期中培优：数列求和问题3种高频考点专项训练-2025-2026学年高二下学期数学人教B版选择性必修第三册

期中培优：数列求和问题3种高频考点专项训练 期中培优：数列求和问题3种高频考点专项训练 考点目录 裂项相消法 错位相减法 分组与并项求和 考点一 裂项相消法 例1.(25-26高二下广东揭阳月考)已知等差数列a,的前”项和为S,且5=0=49 0)求a与S: (2)若0aa1,求数列b}的前n项和T。. 例2.(2026山西临汾一模)已知数列a,满足4+a,+…+a,=n(n∈N) (求数列a,的通项公式： = (2)令 a,anl,求数列{b的前n项和Sn 期中培优：数列求和问题3种高频考点专项训练 例3.(2026云南昭通模拟预测)已知数列a,的前”项和S,=m+n,4,=19. ①求， ∫1 2诺数对ad的前n顶和为，求证工<位， 变式1。(2026安徽准南二模)已知递增数列a,满足4=1，a+@-2=2a4,+a1-a,neN ①证明：{a,为等差数列，并求，。 ” (2)记 aa+1,数列b}的前n项和为T,求T, 2 期中培优：数列求和问题3种高频考点专项训练 变式2，(25-26高二下吉林长春月考)已知数列a的前”项和S,=+”, (①求数列a的通项公式 ∫1 (2)求数列a,al的前n项和T,: 变式3。(25-26高二下·黑龙江齐齐哈尔月考)设5为等差数列0，的前”项和，已知，=9,25 S an (1)求数列’的通项公式： =1 (2)记”aan+1,Tn为数列bn}的前n项和，求Tn. 期中培优：数列求和问题3种高频考点专项训练 考点二 错位相减法 例1.(25-26商二下河南驻马店月考)已知数列a满足4=1,4，=2，且0,2=4a,1-3a对任意eN均成立， 数列b满足b.=a1-a.neV). )求数列b,a,的通项公式 2n+1 2)设 bn,求数列{Cn的前n项和Sn. 例2.(2026广东江门一模)已知数列0的首项4=3，前”项和为，且满足S,+3=a+n. （)求证：数列a。-为等比数列： 2若么=m,求数列b,的前”项和. 期中培优：数列求和问题3种高频考点专项训练 例3.(25-26高二下-四川成都月考)已知数列0的前”项和为S,点(S,a川n∈N)在直线y=x+2上，等 差数列6，满足=5,6+血=2,4=6-1】 (求数列a,,6,的通项公式： (2设=a,b,求数列c的前”项和了 变式1，(25-26高二下广西贺州月考》已知等差数列a,满足4=2,4+a。=15,且 b+b2+b+…+bn=2.-2 (①求数列a,的通项公式： ②求数列的通项公式： 2n+1 (3)求数列b。的前n项和Sn· 期中培优：数列求和问题3种高频考点专项训练 变式2.(2026-陕西榆林模拟预测)在数列a,中，4=l,3a,4+a,-a1=0n≥2，neN) [1 ()求证：数列an」是等差数列； 6s1 (2)令” 子，数对的前0预和为，证明：及<。 变式3.(25-26高二下天津月考)已知a为等比数列，4=1,4=4(4，-1刂 ()求a,的通项公式： 2记么=a,og:02，求数列6，的前n项和5。 6 期中培优：数列求和问题3种高频考点专项训练 考点三 分组与并项求和 例1.(2026-四川泸州模拟预测)已知数列0，满足4=3，且2a,=2”a,-1 ()证明：数列2a,-1是等比数列： 2)若数列的前”项和为5，求 例2.(25-26高三下山东月考)已知等差数列0和正项等比数列b,满足4+a,+4,=9,b,6=27,0,=么， b,-b=18 )求a和b,的通项公式 an,n为奇数 2若数列{c满足，{b,n为偶数，求数列c的前2n项和S。 > 期中培优：数列求和问题3种高频考点专项训练 例3.(25-26高二下·上海期中)已知等比数列a满足4+4，=3，a,+a,=24. ()求a的通项公式： 2设，=a,+3n,求数列6，的前”项和S 变式1，（25-26高三下潮南长沙月考)已知数列am的前n项和为S,4=18,=,数列bm满足 b=1,b1=2bn+1. (山求数列ab} 的通项公式； an,n为奇数 2若数列c满足，一b,为偶数，求数列{c,的前n项和工 P 期中培优：数列求和问题3种高频考点专项训练 变式2，(25-26高二下-广东佛山月考》已知数列a为等比数列，首项0=4，且a,4=512,数列6通项公 式是6=2 (①求数列a的通项公式： 一2冷是中，求故列9的直项和3 变式3，(25-26高二下安徽月考)已知等差数列a,的前”项和为5，且4+a=8,S,=25. 求数列a,的通项公式 h,-%1-g (2)设2a,a1，求数列b}的前n项和B。; ③)设，=a,-10,求数列c的前”项和工. 9期中培优：数列求和问题3种高频考点专项训练 期中培优：数列求和问题3种高频考点专项训练 考点目录 裂项相消法 错位相减法 分组与并项求和 考点一 裂项相消法 例1．（25-26高二下·广东揭阳·月考）已知等差数列的前项和为，且． (1)求与； (2)若，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等差中项的性质以及通项公式求解即可. （2）根据（1）求出，再根据裂项相消法求解即可. 