精品解析：江西九江市永修县2026年初中学业水平监测考试数学试题卷

永修县2026年初中学业水平监测考试 数学试题卷 注意事项： 1.满分120分，答题时间120分钟． 2.请将各题答案填写在答题卡上． 一、选择题（本题共6小题，每小题3分，共18分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的） 1. 下列各数中，是无理数的为（ ） A. B. 0 C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的为（ ） A. B. C. D. 4. 为了加快构建清洁低碳、安全高效的能源体系，国家发布《关于促进新时代新能源高质量发展的实施方案》，旨在锚定到2030年我国风电、太阳能发电总装机容量达到12亿千瓦以上的目标．数据12亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 5. 约在两千五百年前，如图（1），墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验，并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”；如图（2）所示的小孔成像实验中，若物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在Rt中，，，三角形的面积为16.过点作，垂足为，沿，剪开，得到面积较小的，记为第1次操作，过点作，垂足为，沿剪开，得到面积较小的，记为第2次操作，如此下去，第次操作后较小三角形的面积是（　　　） A. B. C. D. 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 分解因式：4x2–1=_______________． 8. 单项式的次数是_____． 9. 足球表面是由正六边形和正五边形拼接而成的．右图是足球表面有公共顶点的3个多边形展平后的平面图形，则的大小为____________． 10. 一元二次方程的两根分别为，则_____ 11. 小张家有一辆燃油汽车和一辆纯电汽车，燃油汽车耗费7000元油费行驶的路程与纯电汽车耗费1000元电费行驶的路程相同，且每百公里的耗油费比耗电费多60元，求纯电汽车每百公里的耗电费．设纯电汽车每百公里的耗电费为元，可列分式方程为_____ 12. 如图在平面直角坐标系中，点分别在轴上，，点在第一象限内，当为等腰直角三角形时，_____ 三、解答题（本题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 计算及解答 （1）计算：； （2）如图中，，为上的中点，，求证：． 14. 先化简，再求值：，其中 15. 如图，在的正方形网格中，点均在格点上，请仅用无刻度直尺按下列要求完成作图．（保留作图痕迹） （1）在图1中作出的角平分线； （2）在图2中作出的内心点． 16. 某地下停车场剩下“”四个相邻的车位 （1）若一辆小车开进该地下停车场，车子停在“”号停车位是_____事件（填“随机”或“必然”或“不可能”），概率是_____ （2）现有甲、乙两位车主同时来到该地下停车场停车，用树状图或列表法求他们停靠的位置恰好相邻的概率． 17. 如图是立在海滩上的遮阳伞，伞柄与地面垂直，米，伞骨米， （1）求点到地面的距离 （2）有一高度为的小桌子（），已知此时太阳光线与水平方向的夹角为．太阳光刚好照到桌面边缘点处，求点到的距离（精确到0.1米） （参考数据：） 四、解答题（本题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，直线与反比例函数交于点，与坐标轴分别交于点和．过点作轴的垂线交反比例函数于点，连接并延长交轴于点 （1）求反比例函数的解析式及点的坐标 （2）求的面积 19. 某文具店购进甲、乙两种羽毛球拍．店主第一批购买甲种羽毛球拍10副、乙种球拍15副，一共花费1700元．每副甲球拍比乙球拍贵20元 （1）甲、乙两种球拍每副进价分别是多少元？ （2）若店家第二批购买甲、乙两种羽毛球拍一共30副，甲球拍数量大于乙，两种球拍的总进价低于2140元，求甲、乙球拍分别进了多少副？ 20. 如图，为的直径，点是圆上一点，连接并延长至点，使得，连接，过点D作，且，连接． （1）求证：四边形为菱形 （2）连接，当时，记由弦，直径和劣弧围成的封闭图形的面积为，求的值． 五、解答题（本题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 今年央视春晚节目《秧》别出心裁，独树一帜，人机共舞为文化传承搭建了新的桥梁，不仅舞出了精彩的节目，更是舞出了传统文化与现代科技交织的艺术新境界，科创小达人菲菲从某省的快递分拣站随机抽取、两种型号的智能机器人各10台，统计它们每天可分拣的快递数量． 【数据收集与整理】 A型号的智能机器人每天可分拣的快递数量（单位：万件）条形统计图如图所示： B型号的智能机器人每天可分拣的快递数量（单位：万件）如表所示： 分拣快递数量（万件） 16 17 20 22 23 机器人台数（台） 1 1 5 2 1 【数据分析与运用】 两组样本数据的众数、中位数、平均数整理如表： 众数/万件 中位数/万件 平均数/万件 型号 14和16 b c 型号 20 20 请你根据以上数据，解答下列问题： （1）填空：表中_____，_____；_____ （2）若该省共投放市场的型号智能机器人有80台、型号智能机器人有100台，请你估计该省每天用这两种智能机器人分拣的快递共有多少万件？ （3）若某快递公司只能购买一种型号的智能机器人，请你结合“数据分析与运用”，为该公司提出一条合理化建议． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 永修县2026年初中学业水平监测考试 数学试题卷 注意事项： 1.满分120分，答题时间120分钟． 2.请将各题答案填写在答题卡上． 一、选择题（本题共6小题，每小题3分，共18分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的） 1. 下列各数中，是无理数的为（ ） A. B. 0 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查无理数的识别，无限不循环小数叫做无理数，理解无理数的概念是解答的关键．根据无理数的概念判定解答即可． 【详解】解：、0和是有理数，是无理数， 故选：A． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分别运用完全平方公式、零指数幂性质、单项式乘多项式法则、幂的乘方法则计算各选项，即可得到正确结果． 【详解】解：A、，选项A计算正确； B、，选项B计算错误； C、，选项C计算错误； D、，选项D计算错误． 3. 下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形与中心对称图形的概念，解题关键是理解并区分两种图形的定义．逐一判断选项． 【详解】解：选项A：企鹅图形既无对称轴（左右不对称，一只眼睛是“眨眼”状态），旋转也无法与自身重合，既不是轴对称图形，也不是中心对称图形； 选项B：图形沿中间竖直线对折后可完全重合，是轴对称图形；但绕中心旋转后，内部的小圆位置无法与原图重合，不是中心对称图形，符合题意； 选项C：雪花状图形有多条对称轴，是轴对称图形；同时绕中心旋转后也能与自身重合，是中心对称图形，不符合题意； 选项D：图形绕中心旋转后能与自身重合，是中心对称图形；但中间的闪电图案导致其无对称轴，不是轴对称图形，不符合题意． 故选：B． 4. 为了加快构建清洁低碳、安全高效的能源体系，国家发布《关于促进新时代新能源高质量发展的实施方案》，旨在锚定到2030年我国风电、太阳能发电总装机容量达到12亿千瓦以上的目标．数据12亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：亿． 5. 约在两千五百年前，如图（1），墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验，并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”；如图（2）所示的小孔成像实验中，若物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质的实际应用．掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 直接利用相似三角形的对应边成比例解答即可． 【详解】解：设蜡烛火焰的高度是， 由相似三角形性质得到：． 