)点C的坐标为______，点B的坐标为______； (2)若点D是x轴正半轴上一动点，当三角形的面积是三角形的面积的3倍时，求点D的坐标． 例3．（24-25七年级下·山东日照·期中）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知点，，． (1)把A、B、C三点的坐标，在坐标系中描出来，画出三角形； (2)把三角形向左平移2个单位，再向上平移1个单位得到三角形；写出平移后，，三点的坐标，画出三角形； (3)求出三角形的面积，在x轴上是否存在点Q，使三角形的面积与三角形的面积相等？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由． 例4．（25-26七年级下·福建·期中）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点在第一象限，过点A向x轴作垂线，垂足为点B，连接，，点M从O出发，沿y轴的正半轴以每秒2个单位长度的速度运动，点N从点B出发以每秒3个单位长度的速度向x轴负方向运动，点M与点N同时出发，设点M的运动时间为t秒，连接，，． (1)求a的值； (2)当时，试判断四边形的面积是否变化？若不变化，请求出其值；若变化，请说明理由； (3)当时，请求出t的值及三角形的面积． 变式训练 变式1．（25-26七年级下·湖北恩施·月考）如图1，在平面直角坐标系中，已知，，，且，，D为的中点． (1)直接写出a，b，c的值； (2)若点在线段的延长线上，请探究m，n的数量关系式； (3)如图2，把点D向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度至点E，连接，，若的面积为23，求d的值； (4)如图3，点F在经过点D，且平行于x轴的直线上，设其横坐标为t，连接，，记的面积为S，当时，直接写出t的取值范围． 变式2．（24-25七年级下·广西柳州·月考）如图，在平面直角坐标系中，坐标分别为，且满足：，现同时将点分别向下平移3个单位，再向左平移1个单位，分别得到点的对应点，连接，． (1)_____，_____，四边形的面积_____； (2)点是线段上的一个动点，连接，当点在上移动时（不与重合），的值是否发生变化，并说明理由； (3)已知点在轴上，连接、，若的面积与四边形的面积相等，直接写出点的坐标． 变式3．（25-26七年级下·湖南·月考）如图，在平面直角坐标系中，点，点并且点在轴上． (1)求、两点坐标． (2)若点以每秒2个单位长度从点出发向点运动，（点到达点时运动停止），，运动时间为，连接．设三角形的面积为，试用含的代数式表示． (3)在（2）的条件下，在平面直角坐标系中，是与轴的交点，过点作轴，垂足是点，且，坐标系中有一点，它的横、纵坐标相等，满足，当时，求出的值．并直接写出点的坐标． 变式4．（25-26七年级下·重庆·月考）在平面直角坐标系中，线段两个端点的坐标分别为，，端点在端点右边，点是平面内一点． (1)若点在第三象限且点到轴的距离为，到轴的距离为，则的值为______； (2)将线段沿轴正方向平移个单位长度得到线段，线段扫过的面积为．连接，得到的面积是，求的值． 实战演练 1．（24-25七年级下·辽宁葫芦岛·期中）如图，在平面直角坐标系中，，连接． (1)过点作交轴于点，平分平分，求的度数； (2)在轴上是否存在点，使得和的面积相等？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 2．（24-25七年级下·辽宁大连·月考）操作与探究 【问题情景】 数学课上，数学老师以平面直角坐标系中的运动问题作为研究方向，提出如下问题： 如图，点在第二象限，轴交轴于点，点在轴负半轴上，，连，点为线段上的一个动点，点为线段上的一个动点． 【问题初探】 （）①点的坐标为 ； ②若，则四边形的面积为 ； 【深入研究】 （）如图，动点从点出发向点移动，速度为每秒个单位长度，同时动点从点出发向点移动，速度为每秒个单位长度． 运动要求：当其中一个动点到达终点时，另一个动点也同时停止运动． 设运动时间为秒，连接．在运动的过程中，当线段恰好把四边形的面积分成相等的两部分时，求时间的值； 【拓展提升】 （）如图，连接交于点，若（）中的动点和动点速度保持不变，，求点的横坐标． 2 学科网（北京）股份有限公司 $