专题02 平行线中的拐点问题（讲义）2025--2026学年人教版七年级数学下册

专题02 平行线中的拐点问题 考点01（★★★）平行线模型—“猪蹄型” 2 考点02（★★★）平行线模型—“铅笔型” 6 考点03（★★）平行线模型—“牛角型” 10 考点04（★★）平行线模型—“2”字型 13 1．平行线中的“拐点”问题，实质上是对平行线的性质和判定的综合运用． 2．各种模型都有固定的结论，掌握这些结论，可以快速完成相应的选择题和填空题． 3．对于“拐点”问题，都可以通过从“拐点”作其中一条直线的平行线来解决． ►考点中的“★”代表考频，★的数量越多，表示考试频度越高◄ 考点01（★★★）平行线模型—“猪蹄型” 如果a//b，则∠2=∠1+∠3 【例1】　（2025•雁塔区校级四模）将等边三角形如图放置，a∥b，∠1＝35°，则∠2＝（　　） A．20° B．25° C．30° D．35° 【答案】B 【分析】过点A作AD∥a，如图，根据平行线的性质可得∠BAD＝∠1，根据平行线的传递性可得AD∥b，从而得到∠DAC＝∠2．再根据等边△ABC可得到∠BAC＝60°，就可求出∠DAC，从而解决问题． 【解答】解：过点A作AD∥a，如图， 则AD∥b， ∴∠BAD＝∠1＝35°． ∵a∥b， ∴AD∥b， ∵∠DAC＝∠2， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠BAC＝60°， ∴∠2＝∠DAC＝∠BAC﹣∠DAB＝60°﹣35°＝25°． 故选：B． 【例2】　（2025春•通化期末）如图，已知直线AB∥CD，点E在AB和CD之间，连接AE，CE，若∠2＝55°，∠3＝35°，则∠1＝　20　 °． 【答案】20． 【分析】过点E作直线MN∥AB，则AB∥MN∥CD，由平行线的性质可得∠1＝∠AEM，∠3＝∠CEM＝35°，易得∠AEM+∠CEM＝∠2，则∠1＝∠AEM＝∠2﹣∠CEM，代入计算即可求解． 【解答】解：如图，过点E作直线MN∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥MN∥CD， ∴∠1＝∠AEM，∠3＝∠CEM＝35°， ∵∠AEM+∠CEM＝∠2， ∴∠AEM＝∠2﹣∠CEM＝55°﹣35°＝20°， ∴∠1＝∠AEM＝20°． 故答案为：20． 【例3】　（2024•济宁一模）如图，直线AB∥CD，GE⊥EF于点E．若∠BGE＝60°，则∠EFD的度数是 　30°　 ． 【答案】30°． 【分析】延长GE交CD于点H，先利用平行线的性质可得∠BGE＝∠EHF＝60°，再根据垂直定义可得∠GEF＝90°，然后利用三角形的外角性质进行计算，即可解答． 【解答】解：延长GE交CD于点H， ∵AB∥CD， ∴∠BGE＝∠EHF＝60°， ∵GE⊥EF， ∴∠GEF＝90°， ∵∠GEF是△EFH的一个外角， ∴∠EFD＝∠GEF﹣∠EHF＝30°， 故答案为：30°． 【例4】　（2024春•招远市期末）已知AB∥CD，在AB，CD内有一条折线EGF． （1）如图①，过点G作GH∥AB，试说明∠BEG+∠DFG＝∠EGF； （2）如图②，已知∠BEG的平分线与∠DFG的平分线相交于点Q，运用（1）中结论探究∠EGF与∠EQF的数量关系，并说明理由． 【拓展应用】如图②，若∠BEQ∠GEB，∠DFQ∠GFD，∠G＝m°，则∠Q的度数为 　　 （用含n，m的代数式表示）． 【答案】（1）说明过程见解答； （2）∠EQF∠EGF，理由见解答； 【拓展应用】． 