解得． 即蜡烛火焰的高度是． 故选：A． 6. 如图，在Rt中，，，三角形的面积为16.过点作，垂足为，沿，剪开，得到面积较小的，记为第1次操作，过点作，垂足为，沿剪开，得到面积较小的，记为第2次操作，如此下去，第次操作后较小三角形的面积是（　　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据含角的直角三角形性质，求出每次操作后得到的三角形与原三角形的相似比，进而得出面积比，归纳出第次操作后的面积公式即可． 【详解】解：第次操作后较小三角形的面积记作， ∵在中，，， ∴，， ∴； 第1次操作：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴第1次操作后较小三角形的面积； 同理可得：第2次操作后较小三角形的面积； 以此类推，每次操作后得到的三角形面积是前一次三角形面积的， ∴第次操作后较小三角形的面积． 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 分解因式：4x2–1=_______________． 【答案】（2x+1）（2x–1） 【解析】 【分析】利用平方差公式进行因式分解． 【详解】解：原式=（2x+1）（2x－1）． 故答案为：（2x+1）（2x–1）． 【点睛】本题考查因式分解，掌握平方差公式是解题的关键． 8. 单项式的次数是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据单项式次数的定义，单项式的次数为单项式中所有字母的指数和，计算即可求出结果． 【详解】解：∵单项式中，字母的指数为，字母的指数为， ∴所有字母的指数和为， ∴单项式的次数是． 9. 足球表面是由正六边形和正五边形拼接而成的．右图是足球表面有公共顶点的3个多边形展平后的平面图形，则的大小为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正多边形的内角问题，熟练掌握正多边形的内角问题是解题的关键． 先由正多边形的内角公式求出正六边形和正五边形的内角，再根据周角是即可求出的大小． 【详解】解：正五边形的每个内角的度数为：， 正六边形的每个内角的度数为：， ， 故答案为：． 10. 一元二次方程的两根分别为，则_____ 【答案】 2 【解析】 【分析】本题先利用一元二次方程根的定义，对所求代数式进行降次，再利用根与系数的关系求出两根之和，代入计算即可得到结果． 【详解】解：∵是一元二次方程的根， ∴， 整理得， ∴， ∵是一元二次方程的两根， 由根与系数的关系可得， 将代入得， 原式． 11. 小张家有一辆燃油汽车和一辆纯电汽车，燃油汽车耗费7000元油费行驶的路程与纯电汽车耗费1000元电费行驶的路程相同，且每百公里的耗油费比耗电费多60元，求纯电汽车每百公里的耗电费．设纯电汽车每百公里的耗电费为元，可列分式方程为_____ 【答案】 【解析】 【分析】设纯电汽车每百公里的耗电费为x元，可得燃油汽车每百公里的耗油费为元，根据“燃油汽车耗费7000元油费行驶的路程与纯电汽车耗费1000元电费行驶的路程相同”列出分式方程即可. 【详解】解：设纯电汽车每百公里的耗电费为x元，则燃油汽车每百公里的耗油费为元，根据题意得， ． 12. 如图在平面直角坐标系中，点分别在轴上，，点在第一象限内，当为等腰直角三角形时，_____ 【答案】或或 【解析】 【分析】分三种情况：当，时，过点P作轴，，根据条件证明，根据对应边相等求解即可；当，时，过点P作轴，当，时，过点P作轴，同理可求． 【详解】解：当，时，过点P作轴，，如图， ∵轴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， 设， ∴，，，， ∴，解得：， ∴，； 当，时，过点P作轴，如图， 同理可得：， ， ∵， 设， ∴，，，， ∴，，解得：， ∴，； 当，时，过点P作轴，如图， 同理可得： ∴， ∵ 设， ∴，，，， ∴，，解得：， ∴，； 综上，的长为或或． 三、解答题（本题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 计算及解答 （1）计算：； （2）如图中，，为上的中点，，求证：． 【答案】（1） （2）证明：∵△ABC中，AB=AC，D为BC上的中点， ∴为等腰三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算，等腰三角形的判定和性质，平行线的性质． （1）根据二次根式、负整数指数幂的运算法则，特殊角的三角函数值计算，最后按照实数的四则混合运算顺序先计算乘法，再计算加法，合并被开方数相同的二次根式即可． （2）根据得到为等腰三角形，继而根据等腰三角形“三线合一”的性质和两直线平行内错角相等得到，继而得证结论． 【小问1详解】 解：， ， ； 【小问2详解】 略 14. 先化简，再求值：，其中 【答案】； 【解析】 【分析】先把括号内通分，再进行同分母的减法运算，接着把除法运算化为乘法运算，则约分得到最简结果，然后把m的值代入计算即可． 【详解】解： ； 当时，原式． 15. 如图，在的正方形网格中，点均在格点上，请仅用无刻度直尺按下列要求完成作图．（保留作图痕迹） （1）在图1中作出的角平分线； （2）在图2中作出的内心点． 【答案】（1） 如图，即为所求； （2） 点是的内心即为所求； 【解析】 【分析】（1）取格点，作射线，交于点，则是的平分线； （2）取格点，连接，交于点，则点是的内心． 【小问1详解】 解：理由：取格点，，连接，，则： ，，， ∴点在的平分线上，即是的平分线； 【小问2详解】 解：理由：取格点，连接，，与交于点，则， ∴， ∴， ， ∴, ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 设的边上的高为，且，则： ， ∴， ∴是的角平分线， ∴点是的内心． 16. 某地下停车场剩下“”四个相邻的车位 （1）若一辆小车开进该地下停车场，车子停在“”号停车位是_____事件（填“随机”或“必然”或“不可能”），概率是_____ （2）现有甲、乙两位车主同时来到该地下停车场停车，用树状图或列表法求他们停靠的位置恰好相邻的概率． 【答案】（1）随机； （2） 【解析】 【分析】（1）根据事件的定义判断类型，再根据概率公式计算结果； （2）画出树状图，得出所有等可能结果，统计符合条件的结果数，再计算概率即可． 【小问1详解】 解：总共有4个不同的停车位，车辆停在任意一个车位都有可能， 车子停在这件事可能发生也可能不发生，因此是随机事件； 总共有4种等可能的结果，符合停在的结果有1种， 因此概率为； 【小问2详解】 解：记分别为A，B，C，D，甲乙不能停在同一个车位， 画树状图如下： 由表可得，所有等可能的结果共12种，其中甲乙停靠位置相邻的结果有6种. 因此所求概率为． 17. 如图是立在海滩上的遮阳伞，伞柄与地面垂直，米，伞骨米， （1）求点到地面的距离 （2）有一高度为的小桌子（），已知此时太阳光线与水平方向的夹角为．太阳光刚好照到桌面边缘点处，求点到的距离（精确到0.1米） （参考数据：） 【答案】（1）2米 （2）1.2米 【解析】 【分析】（1）由等腰三角形的性质得出，在中求出米，从而可求出米，即点到地面的距离； （2）求出米，过点作于点，于点，则四边形、是矩形，得米，，，求出米，米，求得米，从而可得解． 【小问1详解】 解：过点作于点，如图， ∵， ∴于点， ∴四边形是矩形， ∴； ∵米，于点，， ∴， ∴， 在中，（米）， ∵米， ∴（米） ∴米． 【小问2详解】 解：在中，（米）， 过点作于点，于点，则四边形、是矩形， ∴米，，， ∵米， ∴米， ∴米， 在中，， ∴（米）， ∴米， ∴米． 四、解答题（本题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，直线与反比例函数交于点，与坐标轴分别交于点和．过点作轴的垂线交反比例函数于点，连接并延长交轴于点 （1）求反比例函数的解析式及点的坐标 （2）求的面积 【答案】（1）反比例函数的解析式为， （2）的面积为2 【解析】 【分析】（1）设反比例函数解析式为，把点代入，求出，得；由求出，得出点的坐标为，把代入反比例函数解析式，求得，可得； （2）运用待定系数法求出直线的解析式为，令，得，得，再根据三角形面积公式可求出的面积． 【小问1详解】 解：∵点在直线上， ∴， ∴， 设反比例函数解析式为， ∵点在反比例函数图象上， ∴， ∴反比例函数的解析式为； 对于直线，当时，， 解得， ∴， ∵过点作轴的垂线交反比例函数于点， ∴点的横坐标为， ∴， ∴点的坐标为； 【小问2详解】 解：设直线的解析式为， 把、代入得： ， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， 解得， ∴, ∵， ∴， ∴的面积． 