【详解】（1）因为，所以. 则，解得，. 进而，. （2）因为，，所以， 所以. 例2．（2026·山西临汾·一模）已知数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前n项和. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用降序相减求解即可； （2）利用裂项相消法即可得解. 【详解】（1）①， 当时②， ①-②得， 当时，，符合上式， 综上：，. （2）， 则 . 例3．（2026·云南昭通·模拟预测）已知数列的前项和，. (1)求； (2)若数列的前项和为，求证. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）利用前项和与通项公式的关系求解即可. （2）先求出目标数列，再利用裂项相消法求和，最后比较大小即可. 【详解】（1）由数列的前项和，， 则，解得. 当时，， 当时，，             经验证，满足上式，故. （2）由题意得， 得到. 变式1．（2026·安徽淮南·二模）已知递增数列满足，. (1)证明：为等差数列，并求. (2)记，数列的前项和为，求. 【答案】(1). (2). 【分析】（1）将已知等式整理为关于相邻两项差的方程, 再结合数列递增确定公差, 从而求出通项公式. （2）由（1）得出通项后, 写出所求数列的通项, 再将其裂项, 利用裂项相消求和. 【详解】（1）由题意, 有. 移项整理, 得. 所以. 因为数列 为递增数列, 所以. 故. 所以数列 是首项为 , 公差为 的等差数列, 从而. （2）由(1)知,所以. 于是. 又因为, 所以. 故. 从而. . 变式2．（25-26高二下·吉林长春·月考）已知数列的前项和  ， (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用和的关系求数列的通项公式 （2）利用裂项相消法求数列前项和 【详解】（1）因为，， 所以当时，， 当时，， 因为当时，也符合， 所以. （2）因为， 所以 变式3．（25-26高二下·黑龙江齐齐哈尔·月考）设为等差数列的前项和，已知，. (1)求数列的通项公式； (2)记，为数列的前项和，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用等差数列通项公式及前项公式列出方程组解出等差数列的首项和公差即可； （2）先求出数列的通项公式，然后利用裂项相减法求和，可求出的值. 【详解】（1）等差数列中，，， ，解得，， . （2），， . 考点二 错位相减法 例1．（25-26高二下·河南驻马店·月考）已知数列满足，，且对任意均成立，数列满足. (1)求数列，的通项公式. (2)设，求数列的前n项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题目条件构造等比数列，利用等比数列的通项公式求的通项公式，然后再用累加法求解数列的通项公式即可. （2）先求出目标数列，再利用错位相减法求和即可. 【详解】（1）由题意可知：， 所以，所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以即， 则 ， （2）由题意得，则 得到， ， 则， 得到 例2．（2026·广东江门·一模）已知数列的首项，前项和为，且满足． (1)求证：数列为等比数列； (2)若，求数列的前项和． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由已知分别求得时的值，当时，由即可证明； （2）由分组求和及错位相减法即可求解． 【详解】（1）由，① 当时，，由，解得， 当时，，② ①-②得：，即， 从而， 又因为，且也满足上式， 所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列． （2）由（1）得，则， 从而， 所以， ， 令，① 则，② ①-②得：， 所以， 又， 所以． 例3．（25-26高二下·四川成都·月考）已知数列的前项和为，点在直线上，等差数列满足，，． (1)求数列，的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用等差数列的基本量运算得出的通项公式，根据题意得到数列的递推关系式，再利用与的关系求通项公式； （2）利用错位相减法求出． 【详解】（1）解：因为为等差数列， 所以， 所以， 因为， 所以， 所以，           所以， 因为点在直线上， 所以， 当时，， 所以， 所以当时，. 又当时，， 所以， 所以是首项为2，公比为2的等比数列， 所以； （2）由（1）得， 所以， 所以， 两式相减得， 所以 ， 所以． 变式1．（25-26高二下·广西贺州·月考）已知等差数列满足，，且． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的通项公式； (3)求数列的前项和． 【答案】(1) (2)． (3) 【分析】（1）由题意列式求出等差数列的公差，即可求得答案； （2）根据已知等式可得当时，，采用两式相减的方法，结合验证，即可求得答案； （3）根据错位相减法求数列的前n项和，即可得答案. 【详解】（1）设等差数列的公差为，由于，， 则，解得， 所以． （2）由题意知， 当时，， 所以． 当时，，满足，所以． （3）依题意可知， 则， ， 两式作差得 ． 故． 变式2．（2026·陕西榆林·模拟预测）在数列中，． (1)求证：数列是等差数列； (2)令，数列的前n项和为，证明：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由递推公式得到，利用等差数列的定义进行证明； （2）根据（1）求出，，利用错位相减法求出，进行证明. 【详解】（1）由，可得，又因为，所以，所以是首项为1，公差为3的等差数列． （2）由（1）知，，所以， ，① ，② ①-②得， ，所以， 又，即． 变式3．（25-26高二下·天津·月考）已知为等比数列，，． (1)求的通项公式； (2)记，求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设等比数列的公比为，由条件先求出，即可根据等比数列的通项公式求出； （2）先求出数列的通项公式，再利用错位相减法即可求出其前n项和. 【详解】（1）设等比数列的公比为， 因为为等比数列，，所以. 又，所以，即，解得， 所以数列的通项公式为； （2）由（1）知，则， 所以， 所以①， 两边同时乘以2可得②， 用①的两边减去②的两边可得 ， 所以数列的前n项和为. 考点三 分组与并项求和 例1．（2026·四川泸州·模拟预测）已知数列满足，且． (1)证明：数列是等比数列； (2)若数列的前项和为，求 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）由题意可得，所以， 又，则，则数列是首项为2，公比为2的等比数列. （2）所以，所以， 所以. 例2．（25-26高三下·山东·月考）已知等差数列和正项等比数列满足，，． (1)求和的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前项和． 【答案】(1)；， (2) 【分析】（1）根据等差数列和等比数列的性质求出，再列方程组求解； （2）利用分组求和以及等差、等比求和公式计算. 【详解】（1）设的公差为，数列的公比为， 由，得， 因为，，所以，，得，， 故，； （2）由（1）可知，， 则 例3．（25-26高二下·上海·期中）已知等比数列满足，. (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等比数列的通项公式求解即可. （2）根据等差数列的前项和公式及等比数列的前项和公式求解即可. 【详解】（1）设等比数列的公比为，则， 又，，所以，即，解得. 因为，且，所以，即，解得. 故. （2）由（1）知，则. 所以 . 设等比数列的前项和为，则， 设等差数列的前项和为，则， 所以. 变式1．（25-26高三下·湖南长沙·月考）已知数列{an}的前n项和为，数列{bn}满足 (1)求数列的通项公式; (2)若数列满足，求数列的前n项和. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据的关系求的通项公式；根据题意得到为等比数列，根据等比数列通项公式求出，进而求出数列的通项公式; （2）分为偶数，奇数，分组后由等差、等比数列的求和公式求解即可. 【详解】（1）当时，， 当时，，满足上式， 所以； 由得， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以，所以； （2）当为偶数时， ， 当为奇数时， ， 所以 变式2．（25-26高二下·广东佛山·月考）已知数列为等比数列，首项，且，数列通项公式是． (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等比数列性质可求得公比为2，即可求得其通项公式； （2）求出的表达式，再利用裂项相消以及等比数列前n项和公式计算可得结果. 【详解】（1）利用等比数列性质由可得，解得； 所以数列的公比为，可得， 因此数列的通项公式为 （2）由可得； 所以 变式3．（25-26高二下·安徽·月考）已知等差数列的前项和为，且，． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和； (3)设，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设等差数列的公差为，进而根据已知条件列方程求解即可； （2）结合（1）得，进而根据裂项求和法求解即可； （3）结合（1）得，进而根据每项的符号进行讨论求解即可． 【详解】（1）设等差数列的公差为，因为，， 所以，化简得，解得， 所以数列的通项公式为． （2）由（1）知，得， 所以 ． 所以的前n项和． （3）由（1）知，得 令，解得 ①当时，，故， 此时是首项为9，公差为的等差数列， 得到， ②当时，，故， 先求前五项和， 从第6项起，是首项，公差为2的等差数列，项数为， ， 综上所述，的前n项和． 2 学科网（北京）股份有限公司 $