【分析】（1）根据猪脚模型，即可解答； （2）利用（1）的结论可得：∠BEQ+∠DFQ＝∠EQF，再利用角平分线的定义可得∠BEQ∠BEG，∠DFQ∠DFG，然后利用角的歌词关系以及等量代换可得∠EQF∠EGF，即可解答； 【拓展应用】利用（2）的解题思路，进行计算即可解答． 【解答】解：（1）∵GH∥AB， ∴∠BEG＝∠EGH， ∵AB∥CD， ∴GH∥CD， ∴∠DFG＝∠FGH， ∵∠EGH+∠FGH＝∠EGF， ∴∠BEG+∠DFG＝∠EGF； （2）∠EQF∠EGF， 理由：由（1）可得：∠BEG+∠DFG＝∠EGF， ∠BEQ+∠DFQ＝∠EQF， ∵EQ平分∠BEG，FQ平分∠DFG， ∴∠BEQ∠BEG，∠DFQ∠DFG， ∴∠EQF＝∠BEQ+∠DFQ ∠BEG∠DFG， （∠BEG+∠DFG） ∠EGF， 即∠EQF∠EGF． 【拓展应用】由（1）可得：∠BEG+∠DFG＝∠EGF， ∠BEQ+∠DFQ＝∠EQF， ∵∠BEQ∠GEB，∠DFQ∠GFD， ∴∠Q＝∠BEQ+∠DFQ ∠BEG∠DFG， （∠BEG+∠DFG） ∠EGF， ， 故答案为：． 考点02（★★★）平行线模型—“铅笔型” 如果a//b，则∠1+∠2+∠3=360° 【例5】　（2024•市中区模拟）如图，已知a∥b，∠1＝45°，∠2＝125°，则∠ABC的度数为（　　） A．100° B．105° C．115° D．125° 【答案】A 【分析】解法一：过点B作DE∥a，则∠DBA＝∠1＝45°，易得DE∥b，进而得到∠2+∠DBC＝180°，求得∠DBC＝55°，于是∠ABC＝∠DBA+∠DBC，代入计算即可求解． 解法二：延长AB交b于点F，由平行线的性质得到∠1＝∠3＝45°，再利用三角形的外角性质可得∠2＝∠3+∠CBF，进而求得∠CBF＝80°，最后根据平角的定义即可求解． 【解答】解：解法一：如图，过点B作DE∥a， ∴∠DBA＝∠1＝45°， ∵a∥b，DE∥a， ∴DE∥b， ∴∠2+∠DBC＝180°， ∴∠DBC＝180°﹣∠2＝180°﹣125°＝55°， ∴∠ABC＝∠DBA+∠DBC＝45°+55°＝100°． 解法二：如图，延长AB交b于点F， ∵a∥b， ∴∠1＝∠3＝45°， ∵∠2＝125°， ∵∠2＝∠3+∠CBF， ∴∠CBF＝∠2﹣∠3＝125°﹣45°＝80°， ∴∠ABC＝180°﹣∠CBF＝180°﹣80°＝100°． 故选：A． 【例6】　（2024•城关区校级模拟）如图所示，BA∥DE，∠B＝130°，∠D＝140°，则∠C的度数是（　　） A．60° B．80° C．90° D．75° 【答案】C 【分析】过点C作CF∥AB∥DE，则可分别求出∠BCF、∠DCF的度数，继而可得出∠C． 【解答】解：过点C作CF∥AB∥DE， ∵CF∥AB∥DE， ∴∠BCF＝180°﹣∠B＝50°，∠DCF＝180°﹣∠D＝40°． ∴∠C＝∠BCF+∠DCF＝90°． 故选：C． 【例7】　（2024春•章丘区期中）如图，AB∥CD，则∠A+∠E+∠C＝（　　） A．90° B．180° C．270° D．360° 【答案】D 【分析】过点E作EF∥AB，根据铅笔模型进行计算，即可解答． 【解答】解：过点E作EF∥AB， ∴∠A+∠AEF＝180°， ∵AB∥CD， ∴EF∥CD， ∴∠FEC+∠C＝180°， ∴∠A+∠AEF+∠FEC+∠C＝360°， 即∠A+∠AEC+∠C＝360°， 故选：D． 【例8】　（2024•平舆县一模）如图，是赛车跑道的一段示意图，其中AB∥DE，测得∠B＝130°，∠D＝120°，则∠C的度数为（　　） A．120° B．110° C．140° D．90° 【答案】B 【分析】过点C作CF∥AB，由平行线性质可得∠B，∠D，∠BCF，∠DCF的关系，进而求得∠C． 【解答】解：如图所示：过点C作CF∥AB． ∵AB∥DE， ∴DE∥CF； ∴∠BCF＝180°﹣∠B＝50°，∠DCF＝180°﹣∠D＝60°； ∴∠C＝∠BCF+∠DCF＝110°． 故选：B． 考点03（★★）平行线模型—“牛角型” 如果a//b，则∠1=∠2+∠3 如果a//b，则∠3=∠2+∠1 【例9】　（2025秋•丰城市期末）为增强学生体质，感受我国的传统文化，某校体育老师提出将国家级非物质文化遗产“抖空竹”引入体育社团，图1是某同学“抖空竹”时的一个瞬间，小明把它抽象成图2的数学问题：已知AB∥CD，∠BAE＝75°，∠DCE＝120°，则∠E＝　45°　 ． 【答案】45°． 【分析】过点E作EF∥AB，根据平行线的性质，求得∠AEF＝105°，再根据平行线的传递性，证明EF∥CD，可求得∠CEF＝60°，即可进一步求得答案． 【解答】解：过点E作EF∥AB， ∴∠BAE+∠AEF＝180°， ∵∠BAE＝75°， ∴∠AEF＝180°﹣∠BAE＝105°， ∵AB∥CD， ∴EF∥CD， ∴∠DCE+∠CEF＝180°（两直线平行，同旁内角互补）， ∵∠DCE＝120°， ∴∠CEF＝180°﹣∠DCE＝180°﹣120°＝60°， ∴∠AEC＝∠AEF﹣∠CEF＝105°﹣60°＝45°， 故答案为：45°． 【例10】　（2025秋•埇桥区校级期末）如图，AB∥CD，EF分别与AB、CD交于点G、F．若∠E＝30°，∠CFE＝125°，则∠BGE的度数为（　　） A．25° B．55° C．45° D．50° 【答案】B 【分析】根据“两直线平行，同旁内角互补”，可求∠AGF，再根据对顶角相等即可求解． 【解答】解：∵∠CFE＝125°，AB∥CD， ∴∠AGF+∠CFE＝180°，即∠AGF＝180°﹣∠CFE＝180°﹣125°＝55°， ∵∠BGE＝∠AGF， ∴若∠E＝30°，∠CFE＝125°，则∠BGE＝55°． 故选：B． 【例11】　（2026•市中区一模）“抖空竹”是国家级非物质文化遗产，也是大家钟爱的运动之一．在公园里，小聪看到小女孩在抖空竹（图1），抽象得到图2，在同一平面内，已知AB∥CD，∠A＝75°，∠ECD＝105°，则∠E的度数为（　　） A．20° B．30° C．40° D．50° 【答案】B 【分析】延长DC交AE于M，由平行线的性质推出∠CME＝∠A＝75°，由三角形的外角性质即可求出∠E的度数． 【解答】解：延长DC交AE于M， ∵AB∥CD， ∴∠CME＝∠A＝75°， ∵∠ECD＝105°， ∴∠E＝∠ECD﹣∠CME＝30°． 故选：B． 【例12】　（2025秋•成都校级期末）太阳灶、卫星信号接收器、探照灯以及其他很多灯具都与抛物线有关．如图，以点O照射到抛物线上的光线OB，OC等反射以后沿着与POQ平行的方向射出．如果∠BOP＝45°，∠QOC＝88°，那么∠ABO+∠DCO的值是（　　） A．45° B．92° C．137° D．180° 【答案】C 【分析】根据两直线平行，内错角相等可得∠ABO＝∠BOP＝45°，两直线平行，同旁内角互补可得∠DCO＝180°﹣∠QOC＝92°，然后计算即可得解． 