19. 某文具店购进甲、乙两种羽毛球拍．店主第一批购买甲种羽毛球拍10副、乙种球拍15副，一共花费1700元．每副甲球拍比乙球拍贵20元 （1）甲、乙两种球拍每副进价分别是多少元？ （2）若店家第二批购买甲、乙两种羽毛球拍一共30副，甲球拍数量大于乙，两种球拍的总进价低于2140元，求甲、乙球拍分别进了多少副？ 【答案】（1）甲种球拍每副进价80元，乙种球拍每副进价60元 （2）甲种球拍进了16副，乙种球拍进了14副 【解析】 【分析】（1）设甲种球拍每副进价元，乙种球拍每副进价元，利用两个等量关系，即总花费、甲乙单价差，列二元一次方程组求解进价即可； （2）设甲种球拍进了副，则乙种球拍进了副，根据数量关系和总进价的限制条件列一元一次不等式组，结合数量为正整数的实际要求，得到符合条件的购买数量． 【小问1详解】 解：设甲种球拍每副进价元，乙种球拍每副进价元 根据题意可得  解得， 答：甲种球拍每副进价80元，乙种球拍每副进价60元； 【小问2详解】 解：设甲种球拍进了副，则乙种球拍进了副，根据题意可得： ， 解得，  因为是正整数，所以， 则， 答：甲种球拍进了16副，乙种球拍进了14副． 20. 如图，为的直径，点是圆上一点，连接并延长至点，使得，连接，过点D作，且，连接． （1）求证：四边形为菱形 （2）连接，当时，记由弦，直径和劣弧围成的封闭图形的面积为，求的值． 【答案】（1） 证明：连接，如图， ∵是的直径， ∴，即， 又， ∴垂直平分线段, ∴； ∵，， ∴四边形是平行四边形， 又 ∴四边形是菱形； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，可证明；再证明四边形是平行四边形，从而可证明四边形为菱形； （2）先求出，，再求出，证明是等边三角形，求出，根据． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 连接，过点作于点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 五、解答题（本题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 今年央视春晚节目《秧》别出心裁，独树一帜，人机共舞为文化传承搭建了新的桥梁，不仅舞出了精彩的节目，更是舞出了传统文化与现代科技交织的艺术新境界，科创小达人菲菲从某省的快递分拣站随机抽取、两种型号的智能机器人各10台，统计它们每天可分拣的快递数量． 【数据收集与整理】 A型号的智能机器人每天可分拣的快递数量（单位：万件）条形统计图如图所示： B型号的智能机器人每天可分拣的快递数量（单位：万件）如表所示： 分拣快递数量（万件） 16 17 20 22 23 机器人台数（台） 1 1 5 2 1 【数据分析与运用】 两组样本数据的众数、中位数、平均数整理如表： 众数/万件 中位数/万件 平均数/万件 型号 14和16 b c 型号 20 20 请你根据以上数据，解答下列问题： （1）填空：表中_____，_____；_____ （2）若该省共投放市场的型号智能机器人有80台、型号智能机器人有100台，请你估计该省每天用这两种智能机器人分拣的快递共有多少万件？ （3）若某快递公司只能购买一种型号的智能机器人，请你结合“数据分析与运用”，为该公司提出一条合理化建议． 【答案】（1）20，15，15 （2）3200万件 （3） 解：型号智能机器人每天可分拣快递数量的平均数及中位数都高于型号智能机器人，所以购买型号智能机器人．（说明：只要提出一条合理建议即可） 【解析】 【分析】（1）根据众数、中位数、平均数的定义求解即可； （2）利用型号的机器人数量乘以每台日均分拣数量加上型号的机器人数量乘以每台日均分拣数量求解即可； （3）可以从众数、平均数、中位数给出合理的建议． 【小问1详解】 解：分拣万件型号智能机器人有台，为出现次数最多的值， ， 型号智能机器人有台，按照分拣快递数量从小到大排序，位于第位和第位的数据均为万件， 中位数为． 而； 【小问2详解】 解：由题意得，（万件）； 答：该省每天用这两种智能机器人分拣的快递共有3200万件； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $