精品解析：2026年江苏扬州市宝应县中考一模数学试题

九年级“一模”数学试题 （考试时间：120分钟 满分：150分） 友情提醒：本卷中的所有题目均在答题卡上作答，在本卷中作答无效． 一、选择题（每题3分，共24分．每小题只有一个选项是正确的） 1. 中国人最早使用负数，可追溯到两千多年前的“秦汉时期”，的相反数为（ ） A. -2026 B. 2026 C. D. 2. 如图是一个工艺品摆件，其主视图为（ ） A. B. C. D. 3. 某班在开展劳动教育课程调查中发现，第一小组6名同学每周做家务的天数依次为3，7，5，6，5，4（单位：天），则这组数据的平均数为（　　） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 4. 若是关于的一元二次方程的一个解，则的值为（） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 5. 如果，相似比为，且的面积为，那么的面积为（ ） A. B. C. D. 6. 已知为第二象限内的点，则一次函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，是的内接三角形，作直径．若，则为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，中，，，，点为边上异于的一点，以、为邻边作，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填在相应位置上） 9. 历史战争题材影片《南京照相馆》自上映以来引发观影热潮，截至2025年12月10日，该片累计票房已突破3170000000元，其中数据3170000000用科学记数法表示为___________． 10. 分解因式：x2－25=_________________. 11. 若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是______． 12. 如果，则___________． 13. 已知等腰三角形的一个角是，则底角是___________°． 14. 石墨烯在材料学、微纳加工、能源、生物医学和药物传递等方面具有重要的应用前景，它的分子结构如图所示，所有多边形都是正多边形，则的度数为_____． 15. 如图，点、在上，点是劣弧的中点，，则为___________． 16. 我国古代数学名著《算法统宗》中记载：“今有绫七尺，罗九尺，共价适等；只云罗每尺价比绫每尺少钱三十六文，问各钱价若干？”意思是：现在有一匹7尺长的绫布和一匹9尺长的罗布恰好一样贵，只知道每尺罗布比绫布便宜36文，设每尺绫布的价格为x文，每尺罗布的价格为y文，则可列方程组为_______． 17. 在如图所示的小正方形网格中，均为小正方形的顶点，线段和相交于点，则的值为___________． 18. 设、、、为正整数，且，，，则___________． 三、解答题（本大题共有10小题，共96分．解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 按要求完成下列各题： （1）计算：． （2）化简：． 20. 解不等式组：，并求出它的所有整数解的和． 21. 某市组织中学生无人机技能操作比赛，随机抽取部分比赛成绩（成绩为整数，用表示）作为样本进行整理，并绘制成统计图表，部分信息如下： 组别 成绩（） （1）图中___________； （2）扇形统计图中组所在的扇形的圆心角是___________． （3）已知该市共有名中学生参赛，比赛成绩分以上为“优秀”，根据样本数据估计该市获得“优秀”等级的参赛人数． 22. 如图，为厚植学生的家国情怀，某校专门举办了“国之重器·强军梦”主题国防教育展．展厅里陈列着4件等比例缩小的立体模型，分别是A东风-17高超音速导弹、B巨浪-3潜射洲际导弹、C红旗-29反导系统、D歼-35隐身舰载战斗机，学校还制作成与模型一一对应的四张小卡片，参观活动设置惊喜福利：每位同学可以从A、B、C、D四张卡片中分2次随机抽取2张即赠送对应的2件小模型（除图案外每张卡片完全相同，背面朝上） （1）甲同学第一次就抽到模型A的概率是__________________； （2）若按照“先抽1张不放回，再抽第2张”的方式赠送2件模型，请用列表或画树状图的方法，求甲同学抽到的2件模型中包含A的概率． 23. 如图，已知，延长到E，使，连接，若． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，若，求的长． 24. 某新能源汽车公司进行技术升级，升级后每小时组装的汽车数量比原来多15辆，组装360辆汽车所用的时间与原来组装240辆汽车所用时间相等．求升级后每小时组装多少辆汽车？ 25. 如图，在中，，以为直径的交于点．过点作，垂足为点，延长交于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求图中阴影部分的面积． 26. 如图，的边上有一点． （1）用无刻度直尺和圆规在射线上求作点，使得；（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，用无刻度直尺和圆规在线段的延长线上求作点，使以点为圆心，长为半径的圆与相切，切点为；（保留作图痕迹，不写作法） （3）在（1）、（2）的条件下，若，，求的半径长． 27. 如图，在矩形中，，，点是对角线上一点，交于点． （1）若，求的长； （2）若点在上运动，试探究的比值是否变化？若不变，请求出这个比值；若变化，请说明理由； （3）线段的最小值是___________． 28. 【综合探究】运用二次函数来研究植物幼苗叶片的生长状况．在大自然里，有很多数学的奥秘．图1是一片美丽的心形叶片，图2是一棵生长的幼苗，它们都可以看作把抛物线的一部分沿直线折叠而形成． 【探究一】确定心形叶片的形状 （1）如图3建立平面直角坐标系，心形叶片对称轴下部的轮廓线可以看作是二次函数图象的一部分，已知该抛物线经过原点，顶点D坐标为且与x轴的另一交点为C．求C点坐标及抛物线的解析式； 【探究二】研究心形叶片的尺寸 （2）如图3，在（1）的条件下，心形叶片的对称轴，即直线与坐标轴交于A，B两点，点C，是叶片上的一对对称点，线段交直线AB于点G．证明是等腰直角三角形并求出线段的长度； 【探究三】探究幼苗叶片的特征 （3）小李同学在观察某种幼苗生长的过程中，发现幼苗叶片下方轮廓线可以看作是二次函数图象的一部分，如图4所示，右侧幼苗上方轮廓线与下方轮廓线形状相同，开口相反，已知叶尖P的坐标为．在右侧上方轮廓线上任取一点M，过M作x轴垂线交下方轮廓线于点N，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级“一模”数学试题 （考试时间：120分钟 满分：150分） 友情提醒：本卷中的所有题目均在答题卡上作答，在本卷中作答无效． 一、选择题（每题3分，共24分．每小题只有一个选项是正确的） 1. 中国人最早使用负数，可追溯到两千多年前的“秦汉时期”，的相反数为（ ） A. -2026 B. 2026 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据相反数的定义：“只有符号不同的两个数互为相反数”即可求解． 【详解】解：的相反数是． 2. 如图是一个工艺品摆件，其主视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三视图． 根据从前面看到的图形是主视图作答即可． 【详解】解：由图可知，其主视图为． 故选：A． 3. 某班在开展劳动教育课程调查中发现，第一小组6名同学每周做家务的天数依次为3，7，5，6，5，4（单位：天），则这组数据的平均数为（　　） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平均数的计算，根据平均数等于所有数据之和除以数据的个数即可解答． 【详解】解：根据题意这组数据的平均数为：． 故选：B． 4. 若是关于的一元二次方程的一个解，则的值为（） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程解的定义，能使方程左右两边相等的未知数的值是方程的解，将代入原方程，即可求解得到的值． 【详解】∵是一元二次方程的一个解， ∴， 整理得， 解得． 5. 如果，相似比为，且的面积为，那么的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求解即可． 【详解】解：，相似比为， 与的面积比为， 的面积为， 的面积为． 6. 已知为第二象限内的点，则一次函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与k、b的关系，根据已知条件“点为第二象限内的点”推知k、b的符号，由它们的符号可以得到一次函数的图象所经过的象限． 【详解】解：∵点为第二象限内的点， ∴，， ∴一次函数的图象经过第一、二、四象限，观察选项，D选项符合题意． 故选：D． 7. 如图，是的内接三角形，作直径．若，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据同弧所对的圆周角相等可得，根据直径所对的圆周角是直角可得，最后根据直角三角形的两锐角互余即可得解． 【详解】解：，， ， 是的直径， ， ． 8. 如图，中，，，，点为边上异于的一点，以、为邻边作，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设与相交于点，由平行四边形的对角线互相平分可得，所以要求的最小值，即求的最小值，由垂线段最短可得，当时，取最小值，则过点作于点，通过解直角三角形和勾股定理求解即可． 