【解答】解：∵AB∥PQ，∠BOP＝45°， ∴∠ABO＝∠BOP＝45°（两直线平行，内错角相等）， ∵CD∥PQ，∠QOC＝88°， ∴∠DCO＝180°﹣∠QOC＝92°， ∴∠ABO+∠DCO＝45°+92°＝137°． 故选：C． 考点04（★★）平行线模型—“2”字型 如果AB//CD，则∠1+∠2-∠3 =180° 【例13】　（2025秋•丰泽区校级期末）机器人教育在中国青少年中悄然兴起，越来越多的城市开始举办机器人大赛，如图1是某次机器人大赛中的一个机械臂，可抽象出如图2的数学模型，AB∥CD，AB⊥BE，∠BEF＝130°，∠DCF＝120°，则∠EFC的度数为（　　） A．100° B．110° C．120° D．135° 【答案】A 【分析】根据平行线的性质进行计算即可． 【解答】解：过点F作AB的平行线，交BE的延长线于点M， ∵AB∥FM，AB∥CD， ∴∠B+∠BMF＝180°，MF∥CD． ∵AB⊥BE， ∴∠B＝90°， ∴∠BMF＝180°﹣90°＝90°． ∵∠BEF＝130°， ∴∠MFE＝130°﹣90°＝40°． ∵MF∥CD， ∴∠MFC+∠DCF＝180°． ∵∠DCF＝120°， ∴∠MFC＝180°﹣120°＝60°， ∴∠EFC＝∠MFE+∠MFC＝40°+60°＝100°． 故选：A． 【例14】　（2024春•汉阳区期末）【猜想】如图1，AB∥CD，点E在直线AB，CD之间，连BE，ED，若∠B＝25°，∠D＝40°，则∠BED的大小为 　65　 度．（直接写出结果） 【探究】如图2，AB∥CD，BE，CE交于点E，探究∠ABE，∠BEC，∠ECD（均为小于180°的角）之间的数量关系，并说明理由． 【拓展】如图3，AB∥CD，∠ABE的平分线BF与∠ECD的角平分线CG的反向延长线交于点F，且∠BFG﹣2∠BEC＝57°，直接写出∠BEC的大小为 　22°　 ． 【答案】【猜想】65； 【探究】∠BEC+∠B﹣∠C＝180°，理由见解析； 【拓展】22°． 【分析】【猜想】过点E作EM∥AB，进而根据平行公理推论即可得到AB∥EM∥AB，再根据平行线的性质得到∠BEM＝∠B，∠DEM＝∠D，进而结合题意进行角的运算即可求解； 【探究】过点E作EN∥AB，先根据平行公理推论得到AB∥EN∥CD，进而根据平行线的性质得到∠B+∠BEN＝180°，∠CEN＝∠C，再结合题意进行角的运算即可求解； 【拓展】过点F作FH∥AB，过点E作EK∥CD，则：AB∥FH∥CD∥EK，根据平行线的性质，角平分线的定义推出∠BFC∠BEC＝90°，再结合∠BFC﹣2∠BEC＝57°，进行求解即可． 【解答】解：【猜想】过点E作EM∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥EM∥AB， ∴∠BEM＝∠B，∠DEM＝∠D， ∴∠BED＝∠BEM+∠DEM＝∠B+∠D＝65°． 故答案为：65； 【探究】∠BEC+∠B﹣∠C＝180°，理由如下： 过点E作EN∥AB，如图2所示： ∵AB∥CD， ∴AB∥EN∥CD， ∴∠B+∠BEN＝180°，∠CEN＝∠C， ∴∠B+∠BEN+∠CEN＝180°+∠C， ∵∠BEC＝∠BEN+∠CEN， ∴∠B+∠BEC＝180°+∠C， 即∠B+∠BEC﹣∠C＝180°． 【拓展】过点F作FH∥AB，过点E作EK∥CD，则：AB∥FH∥CD∥EK， 同（2）可得：∠BFC+∠FCD﹣∠ABF＝180°， ∵AB∥FH∥CD∥EK， ∴∠ABE＝∠BEK＝∠BEC+∠KEC，∠KEC+∠ECD＝180°， ∴∠ECD＝180°﹣∠KEC， ∵BF平分∠ABE，CG平分∠ECD， ∴∠ABF∠ABE（∠BEC+∠CEK），∠DCG∠ECD， ∴∠FCD＝180°﹣∠DCG＝180°∠ECD＝180°（180°﹣∠KEC）＝180°﹣90°∠KEC＝90°∠KEC， ∴∠BFC+∠FCD﹣∠ABF＝∠BFC+90°∠KEC（∠BEC+∠CEK）＝180°， 即：∠BFC∠BEC＝90°， 又∵∠BFC﹣2∠BEC＝57°， ∴∠BFC＝2∠BEC+57°， ∴2∠BEC+57°∠BEC＝90°， ∴∠BEC＝22°． 故答案为：22°． 【例15】　（2023•如皋市一模）如图，AB∥CD，∠ABE＝125°，∠C＝30°，则∠BEC的度数为（　　） A．70° B．75° C．80° D．85° 【答案】D 【分析】如图，作EF∥AB，利用平行线的性质得，∠B+∠BEF＝180°，∠C＝∠CEF，即可得出答案． 【解答】解：如图，作EF∥AB， ∵AB∥EF，AB∥CD， ∴EF∥CD， ∴∠B+∠BEF＝180°，∠C＝∠CEF， ∵∠ABE＝125°，∠C＝30°， ∴∠BEF＝55°，∠CEF＝30°， ∴∠BEC＝85°， 故选：D． 【例16】　（2025秋•沭阳县期末）如图，若AB∥CD，则α、β、γ之间的关系为（　　） A．α+β+γ＝360° B．α﹣β+γ＝180° C．α+β﹣γ＝180° D．α+β+γ＝180° 【答案】C 【分析】作EF∥AB．利用平行线的性质即可解决问题． 【解答】解：作EF∥AB． ∵AB∥CD，AB∥EF， ∴CD∥EF， ∴∠BAE+∠FEA＝180°，∠C＝∠FEC＝γ， ∴α+（β﹣γ）＝180°， 故选：C． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 平行线中的拐点问题 考点01（★★★）平行线模型—“猪蹄型” 2 考点02（★★★）平行线模型—“铅笔型” 3 考点03（★★）平行线模型—“牛角型” 5 考点04（★★）平行线模型—“2”字型 6 1．平行线中的“拐点”问题，实质上是对平行线的性质和判定的综合运用． 2．各种模型都有固定的结论，掌握这些结论，可以快速完成相应的选择题和填空题． 3．对于“拐点”问题，都可以通过从“拐点”作其中一条直线的平行线来解决． ►考点中的“★”代表考频，★的数量越多，表示考试频度越高◄ 考点01（★★★）平行线模型—“猪蹄型” 如果a//b，则∠2=∠1+∠3 【例1】　（2025•雁塔区校级四模）将等边三角形如图放置，a∥b，∠1＝35°，则∠2＝（　　） A．20° B．25° C．30° D．35° 【例2】　（2025春•通化期末）如图，已知直线AB∥CD，点E在AB和CD之间，连接AE，CE，若∠2＝55°，∠3＝35°，则∠1＝　 　 °． 【例3】　（2024•济宁一模）如图，直线AB∥CD，GE⊥EF于点E．若∠BGE＝60°，则∠EFD的度数是 　 　 ． 【例4】　（2024春•招远市期末）已知AB∥CD，在AB，CD内有一条折线EGF． （1）如图①，过点G作GH∥AB，试说明∠BEG+∠DFG＝∠EGF； （2）如图②，已知∠BEG的平分线与∠DFG的平分线相交于点Q，运用（1）中结论探究∠EGF与∠EQF的数量关系，并说明理由． 【拓展应用】如图②，若∠BEQ∠GEB，∠DFQ∠GFD，∠G＝m°，则∠Q的度数为 　　 （用含n，m的代数式表示）． 考点02（★★★）平行线模型—“铅笔型” 如果a//b，则∠1+∠2+∠3=360° 【例5】　（2024•市中区模拟）如图，已知a∥b，∠1＝45°，∠2＝125°，则∠ABC的度数为（　　） A．100° B．105° C．115° D．125° 【例6】　（2024•城关区校级模拟）如图所示，BA∥DE，∠B＝130°，∠D＝140°，则∠C的度数是（　　） A．60° B．80° C．90° D．75° 【例7】　（2024春•章丘区期中）如图，AB∥CD，则∠A+∠E+∠C＝（　　） A．90° B．180° C．270° D．360° 【例8】　（2024•平舆县一模）如图，是赛车跑道的一段示意图，其中AB∥DE，测得∠B＝130°，∠D＝120°，则∠C的度数为（　　） A．120° B．110° C．140° D．90° 考点03（★★）平行线模型—“牛角型” 如果a//b，则∠1=∠2+∠3 如果a//b，则∠3=∠2+∠1 【例9】　（2025秋•丰城市期末）为增强学生体质，感受我国的传统文化，某校体育老师提出将国家级非物质文化遗产“抖空竹”引入体育社团，图1是某同学“抖空竹”时的一个瞬间，小明把它抽象成图2的数学问题：已知AB∥CD，∠BAE＝75°，∠DCE＝120°，则∠E＝　 　 ． 【例10】　（2025秋•埇桥区校级期末）如图，AB∥CD，EF分别与AB、CD交于点G、F．若∠E＝30°，∠CFE＝125°，则∠BGE的度数为（　　） A．25° B．55° C．45° D．50° 【例11】　（2026•市中区一模）“抖空竹”是国家级非物质文化遗产，也是大家钟爱的运动之一．在公园里，小聪看到小女孩在抖空竹（图1），抽象得到图2，在同一平面内，已知AB∥CD，∠A＝75°，∠ECD＝105°，则∠E的度数为（　　） A．20° B．30° C．40° D．50° 【例12】　（2025秋•成都校级期末）太阳灶、卫星信号接收器、探照灯以及其他很多灯具都与抛物线有关．如图，以点O照射到抛物线上的光线OB，OC等反射以后沿着与POQ平行的方向射出．如果∠BOP＝45°，∠QOC＝88°，那么∠ABO+∠DCO的值是（　　） A．45° B．92° C．137° D．180° 考点04（★★）平行线模型—“2”字型 如果AB//CD，则∠1+∠2-∠3 =180° 【例13】　（2025秋•丰泽区校级期末）机器人教育在中国青少年中悄然兴起，越来越多的城市开始举办机器人大赛，如图1是某次机器人大赛中的一个机械臂，可抽象出如图2的数学模型，AB∥CD，AB⊥BE，∠BEF＝130°，∠DCF＝120°，则∠EFC的度数为（　　） A．100° B．110° C．120° D．135° 【例14】　（2024春•汉阳区期末）【猜想】如图1，AB∥CD，点E在直线AB，CD之间，连BE，ED，若∠B＝25°，∠D＝40°，则∠BED的大小为 　65　 度．（直接写出结果） 【探究】如图2，AB∥CD，BE，CE交于点E，探究∠ABE，∠BEC，∠ECD（均为小于180°的角）之间的数量关系，并说明理由． 【拓展】如图3，AB∥CD，∠ABE的平分线BF与∠ECD的角平分线CG的反向延长线交于点F，且∠BFG﹣2∠BEC＝57°，直接写出∠BEC的大小为 　 　 ． 【例15】　（2023•如皋市一模）如图，AB∥CD，∠ABE＝125°，∠C＝30°，则∠BEC的度数为（　　） A．70° B．75° C．80° D．85° 【例16】　（2025秋•沭阳县期末）如图，若AB∥CD，则α、β、γ之间的关系为（　　） A．α+β+γ＝360° B．α﹣β+γ＝180° C．α+β﹣γ＝180° D．α+β+γ＝180° 学科网（北京）股份有限公司 $