【详解】解：在中，，，， ，， 如图，设与相交于点，过点作于点， ， 四边形是平行四边形， ，， 当的长取最小值，的长取最小值， 由垂线段最短可得，当时，即与重合时，取最小值， 此时，， 的最小值是． 二、填空题（每题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填在相应位置上） 9. 历史战争题材影片《南京照相馆》自上映以来引发观影热潮，截至2025年12月10日，该片累计票房已突破3170000000元，其中数据3170000000用科学记数法表示为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法是解题的关键．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数． 【详解】解：． 故答案为：． 10. 分解因式：x2－25=_________________. 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：因为x2﹣25=x2﹣52，所以直接应用平方差公式即可：． 11. 若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件，被开方数必须是非负数，由此建立关于的不等式，求解不等式得到的取值范围． 【详解】解：二次根式在实数范围内有意义， ， 解得， 故答案为：． 12. 如果，则___________． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵， ∴. 13. 已知等腰三角形的一个角是，则底角是___________°． 【答案】40或70 【解析】 【分析】根据已知角度未明确是顶角还是底角，利用等腰三角形两底角相等的性质和三角形内角和定理，分两种情况讨论即可求解． 【详解】解：分两种情况： ①当的角为顶角时， 则底角； ②当的角为底角时，底角即为； 综上所述，底角为或． 14. 石墨烯在材料学、微纳加工、能源、生物医学和药物传递等方面具有重要的应用前景，它的分子结构如图所示，所有多边形都是正多边形，则的度数为_____． 【答案】##120度 【解析】 【分析】本题考查了正多边形的内角，根据题意求得正六边形的内角和，进而即可求得的度数． 【详解】解：由题意可得，图中的六边形都是正六边形． ∵正六边形的内角和为， ∴每一个内角为 ∴． 故答案为： 15. 如图，点、在上，点是劣弧的中点，，则为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据等弧所对的圆周角相等，且都等于这条弧所对圆心角的一半求解即可． 【详解】解：点是劣弧的中点， ， ， ， ． 16. 我国古代数学名著《算法统宗》中记载：“今有绫七尺，罗九尺，共价适等；只云罗每尺价比绫每尺少钱三十六文，问各钱价若干？”意思是：现在有一匹7尺长的绫布和一匹9尺长的罗布恰好一样贵，只知道每尺罗布比绫布便宜36文，设每尺绫布的价格为x文，每尺罗布的价格为y文，则可列方程组为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了列二元一次方程组，灵活找出等量关系是解答本题的关键． 根据题意，一匹7尺绫布和一匹9尺罗布价格相等，可得方程；每尺罗布比绫布便宜36文，可得方程，即可解答． 【详解】解：设绫布每尺文，罗布每尺文，由“绫七尺，罗九尺，共价适等”得， 由“罗每尺价比绫每尺少钱三十六文”得， 故方程组为； 故答案为：． 17. 在如图所示的小正方形网格中，均为小正方形的顶点，线段和相交于点，则的值为___________． 【答案】## 【解析】 【分析】如图标记格点，连接，，则，由此可得，所以，根据外角定理可得即可解答． 【详解】解：如图标记格点，连接，， 设小正方形的边长均为， 由勾股定理可知，， ， 中，， 中，， ， ， ，， ， ． 18. 设、、、为正整数，且，，，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】将，转化为关于同一底数幂的形式，再代入中求解即可． 【详解】解：，， 设，；，． ， ， ， ，， ，． ，， ． 三、解答题（本大题共有10小题，共96分．解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 按要求完成下列各题： （1）计算：． （2）化简：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先分别计算零指数幂、算术平方根、特殊角的三角函数值，最后计算加减即可； （2）根据异分母分式加减，先通分再加减即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 20. 解不等式组：，并求出它的所有整数解的和． 【答案】，11 【解析】 【分析】先分别求出每个不等式的解，再求不等式组的解集，再在解集中找出整数解，最后求和即可． 【详解】解：解不等式得，， 解不等式得，， 这个不等式组的解集是，它所有的整数解为5，6， 这个不等式组的所有整数解的和． 21. 某市组织中学生无人机技能操作比赛，随机抽取部分比赛成绩（成绩为整数，用表示）作为样本进行整理，并绘制成统计图表，部分信息如下： 组别 成绩（） （1）图中___________； （2）扇形统计图中组所在的扇形的圆心角是___________． （3）已知该市共有名中学生参赛，比赛成绩分以上为“优秀”，根据样本数据估计该市获得“优秀”等级的参赛人数． 【答案】（1） （2） （3）人 【解析】 【分析】（1）通过组频数和所占比例可求出样本总数，再用样本总数减去其他组的频数之和即可求出的值； （2）根据圆心角度数等于组频数占样本总数的比例乘以进行计算即可； （3）用总人数乘以组和组频数占样本总数的比例之和即可． 【小问1详解】 解：样本总数为：， ； 【小问2详解】 解： 扇形统计图中组所在的扇形的圆心角为； 【小问3详解】 解：（人）， 即根据样本数据估计获得“优秀”等级的参赛人数为人． 22. 如图，为厚植学生的家国情怀，某校专门举办了“国之重器·强军梦”主题国防教育展．展厅里陈列着4件等比例缩小的立体模型，分别是A东风-17高超音速导弹、B巨浪-3潜射洲际导弹、C红旗-29反导系统、D歼-35隐身舰载战斗机，学校还制作成与模型一一对应的四张小卡片，参观活动设置惊喜福利：每位同学可以从A、B、C、D四张卡片中分2次随机抽取2张即赠送对应的2件小模型（除图案外每张卡片完全相同，背面朝上） （1）甲同学第一次就抽到模型A的概率是__________________； （2）若按照“先抽1张不放回，再抽第2张”的方式赠送2件模型，请用列表或画树状图的方法，求甲同学抽到的2件模型中包含A的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接利用概率公式进行计算即可； （2）根据题意，画出树状图，进行求解即可． 【小问1详解】 解：由题意，甲同学第一次就抽到模型A的概率是； 【小问2详解】 解：画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中抽到的2件模型中包含A的有6种结果， ∴P（抽到的2件模型中包含A）． 23. 如图，已知，延长到E，使，连接，若． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）． 【解析】 【分析】（1）证明四边形是平行四边形，根据题意得到，根据矩形的判定定理证明； （2）根据矩形的性质得到，根据勾股定理求出，再根据勾股定理计算即可． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形； 【小问2详解】 解：如图， ∵， ∴． ∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，矩形的性质，勾股定理，证得四边形是矩形是本题的关键． 24. 某新能源汽车公司进行技术升级，升级后每小时组装的汽车数量比原来多15辆，组装360辆汽车所用的时间与原来组装240辆汽车所用时间相等．求升级后每小时组装多少辆汽车？ 【答案】升级后每小时组装45辆汽车． 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用．设升级后每小时组装x辆汽车，则升级前每小时组装辆汽车，利用工作时间=工作总量÷工作效率，结合组装360辆汽车所用的时间与原来组装240辆汽车所用时间相等，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，即可得出结论． 【详解】解：设升级后每小时组装x辆汽车，则升级前每小时组装辆汽车， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意． 答：升级后每小时组装45辆汽车． 25. 如图，在中，，以为直径的交于点．过点作，垂足为点，延长交于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，由根据“等边对等角”得，已知，即可得，根据“同位角相等，两直线平行”得，根据，可得即可证明结论； （2）过点作，垂足为点，根据垂径定理，则得，再根据等边对等角以及三角形的外角的性质可得，解直角三角形可得，，进而得到；再证明四边形是矩形，以及；易得，则，最后根据求解即可． 【小问1详解】 证明：如图1，以为直径的交于点，连接， 则， ， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线； 【小问2详解】 解：如图2，，，过点作，垂足为点， ， ， ∴， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ． 26. 如图，的边上有一点． （1）用无刻度直尺和圆规在射线上求作点，使得；（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，用无刻度直尺和圆规在线段的延长线上求作点，使以点为圆心，长为半径的圆与相切，切点为；（保留作图痕迹，不写作法） （3）在（1）、（2）的条件下，若，，求的半径长． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）6 【解析】 【分析】（1）以点为圆心，适当长为半径画弧，与相交于两点，以该两点为圆心任意长为半径画弧，两弧相交于一点，过点与该点作射线，与的交点即为点； （2）作的角平分线交于点，再以为圆心，为半径作圆，与相切于点，即为所求； （3）在中，利用锐角三角函数结合勾股定理可求得，长，从而可得，长，设，在中，利用勾股定理列式解方程即可得解． 【小问1详解】 解：如图，过点作的垂线，垂足点即为所求； 【小问2详解】 解：如图，作的角平分线交于点，再以为圆心，为半径作圆，与相切于点，即为所求； 点在的角平分线上，，， ， 为半径， 是的切线，切点为； 【小问3详解】 解：中，，， ，， ， ， 设，则， 在中，， ，解得， 即的半径长为． 27. 如图，在矩形中，，，点是对角线上一点，交于点． （1）若，求的长； （2）若点在上运动，试探究的比值是否变化？若不变，请求出这个比值；若变化，请说明理由； （3）线段的最小值是___________． 【答案】（1） （2）不变， （3） 【解析】 【分析】（1）连接，先证明，得到，进而得到，根据同角的余角相等可得，则，列式计算即可； （2）过点作，交于，交于，易证，再证明，即可得到的比值； （3）根据的比值不变，故当线段取最小值时，线段取最小值，根据垂线段最短可得，当时，取最小值，然后根据等面积法求解即可． 【小问1详解】 解：如图，连接， 四边形是矩形，， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ，即， ， 【小问2详解】 解：如图，过点作，交于，交于，则四边形是矩形， ，即， ， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， 设，则，，， ， 即的比值不变，为； 【小问3详解】 解：由（2）可知，，即， 当线段取最小值时，线段取最小值， 根据垂线段最短可得，当时，取最小值，此时点与点重合，如图所示， 在中，， ， ， 即线段的最小值是． 28. 【综合探究】运用二次函数来研究植物幼苗叶片的生长状况．在大自然里，有很多数学的奥秘．图1是一片美丽的心形叶片，图2是一棵生长的幼苗，它们都可以看作把抛物线的一部分沿直线折叠而形成． 【探究一】确定心形叶片的形状 （1）如图3建立平面直角坐标系，心形叶片对称轴下部的轮廓线可以看作是二次函数图象的一部分，已知该抛物线经过原点，顶点D坐标为且与x轴的另一交点为C．求C点坐标及抛物线的解析式； 【探究二】研究心形叶片的尺寸 （2）如图3，在（1）的条件下，心形叶片的对称轴，即直线与坐标轴交于A，B两点，点C，是叶片上的一对对称点，线段交直线AB于点G．证明是等腰直角三角形并求出线段的长度； 【探究三】探究幼苗叶片的特征 （3）小李同学在观察某种幼苗生长的过程中，发现幼苗叶片下方轮廓线可以看作是二次函数图象的一部分，如图4所示，右侧幼苗上方轮廓线与下方轮廓线形状相同，开口相反，已知叶尖P的坐标为．在右侧上方轮廓线上任取一点M，过M作x轴垂线交下方轮廓线于点N，求的最大值． 【答案】（1）C点坐标为，；（2）；（3）2 【解析】 【分析】（1）根据顶点坐标公式列方程组求解，得到函数解析式，再令解方程得到点坐标； （2）先求出，得到，得，求得，根据对称性得； （3）运用待定系数求出右侧幼苗上方轮廓线表达式为，设M点坐标为，则，得，运用二次函数的性质可求解． 【详解】解：（1）∵抛物线的顶点坐标为， ∴ 解得：，， ∴抛物线的解析式为． 当时，． 解得，， ∴C点坐标为； （2）∵直线与坐标轴交于，两点， ∴令，得，令，则，， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴； ∵直线是心形叶片的对称轴，且点，是叶片上的一对对称点， ∴，， ∴, ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵C点坐标为， ∴， ∴， ∴； （3）∵右侧幼苗上方轮廓线与下方轮廓线形状相同，开口相反， 设右侧幼苗上方轮廓线表达式为，代入、得 ， 解得， ∴， 设M点坐标为，则， ， ∵，， ∴当时，的最大值为2． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $